精品解析：浙江省强基联盟2024-2025学年高三上学期期末联考数学试题

2025年1月浙江强基联盟高三（语数）联考 数学试题 2025.1.15 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，第Ⅰ卷1-2页，第Ⅱ卷3-4页，共150分，测试时间120分钟. 注意事项： 选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，不能答在测试卷上. 第Ⅰ卷 选择题（共58分） 一、选择题（本题共8个小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的.） 1. 若集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】解绝对值不等式可化简集合B，然后由补集，交集定义可得答案. 【详解】，则. 因，则，. 故选：C 2. 若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据复数的乘除法计算，即可求得答案. 【详解】由得， 则， 故选：A 3. 已知向量，不共线且满足，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据向量共线的判定定理可知存在，使得，进而列式求解即可. 【详解】若，则存在，使得， 且向量，不共线，可得，解得. 故选：D. 4. 已知，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用化切为弦将化成，利用和角公式将化成，两者联立求出，，代入公式计算即得. 【详解】由可得，① ， 由可得，② ， 联立①，② ，解得，， 故. 故选：A. 5. 展开式中的常数项为（ ） A. B. C. 11 D. 12 【答案】C 【解析】 【分析】先将原式化为，然后分别找出各项的常数项，相加可得答案. 【详解】 展开式的通项为， 令，则对应常数项为； ，无常数项；无常数项. 则展开式中的常数项为. 故选：C 6. 已知函数（且），若对任意实数，恒成立，则a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据可知函数单调递增，分别分析函数在和时的情况，再结合函数在处的连续性求解的取值范围. 【详解】当时，， 当时，， 令，故在上单调递增， 当时，单调递增，则，即. 当时，单调递增，则. 且，即，，. 综上，的取值范围是. 故选：D. 7. 已知抛物线C：，其中是过抛物线焦点F的两条互相垂直的弦，直线的倾斜角为，当时，如图所示的“蝴蝶形图案（阴影区域）”的面积为（ ） A. 4 B. 8 C. 16 D. 32 【答案】B 【解析】 【分析】求出直线的方程联立抛物线方程，可得的横坐标，利用弦长公式结合抛物线对称性求出相关线段长，即可求得答案. 【详解】由题意知，直线的倾斜角，则直线的方程为， 联立，可得，解得， 结合图可取，， 故，， 根据抛物线的对称性结合是过抛物线焦点F的两条互相垂直的弦， 可知， 故， 故结合抛物线对称性可得“蝴蝶形图案（阴影区域）”的面积为. 故选：B 8. 已知函数，，若函数有5个零点，则a的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用分段函数思想，结合分离参变量，再利用求导，数形结合，可得参数范围. 【详解】当时，由得：， 显然，是的一个零点， 再当时，有， 作出图象可得：当时，， 所以当时，在有两个零点； 再当时，由得：， 整理得，令，求导得， 令，得 当时，，所以在区间上递增， 当时，，所以在区间上递减， 作出图象： 所以由图可得：当时，在有两个零点； 又由于， 所以要使得有五个零点参数， 故选： D. 二、选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.） 9. 下列命题正确的是（ ） A. 若A，B两组成对数据的样本相关系数分别为，，则B组数据比A组数据的相关性更强 B. 若样本数据，，…，的方差为2，则数据，，…，的方差为8 C. 已知互不相同的30个样本数据按从小到大顺序排列，若去掉其中最大和最小的数据，则剩下28个数据的25%分位数不等于原样本数据的25%分位数 D. 某同学回答8个问题，若答对题目的个数为X，且，则答对题目个数的均值为4.8 【答案】ACD 【解析】 【分析】对于A，由相关系数的意义即可判断；对于B，由方差的性质即可判断；对于C，，结合30个样本数据互不相同即可判断；对于D，由二项分布均值公式即可判断. 【详解】对于A，因为，即B组数据比A组数据的相关性更强，故A正确； 对于B，若样本数据的方差为，则数据，，…，的方差为，故B错误； 对于C，将原来的30个数从小到大排列为，则，所以原来的25%分位数为， 若去掉其中最大和最小的数据，剩下28个数据为，则，所以剩下28个数据的25%分位数为，由于互不相同，所以C正确； 对于D，某人解答8个问题，答对题数为，若，则，故D正确. 故选：ACD. 10. 已知函数，则（ ） A. 的最小正周期是 B. 的值域是 C. 在区间上单调递增 D. 的图象关于点对称 【答案】BC 【解析】 【分析】对于A，根据条件可得，即可求解；对于B，利用是的一个周期及的图象与性质，可得，再利用分段函数值域的求法，即可求解；对于C，结合选项B，利用复合函数的单调性的判断方法，即可求解；对于C，根据条件可得，即可求解. 【详解】对于选项A，因， 所以是的一个周期，故选项D错误， 对于选项B，由选项A知，是的一个周期， 又，即， 当时，，， 当时，，， 所以，故选项B正确， 对于选项C，由选项B知， 当时，，令，，则， 易知在区间上单调递增，又由的图象与性质知在区间上单调递增， 所以在区间上单调递增，故选项C正确， 对于选项D，因为， ，所以， 所以关于直线对称，故选项D错误， 故选：BC. 11. 已知函数是定义在上的函数的导函数.若函数，均为偶函数，则（ ） A. 函数的图象关于点对称 B. C. 函数的周期为4 D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】对A：结合偶函数性质可得，左右同除后结合函数对称性定义即可得；对B：对两边同时求导即可得；对C：借助偶函数性质与B中所得，结合周期性定义与赋值法计算即可得；对D：由B、C中所得可得，，再结合函数周期性计算即可得解. 【详解】对A：∵函数是偶函数，， 即，则， 当时，有， ∴函数的图象关于点对称，故A错误； 对B：∵函数是定义在上的函数的导函数， ∴将两边同时求导得：， ∴，即，故B正确； 对C：∵函数是偶函数，， ∴，又，即， ∴，即， ， ∴函数周期为4，故C正确； 对D：∵，故， 又，则， 则 ，故D正确. 故选：BCD. 【点睛】结论点睛：解决抽象函数的求值、性质判断等问题，常见结论： （1）关于对称：若函数关于直线轴对称，则，若函数关于点中心对称，则，反之也成立； （2）关于周期：若，或，或，可知函数的周期为. 第Ⅱ卷 非选择题（共92分） 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 已知曲线在点处的切线与直线垂直，则实数_____________. 【答案】 【解析】 【分析】求出曲线在点处的切线的斜率，然后由切线与直线垂直可得答案. 【详解】，则，即切线的斜率为1， 又切线与直线垂直，直线斜率为， 则. 故答案为： 13. 在某抽奖活动中，设置3个不同颜色的抽奖箱，每个箱子中的小球大小相同质地均匀，其中红色箱子中放有红球3个，黄球2个，绿球2个；黄色箱子中放有红球4个，绿球2个；绿色箱子中放有红球3个，黄球2个.要求参与者先从红色箱子中随机抽取一个小球，将其放入与小球颜色相同的箱子中，再从放入小球的箱子中随机抽取一个小球，抽奖结束.若第二次抽取的是红色小球，则获得奖品，否则不能获得奖品.若甲为参与者，在其第一次抽取的不是红球的条件下，获得奖品的概率为_____________. 【答案】 【解析】 【分析】设出事件后，结合条件概率公式计算可求得结论. 【详解】设，分别表示先抽到的小球的颜色分别是红、黄、绿的事件， 设表示再抽到的小球的颜色是红的事件， 在甲先抽取的不是红球的条件下，甲获得奖品的概率为： . 故答案： 14. 已知双曲线C：（，）的左右焦点分别为，，过的直线交双曲线C的右支于A，B两点，若，点M满足，且，则双曲线C的离心率为_____________. 【答案】 【解析】 【分析】由、结合正弦定理可得，又，故，再结合余弦定理计算即可得离心率. 【详解】由双曲线的定义可知，由，故，， 点满足，即，则， 又，， 即，又， 故，则，即， 即平分，又，故， 则，则， ，， 由，故， 即， 即，即. 故答案为：. 【点睛】关键点睛：解答本题的关键在于根据已知条件得到线段之间的关系，继而利用余弦定理求出、的关系，即可求解. 四、解答题（本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.） 15. 在中，角对应的边分别为，. （1）求角A； （2）若，，求的面积. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理化角为边，再利用余弦定理求出的值，结合角的范围即得； （2）利用正弦定理求得，结合条件求出，由和角公式求出，代入三角形面积公式计算即得. 【小问1详解】 由及正弦定理， 可得，故， 由余弦定理，可得， 由于，故， 【小问2详解】 由（1）可知，所以 因为，所以 所以，由 所以， 所以 所以. 16. 已知函数. （1）讨论的单调性； （2）当时，求函数在的最小值. 【答案】（1）答案见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）求导，分和两种情况，利用导数判断原函数单调性； （2）根据（1）中单调性，分、和三种情况求最小值. 【小问1详解】 由题意可知：的定义域为，， ①若，恒成立，所以在上单调递减. ②若，则由得， 所以当时，；当时，； 所以在上单调递减，在上单调递增. 综上：当时，在上单调递减； 当时，在上单调递减，在上单调递增. 【小问2详解】 由（1）知，在单调递减，在单调递增. ①当即时，在单调递减， 所以当时，有最小值； ②当即时，在单调递减，在单调递增. 所以当时，有最小值； ③当即时，在单调递增， 所以当时，有最小值； 综上： 17. 已知过，两点的抛物线的准线始终与圆相切，该抛物线焦点F的轨迹是某圆锥曲线的一部分. （1）求的标准方程； （2）若直线l交于P，Q两点，，且，直线MP，MQ的斜率之和为0.试判断直线l的斜率是否为定值，若是，求出该定值；若不是，请说明理由. 【答案】（1） （2）是， 【解析】 【分析】（1）分别过A，B，原点O向准线作垂线，垂足分别为M，N，H.根据抛物线的定义得到，再利用椭圆的定义求解； （2）设直线l的方程为：，与椭圆方程联立，由，结合韦达定理求解. 【小问1详解】 解：如图所示： 分别过A，B，原点O向准线作垂线，垂足分别为M，N，H. 依题意知， 则是以，为焦点的椭圆. 由，.得. 所以椭圆方程为； 【小问2详解】 由题可知直线l的斜率必存在，设为k，则直线l的方程为：， 设点，，联立直线与椭圆方程， 整理得：，， 故，， ， 化简得：， 整理可得：， 即， 故或， 因为直线l不过点M，所以. 18. 某篮球集训队中甲、乙、丙三人进行传球训练.假设当球在甲手中时，甲将球传给丙的概率为，否则甲将球传给乙；当球在乙手中时，乙将球传给甲的概率为，否则乙将球传给丙；当球在丙手中时，丙将球传给甲的概率为，否则丙将球传给乙；初始时，球在甲手中. （1）求传球次后，球恰好在乙手中次的概率； （2）次传球后（），记球在丙手中的概率为. ①求数列的通项公式； ②设，求证：. 【答案】（1） （2）①；②证明见解析 【解析】 【分析】（1）根据条件有两种情况：乙、甲、乙，乙、丙、乙，再利用相互独立事件同时发生的概率公式及互斥事件有一个发生的概率公式，即可求解； （2）①根据条件得到，进而有是首项为，公比为的等比数列，即可求解；②根据条件得到，利用裂项相消法得到，再分为奇数和偶数两种情况讨论，即可求解. 【小问1详解】 传球次后，球恰好在乙手中次分为两种情况： 第一种情况：乙、甲、乙，概率为； 第二种情况：乙、丙、乙，概率为； 所以. 【小问2详解】 ①由于n次传球后，球不在丙手中的概率为， 此时无论球在甲手中还是球在乙手中，均有的概率传给丙，故有， 整理得， 又，， 所以是首项为，公比为的等比数列. 则，得到. ②由①可得， 因为 所以， 当n为奇数时，，所以， 所以，所以， 当n为偶数时，， 所以，所以. 所以. 综上所述，，所以命题得证. 【点睛】关键点点晴：本题的关键在于第（2）中的①问，根据条件得到，通过变形得到，从而转化成等比数列来解决问题. 19. 对于n行n列（，）的数表定义变换：任选一组，其中，，对于的第行和第列的个数，将每个数同时加2，或者将每个数同时减2，其余的数不变，得到一个新数表.例如：对依次进行2次T变换可得到， （1）写出中间两次T变换（写出一种答案即可） （2）已知，是否可以依次进行有限次变换，将A变换为B？说明理由； （3）已知11行11列的数表，是否可以依次进行次变换，将其变换为，若可以，求k的最小值，并写出一种变换过程；若不可以，说明理由. 【答案】（1）答案见解析 （2）不可以，理由见解析 （3）可以，最小值为400，答案见解析 【解析】 【分析】（1）根据变换的定义直接得解； （2）根据变换的规律，分析变换前后数字和的规律得解； （3）由题意，讨论三种选取方式，求出加1与减1变换次数之差，由题意得出满足条件即可. 【小问1详解】 或 或 【小问2详解】 不可以，理由如下： 由题可知每次变换T，数表中所有数的和增加或减少10. 因为A中所有数的和为0，所以其经过有限次变换T后各数和为10的倍数. 而B中所有数的和为18，不符合，故无法通过有限次变换T，将A变换为B. 【小问3详解】 可以，且k的最小值为400. 当所选i，时，每次所有加2的变换T与减2的变换T次数之差设为x；当所选且或者且时，每次所有加2的变换T与减2的变换T次数之差设为y；当所选时，每次加2的变换T与减2的变换T次数之差设为z. 考虑变换T对上述三部分的影响， 可知，解得， 所以 其中符合题意的400次变换T构造如下： 当所选i，时，各进行一次减2的变换T ； 当所选且或者且时，各进行10次加2的变换T ； 当所选时，进行100次减2的变换T . 【点睛】关键点点睛：解决本题的关键在于理解变换含义，即一个数表通过变换后得到什么数表，核心是理解新定义. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025年1月浙江强基联盟高三（语数）联考 数学试题 2025.1.15 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，第Ⅰ卷1-2页，第Ⅱ卷3-4页，共150分，测试时间120分钟. 注意事项： 选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，不能答在测试卷上. 第Ⅰ卷 选择题（共58分） 一、选择题（本题共8个小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的.） 1. 若集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 若，则（ ） A. B. C. D. 3. 已知向量，不共线且满足，则（ ） A. B. C. D. 4. 已知，，则（ ） A. B. C. D. 5. 展开式中常数项为（ ） A. B. C. 11 D. 12 6. 已知函数（且），若对任意实数，恒成立，则a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 7. 已知抛物线C：，其中是过抛物线焦点F的两条互相垂直的弦，直线的倾斜角为，当时，如图所示的“蝴蝶形图案（阴影区域）”的面积为（ ） A 4 B. 8 C. 16 D. 32 8. 已知函数，，若函数有5个零点，则a的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二、选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.） 9. 下列命题正确的是（ ） A. 若A，B两组成对数据的样本相关系数分别为，，则B组数据比A组数据的相关性更强 B. 若样本数据，，…，的方差为2，则数据，，…，的方差为8 C. 已知互不相同的30个样本数据按从小到大顺序排列，若去掉其中最大和最小的数据，则剩下28个数据的25%分位数不等于原样本数据的25%分位数 D. 某同学回答8个问题，若答对题目的个数为X，且，则答对题目个数的均值为4.8 10. 已知函数，则（ ） A. 最小正周期是 B. 的值域是 C. 在区间上单调递增 D. 的图象关于点对称 11. 已知函数是定义在上的函数的导函数.若函数，均为偶函数，则（ ） A. 函数的图象关于点对称 B. C. 函数的周期为4 D. 第Ⅱ卷 非选择题（共92分） 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 已知曲线在点处的切线与直线垂直，则实数_____________. 13. 在某抽奖活动中，设置3个不同颜色的抽奖箱，每个箱子中的小球大小相同质地均匀，其中红色箱子中放有红球3个，黄球2个，绿球2个；黄色箱子中放有红球4个，绿球2个；绿色箱子中放有红球3个，黄球2个.要求参与者先从红色箱子中随机抽取一个小球，将其放入与小球颜色相同的箱子中，再从放入小球的箱子中随机抽取一个小球，抽奖结束.若第二次抽取的是红色小球，则获得奖品，否则不能获得奖品.若甲为参与者，在其第一次抽取的不是红球的条件下，获得奖品的概率为_____________. 14. 已知双曲线C：（，）的左右焦点分别为，，过的直线交双曲线C的右支于A，B两点，若，点M满足，且，则双曲线C的离心率为_____________. 四、解答题（本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.） 15. 在中，角对应的边分别为，. （1）求角A； （2）若，，求的面积. 16. 已知函数. （1）讨论单调性； （2）当时，求函数在最小值. 17. 已知过，两点的抛物线的准线始终与圆相切，该抛物线焦点F的轨迹是某圆锥曲线的一部分. （1）求的标准方程； （2）若直线l交于P，Q两点，，且，直线MP，MQ的斜率之和为0.试判断直线l的斜率是否为定值，若是，求出该定值；若不是，请说明理由. 18. 某篮球集训队中甲、乙、丙三人进行传球训练.假设当球在甲手中时，甲将球传给丙的概率为，否则甲将球传给乙；当球在乙手中时，乙将球传给甲的概率为，否则乙将球传给丙；当球在丙手中时，丙将球传给甲的概率为，否则丙将球传给乙；初始时，球在甲手中. （1）求传球次后，球恰好在乙手中次的概率； （2）次传球后（），记球在丙手中的概率为. ①求数列的通项公式； ②设，求证：. 19. 对于n行n列（，）的数表定义变换：任选一组，其中，，对于的第行和第列的个数，将每个数同时加2，或者将每个数同时减2，其余的数不变，得到一个新数表.例如：对依次进行2次T变换可得到， （1）写出中间两次T变换（写出一种答案即可） （2）已知，是否可以依次进行有限次变换，将A变换为B？说明理由； （3）已知11行11列的数表，是否可以依次进行次变换，将其变换为，若可以，求k的最小值，并写出一种变换过程；若不可以，说明理由. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$