精品解析：重庆市忠县2024-2025学年八年级上学期期末考试数学试题

忠县2024年秋八年级期末学业水平监测 数学试题 （本卷共三个大题，满分150分，考试时间120分钟） 一、选择题：（本大题共10个小题，每小题4分，共40分）在每个小题的下面，都给出了代号为A、B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡上题号右侧正确答案所对应的方框涂黑． 1. 计算的结果是（ ） A. B. C. D. 2. 下列交通标志图形中不是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 下面能组成三角形的三边长是（ ） A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 4. 对于下列整式：，，，，，．其中能表示成完全平方式的个数为（ ） A. B. C. D. 5. 李想同学在学习了三角形面积计算之后，想到“面积相等的三角形形状不唯一确定”，那么下列三角形已知条件中，所得三角形面积不能唯一确定的是（ ） A. 三边 B. 两边及夹角 C. 两边及一边所对的角 D. 两角及夹边 6. 如图，点，分别是的两边，上的点，连接，已知平分，平分，与交于点，若，，则（ ） A. B. C. D. 7. 在中，，，点是边上一点，点是边上一点，将沿翻折，使点落在点处，如果时，则（ ） A. B. C. 或 D. 或 8. 如图，点，，分别是边长为2的等边三边的中点，动点从顶A出发第1次移动到点，到点后，先在中顺时针方向移动到点，再在中顺时针方向移动到点，以后按前两次到点后的移动方向不断地重复移动，若每次移动1个单位长度，那么第2025次移动后动点的位置是点（ ） A. B. C. D. 9. 如图，在中，，，于点，把折叠，使点落在边上的点处，展开后，折痕交于点，交于点，连接，，下列结论：①；②图中有4对全等三角形；③若将沿折叠，则点一定落在边上；④．其中正确的个数为有（ ） A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 10. 对于若干组分式，第1组为，，记；第2组为，，，记；第3组为，，，，，记；以后每组分式由前一组的每相邻两个分式之间添进它们和的一半而得到，并用表示第组所有分式的和（为正整数）．按此操作，那么：①第6组共有33个分式；②第10组比第9组多11个分式；③；④当时，；⑤，以上结论中正确的个数为（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 二、填空题：（本大题8个小题，每小题4分，共32分）请将每小题的答案直接填在答题卡中对应的横线上． 11. 若分式的值为0，则______． 12. 若点和点关于轴对称，则______． 13. 如果正多边形的一个外角等于它的内角的，那么正多边形的边数为______． 14. 如果等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角恰好等于等腰三角形的底角，那么这个三角形顶角的大小为______． 15. 如果整式的计算结果中不含项和项，那么______． 16. 如图，在中，，作的垂直平分线交于点F，交于点E，连接．若，则的周长为______． 17. 已知关于的不等式组至少有两个整数解，且关于的分式方程的解为非负数，则所有满足条件的整数值之和为______． 18. 若自然数是13的倍数，则称为“祥和数”．判断数是否为“祥和数”，可用的末三位数减去末三位数以前的数字所组成的数，其差记为，若是“祥和数”，则就是“祥和数”．比如：数12831，它的末三位是831，末三位以前是12，则，因为，所以是“祥和数”，即12831是“祥和数”．若整数（其中为自然数）是“祥和数”，则的最小值为______．设整数，（，，，且，，均为整数），若，都是“祥和数”，则的最大值为______． 三、解答题：（本大题8个小题，19题8分，其余各题10分，共78分）解答时须写出必要的演算过程或推理步骤，请将解答过程写在答题卡中对应位置． 19. 完成下列各题： （1）化简：； （2）分解因式：． 20. 小王同学遇到一道几何题，如图所示，点在边上，点在外，点是与的交点，已知，，平分，证明：． （1）小王同学首先想到过点作的垂线，垂足为，请用尺规完成小王同学的基本作图；（在答题卡上保留作图痕迹，标上字母，不写作法） （2）下面是小王同学的不完整证明，请根据小王同学的证明思路完成对应空白填空．（在答题卡上填上对应代号的内容） 证明：∵，∴，由（1）得， ∵平分，∴（① ）， 在和中，∵，， ∴（② ）， ∴（③ ）， 又∵（④ ），且，， ∴，∴． 21. 如图，在△中，，是边，上的点，与交于点，已知，． （1）证明：； （2）若，，求证：． 22. 忠县临江公园美化后的夜景引来众多游客观赏，拍照打卡者络绎不绝，也带来了商机．李师傅今年元旦节网购A、B两种类型的拍立得相纸前往公园为游客开展陪拍服务，已知购进1盒A型号相纸比购进一盒B型号相纸便宜13元，并且花费180元购进A型号相纸和花费232元购进B型号相纸盒数相等． （1）求购进A、B两型号相纸的单价分别是多少元？ （2）李师傅购进A，B两种型号的相纸共50盒，每盒均包含10张相纸，并把A，B两种型号的相纸分别以8元/张，10元/张进行陪拍服务，如果李师傅计划本次陪拍服务后的总利润不低于1890元，那么最多购进A型号相纸多少盒？ 23. 已知分式． （1）化简已知分式； （2）若使计算代数式的值与字母的取值无关，求时已知分式的值． 24. 如图所示，在中，点为的中点，点在边上，与交于点，连接，已知，．证明： （1）； （2）． 25. 在学习整式乘法时，教材用拼图推演得到了整式的乘法法则和乘法公式．这样，我们借助图形往往能把复杂的数学问题变得简明、形象．如图1，将边长的正方形分别用两个边长分别为，的正方形①②（阴影部分）和两个长方形③④拼接而成．观察图形，解答下列问题： （1）请用两种不同的方法表示图1中边长的正方形的面积．你能用图1中正方形的面积表示吗？请把结论写出来． （2）运用你发现的结论，解决下列问题： ①已知，求的值． ②如图2是由3个正方形、、和1个长方形拼接而成，若，，长方形的面积为15，设阴影部分正方形的面积分别为，，求的值． 26. 已知为等边三角形，点是边所在直线上一点，连接． （1）如图1，若点在点的左边，将沿所在直线翻折至处，并使得于点，求的大小； （2）如图2，设点在点的左边，以为边在右边作，且，连接交于点，求证：； （3）如图3，若点在点的右边，点，也在直线上，且满足，，点，分别在线段，上且满足，连接，．当取得最小值时，点是直线上的一个动点，连接，，．当取得最小值时，求的大小． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 忠县2024年秋八年级期末学业水平监测 数学试题 （本卷共三个大题，满分150分，考试时间120分钟） 一、选择题：（本大题共10个小题，每小题4分，共40分）在每个小题的下面，都给出了代号为A、B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡上题号右侧正确答案所对应的方框涂黑． 1. 计算的结果是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了同底数幂相乘，掌握同底数幂相乘、底数不变、指数相加成为解题的关键． 直接运用同底数幂相乘的运算法则求解即可． 【详解】解：． 故选A． 2. 下列交通标志图形中不是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合． 根据轴对称图形的概念：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，据此逐项判定即可得出答案． 【详解】解：A、是轴对称图形，故此选项不符合题意． B、是轴对称图形，故此选项不符合题意． C、是轴对称图形，故此选项不符合题意． D、不是轴对称图形，故此选项符合题意． 故选：D． 3. 下面能组成三角形的三边长是（ ） A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了三角形三边之间的关系．三角形的两边之和大于第三边，三角形的两边之差小于第三边．实际上，三条线段中两条较短的线段之和大于最长边的长度，这三条边即可组成三角形． 【详解】解：A选项：，这三条边不能组成三角形，故A选项不符合题意； B选项：，这三条边能组成三角形，故B选项符合题意； C选项：，这三条边不能组成三角形，故C选项不符合题意； D选项：，这三条边不能组成三角形，故D选项不符合题意 ． 故选：B． 4. 对于下列整式：，，，，，．其中能表示成完全平方式的个数为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了完全平方公式，完全平方公式是，如果一个三项式能表示成的形式，这个三项式就能写成完全平方式的形式． 【详解】解：，能表示成完全平方式； 不能表示成完全平方式； ，能表示成完全平方式； 不能表示成完全平方式； ，能表示成完全平方式； ，能表示成完全平方式． 其中能表示成完全平方式的有个． 故选：A． 5. 李想同学在学习了三角形面积计算之后，想到“面积相等的三角形形状不唯一确定”，那么下列三角形已知条件中，所得三角形面积不能唯一确定的是（ ） A. 三边 B. 两边及夹角 C. 两边及一边所对的角 D. 两角及夹边 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查全等三角形的判定，关键是掌握全等三角形的判定方法：、、、，． 根据全等三角形的判定方法逐A项判断，即可得出答案． 【详解】解：A、三角形有三边对应相等，根据可判定三角形全等，所以三角形面积能唯一确定，故此选项不符合题意； B、三角形有两边及夹角对应相等，根据可判定三角形全等，所以三角形面积能唯一确定，故此选项不符合题意； C、三角形有两边及一边所对的角对应相等，三角形不一定全等，所以三角形面积不能唯一确定，故此选项符合题意； D、三角形有两边及夹角对应相等，根据可判定三角形全等，所以三角形面积能唯一确定，故此选项不符合题意； 故选：C． 6. 如图，点，分别是的两边，上的点，连接，已知平分，平分，与交于点，若，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了角平分的定义，三角形的外角性质，熟练掌握角平分线的定义是解题的关键． 根据角平分线定义，得到，，利用三角形的外角性质，即可得到结果． 【详解】解：平分，， ， 平分，， ， 是△的外角， ， 即， 故选：B． 7. 在中，，，点是边上一点，点是边上一点，将沿翻折，使点落在点处，如果时，则（ ） A. B. C. 或 D. 或 【答案】C 【解析】 【分析】此题重点考查平行线的性质，翻折的性质，三角形内角和等知识，正确地进行分类讨论是解题的关键． 分两种情况∶当点与点C在直线的异侧时，由，，得，由翻折得，则；当点与点C在直线的同侧时，则，所以，求得，则，于是得到问题的答案． 【详解】解：当点与点C在直线的异侧时，如图， ， ， 将沿翻折，点落在点处， ， ； 当点与点C在直线的同侧时，如图， ， ， 将沿翻折，点落在点处， ∴， ， ， ， ， 综上所述，的度数为或， 故选：C． 8. 如图，点，，分别是边长为2的等边三边的中点，动点从顶A出发第1次移动到点，到点后，先在中顺时针方向移动到点，再在中顺时针方向移动到点，以后按前两次到点后的移动方向不断地重复移动，若每次移动1个单位长度，那么第2025次移动后动点的位置是点（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了三角形中位线定理，规律探究图形的变化规律，发现规律是解题的关键． 罗列前十次发现规律，利用规律解答第2025次后动点的位置即可． 【详解】解：∵点，，分别是边长为2的等边三边的中点， ∴， 第一次移动到点， 第二次移动到点， 第三次移动到点， 第四次移动到点， 第五次移动到点， 第六次移动到点， 第七次移动到点， 第八次移动到点， 第九次移动到点， 第十次移动到点， ， 每9次一循环， ， 第2025次移动后动点的位置是点． 故选：A． 9. 如图，在中，，，于点，把折叠，使点落在边上的点处，展开后，折痕交于点，交于点，连接，，下列结论：①；②图中有4对全等三角形；③若将沿折叠，则点一定落在边上；④．其中正确的个数为有（ ） A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了折叠的性质、全等三角形的性质与判定、等腰三角形的性质与判定，熟练掌握相关知识点是解题的关键．由折叠的性质得，得出，进而得到，可判断①；由折叠的性质得，，，，再利用证出，可判断②；利用折叠的性质得到，可判断③；利用折叠的性质求出、的度数，可判断④，即可得出结论． 【详解】解：由折叠的性质得，，，即， 在中，， ， ， ， ， ，故①错误； 由折叠的性质得，，，， ， ， 在和中， ， ， 图中有4对全等三角形，故②正确； ，， ， 由折叠的性质得，， ， ， 若将沿折叠，则点一定落在边上，故③正确； ，， 是等腰直角三角形， ， 由折叠的性质得，， ， ， ， ，故④正确； 综上所述，其中正确的有②③④，共3个． 故选：B． 10. 对于若干组分式，第1组为，，记；第2组为，，，记；第3组为，，，，，记；以后每组分式由前一组的每相邻两个分式之间添进它们和的一半而得到，并用表示第组所有分式的和（为正整数）．按此操作，那么：①第6组共有33个分式；②第10组比第9组多11个分式；③；④当时，；⑤，以上结论中正确的个数为（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了数字类规律探究，分式的加减，理解的排列规律是解答本题的关键．找出每组分式个数的规律可判断①②；求出可判断③；找出可解答④⑤． 【详解】解：∵第1组为，，记； 第2组为，，，记； 第3组为，，，，，记； ∴，故③正确； ∴， ， ∴，故④正确； ∵，， ∴，故⑤ 错误； ∵第1组有2个，第2组有（个），第3组有（个），第4组有（个），第5组有（个），第6组有（个），…， ∴第2组比第1组多，第3组比第2组多，第4组比第3组多，…， ∴第10组比第9组多（个）分式，故①正确，②错误； 故选D． 二、填空题：（本大题8个小题，每小题4分，共32分）请将每小题的答案直接填在答题卡中对应的横线上． 11. 若分式的值为0，则______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了分式的值为零的条件，熟练掌握分式的值为零的条件是解题的关键． 分式的值为零即分子为零且分母不为零，由此计算即可． 【详解】解：若分式的值为0， 则且， 解得或且，， ， 故答案为：． 12. 若点和点关于轴对称，则______． 【答案】 【解析】 【分析】此题主要考查了关于x轴对称点的坐标特征，正确掌握关于x轴的对称点的坐标特点：横坐标不变，纵坐标互为相反数是解题关键． 直接利用关于x轴对称点的坐标特点：横坐标不变，纵坐标互为相反相数得出a，b的值，进而得出答案． 【详解】解：∵点和点关于x轴对称， ∴，， 故答案为：． 13. 如果正多边形的一个外角等于它的内角的，那么正多边形的边数为______． 【答案】五##5 【解析】 【分析】此题主要考查了多边形的内角与外角，解题关键是掌握多边形的内角与外角是邻补角的关系．首先设内角为，则外角为，根据内角与外角是邻补角的关系可得，再解方程可得外角度数，然后再用除以外角度数可得边数． 【详解】解：设内角为，则外角为，由题意得： ， 解得：， 则， ， ∴这个正多边形为五边形． 故答案为：五． 14. 如果等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角恰好等于等腰三角形的底角，那么这个三角形顶角的大小为______． 【答案】##度 【解析】 【分析】本题考查等腰三角形的性质，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键，设等腰三角形的底角为，根据题意，腰上的高与另一腰的夹角也为，由于等腰三角形两底角相等，可分为两种情况：①锐角三角形；②钝角三角形讨论即可得到答案． 【详解】解：设等腰三角形的底角为，由题可得：腰上的高与另一腰的夹角也为， ∵等腰三角形两底角相等，可分为两种情况： ①锐角三角形： 由图可知，此时不满足题意，故舍去； ②钝角三角形： 由图可得：，， ∴， 解得：， ∴， 故答案为：． 15. 如果整式的计算结果中不含项和项，那么______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了整式的混合运算，掌握多项式乘多项式法则是解决本题的关键．先利用多项式乘多项式法则计算，再根据结果中不含项和项列出方程，求解即可． 【详解】解： ， ∵结果中不含项和项， ∴，． ∴，， ∴． 故答案为：． 16. 如图，在中，，作的垂直平分线交于点F，交于点E，连接．若，则的周长为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的性质，等边三角形的性质与判定，含30度角的直角三角形的性质，三角形内角和定理，先求出的度数，由线段垂直平分线的性质得到，，则可求出的长，即的长，再证明是等边三角形，据此可得答案． 【详解】解：∵在中，，， ∴， 是的垂直平分线， ，， ， 在中，，， ， ， ， 是等边三角形， ， 的周长， 故答案为：6． 17. 已知关于的不等式组至少有两个整数解，且关于的分式方程的解为非负数，则所有满足条件的整数值之和为______． 【答案】55 【解析】 【分析】本题考查解一元一次不等式组，解分式方程．根据一元一次不等式组整数解的个数确定a的取值范围，再根据分式方程的非负数解以及增根的定义进一步确定a的取值范围，确定a的值再代入计算即可． 【详解】解：不等式的解集为， 关于x的不等式的解集为， ∵关于x的不等式组至少有两个整数解， ∴， 解得， 将关于y的分式方程的两边都乘以得， ， 解得， 由于分式方程的解为非负数， ∴， 解得， 由于分式方程的增根为， ∴， 因此， 综上所述，且， 所以所有满足条件的整数a值之和55． 故答案为：55． 18. 若自然数是13的倍数，则称为“祥和数”．判断数是否为“祥和数”，可用的末三位数减去末三位数以前的数字所组成的数，其差记为，若是“祥和数”，则就是“祥和数”．比如：数12831，它的末三位是831，末三位以前是12，则，因为，所以是“祥和数”，即12831是“祥和数”．若整数（其中为自然数）是“祥和数”，则的最小值为______．设整数，（，，，且，，均为整数），若，都是“祥和数”，则的最大值为______． 【答案】 ①. 39 ②. 936 【解析】 【分析】本题主要考查了新定义下的实数运算，列代数式，代数式求值等知识点，正确理解新定义，求出、的值是解题的关键． 由“祥和数”的定义可求出的取值，进而求出的最小值；由“祥和数”的定义可求出、的值，进而可得出的最大值． 【详解】解：由题意可得： 当时，，不是“祥和数”， 当时，，不是“祥和数”， 当时，，不是“祥和数”， 当时，，不是“祥和数”， 当时，，不是“祥和数”， 当时，，是“祥和数”， 的最小值为； 整数（，且为整数）是“祥和数”， ， 是的倍数， ， ， （，，且，均为整数）是“祥和数”， ， 是的倍数， 当时，，此时， 当时，，此时， 当时，，此时， 当时，，此时， 或或或， 或或或， 的最大值为； 故答案为：，． 三、解答题：（本大题8个小题，19题8分，其余各题10分，共78分）解答时须写出必要的演算过程或推理步骤，请将解答过程写在答题卡中对应位置． 19. 完成下列各题： （1）化简：； （2）分解因式：． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了乘法公式、因式分解，熟练掌握利用完全平方公式进行计算和提公因式法分解因式是解题的关键． （1）先利用单项式乘多项式和完全平方公式计算，再合并同类项即可； （2）利用提公因式法进行因式分解即可． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 20. 小王同学遇到一道几何题，如图所示，点在边上，点在外，点是与的交点，已知，，平分，证明：． （1）小王同学首先想到过点作的垂线，垂足为，请用尺规完成小王同学的基本作图；（在答题卡上保留作图痕迹，标上字母，不写作法） （2）下面是小王同学的不完整证明，请根据小王同学的证明思路完成对应空白填空．（在答题卡上填上对应代号的内容） 证明：∵，∴，由（1）得， ∵平分，∴（① ）， 在和中，∵，， ∴（② ）， ∴（③ ）， 又∵（④ ），且，， ∴，∴． 【答案】（1） 如图所示： （2）①角平分线的性质定理，②，③，④对顶角相等 【解析】 【分析】（1）以为圆心，长为半径画弧，交于两点，然后以为圆心，大于长为半径画弧，连接交点与点，与的交点即为； （2）按照步骤作答即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【点睛】本题考查了作垂线，角平分线的性质定理，全等三角形的判定与性质，对顶角的性质，熟练掌握作垂线，角平分线的性质定理，全等三角形的判定与性质，对顶角的性质是解题的关键． 21. 如图，在△中，，是边，上的点，与交于点，已知，． （1）证明：； （2）若，，求证：． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质以及三角形内角和定理等知识，熟练掌握全等三角形的判定与性质和等腰三角形的性质是解题的关键． （1）证明△△，得，即可得出结论； （2）由等腰三角形的性质得，再求出，然后由三角形内角和定理得，即可得出结论． 【小问1详解】 证明：在△和△中， ， △△， ， ， ； 【小问2详解】 证明：在△中，，， ， ， ， ， ． 22. 忠县临江公园美化后的夜景引来众多游客观赏，拍照打卡者络绎不绝，也带来了商机．李师傅今年元旦节网购A、B两种类型的拍立得相纸前往公园为游客开展陪拍服务，已知购进1盒A型号相纸比购进一盒B型号相纸便宜13元，并且花费180元购进A型号相纸和花费232元购进B型号相纸盒数相等． （1）求购进A、B两型号相纸的单价分别是多少元？ （2）李师傅购进A，B两种型号的相纸共50盒，每盒均包含10张相纸，并把A，B两种型号的相纸分别以8元/张，10元/张进行陪拍服务，如果李师傅计划本次陪拍服务后的总利润不低于1890元，那么最多购进A型号相纸多少盒？ 【答案】（1）购进A、B两种型号相纸单价分别是45、58元 （2）30盒 【解析】 【分析】本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式． （1）设型号相纸的单价是元，则型号相纸的单价是元，利用数量总价单价，结合花费180元购进型号相纸和花费232元购进型号相纸盒数相等，可列出关于的分式方程，解之经检验后，可得出的值（即型号相纸的单价），再将其代入中，即可求出型号相纸的单价； （2）设购进型号相纸盒，则购进型号相纸盒，利用总利润每盒型号相纸可获得的利润购进型号相纸的数量每盒型号相纸可获得的利润购进型号相纸的数量，结合总利润不低于1890元，可列出关于的一元一次不等式，解之取其中的最大值，即可得出结论． 【小问1详解】 解：设型号相纸的单价是元，则型号相纸的单价是元， 根据题意得：， 解得：， 经检验，是所列方程的解，且符合题意， （元． 答：型号相纸的单价是45元，型号相纸的单价是58元； 【小问2详解】 解：设购进型号相纸盒，则购进型号相纸盒， 根据题意得：， 解得：， 的最大值为30． 答：最多购进型号相纸30盒． 23. 已知分式． （1）化简已知分式； （2）若使计算代数式的值与字母的取值无关，求时已知分式的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了分式的化简求值，解题的关键是掌握分式的运算法则． （1）根据分式的除法和减法可以化简题目中的式子即可； （2）先化简题目中的式子，再根据，使计算代数式的值与字母的取值无关，可以求得的值，然后代入（1）中化简的式子中，求出结果即可． 【小问1详解】 解： ． 【小问2详解】 解： ． 当时，原式 若使计算代数式的值与字母的取值无关， ， 解得：． 当时， 原式． 24. 如图所示，在中，点为的中点，点在边上，与交于点，连接，已知，．证明： （1）； （2）． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 【解析】 【分析】本题考查全等三角形，三角形的内角和等知识，解题的关键是掌握全等三角形的判定和性质，三角形的内角和的应用，根据题意，构造全等三角形，进行解答，即可． （1）根据三角形的内角和，求出，根据等量代换，则，再根据三角形的内角和，即可； （2）过点作，与的延长线交于点，根据全等三角形的判定和性质，可得，推出，，再根据全等三角形的判定和性质，可得，得到，根据，即可证明． 【小问1详解】 解：证明如下： ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴在中，， ∴． 【小问2详解】 解：证明如下： 过点作，与的延长线交于点， ∵， ∴， 在与中， ， ∴， ∴，， ∵点为的中点， ∴， ∵， ∴， ∴， 在与中， ， ∴， ∴， ∵， ∴． 25. 在学习整式乘法时，教材用拼图推演得到了整式的乘法法则和乘法公式．这样，我们借助图形往往能把复杂的数学问题变得简明、形象．如图1，将边长的正方形分别用两个边长分别为，的正方形①②（阴影部分）和两个长方形③④拼接而成．观察图形，解答下列问题： （1）请用两种不同的方法表示图1中边长的正方形的面积．你能用图1中正方形的面积表示吗？请把结论写出来． （2）运用你发现的结论，解决下列问题： ①已知，求的值． ②如图2是由3个正方形、、和1个长方形拼接而成，若，，长方形的面积为15，设阴影部分正方形的面积分别为，，求的值． 【答案】（1） 方法一，大正方形面积为； 方法二，； ①②小正方形面积分别为，， ③④部分的面积都为， ∴， ∴； （2）①；②34 【解析】 【分析】本题考查完全平方公式与几何图形的面积，利用完全平方公式变形求解： （1）利用正方形的面积公式以及分割法求正方形的面积，两种方法进行求解即可； （2）①设，，利用（1）中结论进行求解即可；②设正方形、的边长分别为，，根据题意结合完全平方公式变形计算即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ①由已知得， 设，， 则有，， ∴， ∴ ②设正方形、的边长分别为，， 由题意， ∵，，，， 由正方形得，即， 由（1）得， ∴． 26. 已知为等边三角形，点是边所在直线上一点，连接． （1）如图1，若点在点的左边，将沿所在直线翻折至处，并使得于点，求的大小； （2）如图2，设点在点的左边，以为边在右边作，且，连接交于点，求证：； （3）如图3，若点在点的右边，点，也在直线上，且满足，，点，分别在线段，上且满足，连接，．当取得最小值时，点是直线上的一个动点，连接，，．当取得最小值时，求的大小． 【答案】（1） （2）见解析 （3） 【解析】 【分析】此题考查了全等三角形的判定和性质、等边三角形的性质、折叠的性质等知识． （1）由等边三角形和折叠的性质即可得到答案； （2）过点作交于点，证明，得到，，证明，则，而，即可得到． （3）过点作，在上截取，证明，则，得到，的最小值，即点在上，点是与的交点，证明，则，即平分，得到点关于的对称点落在线段上，而要使取得最小值，点必是与的交点，点只能取点，则． 【小问1详解】 解：如图，∵等边的于点，将沿所在直线翻折至处，并使得于点， ∴平分， ∴，， ∴； 【小问2详解】 证明：如图，过点作交于点， 则，，， 在与中， ∵， ∴， 在中，， ∴，且，， ∴， ∴，， 在与中， ∵，，， ∴， ∴，而， ∴． 【小问3详解】 解：如图，过点作，在上截取， 得，连接，， 在与中， ∵，，， ∴， ∴， ∴， ∴， 而的最小值，即点在上， 点是与的交点， 又∵， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， 由得，， 即平分， ∴点关于的对称点落在线段上， 而要使取得最小值，点必是与的交点， ∴点只能取点， ∴． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $