精品解析：山东省济宁市第一中学2024-2025学年高三上学期质量检测（二）数学试题

济宁市第一中学2024-2025学年度第一学期质量检测（二） 高三数学 命题人：张丽霞 审题人：汤菲 注意事项： 1．答题前，考生先将自己的姓名、考生号、座号填写在相应位置，认真核对条形码上的姓名、考生号和座号，并将条形码粘贴在指定位置上. 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号. 3．回答非选择题时，必须使用0.5毫米黑色签字笔书写，按照题号在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸，试题卷上答题无效.保持卡面清洁，不折叠，不破损. 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】求出中的范围确定出，再求出的补集，运用集合的交集运算即可． 【详解】由题得，，又，所以. 故选：D. 【点睛】此题考查了交集、补集及其运算，熟练掌握交集、补集的定义是解本题的关键，属于基础题． 2. 已知为第三象限角，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由同角三角函数关系即可求得，进而代入原式即可求解. 【详解】由，且， 解得：或， 又因为为第三象限角，所以，， 所以. 所以. 故选：B 3. “”是“函数的值域为”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】D 【解析】 【分析】假设函数的值域为，借助对数的性质及二次函数的性质可得的范围，结合充分条件与必要条件的性质即可得解. 【详解】若的值域为， 则对有，解得或， “”是“或”的既不充分也不必要条件. 故选：D. 4. 已知没有极值，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据没有极值，可知无变号零点，由二次函数性质可知，由此可解不等式求得结果. 【详解】； 在上没有极值，，即， 解得：，即实数的取值范围为. 故选：C. 5. 已知函数在区间上单调，且在区间内恰好取得一次最大值，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】化简函数的解析式为，结合函数的单调性与最值可得出关于实数的不等式组，进而可求得实数的取值范围. 【详解】， 由于函数在区间上单调，当时，， ，且正弦函数在附近单调递增， 所以，函数在上单调递增，则， 所以，，解得. 当时，， 由于函数在区间内恰好取得一次最大值， 所以，，解得. 综上所述，实数的取值范围是. 故选：B. 【点睛】本题考查利用函数在区间上的单调性与最值求参数，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题. 6. 定义在上的偶函数满足：对任意的，有，且，则不等式的解集是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用函数单调性的定义以及偶函数的性质得出的单调性，讨论的正负，利用单调性奇偶性解不等式即可. 【详解】不妨设，，，即 在上单调递减 是定义在上的偶函数 在上单调递增 当时， 解得 当时， 解得 则该不等式的解集为： 故选：C 【点睛】本题主要考查了利用定义判断函数的单调性以及利用奇偶性，单调性解不等式，属于中档题. 7. 将函数的图象上的所有点的横坐标缩短为原来的，纵坐标不变，再把所得的图象向左平移个单位长度，然后再把所得的图象向下平移1个单位长度，得到函数的图象，若，且，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据三角函数平移变换,先求得的解析式.根据,可知,即.根据可分别求得的最大值和的最小值,即可求得的最大值. 【详解】根据平移变换将函数的图象上的所有点的横坐标缩短为原来的,纵坐标不变,再把所得的图象向左平移个单位长度,然后再把所得的图象向下平移1个单位长度, 可得 由, 可知 即 所以 的最大值为,的最小值为 则的最大值为,的最小值为 所以的最大值为 故选:A 【点睛】本题考查了三角函数图象的平移变换,三角函数性质的综合应用,利用函数的最值求参数的取值情况,属于难题. 8. 已知函数，其中，若存在唯一的整数，使得，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】将存在唯一的整数，使得，即，转化为在图象上只有一个横坐标为整数的点在直线下方，利用导数判断函数单调性，作出其大致图象，数形结合，列出不等式组，即可求得答案. 【详解】由题意， 令 ， 因为存在唯一的整数使得，即， ， 当时，，在上单调递减， 当时，，在上单调递增， 故当时，函数取得极小值也是最小值 ， 作出其大致图象如图： 是斜率为a，且过定点的直线， 当时，存在无穷多个满足条件的整数满足不等式，不符合题意， 故，又，， 此时需满足在图象上只有一个横坐标为整数的点在直线下方， 则需满足，解得， 则实数a的取值范围是 ， 故选：C． 【点睛】方法点睛：（1）转化思想：将存在唯一的整数，使得即转化为在图象上只有一个横坐标为整数的点在直线下方；（2）数形结合思想，利用导数判断函数性质，作出图象，数形结合，解决问题. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 在下列函数中，最小值是2的函数有（ ） A. B. ， C. 函数，且 D. ， 【答案】AD 【解析】 【分析】根据基本不等式的性质求最值，逐项分析判断即可. 【详解】对于，当时， 当且仅当，即时等号成立； 当时， 当且仅当，即时等号成立； 综上所述，的最小值是，故正确； 对于因为，所以， 则，当且仅当时取等号，不成立， 故，故错误； 对于，当时，且， 则函数 此时没有最小值，故错误； 对于,时，， 则， 当且仅当，即时，等号成立， 故的最小值为，故正确； 故选： 10. 已知函数，则（ ） A. B. 的最小正周期为 C. 的图象关于直线对称 D. 的最大值为 【答案】BC 【解析】 【分析】将函数写成分段函数形式，结合函数的图象以及该函数奇偶性、对称性和单调性依次判断选项即可. 【详解】由于， 所以， 即， 如图所示： 对于选项A，，，不满足，选项A不正确； 对于选项B，，结合图象，的最小正周期为，选项B正确； 对于选项C，， 的图象关于直线对称，选项C正确； 对于选项D，函数在区间和上单调递减，在区间和上单调递增，由于，，的最大值为，选项D不正确； 故选：BC. 11. 已知函数，是定义在R上的非常数函数，满足，，且为奇函数，则（ ）． A. 为奇函数 B. 为偶函数 C. D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据已知条件，利用变量代换可推出函数的周期，继而推出，结合函数是定义在R上的非常数函数，即可判断的奇偶性，判断A，B；利用的周期可求得的值，判断C；根据结合变量代换可推出，从而将化为，结合的周期求值即可判断D. 【详解】函数是定义在R上的非常数函数， 由于为奇函数，故， 即，即， 由于，用代换x可得， 结合得：，即， 结合得， 即，故， 即4为函数的周期，故，故为偶函数， 由于是定义在R上的非常数函数，故不是奇函数，故A错误，B正确； 由于，故，即， 故， 故，故C正确； 由得， 而为偶函数且，故， 则， 因为，所以， 故，D正确， 故选：BCD 【点睛】难点点睛：本题考查了抽象函数的性质的应用问题，涉及到函数的奇偶性以及周期性，难点在于要根据已知条件，经过变量代换，推出函数的周期，进而推出函数为偶函数，从而再根据之间的关系，推出，结合函数的周期性，即可求出和式，的值. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．把答案填在答题卡中的横线上． 12. 已知函数在上不是单调函数，则实数m的取值范围是______． 【答案】或 【解析】 【分析】将问题转化为有极值点，即有变号零点，从而得解. 【详解】因为，所以， 又不是单调函数，所以函数有极值点，即在上有变号零点， 则成立， 当时，可化为，显然不成立； 当时，， 因为，，所以或， 所以实数m的取值范围为或（因为要有变号零点，故不能取等号）， 经检验，或满足要求. 故答案为：或. 13. 已知，直线与曲线相切，则的最小值为______. 【答案】 【解析】 【分析】由直线与曲线相切，得，然后利用基本不等式，即可求得本题答案. 【详解】设切点为，由得，由题意， 解得，所以，即， 故，当且仅当时，等号成立， 故答案为： 14. 已知函数，，若函数有三个零点，则的取值范围是__________. 【答案】 【解析】 【分析】由题意首先得，，进一步有，由此即可顺利得解. 【详解】由题意设，则函数的零点即为方程的根， 在同一平面直角坐标系中分别画出函数的图象以及直线如图所示： 若函数有三个零点，（不妨设为）， 则方程的根有三个根，且， 所以， 且， 因为在单调递增，所以，即， 所以， 令，，解得，令，，解得， 所以. 故答案为：. 【点睛】关键点睛：关键是根据函数单调性得到，由此即可顺利得解. 四、解答题本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 已知. （1）化简； （2）若是第三象限角，且，求. 【答案】（1）；（2）. 【解析】 【分析】 （1）利用正弦、余弦及正切的诱导公式将每一个式子进行化简，然后约分可得； （2）由可得的值，再根据属于第三象限可求出的值，代入（1）中的结果即可得出答案. 【详解】解：（1）由题意得. 故. （2）因为， 所以. 又为第三象限角， 所以， 所以， 故答案为：. 【点睛】本题考查三角函数诱导公式的运用，难度一般,解答时牢记口诀：“奇变偶不变，符号看象限”. 16. 已知集合，． （1）若是的必要不充分条件，求实数a的取值范围； （2）若，求实数a的取值范围． 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】（1）首先求解两个集合，由题意转化为两个集合的包含关系，列不等式求解； （2）根据两个集合，并结合，即可列式求解. 【小问1详解】 ，得，得， 解得：，即， ，函数单调递增，所以， 即， 若是的必要不充分条件，则， 即，解得：； 【小问2详解】 若，则 或，解得：或. 17. 已知函数的部分图象，如图所示. （1）求函数的解析式； （2），求函数的值域； （3）若，求满足不等式的的取值范围. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由图可得，借助，求出，代入点，求出 即可. （2）运用整体代入求解即可； （3）运用一元二次不等式解法解出，得，再借助三角函数图像性质解函数不等式即可 【小问1详解】 由图可得， 则，因为，且，所以， 所以， 由图可知， 则，解得， 因为，所以， 故. 【小问2详解】 由（1）知， 设， ， 所以函数的值域为. 【小问3详解】 由，得， 则，， 解得或， 解得或. 又， 所以. 18. 已知函数． （1）讨论的单调性； （2）若方程有两个不相等的根，且的导函数为，证明：． 【答案】（1）当时，在R上单调递增；当时，在上单调递减，在上单调递增. （2）证明：因为方程有两个不等的根，且， 由（1）知，， 令， 则 ， 所以函数在上单调递增， 所以 ， 又在上单调递增， 所以，又， 所以，所以， 又，所以. 【解析】 【分析】（1）利用导数分类讨论含参的函数的单调性即可； （2）由（1）知，，令，利用导数可得在上单调递增，得，进而，结合基本不等式即可证明. 【小问1详解】 ，则， 当时，，函数在R上单调递增； 当时，令，， 所以函数在上单调递减，在上单调递增. 【小问2详解】 略 【点睛】方法点睛：利用导数证明不等式的恒成立问题的求解策略: 形如的恒成立的求解策略： 1、构造函数法：令，利用导数求得函数的单调性与最小值，只需恒成立即可； 2、参数分离法：转化为或恒成立，即或恒成立，只需利用导数求得函数的单调性与最值即可； 3，数形结合法：结合函数的图象在的图象的上方（或下方），进而得到不等式恒成立. 19. 泰勒公式是一个非常重要的数学定理，它可以将一个函数在某一点处展开成无限项的多项式．当在处的阶导数都存在时，它的公式表达式如下：．注：表示函数在原点处的一阶导数，表示在原点处的二阶导数，以此类推，和表示在原点处的阶导数． （1）求的泰勒公式（写到含的项为止即可），并估算的值（精确到小数点后三位）； （2）当时，比较与的大小，并证明； （3）设，证明：． 【答案】（1），； （2），证明如下： 记， 因为，所以在上单调递增， 又，所以时有， 所以. （3）证明如下： 由（2）知，，即， 所以， 即. 令，则， 所以在上单调递减，所以，故， 所以， 则，即. 综上，时，. 【解析】 【分析】（1）求出，根据泰勒公式可得； （2）构造函数，利用导数判断单调性，结合可证； （3）利用（2）中结论令，结合裂项相消法可证，构造函数证明，令，利用裂项相消法可证. 【小问1详解】 因为， 所以 所以的泰勒公式为：， 所以 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 【点睛】关键点睛：第三问关键在于构造差函数证明，结合（2）中结论令，使用裂项相消法即可得证. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 济宁市第一中学2024-2025学年度第一学期质量检测（二） 高三数学 命题人：张丽霞 审题人：汤菲 注意事项： 1．答题前，考生先将自己的姓名、考生号、座号填写在相应位置，认真核对条形码上的姓名、考生号和座号，并将条形码粘贴在指定位置上. 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号. 3．回答非选择题时，必须使用0.5毫米黑色签字笔书写，按照题号在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸，试题卷上答题无效.保持卡面清洁，不折叠，不破损. 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知为第三象限角，，则（ ） A. B. C. D. 3. “”是“函数的值域为”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 4. 已知没有极值，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 5. 已知函数在区间上单调，且在区间内恰好取得一次最大值，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 6. 定义在上的偶函数满足：对任意的，有，且，则不等式的解集是（ ） A. B. C. D. 7. 将函数的图象上的所有点的横坐标缩短为原来的，纵坐标不变，再把所得的图象向左平移个单位长度，然后再把所得的图象向下平移1个单位长度，得到函数的图象，若，且，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数，其中，若存在唯一的整数，使得，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 在下列函数中，最小值是2的函数有（ ） A. B. ， C. 函数，且 D. ， 10. 已知函数，则（ ） A. B. 的最小正周期为 C. 的图象关于直线对称 D. 的最大值为 11. 已知函数，是定义在R上的非常数函数，满足，，且为奇函数，则（ ）． A. 为奇函数 B. 为偶函数 C. D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．把答案填在答题卡中的横线上． 12. 已知函数在上不是单调函数，则实数m的取值范围是______． 13. 已知，直线与曲线相切，则的最小值为______. 14. 已知函数，，若函数有三个零点，则的取值范围是__________. 四、解答题本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 已知. （1）化简； （2）若是第三象限角，且，求. 16. 已知集合，． （1）若是的必要不充分条件，求实数a的取值范围； （2）若，求实数a的取值范围． 17. 已知函数的部分图象，如图所示. （1）求函数的解析式； （2），求函数的值域； （3）若，求满足不等式的的取值范围. 18. 已知函数． （1）讨论的单调性； （2）若方程有两个不相等的根，且的导函数为，证明：． 19. 泰勒公式是一个非常重要的数学定理，它可以将一个函数在某一点处展开成无限项的多项式．当在处的阶导数都存在时，它的公式表达式如下：．注：表示函数在原点处的一阶导数，表示在原点处的二阶导数，以此类推，和表示在原点处的阶导数． （1）求的泰勒公式（写到含的项为止即可），并估算的值（精确到小数点后三位）； （2）当时，比较与的大小，并证明； （3）设，证明：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $