精品解析：重庆市巴南区2024-2025学年上学期期末考试九年级数学试题

2024-2025学年上期阶段性检测 九年级数学测试卷 （全卷共三个大题，满分150分，考试时间120分钟） 注意事项： 1．试题的答案书写在答题卡上，不得在试题卷上直接作答； 2．作答前认真阅读答题卡上的注意事项； 3．作图（包括作辅助线）请一律用黑色2B铅笔完成； 4．考试结束，由监考人员将试题卷和答题卡一并收回． 参考公式：抛物线，的顶点坐标为，对称轴为． 一、选择题：（本大题10个小题，每小题4分，共40分）在每个小题的下面，都给出了代号为A、B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡上题号右侧正确答案所对应的方框涂黑． 1. 下列图形中，既是轴对称图形也是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列事件中，属于必然事件的是（ ） A. 掷一枚硬币，国徽面朝上 B. 圆的直径平分任意一条弦 C. 没有水分，种子发芽 D. 任意三角形都具有稳定性 3. 若方程是关于x的一元二次方程，则m的值为（ ） A. 或1 B. 1 C. D. 4. 如图，A，B，C是上的三点，，则的度数为（ ） A. 60° B. 50° C. 45° D. 30° 5. 下列关于抛物线说法正确的是（ ） A. 开口向上 B. 对称轴为直线 C. 顶点坐标为 D. 当时，函数有最小值2 6. 如图，将绕着点O顺时针旋转后得到，若，则的长度为（ ） A. B. C. D. 7. 如图，抛物线与轴交于点，点，顶点为点，将抛物线绕点旋转得到抛物线，交轴于点，顶点记为；再将抛物线绕点旋转得到抛物线，交轴于点，顶点记为；……如此旋转下去，形成如图所示的图象，则顶点的坐标为（ ） A. B. C. D. 8. 已知的图象如图所示，则下列结论错误的是（ ） A. B. C. D. 9. 如图，四边形为正方形，为对角线上一点，连接，将绕着点顺时针旋转交的延长线于点，，则的值为（ ） A. B. C. D. 10. 有n个依此排列的整式：第一项是，为，用第一项加上得到第二项，再将加上2得到，将第二项加上得到第三项，再将加上2得到，……以此类推，下列说法：①当时，第三项为36；②若第四项与第五项的和为85，则或；③若，则；④第项为．其中正确的个数是（ ） A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个 二、填空题：（本大题8个小题，每小题4分，共32分）请将每小题的答案直接填在答题卡中对应的横线上． 11. 在平面直角坐标系中，点关于原点对称的点的坐标是______． 12. 祖传工艺，优质食材，刘家四合胡豆完美还原了重庆怪味胡豆酥、脆、麻、辣、香的特点，深受广大游客的喜爱．小宁和小夏决定从“麻辣”、“香醋”、“微辣”这3种口味的胡豆中随机选取1个进行品尝，则小宁和小夏选择相同的概率是______． 13. 若a是方程的一个实数根，则的值为______． 14. 张师傅去年开了一家商店，今年1月份开始盈利，2月份盈利元，4月份盈利达到元，设张师傅每月盈利的平均增长率为x，根据题意，请列出方程______． 15. 如图，在矩形中，对角线相交于点O，为的中线，以点O为圆心，长为半径画弧，若，，则图中阴影部分的面积为______． 16. 若关于x的一元二次方程有解，且关于y的分式方程有非负整数解，则满足条件的所有整数a的和是______． 17. 如图，为四边形的外接圆，，若D是的中点，且，，则的半径为______， ______． 18. 对于一个四位自然数n，若百位数字与个位数字之和等于千位数字与十位数字和的2倍，那么称这个数n为“双喜数”．如：，因为，所以1347是一个“双喜数”，则最小的“双喜数”为______；若一个四位自然数是“双喜数”，使二次函数与x轴只有一个交点，且能被15整除，则满足条件的四位自然数m的最大值与最小值的差为______． 三、解答题：（本大题8个小题，第19题8分，其余每题各10分，共78分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上． 19. 解下列方程： （1）； （2）． 20. 在学习了四边形的相关知识后，奋进组进行了更深入的思考：在对角互补的四边形中，若对角线平分其中一个内角，则被对角线平分所得的两个小角所对的边存在一定的数量关系？通过讨论，奋进组的解决思路是利用构造三角形全等得出结论，根据他们的想法和思路，完成以下作图和填空： （1）如图，用尺规过点C作的垂线，交于点F．（不写作法，保留作图痕迹）； （2）已知：在四边形中，，平分，交的延长线于点E，，求证：． 证明：∵平分，，， ∴①，． ∵， ∴． 又∵， ∴②． ∴（③）． ∴． 通过以上探究，请你帮助奋进组完成下面命题：在对角互补四边形中，若对角线平分其中一个内角，则被该对角线平分所得的两个相等小角④． 21. 为提升学生的文化认同感，弘扬中华民族传统文化，某校举办了“诗意校园·魅力诗词”古诗词知识竞赛．现从八、九年级的学生中各随机抽取20名学生的竞赛成绩进行整理、描述和分析（分数用x表示，总分为100分，共分成四组：A．；B．；C．；D．，其中分数不低于80为优秀）．下面给出部分信息： 八年级20名学生的竞赛成绩为： 67，69，72，72，75，77，78，79，85，85， 86，90，91，92，92，92，95，96，98，99． 九年级20名学生的竞赛成绩在C组中的数据是：83，83，88，88，88，89． 八、九年级所抽学生的竞赛成绩统计表 年级 八年级 九年级 平均数 845 84.5 中位数 85.5 a 众数 b 88 优秀率 根据以上信息，解答下列问题： （1）上述图表中， ______， ______， ______； （2）根据以上数据分析，你认为该校八、九年级中哪个年级学生的古诗词竞赛成绩较好？请说明理由（写出一条理由即可）； （3）赛后，学校准备从九年级学生中竞赛成绩位于前四名的甲乙丙丁4人中随机选取2人作古诗词积累的经验交流，请用列表法或画树状图的方法，求选中的2人恰好是丁和乙的概率． 22. 取暖器，又称为“冬日里的小太阳”，是南方居民冬天的取暖神器．某商场有A型、B型两款最受顾客喜爱的取暖器，已知每台A型取暖器的售价比每台B型取暖器售价少40元，顾客用1200元购入A型取暖器的数量与用1440元购入B型取暖器的数量相等． （1）每台A型取暖器与每台B型取暖器售价分别为多少元？ （2）每台B型取暖器的进价为140元，据统计，商场每月卖出B型取暖器60台，新年前夕，为了尽快减少库存，商场决定对B型取暖器进行降价促销活动，调查发现，每台B型取暖器的售价每降低10元，那么平均每月可多售出25台，若商场要想每月销售B型取暖器的利润达到9600元，则每台B型取暖器应降价多少元？ 23. 如图，在中，，，，点D为上的三等分点．动点P从点A出发，沿方向以每秒2个单位长度的速度运动，同时动点Q从点D出发，沿方向以每秒1个单位长度的速度运动，当其中任意一个动点到达终点时，两点都停止运动．设动点P运动的时间为x秒，的长度为，的面积为． （1）请直接写出与分别关于x的函数表达式，并注明自变量x的取值范围； （2）在给定的平面直角坐标系中，画出函数与的图象，并写出函数的一条性质； （3）结合函数图象，请直接写出时x的取值范围（近似值保留小数点后一位，误差不超过0.2）． 24. 如图，某公园有①，②，③三条步道．经勘测：B在A北偏东的方向上，米，C在B的东南方向，D在A的正南方向300米处，E在D的正东方向，．（参考数据：，） （1）求的长度（结果保留根号）； （2）小华和小南同时从A出发，小华选择步道①，小南选择步道③，若小华和小南的速度相同，则谁先到达C，请通过计算说明．（结果精确到0.1） 25. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过点，与x轴交于点和点，与轴交于点，连接． （1）求抛物线的表达式； （2）如图，点是射线下方抛物线上的一动点，过点作轴，垂足为点，交于点．点为抛物线对称轴上的一动点，连接，，当线段长度取得最大值时，求的最小值； （3）在（2）问取得最小值的条件下，连接，将抛物线沿射线方向平移，使得点在新抛物线的对称轴上，是新抛物线上的一个动点，当时，直接写出所有符合条件的点的坐标． 26. 如图，为等腰直角三角形，． （1）如图1，点E为上一点，连接，在上找一点D，连接，过点E作交于点F，且，若，求度数（用含的代数式表示）； （2）如图，延长至点D，连接，过点B作，交于点G，延长至点E，使得，连接，试用等式表示线段、、之间的数量关系，并说明理由； （3）如图，若，连接，过点A作，交延长线于点E．当取最大值时，请直接写出的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年上期阶段性检测 九年级数学测试卷 （全卷共三个大题，满分150分，考试时间120分钟） 注意事项： 1．试题的答案书写在答题卡上，不得在试题卷上直接作答； 2．作答前认真阅读答题卡上的注意事项； 3．作图（包括作辅助线）请一律用黑色2B铅笔完成； 4．考试结束，由监考人员将试题卷和答题卡一并收回． 参考公式：抛物线，的顶点坐标为，对称轴为． 一、选择题：（本大题10个小题，每小题4分，共40分）在每个小题的下面，都给出了代号为A、B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡上题号右侧正确答案所对应的方框涂黑． 1. 下列图形中，既是轴对称图形也是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了轴对称图形和中心对称图形的概念，根据如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，如果一个图形绕某一点旋转后能够与自身重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心，解答本题即可． 【详解】解：A、该图形是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意； B、该图形不是轴对称图形，是中心对称图形，不符合题意； C、该图形既是轴对称图形，也是中心对称图形，符合题意； D、该图形是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意； 故选：C． 2. 下列事件中，属于必然事件的是（ ） A. 掷一枚硬币，国徽面朝上 B. 圆的直径平分任意一条弦 C. 没有水分，种子发芽 D. 任意三角形都具有稳定性 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查的是必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下，一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．直接利用随机事件以及必然事件的定义分别分析得出答案． 【详解】解：A、掷一枚硬币，国徽面朝上，是随机事件，故此选项错误； B、圆的直径平分任意一条弦是随机事件，故此选项错误； C、没有水分，种子发芽是不可能事件，故此选项错误； D、任意三角形都具有稳定性，属于必然事件，故此选项正确； 故选：D． 3. 若方程是关于x的一元二次方程，则m的值为（ ） A. 或1 B. 1 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的定义，绝对值，熟练掌握一元二次方程的定义是解题的关键，根据一元二次方程的定义得出且，即可求出m的值． 【详解】解：若方程是关于x的一元二次方程， 则， 解得或， ， ， ， 故选：B． 4. 如图，A，B，C是上的三点，，则的度数为（ ） A. 60° B. 50° C. 45° D. 30° 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了圆周角定理，熟练掌握圆周角定理是解题的关键． 根据圆周角定理即可直接得出答案． 【详解】解：，， ， 故选：． 5. 下列关于抛物线说法正确的是（ ） A. 开口向上 B. 对称轴为直线 C. 顶点坐标为 D. 当时，函数有最小值2 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查了二次函数的应用－销售问题，是抛物线的顶点式，a决定抛物线的形状和开口方向，其顶点是，对称轴是． 详解】解：∵， ∴抛物线开口向下，称轴为直线，顶点坐标为，当时，函数有最大值2． 故选C． 6. 如图，将绕着点O顺时针旋转后得到，若，则的长度为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了旋转的性质，弧长计算，根据弧长计算公式进行计算即可，熟练掌握弧长公式，是解题的关键． 【详解】解：根据旋转可知：， ∴． 故选：B． 7. 如图，抛物线与轴交于点，点，顶点为点，将抛物线绕点旋转得到抛物线，交轴于点，顶点记为；再将抛物线绕点旋转得到抛物线，交轴于点，顶点记为；……如此旋转下去，形成如图所示的图象，则顶点的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质、图形的旋转，首先根据抛物线的解析式得到抛物线的顶点坐标为，根据旋转的性质分别得到旋转后的点、、的坐标，分别得到横坐标和纵坐标的变换规律，根据规律得到点的坐标． 【详解】解：抛物线的对称轴为， 当时，， 顶点坐标为， 第一次旋转后顶点的坐标为， 第二次旋转后顶点的坐标为， 第三次旋转后顶点的坐标为， ， 根据规律可得：第次旋转后点的坐标为， 顶点的横坐标为，纵坐标为， 顶点的坐标为．   故选：A ． 8. 已知的图象如图所示，则下列结论错误的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，根据二次函数的图象与系数关系即可得，掌握二次函数的性质，数学结合思想是解题的关键． 【详解】解：根据题意得，， ∵， ∴， ∴ 故A、B正确； ∵抛物线经过点， 则， ∴，即， 由图象可知，图象与x轴的另一个交点为， ∴当， 故D正确； 故选：C． 9. 如图，四边形为正方形，为对角线上一点，连接，将绕着点顺时针旋转交的延长线于点，，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】过点作的平行线交于点，交于点，设，则，由正方形的性质可得，，，，即得四边形为矩形，得到，，利用勾股定理可得，进而得到，即得，由旋转的性质得，，再根据余角性质得到，可得，得到，即可得，得到，最后代入计算即可求解． 【详解】解：过点作的平行线交于点，交于点，如图， 设，则， ∵四边形为正方形， ∴，，，， ∴四边形为矩形， ∴，， 在中，∵， ∴， 在中，∵，， ∴， ∵绕着点顺时针旋转交的延长线于点， ∴，， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：． 【点睛】本题考查了正方形的性质，矩形的判定和性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质，旋转的性质，正确作出辅助线是解题的关键． 10. 有n个依此排列的整式：第一项是，为，用第一项加上得到第二项，再将加上2得到，将第二项加上得到第三项，再将加上2得到，……以此类推，下列说法：①当时，第三项为36；②若第四项与第五项的和为85，则或；③若，则；④第项为．其中正确的个数是（ ） A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个 【答案】D 【解析】 【分析】先分别探究第一项至第四项，再总结规律，再利用规律逐一分析解题即可． 【详解】解：根据题意可得： 第一项：， 第二项：， 第三项：， 第四项：， 第项为：，故④不符合题意； 第项，， 当时，第三项：，故①符合题意； 当第四项与第五项的和为85， ∴， 解得：或，故②不符合题意； 当时， ∵， ， ， ∴ ∴，故③不符合题意； 故选：D 【点睛】本题考查的是整式的加减运算，一元二次方程的解法，数字的变化规律等，解题的关键是根据题意分别确定，第一项至第四项，再总结规律，利用规律解题． 二、填空题：（本大题8个小题，每小题4分，共32分）请将每小题的答案直接填在答题卡中对应的横线上． 11. 在平面直角坐标系中，点关于原点对称的点的坐标是______． 【答案】 【解析】 【分析】此题主要考查了关于原点对称点的性质，根据两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反，即点关于原点对称点是，进而得出答案． 【详解】解：点关于原点对称的点的坐标是， 故答案为：． 12. 祖传的工艺，优质食材，刘家四合胡豆完美还原了重庆怪味胡豆酥、脆、麻、辣、香的特点，深受广大游客的喜爱．小宁和小夏决定从“麻辣”、“香醋”、“微辣”这3种口味的胡豆中随机选取1个进行品尝，则小宁和小夏选择相同的概率是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了树状图法或列表法求概率．先列表得到所有等可能性的结果数，再找到小宁和小夏选择相同的结果数，最后依据概率计算公式求解即可． 【详解】解：“麻辣”、“香醋”、“微辣”分别用A、B、C表示，列表如下： 小明 小颖 由表格可知，一共有9种等可能性的结果数，其中小宁和小夏选择相同的结果数有3种， ∴小宁和小夏选择相同的概率为， 故答案为：． 13. 若a是方程的一个实数根，则的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的解，求代数式的值， 先将代入原方程，再整体代入求出代数式的值即可． 【详解】解：∵a是方程的一个实数根， ∴， 即， ∴． 故答案为：． 14. 张师傅去年开了一家商店，今年1月份开始盈利，2月份盈利元，4月份盈利达到元，设张师傅每月盈利的平均增长率为x，根据题意，请列出方程______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查由实际问题抽象出一元二次方程，解题关键是读懂题意，找到等量关系列出方程．利用4月份盈利金额=2月份盈利金额每月盈利的平均增长率，即可得出关于x的一元二次方程． 【详解】解：根据题意，得． 故答案为：． 15. 如图，在矩形中，对角线相交于点O，为的中线，以点O为圆心，长为半径画弧，若，，则图中阴影部分的面积为______． 【答案】## 【解析】 【分析】由矩形性质得到，，，，求出，得到，，证明是等边三角形，得到，即可求出答案． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴，，， ∴， ∵为的中线， ∴， ∴ ∵， ∴ ∴是等边三角形， ∴， ∴ ∴图中阴影部分的面积为 故答案为： 【点睛】此题考查了扇形面积、矩形的性质、等边三角形的判定和性质、勾股定理、三角形中位线定理、解直角三角形等知识，证明是等边三角形是解题的关键． 16. 若关于x的一元二次方程有解，且关于y的分式方程有非负整数解，则满足条件的所有整数a的和是______． 【答案】4 【解析】 【分析】本题主要考查了根据一元二次方程根的情况求参数，解分式方程等知识点，熟练掌握一元二次方程根的判别式及分式方程的解法是解题的关键． 由“关于x一元二次方程有解”可得，解得，求解可得，由可得，由“关于y的分式方程有非负整数解”且及可得或或或，于是即可得出满足条件的所有整数a的和． 【详解】解：关于x的一元二次方程有解， ， 解得：； ， 解得：， ， ， 关于y的分式方程有非负整数解，且，， 为非负整数，且，， ，，，， 满足条件的所有整数a的和是：， 故答案为：． 17. 如图，为四边形的外接圆，，若D是的中点，且，，则的半径为______， ______． 【答案】 ①. 5 ②. 【解析】 【分析】本题考查了垂径定理，勾股定理．连接并延长交于点，连接，设的半径为，在中，由勾股定理列式计算求得半径的长；在和中，利用垂径定理和勾股定理列式计算即可求解． 【详解】解：连接并延长交于点，连接， 设的半径为，则，， ∵，， ∴， ∵D是的中点， ∴， ∴， 在中，由勾股定理得， 解得，即的半径为； ∵， ∴， ∴， ∴， 在中，由勾股定理得①， 在中，由勾股定理得②， 得， 解得， ∴， ∴， 故答案为：；． 18. 对于一个四位自然数n，若百位数字与个位数字之和等于千位数字与十位数字和的2倍，那么称这个数n为“双喜数”．如：，因为，所以1347是一个“双喜数”，则最小的“双喜数”为______；若一个四位自然数是“双喜数”，使二次函数与x轴只有一个交点，且能被15整除，则满足条件的四位自然数m的最大值与最小值的差为______． 【答案】 ①. 1002 ②. 3636 【解析】 【分析】本题考查了新定义下的数的运算及二次函数性质，根据新定义及四位数当千位数字最小时的情况直接求出最小的“双喜数”；根据新定义及二次函数性质得出，再分别求出最大时为4，最小时为1时相应的四位数字，即可求出结论． 【详解】解：设一个四位自然数是“双喜数”，则满足： ， 为了使 n 最小，需要让 a尽可能小，四位数的 a最小为1， 设定 ，则 为了使 n 最小，还需要让 b 和 c 尽可能小； c最小为， ， 最小 b 是0，那么， 所以，最小的“双喜数”是 1002； 一个四位自然数是“双喜数”， ， 二次函数与x轴只有一个交点， 有两个相等的实数根， ， ， 能被15整除， 能被5整除， 都是个位数，且， 最大时为4，最小时为1， 当时，且能被5整除， 或8， 当时，根据，则不合题意舍去； 当时，根据，则， 则满足条件的四位自然数m的最大值为4848； 当时，且能被5整除，， ， 则满足条件的四位自然数m的最小值为1212； 则满足条件的四位自然数m的最大值与最小值的差为3636． 故答案为： 1002；3636． 三、解答题：（本大题8个小题，第19题8分，其余每题各10分，共78分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上． 19. 解下列方程： （1）； （2）． 【答案】（1），； （2），． 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的求解，熟练掌握一元二次方程的求解方法为解题关键． （1）利用公式法求解一元二次方程即可； （2）利用因式分解的方法求解一元二次方程即可． 【小问1详解】 解：， ，，， ， ∴方程有两个不相等的实数根， ∴， ∴，． 【小问2详解】 整理得： ∴，． 20. 在学习了四边形的相关知识后，奋进组进行了更深入的思考：在对角互补的四边形中，若对角线平分其中一个内角，则被对角线平分所得的两个小角所对的边存在一定的数量关系？通过讨论，奋进组的解决思路是利用构造三角形全等得出结论，根据他们的想法和思路，完成以下作图和填空： （1）如图，用尺规过点C作的垂线，交于点F．（不写作法，保留作图痕迹）； （2）已知：在四边形中，，平分，交的延长线于点E，，求证：． 证明：∵平分，，， ∴①，． ∵， ∴． 又∵， ∴②． ∴（③）． ∴． 通过以上探究，请你帮助奋进组完成下面命题：在对角互补的四边形中，若对角线平分其中一个内角，则被该对角线平分所得的两个相等小角④． 【答案】（1）作答如图；（2）①；②；③；④所对的两条边相等． 【解析】 【分析】本题主要考查了角平分线的性质，全等三角形的性质与判定，垂线的尺规作图，四边形内角和定理： （1）根据垂线的尺规作图方法作图即可； （2）先由角平分线的性质得到，再证明，进而证明，则可得到，据此可得结论． 【详解】（1）解：如图所示，即为所求； （2）证明：∵平分，，， ∴，． ∵， ∴． 又∵， ∴． ∴（）． ∴． 通过以上探究，请你帮助奋进组完成下面命题：在对角互补的四边形中，若对角线平分其中一个内角，则被该对角线平分所得的两个相等小角所对的两条边相等． 21. 为提升学生的文化认同感，弘扬中华民族传统文化，某校举办了“诗意校园·魅力诗词”古诗词知识竞赛．现从八、九年级的学生中各随机抽取20名学生的竞赛成绩进行整理、描述和分析（分数用x表示，总分为100分，共分成四组：A．；B．；C．；D．，其中分数不低于80为优秀）．下面给出部分信息： 八年级20名学生的竞赛成绩为： 67，69，72，72，75，77，78，79，85，85， 86，90，91，92，92，92，95，96，98，99． 九年级20名学生的竞赛成绩在C组中的数据是：83，83，88，88，88，89． 八、九年级所抽学生的竞赛成绩统计表 年级 八年级 九年级 平均数 84.5 84.5 中位数 85.5 a 众数 b 88 优秀率 根据以上信息，解答下列问题： （1）上述图表中， ______， ______， ______； （2）根据以上数据分析，你认为该校八、九年级中哪个年级学生的古诗词竞赛成绩较好？请说明理由（写出一条理由即可）； （3）赛后，学校准备从九年级学生中竞赛成绩位于前四名的甲乙丙丁4人中随机选取2人作古诗词积累的经验交流，请用列表法或画树状图的方法，求选中的2人恰好是丁和乙的概率． 【答案】（1）88，92，65 （2）九年级，理由见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）根据中位数和众数的定义求解即可； （2）根据中位数、众数的意义解答即可； （3）先画出树状图，列举出所有等可能的结果以及选中的2人恰好是丁和乙的结果数，然后根据概率公式计算概率即可． 【小问1详解】 解：由题意可得： 九年级学生竞赛成绩的中位数为：， 八年级学生竞赛成绩的众数为：， 九年级学生竞赛成绩的优秀率为：， 故答案为：，，； 【小问2详解】 解：九年级的竞赛成绩较好，理由如下： 因为八、九年级学生的古诗词竞赛成绩的平均数相等，而九年级古诗词竞赛成绩的中位数88大于八年级古诗词竞赛成绩中位数85.5，所以九年级学生成绩的高分人数多于八年级（答案不唯一，合理即可）； 【小问3详解】 解：画树状图如下： 由图可知，所有等可能的结果共有种，其中选中的2人恰好是丁和乙的结果有种， （选中丁乙）， 选中的2人恰好是丁和乙的概率为． 【点睛】本题主要考查了求中位数，求众数，运用中位数做决策，列表法或树状图法求概率，根据概率公式计算概率等知识点，熟练掌握相关概念及列表法或树状图法求概率是解题的关键． 22. 取暖器，又称为“冬日里的小太阳”，是南方居民冬天的取暖神器．某商场有A型、B型两款最受顾客喜爱的取暖器，已知每台A型取暖器的售价比每台B型取暖器售价少40元，顾客用1200元购入A型取暖器的数量与用1440元购入B型取暖器的数量相等． （1）每台A型取暖器与每台B型取暖器的售价分别为多少元？ （2）每台B型取暖器的进价为140元，据统计，商场每月卖出B型取暖器60台，新年前夕，为了尽快减少库存，商场决定对B型取暖器进行降价促销活动，调查发现，每台B型取暖器的售价每降低10元，那么平均每月可多售出25台，若商场要想每月销售B型取暖器的利润达到9600元，则每台B型取暖器应降价多少元？ 【答案】（1）A型号取暖器的售价为200元，则B型号取暖器的售价为240元 （2）每台B型取暖器应降价40元 【解析】 【分析】本题考查了分式方程的应用、一元二次方程的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）找准等量关系，正确列出一元二次方程． （1）设A型号取暖器的售价为x元，则B型号取暖器的售价为元，根据顾客用1200元购入A型取暖器的数量与用1440元购入B型取暖器的数量相等，列出分式方程，解分式方程即可； （2）设每台B型取暖器应降价m元，根据“每台B型取暖器的进价为140元，商场每月卖出B型取暖器60台．为了尽快减少库存，商场决定对B型取暖器进行降价促销活动，每台B型取暖器的售价每降低10元，那么平均每月可多售出25台，商场要想每月销售B型取暖器的利润达到9600元”，列出一元二次方程，解方程即可． 【小问1详解】 解：设A型号取暖器的售价为x元，则B型号取暖器的售价为元． 根据题意得：， 解得：， 检验：当时，． 所以，原分式方程的解为． 则B型号取暖器的售价为． 答：A型号取暖器的售价为200元，则B型号取暖器的售价为240元． 【小问2详解】 设每台B型取暖器应降价m元． 根据题意有： 整理得： 解得：， ∵为了尽快减少库存 ∴ 答：每台B型取暖器应降价40元． 23. 如图，在中，，，，点D为上的三等分点．动点P从点A出发，沿方向以每秒2个单位长度的速度运动，同时动点Q从点D出发，沿方向以每秒1个单位长度的速度运动，当其中任意一个动点到达终点时，两点都停止运动．设动点P运动的时间为x秒，的长度为，的面积为． （1）请直接写出与分别关于x的函数表达式，并注明自变量x的取值范围； （2）在给定的平面直角坐标系中，画出函数与的图象，并写出函数的一条性质； （3）结合函数图象，请直接写出时x的取值范围（近似值保留小数点后一位，误差不超过0.2）． 【答案】（1），； （2）图见解析，性质见解析； （3）． 【解析】 【分析】（1）根据题意得到，，则，，根据三角形的面积公式即可得到结论； （2）根据题意画出函数的图象，并根据函数的图象得到函数的性质； （3）根据函数的图象即可得到不等式的解集． 【小问1详解】 解：由题意得， ． 【小问2详解】 函数，的图象如答图． 根据函数图象，函数的性质为： 抛物线与x轴的交点为，顶点为．或当时，随着x的增大而增大．或当时，随着x的增大而减小．或当时，函数有最大值9． 以上4条性质写出一条即可． 【小问3详解】 由函数图象得，当时，． 【点睛】本题是三角形的综合题，考查了三角形的面积，一次函数的图象，二次函数的图象，二次函数的性质，二次函数与不等式的关系，正确作出函数的图象是解题的关键． 24. 如图，某公园有①，②，③三条步道．经勘测：B在A北偏东的方向上，米，C在B的东南方向，D在A的正南方向300米处，E在D的正东方向，．（参考数据：，） （1）求的长度（结果保留根号）； （2）小华和小南同时从A出发，小华选择步道①，小南选择步道③，若小华和小南的速度相同，则谁先到达C，请通过计算说明．（结果精确到0.1） 【答案】（1）步道的长度为米； （2）小南先到C处，见解析． 【解析】 【分析】本题考查了直角三角形的性质，勾股定理的实际应用，正确理解题意是解题的关键． （1）过点B作，垂足为F．在中，，．则，由勾股定理得，在中，，则，最后再由勾股定理得； （2）过点E作，垂足为G．步道①的长度为，，可得，在中，，由勾股定理得，则，故步道③的长度为．再比较即可． 【小问1详解】 解：如图，过点B作，垂足为F． 由B在A北偏东的方向上，可得． 在中，，． ∴， ∴． 在中，， ∴． ∴． 答：步道BC的长度为米． 【小问2详解】 解：如图，过点E作，垂足为G． 由（1）可知，， ∴步道①的长度为， 由（1）可知，，． ∴ ∵E在D的正东方向，D在A的正南方向，． ∴，． ∵ ∴ 在中，，． ∴，即， ∴， ∴． ∴步道③的长度为． ∵小华和小南的速度相同，且， ∴小南先到C处． 答：小南先到C处． 25. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过点，与x轴交于点和点，与轴交于点，连接． （1）求抛物线的表达式； （2）如图，点是射线下方抛物线上的一动点，过点作轴，垂足为点，交于点．点为抛物线对称轴上的一动点，连接，，当线段长度取得最大值时，求的最小值； （3）在（2）问取得最小值的条件下，连接，将抛物线沿射线方向平移，使得点在新抛物线的对称轴上，是新抛物线上的一个动点，当时，直接写出所有符合条件的点的坐标． 【答案】（1）； （2）； （3）或． 【解析】 【分析】本题考查了用待定系数法求二次函数的解析式及二次函数与几何图形的综合，学会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系是正确解决问题的关键． （1）用待定系数法求解析式即可； （2）点关于抛物线对称轴的对称点为点，连接交抛物线对称轴于点，此时最小，即可求解； （3）点关于原抛物线的对称点为点，，则直线过点，得到直线的表达式为，当点在轴上方时，直线和关于轴对称，直线的表达式为，分别联立直线，和抛物线的表达式，即可求解． 【小问1详解】 解：抛物线经过点，与x轴交于点， ， 解得：， 抛物线表达式为； 【小问2详解】 解：抛物线的表达式为， 设直线的表达式为， ， 解得， 直线的表达式为， 设点，则点， ， 当时，取得最大值， 此时，点， 点关于抛物线对称轴的对称点为点，连接交抛物线对称轴于点，此时最小， ； 【小问3详解】 解：抛物线沿射线方向平移，故抛物线向右平移个单位，向下平移个单位， 则新抛物线的表达式为， 其对称轴为直线， 新抛物线对称轴过点， ， ， 新抛物线的表达式为， 点关于原抛物线的对称点为点， ， 直线过点， 直线的表达式为， 当点在轴上方时，直线和关于轴对称， 直线的表达式为， 分别联立直线，和抛物线的表达式得： 或， 解得：或（不符合题意的值舍去）， 故点或． 26. 如图，为等腰直角三角形，． （1）如图1，点E为上一点，连接，在上找一点D，连接，过点E作交于点F，且，若，求的度数（用含的代数式表示）； （2）如图，延长至点D，连接，过点B作，交于点G，延长至点E，使得，连接，试用等式表示线段、、之间的数量关系，并说明理由； （3）如图，若，连接，过点A作，交延长线于点E．当取最大值时，请直接写出的值． 【答案】（1）； （2），理由见解析； （3）． 【解析】 【分析】（1）首先根据等腰直角三角形的性质得到，，然后求出，然后由垂直平分线的性质得到，利用三角形外角的性质得到，进而求解即可； （2）过点B作，延长交于点H，连接，由为等腰直角三角形，得到，然后得到是等腰直角三角形，得到，证明出，得到，然后证明出，得到，进而求解即可； （3）首先得到点A，E，B，C四点共圆，即点E在以中点O为圆心，以为半径的圆上，由图可得，当时，取得最大值，连接，，过点B作交于点F，证明出，得到，设，，则，求出，然后利用勾股定理得到，进而求解即可． 【小问1详解】 ∵为等腰直角三角形， ∴， ∴ ∵， ∴ ∴ ∴； 【小问2详解】 ，理由如下： 如图所示，过点B作，延长交于点H，连接 ∵， ∴ ∴ ∵为等腰直角三角形， ∴ ∵ ∴垂直平分 ∴是等腰直角三角形 ∴， ∴ 又∵ ∴ ∴ 又∵， ∴ 又∵ ∴ ∴ ∵， ∴ ∴； 【小问3详解】 ∵ ∴点A，E，B，C四点共圆，即点E在以中点O为圆心，以为半径的圆上， ∵ ∴由图可得，当时，取得最大值 如图所示，连接，，过点B作交于点F， ∴ ∴ ∵ ∴ ∴是等腰直角三角形 ∴ 又∵ ∴ ∴ 设，，则 ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ 整理得， ∴或（舍去） ∴ ∴． 【点睛】此题考查了圆内接四边形的性质，同弧所对的圆周角相等，勾股定理，等腰直角三角形的性质和判定，全等三角形的性质和判定等知识，解题的关键是掌握以上知识点． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$