精品解析：浙江省强基联盟2024-2025学年高三上学期期末联考数学试题

2025年1月浙江强基联盟高三（语数）联考 数学试题 2025.1.15 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，第Ⅰ卷1-2页，第Ⅱ卷3-4页，共150分，测试时间120分钟. 注意事项： 选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，不能答在测试卷上. 第Ⅰ卷 选择题（共58分） 一、选择题（本题共8个小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的.） 1. 已知，，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知函数，，若函数有5个零点，则a的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二、选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.） 3. 已知函数是定义在上的函数的导函数.若函数，均为偶函数，则（ ） A. 函数的图象关于点对称 B. C. 函数的周期为4 D. 第Ⅱ卷 非选择题（共92分） 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 四、解答题（本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.） 4. 对于n行n列（，）的数表定义变换：任选一组，其中，，对于的第行和第列的个数，将每个数同时加2，或者将每个数同时减2，其余的数不变，得到一个新数表.例如：对依次进行2次T变换可得到， （1）写出中间两次T变换（写出一种答案即可） （2）已知，是否可以依次进行有限次变换，将A变换为B？说明理由； （3）已知11行11列的数表，是否可以依次进行次变换，将其变换为，若可以，求k的最小值，并写出一种变换过程；若不可以，说明理由. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025年1月浙江强基联盟高三（语数）联考 数学试题 2025.1.15 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，第Ⅰ卷1-2页，第Ⅱ卷3-4页，共150分，测试时间120分钟. 注意事项： 选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，不能答在测试卷上. 第Ⅰ卷 选择题（共58分） 一、选择题（本题共8个小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的.） 1. 已知，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用化切为弦将化成，利用和角公式将化成，两者联立求出，，代入公式计算即得. 【详解】由可得，① ， 由可得，② ， 联立①，② ，解得，， 故. 故选：A. 2. 已知函数，，若函数有5个零点，则a的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用分段函数思想，结合分离参变量，再利用求导，数形结合，可得参数范围. 【详解】当时，由得：， 显然，是的一个零点， 再当时，有， 作出图象可得：当时，， 所以当时，在有两个零点； 再当时，由得：， 整理得，令，求导得， 令，得 当时，，所以在区间上递增， 当时，，所以在区间上递减， 作出图象： 所以由图可得：当时，在有两个零点； 又由于， 所以要使得有五个零点的参数， 故选： D. 二、选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.） 3. 已知函数是定义在上的函数的导函数.若函数，均为偶函数，则（ ） A. 函数的图象关于点对称 B. C. 函数的周期为4 D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】对A：结合偶函数性质可得，左右同除后结合函数对称性定义即可得；对B：对两边同时求导即可得；对C：借助偶函数性质与B中所得，结合周期性定义与赋值法计算即可得；对D：由B、C中所得可得，，再结合函数周期性计算即可得解. 【详解】对A：∵函数是偶函数，， 即，则， 当时，有， ∴函数的图象关于点对称，故A错误； 对B：∵函数是定义在上的函数的导函数， ∴将两边同时求导得：， ∴，即，故B正确； 对C：∵函数是偶函数，， ∴，又，即， ∴，即， ， ∴函数的周期为4，故C正确； 对D：∵，故， 又，则， 则 ，故D正确. 故选：BCD. 【点睛】结论点睛：解决抽象函数的求值、性质判断等问题，常见结论： （1）关于对称：若函数关于直线轴对称，则，若函数关于点中心对称，则，反之也成立； （2）关于周期：若，或，或，可知函数的周期为. 第Ⅱ卷 非选择题（共92分） 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 四、解答题（本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.） 4. 对于n行n列（，）的数表定义变换：任选一组，其中，，对于的第行和第列的个数，将每个数同时加2，或者将每个数同时减2，其余的数不变，得到一个新数表.例如：对依次进行2次T变换可得到， （1）写出中间两次T变换（写出一种答案即可） （2）已知，是否可以依次进行有限次变换，将A变换为B？说明理由； （3）已知11行11列的数表，是否可以依次进行次变换，将其变换为，若可以，求k的最小值，并写出一种变换过程；若不可以，说明理由. 【答案】（1） 或 或 （2）不可以，理由如下： 由题可知每次变换T，数表中所有数的和增加或减少10. 因为A中所有数的和为0，所以其经过有限次变换T后各数和为10的倍数. 而B中所有数的和为18，不符合，故无法通过有限次变换T，将A变换为B. （3）可以，最小值为400，符合题意的400次变换T构造如下： 当所选i，时，各进行一次减2的变换T ； 当所选且或者且时，各进行10次加2的变换T ； 当所选时，进行100次减2的变换T . 【解析】 【分析】（1）根据变换的定义直接得解； （2）根据变换的规律，分析变换前后数字和的规律得解； （3）由题意，讨论三种选取方式，求出加1与减1变换次数之差，由题意得出满足条件即可. 【小问1详解】 或 或 【小问2详解】 略 【小问3详解】 可以，且k的最小值为400. 当所选i，时，每次所有加2的变换T与减2的变换T次数之差设为x；当所选且或者且时，每次所有加2的变换T与减2的变换T次数之差设为y；当所选时，每次加2的变换T与减2的变换T次数之差设为z. 考虑变换T对上述三部分的影响， 可知，解得， 所以 其中符合题意的400次变换T构造如下： 当所选i，时，各进行一次减2的变换T ； 当所选且或者且时，各进行10次加2的变换T ； 当所选时，进行100次减2的变换T . 【点睛】关键点点睛：解决本题的关键在于理解变换含义，即一个数表通过变换后得到什么数表，核心是理解新定义. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $