精品解析：山东省淄博市2024-2025学年高二上学期期末教学质量检测数学试题

2024—2025学年度第一学期高二教学质量检测 数学 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名，准考证号等填写在答题卡上. 2回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一.单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 从标有1，2，3，4，5的五张卡片中无放回随机抽取两张，则抽到的两张卡片数字之和是6的概率为（ ） A B. C. D. 2. 已知直线 ，则下列说法正确的是（ ） A. 当 时，直线 的倾斜角为 B. 当 时， C. 若 ，则 D. 直线 纵截距为 a 3. 设 ，则 （ ） A. 3 B. C. D. 4. 若点 为直线 上任意一点，过点 总能作圆 的切线，则 的最小值为（ ） A. B. C. -2 D. 5. 我国古代数学名著《九章算术》中， 将底面为矩形且一侧棱垂直于底面四棱锥称为阳马. 如图，四棱锥 为阳马， 平面 ，点 是 边上一点，且 ，若 ，则 （ ） A. 1 B. C. 2 D. 6. 如图，在长方体 中， ， ，点 是棱 的中点，则点 到平面 的距离为（ ） A. B. C. D. 7. 已知、分别是椭圆 的左右顶点，是椭圆上异于、的任意一点，直线与斜率之积 ，则此椭圆离心率的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 正方体 的棱长为 3，点 在棱 上，且 ，点 是正方体下底面 内.(含边界)的动点，且动点 到直线 的距离与点 到点的距离的平方差为9，则 的最大值是（ ） A. 2 B. C. D. 二. 多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分. 在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求. 全部选对的得6分，部分选对的得部分分，选对但选不全对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知随机事件 ，，，则下列说法正确的是（ ） A. 若事件与事件相互独立，则 B. 是事件与事件互为对立事件的充要条件 C. 若事件与事件互斥， ，则 D. 若事件与事件相互独立， 则 10. 已知点 ，点 满足 ，设点轨迹为曲线 ，则下列说法正确的是（ ） A. 的方程为 B. 在 上存在点 ，使得 C. 在 上不存在点 ，使得 D. 上的点到直线 的最小距离 11. 已知曲线，则下列说法正确的是（ ） A. 当时，曲线关于对称 B. 当时，的最大值为2 C. 当时，若点是曲线上任意一点，则 D. 当时，曲线上的点到原点距离的最小值为 三. 填空题：本题共3小题，每小题5分. 共15分. 12. 在正方体 中，点 分别在棱 上，且 ， ，则异面直线 与 所成角的正弦值为_____. 13. 已知直线 与曲线 恰有一个公共点，则实数 的取值范围为_____. 14. 已知点、为椭圆 的左、右焦点，点为该椭圆上一点， 且满足 ，若的外接圆面积是其内切圆面积的倍，则该椭圆的离心率为_____. 四．解答题：本题共5小题，共77分. 解答应写出文字说明. 证明过程或演算步骤. 15. 在某次 1500 米体能测试中，甲，乙，丙三人各自通过测试的概率分别为 ， 甲， 乙， 丙三人是否通过测试互不影响， 求: （1）只有 2 人通过体能测试的概率； （2）至少有 1 人通过体能测试的概率. 16. 已知动点到直线距离与到点距离相等，设动点的轨迹为曲线. （1）求曲线的方程； （2）过点的直线交于两点，且(为坐标原点)的面积为 32， 求的方程. 17. 已知圆 与圆 ， 直线 （1）判断 与圆 的位置关系并证明； （2）过动点 分别作两圆的切线 ( 分别为切点)，若 ， 求 的最小值. 18. 如图，四棱锥，平面平面， ，，，，，， . （1）证明: （2）求直线与平面所成角的正弦值； （3）若点是平面内的动点，且平面，求平面与平面夹角的余弦值. 19. 已知双曲线 的标准方程为 的左右顶点分别为 ，右焦点 ，离心率 . （1）求双曲线 的方程及其渐近线方程； （2）过点的直线 交双曲线 于 两点(点在第一象限)，记直线 斜率为 ，直线斜率为，求的值; （3）过圆 上的点 作圆 的切线 ，交双曲线 于 ， 两点，点 为弦 的中点，证明: 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024—2025学年度第一学期高二教学质量检测 数学 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名，准考证号等填写在答题卡上. 2回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一.单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 从标有1，2，3，4，5的五张卡片中无放回随机抽取两张，则抽到的两张卡片数字之和是6的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用列举法列出所有可能结果，再由古典概型的概率公式计算可得. 【详解】从五张卡片中无放回随机抽取两张则可能结果有，，，， ，，，，，共个； 其中满足两张卡片数字之和是6的有、共个， 所以抽到的两张卡片数字之和是6的概率. 故选：A 2. 已知直线 ，则下列说法正确的是（ ） A. 当 时，直线 的倾斜角为 B. 当 时， C. 若 ，则 D. 直线 的纵截距为 a 【答案】D 【解析】 【分析】由直线的方程得斜率，从而求得倾斜角可判断A；根据直线垂直或平行的条件求得参数值可判断B和C；求出的纵截距后可判断D． 【详解】对于A，当时，直线，斜率，则倾斜角为，故A错误； 对于B，等价于，解得，故B错误； 对于C，若，则且，故，故C错误； 对于D，，当时，直线 的纵截距为，故D正确. 故选： D. 3. 设 ，则 （ ） A. 3 B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由向量的关系列等式求解x，y的值，再运用向量的数乘及加法的坐标表示公式，结合向量的模计算得出结果. 【详解】因为，∴，解得 ∴， ∴ 故选：C． 4. 若点 为直线 上任意一点，过点 总能作圆 的切线，则 的最小值为（ ） A. B. C. -2 D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据直线与圆相离或相切可求的最小值 . 【详解】因为过总能作圆的切线，故点在圆外或圆上， 也即直线与圆相离或相切， 则，即，解得， 故的最小值为. 故选：B. 5. 我国古代数学名著《九章算术》中， 将底面为矩形且一侧棱垂直于底面的四棱锥称为阳马. 如图，四棱锥 为阳马， 平面 ，点 是 边上一点，且 ，若 ，则 （ ） A. 1 B. C. 2 D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据空间向量的线性运算可求，从而可求它们的和. 【详解】因为，故， 而 ， 而不共面，故，故， 故选：C 6. 如图，在长方体 中， ， ，点 是棱 的中点，则点 到平面 的距离为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】以D为坐标原点， 分别为x轴，y轴、z轴正方向建立空间直角坐标系，用向量法求解. 【详解】如图， 以D为坐标原点， 分别为x轴，y轴、z轴正方向建立空间直角坐标系， 则． 从而. 设平面的法向量为， 则，即，得， 令，则， 所以点E到平面的距离为． 故选：A. 7. 已知、分别是椭圆 的左右顶点，是椭圆上异于、的任意一点，直线与斜率之积 ，则此椭圆离心率的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】设点，可得出，利用斜率公式以及已知条件可得出的取值范围，再由可求得该椭圆离心率的取值范围. 【详解】设点，则，且，可得， 易知、， 所以， 所以，可得， 故 故选：D. 8. 正方体 的棱长为 3，点 在棱 上，且 ，点 是正方体下底面 内.(含边界)的动点，且动点 到直线 的距离与点 到点的距离的平方差为9，则 的最大值是（ ） A. 2 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】作，，即为到直线的距离，从而可得，即点的轨迹是以为准线，点为焦点的抛物线，然后建立平面直角坐标系求解. 【详解】 如图，作于，因平面，，则平面， 过点作于，因为，故， 而平面，故平面， 所以长即为到直线的距离. 因为，，所以， 所以点的轨迹是以为准线，点为焦点的抛物线， 如图建立直角坐标系，则，则点的轨迹方程是， 设，所以， 所以当，取得最大值. 故选：B 【点睛】思路点睛：空间中点的轨迹，往往利用空间中的点线面的关系转化为平面中动点的轨迹的问题，后者往往需要利用曲线的定义来处理. 二. 多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分. 在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求. 全部选对的得6分，部分选对的得部分分，选对但选不全对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知随机事件 ，，，则下列说法正确的是（ ） A. 若事件与事件相互独立，则 B. 是事件与事件互为对立事件的充要条件 C. 若事件与事件互斥， ，则 D. 若事件与事件相互独立， 则 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据相互独立事件的定义判断A，举反例判断B，根据互斥事件的定义可得，再由对立事件的概率公式判断C，根据和事件的概率公式判断D. 【详解】对于A：若事件与事件相互独立，则，故A正确； 对于B：由推不出事件与事件互为对立事件， 如抛掷一枚骰子，记，，则， 所以，显然事件与事件不对立，故B错误； 对于C：若事件与事件互斥， ， 则，， 所以，故C正确； 对于D：若事件与事件相互独立， 则，故D正确. 故选：ACD 10. 已知点 ，点 满足 ，设点的轨迹为曲线 ，则下列说法正确的是（ ） A. 的方程为 B. 在 上存在点 ，使得 C. 在 上不存在点 ，使得 D. 上的点到直线 的最小距离 【答案】ABC 【解析】 【分析】设，根据求出曲线的方程可判断A；利用两圆的位置关系判断B；根据方程的判别式符号判断C；根据点到直线的距离公式，结合圆的几何性质可判断D. 【详解】已知 ，点 满足 ， 设，则，整理得，即，故A正确； 的圆心为半径为4，因为，所以D在以原点为圆心以3为半径的圆O上， 因为，所以圆O与圆C相交，所以在曲线C上存在点D，使得，故B正确； 设，由得， 即①，假设 上存在点符合题意， 则②， ①-②可得，代入①可得，方程无解，假设不成立，即在C上不存在点M，使得，故C正确； C的圆心到直线的距离，所以C上的点到直线的最小距离为，故D错误. 故选：ABC 【点睛】方法点睛，求轨迹方程的常见方法有:①直接法，设出动点的坐标，根据题意列出关于的等式即可；②定义法，根据题意动点符合已知曲线的定义，直接求出方程；③逆代法，将代入. 11. 已知曲线，则下列说法正确的是（ ） A. 当时，曲线关于对称 B. 当时，的最大值为2 C. 当时，若点是曲线上任意一点，则 D. 当时，曲线上的点到原点距离的最小值为 【答案】BCD 【解析】 【分析】点关于对称的点为，代入方程即可判断A；令，，利用辅助角公式及正弦函数的性质判断B；由求出的取值范围，即可判断C；利用基本不等式求出的最小值，即可判断D. 【详解】对于A：当时，曲线， 设点在曲线上，则点关于对称的点为， 所以即， 故点不在曲线上，所以曲线不关于对称，故A错误； 对于B：当时，曲线，即， 令，， 则， 所以当，即时取最大值， 所以的最大值为，故B正确； 对于C：当时，曲线，则， 所以，解得或，所以，故C正确； 对于D：当时，曲线， 则， 当且仅当，即，时取等号， 所以， 所以曲线上的点到原点距离的最小值为，故D正确. 故选：BCD 【点睛】关键点点睛：本题B选项关键是三角换元，D选项关键是利用基本不等式求出的最小值. 三. 填空题：本题共3小题，每小题5分. 共15分. 12. 在正方体 中，点 分别在棱 上，且 ， ，则异面直线 与 所成角的正弦值为_____. 【答案】## 【解析】 【分析】以D为原点，为x轴，为y轴，为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出异面直线与所成角的余弦值. 【详解】设正方体中棱长为3， 以D为原点，为x轴，为y轴，为z轴，建立如图所示空间直角坐标系， 则，，，，，， 设异面直线与所成角为，则. 即异面直线与所成角的余弦值为，正弦值为. 故答案为：. 13. 已知直线 与曲线 恰有一个公共点，则实数 取值范围为_____. 【答案】 【解析】 【分析】利用直线与半圆有且只有一个交点，数形结合，即可求出实数的取值范围. 【详解】曲线即为半圆：， 而直线过定点，如图： 当直线过时，；过时，， 当直线与半圆相切时，，故或（舍）， 所以，当直线与半圆有且只有一个交点时，或， 故实数 的取值范围为， 故答案： 14. 已知点、为椭圆 的左、右焦点，点为该椭圆上一点， 且满足 ，若的外接圆面积是其内切圆面积的倍，则该椭圆的离心率为_____. 【答案】 【解析】 【分析】在中利用余弦定理求得，从而可得的面积，由等面积法可得内切圆半径，和正弦定理可得外接圆半径，结合已知可解. 【详解】根据椭圆的定义，余弦定理，面积相等即可求解. 如图，由椭圆的定义可知，且，又， 利用余弦定理可知： ， 化简可得， 所以的面积为， 设的外接圆半径为，内切圆半径为， 由正弦定理可得，可得， 易知的周长为， 利用等面积法可知，解得， 又外接圆面积是其内切圆面积的倍，即，所以， 即可得， 所以，离心率. 故答案为： 【点睛】方法点睛：椭圆的离心率是椭圆最重要的几何性质，求椭圆的离心率(或离心率的取值范围)，常见有两种方法： 求出，，代入公式； 只需要根据一个条件得到关于，，齐次式，结合转化为，的齐次式，然后等式(不等式)两边分别除以或转化为关于的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得 (的取值范围)． 四．解答题：本题共5小题，共77分. 解答应写出文字说明. 证明过程或演算步骤. 15. 在某次 1500 米体能测试中，甲，乙，丙三人各自通过测试的概率分别为 ， 甲， 乙， 丙三人是否通过测试互不影响， 求: （1）只有 2 人通过体能测试的概率； （2）至少有 1 人通过体能测试的概率. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）设事件“甲通过测试”，事件“乙通过测试”，事件“丙通过测试”，利用相互独立事件及互斥事件的概率公式计算可得； （2）利用相互独立事件及对立事件的概率公式计算可得. 【小问1详解】 设事件“甲通过测试”，事件“乙通过测试”，事件“丙通过测试”， 由题意有． 设事件“甲､乙､丙3人中恰有2人通过测试”，则， 所以 ； 【小问2详解】 设事件“甲､乙､丙3人中至少有1人通过测试”，则的对立事件 . 16. 已知动点到直线的距离与到点距离相等，设动点的轨迹为曲线. （1）求曲线的方程； （2）过点的直线交于两点，且(为坐标原点)的面积为 32， 求的方程. 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】（1）由抛物线的定义即可求出抛物线方程； （2）设直线的方程为，联立抛物线方程消去，然后利用韦达定理结合面积公式即可求解. 【小问1详解】 由已知有：动点的轨迹是以为焦点，直线为准线的抛物线， 所以曲线 的方程为. 【小问2详解】 设，显然直线的斜率不为0，可设直线， 联立， 则，， 所以， 原点到直线的距离为：， 所以，解得， 所以直线的方程为：或. 17. 已知圆 与圆 ， 直线 （1）判断 与圆 的位置关系并证明； （2）过动点 分别作两圆的切线 ( 分别为切点)，若 ， 求 的最小值. 【答案】（1） 与圆 相交. （2） 【解析】 【分析】（1）求出动直线所过的定点后可判断直线与圆的位置关系； （2）先求出的 轨迹方程后利用点到直线的距离公式可求最小值. 【小问1详解】 直线的方程可化为：，令， 故，故直线过定点，而， 故该定点在圆的内部，故 与圆 相交. 【小问2详解】 两圆的半径均为1， 因为，故即， 故，故， 故的轨迹为直线. 因为表示，而，故. 故的最小值为. 18. 如图，四棱锥，平面平面， ，，，，，， . （1）证明: （2）求直线与平面所成角的正弦值； （3）若点是平面内的动点，且平面，求平面与平面夹角的余弦值. 【答案】（1）证明见解析； （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由平面平面，，根据面面垂直性质定理证明平面，由此证明，结合，由线面垂直判定定理证明平面，由此证明结论； （2）建立空间直角坐标系，求直线的方向向量与平面的法向量，结合向量夹角公式求结论； （3）由（1）求平面的法向量，结合（2）求平面的法向量，利用向量夹角公式求结论. 【小问1详解】 因为平面平面，平面平面， ，平面， 所以平面，平面， 所以，又，平面，， 所以平面，平面， 所以， 【小问2详解】 由（1）平面， 如下图，以为原点，为轴正方向，建立空间直角坐标系， 因为，，，所以， 因为，，，所以， 所以，，，，， 所以，，， 设平面的法向量为， 则，即， 取，则，， 所以为平面的一个法向量， 所以， 设直线与平面所成角为，则， 所以直线与平面所成角的正弦值； 【小问3详解】 由（1）平面，所以为平面的一个法向量， 由（2）为平面的一个法向量， 因为平面，所以，设，， 设平面的法向量为，又，， 则，即，取，则，， 所以为平面的一个法向量， 所以. 设平面与平面夹角为，则， 所以平面与平面夹角的余弦值为. 19. 已知双曲线 的标准方程为 的左右顶点分别为 ，右焦点 ，离心率 . （1）求双曲线 的方程及其渐近线方程； （2）过点的直线 交双曲线 于 两点(点在第一象限)，记直线 斜率为 ，直线斜率为，求的值; （3）过圆 上的点 作圆 的切线 ，交双曲线 于 ， 两点，点 为弦 的中点，证明: 【答案】（1）双曲线方程为，渐近线方程为. （2） （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）求出基本量后可得双曲线方程和渐近线方程； （2）设，联立直线方程和双曲线方程消元后结合韦达定理可得，据此可求的值； （3）设，，根据切线可得，联立直线方程和双曲线方程，结合弦长公式可证. 【小问1详解】 由焦点坐标可得，而，故，所以， 故双曲线方程为，渐近线方程为. 【小问2详解】 由题设斜率不为零，设， 由可得， 故且， 而，， 而. 【小问3详解】 由（1）可得圆， 若直线的斜率存在，设，， 因为为圆的切线，故即， 由可得， 故 ， 故， 而，故， 故，故， 当直线的斜率不存在时，或， 若，则，而，， 因，故， 同理可得若，也有， 故总成立. 【点睛】思路点睛：圆锥曲线的定值问题，往往需要设出直线方程，然后联立直线方程和圆锥曲线方程，消元后结合韦达定理化简目标代数式，从而得到定值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $