精品解析：重庆市开州区2024-2025学年八年级上学期期末质量监测数学试题

开州区2024~2025学年度（上）八年级期末质量监测 数学试卷 （全卷共三个大题，满分150分，考试时间120分钟） 注意事项： 1．试题的答案书写在答题卡上，不得在试题卷上直接作答； 2．作答前认真阅读答题卡上的注意事项； 3．作图（包括作辅助线）请一律用黑色签字笔完成； 4．考试结束，由监考人员将答题卡收回． 一、选择题：（本大题10个小题，每小题4分，共40分）在每个小题的下面，都给出了代号为A、B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡上题号右侧正确答案所对应的方框涂黑． 1. 下列选项中，左边和右边的符号作为图形成轴对称的是（ ） A. B. C. D. 2. 若分式有意义，则的取值范围是( ) A. B. C. D. 且 3. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 下列从左到右的变形，是分解因式的为( ) A. x2－x=x(x－1) B. a(a－b)=a2－ab C. (a+3)(a－3)=a2－9 D. x2－2x+1=x(x－2)+1 5. 如图，在中，平分，，若，，则等于（ ） A. 6 B. 7 C. 8 D. 9 6. 尺规作图中蕴含着丰富的数学知识和思想方法．如图，为了得到，在用直尺和圆规作图的过程中，得到的依据是（ ） A. B. C. D. 7. 开州某快递公司为提高配送效率，引进甲乙两种型号的分拣机器人，已知甲型号每小时分拣数量比乙型号每小时分拣数量多50件，且甲型号分拣600件与乙型号分拣480件所用时间相同．若设甲型号每小时分拣数量为件，则可列方程：（ ） A. B. C. D. 8. 下列命题中正确的个数为（ ） ①到线段两端点距离相等的点在线段的垂直平分线上； ②等腰三角形的角平分线、高线、中线互相重合； ③各边相等的多边形是正多边形； ④全等三角形对应边上的中线相等． A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 9. 如图，四边形中，平分，，若，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 10. 学习乘法公式后，小明所在的学习小组为了加强对公式的理解，编了一个小游戏，游戏规则如下：第一次操作：把整式与的差记为，第二次操作：把整式与的差记为，第三次操作：，第四次操作：把整式与的差记为，……，以此类推，为正整数，第次操作：．下列说法： ①当，时，； ②不论，为何整数，的值一定是整数； ③若的值为奇数，则的值必然也是奇数； ④若为奇数，且，从开始的连续个整式的和记为，则，，三个整式的值中可能有2个奇数． 其中正确的个数是（ ） A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 二、填空题：（本大题8个小题，每小题4分，共32分）请将每小题的答案直接填在答题卡中对应的横线上． 11. 氧原子的直径约为米，数据用科学记数法表示为________． 12. 计算：__________． 13. 若五边形的内角中有一个角为，则其余四个内角之和为_______． 14. 已知等腰三角形的周长为10cm；若其中一边长为2cm，则腰长为_____cm． 15. 如图，，垂足为， ，，射线，垂足为，动点从点出发以的速度沿射线运动，点为射线上一动点，满足，当点运动________秒时，与点、、为顶点的三角形全等． 16. 已知，且，则的值为________． 17. 若数使关于的不等式组的解集为，使关于的分式方程的解为非负整数，则满足条件的所有整数的积为________． 18. 一个四位数，如果它的各数位上的数字均不为0且互不相等，满足，那么称这个四位数为“友谊数”，将“友谊数”的千位数字与十位数字对调后，再将这个四位数的百位数字去掉，这样得到的三位数记为，记，例如：四位数3921．∵，∴3921不是“友谊数”，又如四位数2739，∵，∴2739是“友谊数”，．若是“友谊数”，则________；若对于“友谊数”，在能被7整除的情况下，记，则当取得最小值时，“友谊数”的最大值是________． 三、解答题：（本大题8个小题，19小题8分，其余每小题10分，共78分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卷中对应的位置上． 19. 计算： （1） （2） 20. 小李喜欢钻研数学，学了多边形的相关知识后，她想探究：如果一个四边形（轴对称图形除外）的一组对角都为，那么另一组对角的角平分线有怎样的位置关系？请完成以下作图和填空： 如图，在四边形中，，平分． （1）尺规作图：作的角平分线，交于点．（不写作法，保留作图痕迹） （2）探究：与的位置关系．将下面的过程补充完整． 解：∵且， ∴①________， ∵平分，平分， ∴②________，， ∴， ∵在中，， ∴， ∴③________， ∴④________． 通过推理论证，小红得到命题：如果一个四边形（轴对称图形除外）的一组对角都为，那么⑤________． 21. （1）解方程： （2）化简： 22. 如图所示，在平面直角坐标系中，其中点、、． （1）求的面积； （2）画出关于轴对称的，并写出点，，的坐标； （3）在轴上有一点，使得的值最小，请直接写出点的坐标：________ 23. 在中，，将沿折叠得到，连接、、，平分，过点作于点． （1）求证：； （2）若，为的中点，求的度数． 24. 11月，正是秋高气爽，沿湖骑行的好时节．甲、乙两人相约从开州大桥出发沿相同路线去30千米外的目的地，已知正常情况下甲的骑行速度是乙的1.5倍．（假设骑行过程为匀速运动） （1）若乙比甲先骑行3千米，甲才开始出发，半小时后甲追上乙，则两人的速度分别为多少千米/小时？ （2）若甲在出发后第一小时内按正常速度骑行，由于身体不适，一小时后将速度降低到与乙一致，结果比原计划延迟20分钟到达目的地，求甲前一小时的骑行速度． 25. 如图1，在平面直角坐标系中，、、三点在坐标轴上，，，，且，满足． （1）________，________； （2）如图2，为线段上一点，为外角平分线上一点，连接、，且，求证：； （3）如图3，点从点出发沿轴负半轴向左运动，连接，以为边在第二象限内作等边，连接并延长交轴于点，在运动过程中，的值是否发生变化？若不变，求其值；若变化，求出其变化范围． 26. 在中，，，是直线上一点，连接． （1）如图1，在延长线上，，点到的距离为，求的面积； （2）在线段上，且， ①如图2，为上一点，，过点作交于点，交的延长线于点，求证：； ②如图3，为直线上一动点，连接，将绕着点旋转至，连接、，当最短时，请直接写出的度数． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 开州区2024~2025学年度（上）八年级期末质量监测 数学试卷 （全卷共三个大题，满分150分，考试时间120分钟） 注意事项： 1．试题的答案书写在答题卡上，不得在试题卷上直接作答； 2．作答前认真阅读答题卡上的注意事项； 3．作图（包括作辅助线）请一律用黑色签字笔完成； 4．考试结束，由监考人员将答题卡收回． 一、选择题：（本大题10个小题，每小题4分，共40分）在每个小题的下面，都给出了代号为A、B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡上题号右侧正确答案所对应的方框涂黑． 1. 下列选项中，左边和右边的符号作为图形成轴对称的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】轴对称图形是指在平面内沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形，据此定义可直接得出．题目主要考查轴对称图形的定义，深刻理解此定义是解题关键． 【详解】解：根据轴对称图形的定义可得出：左边和右边的符号作为图形成轴对称的是． 故选：C． 2. 若分式有意义，则的取值范围是( ) A. B. C. D. 且 【答案】C 【解析】 【分析】根据分式有意义的条件，由，解答即可． 【详解】解：根据题意得：， ∴． 故选：C． 【点睛】本题考查了分式有意义的条件，解题的关键是掌握分母不为0时分式有意义． 3. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了同底数幂的乘除法，幂的乘方，积的乘方，熟练掌握运算法则是解题的关键． 根据同底数幂的乘除法，幂的乘方和积的乘方逐项计算判断即可． 【详解】解：A、，故该选项不符合题意； B、，故该选项不符合题意； C、，故该选项不符合题意； D、，故该选项符合题意； 故选：D ． 4. 下列从左到右的变形，是分解因式的为( ) A. x2－x=x(x－1) B. a(a－b)=a2－ab C. (a+3)(a－3)=a2－9 D. x2－2x+1=x(x－2)+1 【答案】A 【解析】 【详解】解：A. x2－x=x(x－1)，是因式分解，符合题意； B. a(a－b)=a2－ab，是单项式乘多项式，不符合题意； C. (a+3)(a－3)=a2－9，是乘法公式，不符合题意 D. x2－2x+1=x(x－2)+1，没有变成整式的积，不符合题意； 故选：A． 5. 如图，在中，平分，，若，，则等于（ ） A. 6 B. 7 C. 8 D. 9 【答案】B 【解析】 【分析】根据平分，得到，结合得到，得到继而得到，结合计算，选择即可． 本题考查了平行线的性质，角的平分线，等腰三角形的判定和性质，熟练掌握平行线的性质，等腰三角形的判定是解题的关键． 【详解】解：∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∴， 故选：B． 6. 尺规作图中蕴含着丰富的数学知识和思想方法．如图，为了得到，在用直尺和圆规作图的过程中，得到的依据是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了尺规作一个角等于已知角，全等三角形的判定， 根据尺规作图的过程可知，，，再根据全等三角形的判定定理得出答案． 【详解】解：由作图过程可知，，， ∴ ∴的依据是． 故选：B． 7. 开州某快递公司为提高配送效率，引进甲乙两种型号的分拣机器人，已知甲型号每小时分拣数量比乙型号每小时分拣数量多50件，且甲型号分拣600件与乙型号分拣480件所用时间相同．若设甲型号每小时分拣数量为件，则可列方程：（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了列分式方程的实际应用，找到等量关系并列出分式方程是解题的关键；由题意知，乙型号每小时分拣数量为件；根据等量关系：甲型号分拣600件的时间等于乙型号分拣480件的时间，列出分式方程即可． 【详解】解：由题意知，乙型号每小时分拣数量为件， 则得：； 故选：D． 8. 下列命题中正确的个数为（ ） ①到线段两端点距离相等的点在线段的垂直平分线上； ②等腰三角形的角平分线、高线、中线互相重合； ③各边相等的多边形是正多边形； ④全等三角形对应边上的中线相等． A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】根据线段垂直平分线的判定定理，等腰三角形的性质，正多边形的定义，全等三角形的性质，解答即可． 【详解】解：①到线段两端点距离相等的点在线段的垂直平分线上，正确； ②等腰三角形顶角的角平分线、底边上的高线、底边上的中线互相重合，原说法错误； ③各角相等，各边相等的多边形是正多边形，原说法错误； ④全等三角形对应边上的中线相等，正确． 故选：B． 【点睛】本题考查了线段垂直平分线的判定定理，等腰三角形的性质，正多边形的定义，全等三角形的性质，熟练掌握性质和定义是解题的关键． 9. 如图，四边形中，平分，，若，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】过点A作于点G，作，交的延长线于点F，作，交的延长线于点H，根据角的平分线的性质定理和判定定理，三角形外角性质，平角的定义，解答即可． 本题考查了角的平分线的性质定理和判定定理，三角形外角性质，平角的定义，熟练掌握角的平分线的判定和性质是解题的关键． 【详解】解：过点A作于点G，作，交的延长线于点F，作，交的延长线于点H， ∵平分， ∴； ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：D． 10. 学习乘法公式后，小明所在的学习小组为了加强对公式的理解，编了一个小游戏，游戏规则如下：第一次操作：把整式与的差记为，第二次操作：把整式与的差记为，第三次操作：，第四次操作：把整式与的差记为，……，以此类推，为正整数，第次操作：．下列说法： ①当，时，； ②不论，为何整数，的值一定是整数； ③若的值为奇数，则的值必然也是奇数； ④若为奇数，且，从开始的连续个整式的和记为，则，，三个整式的值中可能有2个奇数． 其中正确的个数是（ ） A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 【答案】A 【解析】 【分析】先计算出六个等式的值，找到规律，后按照规律，变形计算判断即可． 【详解】解：把整式与的差记为，则， 把整式与的差记为，则， ， 把整式与的差记为， 则， ， ， ① ， 当，时， ， 故该结论正确； ②由，， 得到， ， 故不论，为何整数，一定是整数， 故的值一定是整数， 故本结论正确； ③由2023,2024都不是3的倍数，是3的倍数， 由得， ∴， ∴ ， ∵的值为奇数， ∴是奇数， ∵是偶数， ∴一定是奇数， ∴一定是奇数， ∴一定是奇数， ∴一定是奇数， 故的值必然也是奇数， 故此结论是正确的； ④根据题意，得，， ， ∴，， ∴， ∵可能是3的倍数， ∴一定是偶数， ∵ ∵为奇数，是偶数，是偶数， ∴是偶数， ∴一定是偶数， ∴，，三个整式的值中可能有2个奇数． 故该结论是正确的． 故选：A． 【点睛】本题考查了完全平方公式的应用，平方差公式的应用，规律的探索，奇偶性的应用，熟练掌握规律，公式的应用是解题的关键． 二、填空题：（本大题8个小题，每小题4分，共32分）请将每小题的答案直接填在答题卡中对应的横线上． 11. 氧原子的直径约为米，数据用科学记数法表示为________． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了科学记数法，关键是理解运用科学记数法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，据此求解即可． 【详解】数据0.0000000016用科学记数法表示为． 故答案为：． 12. 计算：__________． 【答案】4 【解析】 【分析】本题考查了积的乘方的逆用，通过将转化为，并利用积的乘方法则进行化简计算即可． 【详解】解：， 故答案为：4． 13. 若五边形的内角中有一个角为，则其余四个内角之和为_______． 【答案】##度 【解析】 【分析】本题主要考查了多边形内角和定理，先根据多边形内角和定理求出五边形内角和，再减去90度的内角即可得到答案． 【详解】解：∵五边形的内角和为，其中有一个角为， ∴其余四个内角之和为， 故答案为：． 14. 已知等腰三角形的周长为10cm；若其中一边长为2cm，则腰长为_____cm． 【答案】4 【解析】 【分析】根据等腰三角形的性质分为两种情况解答：当边长2cm为腰或者2cm底边时，再根据三角形的周长进行计算． 【详解】分情况考虑：当2cm是腰时，则底边长是10﹣2×2＝6cm，此时2cm，2cm，6cm不能组成三角形，应舍去； 当2cm是底边时，腰长是（10﹣2）×＝4cm，2cm，4cm，4cm能够组成三角形．此时腰长是4cm． 故答案为4． 【点睛】本题考查等腰三角形的性质，解题的关键是分情况讨论. 15. 如图，，垂足为， ，，射线，垂足为，动点从点出发以的速度沿射线运动，点为射线上一动点，满足，当点运动________秒时，与点、、为顶点的三角形全等． 【答案】2或6##6或2 【解析】 【分析】本题考查的是全等三角形的判定与性质，分两种情况讨论：当时，可得，当时，可得，再进一步求解即可． 【详解】解：∵ ，， ∴， ∵， 当时， ∴， 设运动时间为， ∴， 解得：； 当时， ∴， ∴， 解得： 故答案为：2或6． 16. 已知，且，则的值为________． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了因式分解的应用，完全平方公式，解题的关键是掌握以上知识． 首先由得到，然后两边同时平方整理得到，然后代入求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 17. 若数使关于的不等式组的解集为，使关于的分式方程的解为非负整数，则满足条件的所有整数的积为________． 【答案】12 【解析】 【分析】本题考查分式方程的整数解，解一元一次不等式组，掌握分式方程的解法、一元一次不等式组的解法是解题的关键．根据不等式组的解集确定a的取值范围，再根据分式方程的解为非负整数，得出a的所有可能的值，再进行计算即可． 【详解】解：解不等式得：， 解不等式得：， ∵整数a使关于x的一元一次不等式组的解集是， ∴， 解分式方程得：，且， 即 ∵分式方程的解是非负整数，为整数， ∴是非负整数， ∴，6 ∴符合条件的所有整数a的值的积为． 故答案为：12． 18. 一个四位数，如果它的各数位上的数字均不为0且互不相等，满足，那么称这个四位数为“友谊数”，将“友谊数”的千位数字与十位数字对调后，再将这个四位数的百位数字去掉，这样得到的三位数记为，记，例如：四位数3921．∵，∴3921不是“友谊数”，又如四位数2739，∵，∴2739是“友谊数”，．若是“友谊数”，则________；若对于“友谊数”，在能被7整除的情况下，记，则当取得最小值时，“友谊数”的最大值是________． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】本题考查了因式分解的应用，整式的加减，根据“友谊数”的定义正确列式计算是解题的关键． 根据“友谊数”的定义计算即可； 根据“友谊数”的定义得到，继而得到，由题意得到，再求出，能能被整除，可得到“友谊数”的最大值是． 【详解】解：①是“友谊数”， ， ， ； ②“友谊数”， 设， ， ， ， 当取得最小值时，，， ， ， ， “友谊数”的最大值是， 故答案为：①；②． 三、解答题：（本大题8个小题，19小题8分，其余每小题10分，共78分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卷中对应的位置上． 19. 计算： （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】此题考查了负整数指数幂，零指数幂和有理数的乘方运算，平方差公式和多项式除以单项式，解题的关键是掌握以上运算法则． （1）首先计算负整数指数幂，零指数幂和有理数的乘方运算，然后计算加减即可； （2）首先计算平方差公式和多项式除以单项式，然后计算加减即可． 【小问1详解】 原式 ； 【小问2详解】 原式 ． 20. 小李喜欢钻研数学，学了多边形的相关知识后，她想探究：如果一个四边形（轴对称图形除外）的一组对角都为，那么另一组对角的角平分线有怎样的位置关系？请完成以下作图和填空： 如图，在四边形中，，平分． （1）尺规作图：作的角平分线，交于点．（不写作法，保留作图痕迹） （2）探究：与的位置关系．将下面的过程补充完整． 解：∵且， ∴①________， ∵平分，平分， ∴②________，， ∴， ∵在中，， ∴， ∴③________， ∴④________． 通过推理论证，小红得到命题：如果一个四边形（轴对称图形除外）的一组对角都为，那么⑤________． 【答案】（1）见解析： （2）①；②；③；④；⑤另一组对角的角平分线互相平行 【解析】 【分析】本题考查了尺规作图和四边形，熟练掌握作角平分线，对角为直角的非对称四边形性质，熟练掌握是解题的关键 （1）以点B为圆心，以适当长为半径画弧交于G，H，分别以G，H为圆心，以大于长为半径画弧，两弧交于点I，作射线交于点F，即为所求作； （2）根据角平分线定义得，，根据，得，根据，得，得．得到命题：如果一个四边形（轴对称图形除外）的一组对角都为，那么另一组对角的角平分线互相平行． 【小问1详解】 如图，即为所求作； 【小问2详解】 解：∵且， ∴， ∵平分，平分， ∴，， ∴， ∵在中，， ∴， ∴， ∴． 通过推理论证，小红得到命题：如果一个四边形（轴对称图形除外）的一组对角都为，那么另一组对角的角平分线互相平行． 故答案为：①；②；③；④；⑤另一组对角的角平分线互相平行． 21. （1）解方程： （2）化简： 【答案】（1）原分式方程无解；（2） 【解析】 【分析】本题考查解分式方程，分式的混合运算；正确计算是解题的关键． （1）通过去分母、去括号、移项、合并同类项等，求得方程的根，经检验，方程无解． （2）先将分式通分，化简后再将除法转化为乘法，约分后即得解． 【详解】（1）解：方程两边同时乘得：， 解得：， 检验：当时，，因此不是原分式方程的解， 所以，原分式方程无解． （2）解：原式 ． 22. 如图所示，在平面直角坐标系中，其中点、、． （1）求的面积； （2）画出关于轴对称的，并写出点，，的坐标； （3）在轴上有一点，使得的值最小，请直接写出点的坐标：________ 【答案】（1） （2），，，图见解析 （3） 【解析】 【分析】本题考查了坐标与图形变化中旋转和轴对称，三角形的面积此题采用割补法，将三角形的面积转化为其他图形面积的和或差；关于轴对称的点，横坐标不变，纵坐标互为相反数，在直角坐标系中得到各点旋转或对称点的坐标，连接这些点，可得到所求作图形，此题中掌握图形旋转和轴对称变换的特点是解决问题的关键． （1）的面积为所在长方形的面积减去其余三个三角形的面积． （2）直接利用轴对称的性质得出对应点，关于轴的对称得到，关于轴的对称得到，关于轴的对称得到，连接三个点，画出图形即可得到； （3）作点关于轴的对称点，连接交轴于点，根据对称，可知，根据两点之间直线最短，得到最小值为，根据坐标系得到的坐标，完成求解． 【小问1详解】 解： 答：的面积为． 【小问2详解】 解：如图，即为所求． 点，，的坐标为，，． 【小问3详解】 解：如图所示，作点关于轴的对称点，连接交轴于点，即为所求； 根据对称，可知，根据两点之间直线最短，得到最小值为， 由坐标系可知点的坐标为． 23. 在中，，将沿折叠得到，连接、、，平分，过点作于点． （1）求证：； （2）若，为的中点，求的度数． 【答案】（1）见解析 （2）的度数为 【解析】 【分析】本题主要考查了翻折变换(折叠问题)，全等三角形的判定与性质，角平分线的性质，三角形中位线定理，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解答本题的关键； （1）首先推导出，进而利用证得，进而得证； 首先推导出，进而推导出，，由折 叠的性质得出，进而得到． 【小问1详解】 证明：∵平分， ∴， 在和中 ， ∴； 【小问2详解】 ∵，， ∴， ∵，为的中点， ∴， 由（1）知， ∴， ∴， ∴， ∵是沿折叠得到， ∴， ∴； 24. 11月，正是秋高气爽，沿湖骑行的好时节．甲、乙两人相约从开州大桥出发沿相同路线去30千米外的目的地，已知正常情况下甲的骑行速度是乙的1.5倍．（假设骑行过程为匀速运动） （1）若乙比甲先骑行3千米，甲才开始出发，半小时后甲追上乙，则两人的速度分别为多少千米/小时？ （2）若甲在出发后第一小时内按正常速度骑行，由于身体不适，一小时后将速度降低到与乙一致，结果比原计划延迟20分钟到达目的地，求甲前一小时的骑行速度． 【答案】（1）乙的速度是12千米/小时，则甲的速度是18千米/小时 （2）甲前一小时的骑行速度是18千米/小时 【解析】 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，分式方程的应用，解题的关键是理解题意，找到等量关系，列出方程． （1）设乙的步行速度千米/小时，则甲的速度是千米/小时，根据半小时后两班相遇列出方程，解之即可； （2）设甲前一小时的骑行速度是千米/小时，则乙的速度是千米/小时，根据比原计划延迟20分钟到达目的地，列出方分式程，解之即可． 【小问1详解】 解：设乙的速度是千米/小时，则甲的速度是千米/小时， 由题意得： 解得：， 则千米/小时， 所以，乙的速度是12千米/小时，则甲的速度是18千米/小时． 【小问2详解】 解：设甲前一小时的骑行速度是千米/小时，则乙的速度是千米/小时，由题意得： 解得：， 经检验：是原方程的解且符合题意 答：甲前一小时的骑行速度是18千米/小时． 25. 如图1，在平面直角坐标系中，、、三点在坐标轴上，，，，且，满足． （1）________，________； （2）如图2，为线段上一点，为外角平分线上一点，连接、，且，求证：； （3）如图3，点从点出发沿轴负半轴向左运动，连接，以为边在第二象限内作等边，连接并延长交轴于点，在运动过程中，的值是否发生变化？若不变，求其值；若变化，求出其变化范围． 【答案】（1），2 （2）见解析 （3）的值不变，定值为8 【解析】 【分析】（1）根据得，继而得到，解答即可； （2）先证明是等边三角形，过点D作交于点F，再证明是等边三角形，接下来证明，等量代换证明即可． （3）先，利用直角三角形的性质，全等三角形的性质，等量代换，解答即可． 【小问1详解】 解：∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：，2． 【小问2详解】 证明：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴， 由E为外角平分线上一点， ∴， ∴； 过点D作交于点F， ∴， ∴是等边三角形， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． ． 【小问3详解】 证明：的值不变，定值为8．理由如下： ∵是等边三角形，是等边三角形， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴，， ∴； ∴； ∴； ∴； ∴ ． ． 【点睛】本题考查了等边三角形的判定和性质，三角形全等的判定和性质，直角三角形的性质，等边三角形的判定和性质，熟练掌握性质是解题的关键． 26. 在中，，，是直线上一点，连接． （1）如图1，在延长线上，，点到的距离为，求的面积； （2）在线段上，且， ①如图2，为上一点，，过点作交于点，交的延长线于点，求证：； ②如图3，为直线上一动点，连接，将绕着点旋转至，连接、，当最短时，请直接写出的度数． 【答案】（1） （2）①证明：作于，交于，连接， ， 是的垂直平分线，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ； ② 【解析】 【分析】（1）作于点，于点，证明，得，，即可得； （2）①作于，交于，连接，由，得到是的垂直平分线，，证明，得，进而可得，证明，得，，，进而可得； ②将绕点逆时针旋转得，将绕点逆时针旋转得，作直线交于，证明，进而可得，点在与垂直的直线上，当绕着点顺时针旋转至时，点在与垂直的直线上，由图可得，当绕着点逆时针旋转至时比顺时针旋转时的小，当与重合，连接，将绕点逆时针旋转，得到在直线上，作，交的延长线于，作于，此时，即可求解． 【小问1详解】 解：作于点，于点， ， ， ， ，， ，， ， ，， ∴， ， ， ， ； 【小问2详解】 ①略 ②解：将绕点逆时针旋转得，将绕点逆时针旋转得， 作直线交于， ， ， ，， ， ， ，，， ， 点在与垂直的直线上， 当绕着点顺时针旋转至时，同理可证明点在与垂直的直线上，如图所示： 由图可得，当绕着点逆时针旋转至时比顺时针旋转时的小， 当与重合，连接，将绕点逆时针旋转，得到在直线上， 作，交的延长线于，作于， ， ， ， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， 此时，连接， ， ． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质、全等三角形的性质和判定、旋转的性质等，熟知相关性质定理，正确作出辅助线是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $