精品解析：陕西省西安市新城区2024-2025学年高一上学期1月期末质量检测数学试题

2024～2025学年度第一学期期末质量检测 高一数学试题 注意事项： 1．本试题共4页，满分120分，时间100分钟． 2．答卷前，考生务必将自己的姓名和准考证号填写在答题卡上． 3．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 4．考试结束后，监考员将答题卡按顺序收回，装袋整理；试题不回收． 第Ⅰ卷（选择题 共47分） 一、选择题：本题共8小题，每小题4分，共32分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 命题“”的否定是（ ） A. B. C. D. 3. 我国著名数学家华罗庚先生曾说，数缺形时少直观，形缺数时难入微，数形结合百般好，隔裂分家万事休．在数学的学习和研究中，经常用函数的图象研究函数的性质，也常利用函数的解析式来琢磨函数图象的特征．函数的图象大致是（ ） A. B. C. D. 4. 将函数图象上的所有点向右平移个单位长度，再向下平移1个单位长度后，所得函数图象的解析式可能为（ ） A. B. C. D. 5. 已知，则“”是“”的（ ） A. 充要条件 B. 充分不必要条件 C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件 6. 某工厂产生的废气经过循环过滤后排放，过滤过程中废气的污染物含量（单位：）与时间（单位：）间的关系为（是自然对数的底数，，为正的常数）．若前12消除了的污染物，则24后的污染物含量约为（ ） A. B. C. D. 7. 若函数在区间上不具有单调性，则实数取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 设，用表示不超过的最大整数，例如，，．我们把称为取整函数，在现实生活中有着广泛的应用，诸如停车收费，出租车收费等均按“取整函数”进行计费．下列说法正确的是（ ） A. B. 函数是偶函数 C. 函数的最小值为0 D. ，若，则 二、选择题：本题共3小题，每小题5分，共15分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知，且，则下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 10. 已知函数是定义在上的奇函数，是定义在上的偶函数，则下列说法正确的有（ ） A. 是奇函数 B. 是偶函数 C. 若在上单调递增，则当时， D. 若在上单调递减，则当时， 11. 已知函数，则（ ） A. 存在点，使得的图象关于点中心对称 B. 的一个周期为 C. 的值域为 D. 在内有且仅有2零点 第Ⅱ卷（非选择题 共73分） 三、填空题：本题共3小题，每小题4分，共12分． 12. 函数定义域为__________． 13. 已知正数，满足，则的最小值为________． 14. 若函数在定义域内存在单调区间，且其图象两条对称轴分别为直线和，则的一个解析式可以是________． 四、解答题：本题共5小题，共61分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 已知，且是第二象限角． （1）求和的值； （2）求的值． 16. 已知幂函数在区间上单调递增． （1）求的解析式； （2）若，求实数的取值范围． 17. 已知函数（，且） （1）求函数的定义域； （2）若函数在区间上的最大值为2，求实数的值． 18 已知函数． （1）求函数的最小正周期； （2）讨论函数在区间上单调性； （3）当时，求不等式的解集． 19. 若在函数的定义域内存在，使得成立，则称具有性质． （1）试判断函数是否具有性质； （2）证明：函数具有性质； （3）若函数具有性质，求实数的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024～2025学年度第一学期期末质量检测 高一数学试题 注意事项： 1．本试题共4页，满分120分，时间100分钟． 2．答卷前，考生务必将自己的姓名和准考证号填写在答题卡上． 3．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 4．考试结束后，监考员将答题卡按顺序收回，装袋整理；试题不回收． 第Ⅰ卷（选择题 共47分） 一、选择题：本题共8小题，每小题4分，共32分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据交集的知识确定正确选项. 【详解】∵集合，， ∴. 故选：D 2. 命题“”的否定是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据全称量词命题的否定的知识来确定正确答案. 【详解】原命题是全称量词命题，其否定是存在量词命题， 注意到要否定结论而不是否定条件， 所以命题“”的否定是： . 故选：B 3. 我国著名数学家华罗庚先生曾说，数缺形时少直观，形缺数时难入微，数形结合百般好，隔裂分家万事休．在数学的学习和研究中，经常用函数的图象研究函数的性质，也常利用函数的解析式来琢磨函数图象的特征．函数的图象大致是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据特殊点的函数值来确定正确答案. 【详解】，所以BD选项错误. ，所以C选项错误. 故选：A 4. 将函数图象上的所有点向右平移个单位长度，再向下平移1个单位长度后，所得函数图象的解析式可能为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据三角函数图象变换的知识来确定正确答案. 【详解】将函数图象上的所有点向右平移个单位长度， 得到函数图象解析式：， 再向下平移1个单位长度后， 得到函数图象解析式：. 故选：D. 5. 已知，则“”是“”的（ ） A. 充要条件 B. 充分不必要条件 C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】根据不等式的性质，结合充分性、必要性的定义进行判断即可. 【详解】由不等式的性质可知由， 由， 故选：A 6. 某工厂产生的废气经过循环过滤后排放，过滤过程中废气的污染物含量（单位：）与时间（单位：）间的关系为（是自然对数的底数，，为正的常数）．若前12消除了的污染物，则24后的污染物含量约为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先根据已知条件“前消除了的污染物”求出的值，再将代入关系式求出后的污染物含量. 【详解】已知过滤过程中废气的污染物含量与时间之间的关系为， 当时，因为前消除了的污染物， 所以此时剩余的污染物含量为，即， 所以有， 两边同时除以（），得到. 对等式两边取自然对数可得：，解出， 将，代入可得： ， 所以后的污染物含量约为. 故选：C 7. 若函数在区间上不具有单调性，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】讨论两种情况，时先求出函数的对称轴，再根据二次函数在区间上不具有单调性，可判断对称轴在区间上，进而得到答案. 【详解】时，在上递减，不合题意； 时，函数图象的对称轴为直线， 因为函数在区间上不具有单调性， 所以，解得， 所以实数的取值范围是， 故选：A. 8. 设，用表示不超过的最大整数，例如，，．我们把称为取整函数，在现实生活中有着广泛的应用，诸如停车收费，出租车收费等均按“取整函数”进行计费．下列说法正确的是（ ） A. B. 函数是偶函数 C. 函数的最小值为0 D. ，若，则 【答案】C 【解析】 【分析】根据取整函数的定义，对每个选项逐一进行分析判断，从而确定正确答案. 【详解】选项A： 因为，根据取整函数表示不超过的最大整数， 所以，而不是，A选项错误. 选项B： 函数的定义域为，关于原点对称，， 例如时，， ； ，所以不是偶函数，B选项错误. 选项C： 设，当时，，则，此时， 所以的值域是，其最小值为，C选项正确， 选项D： 若，设，，，， 那么，所以，所以不存， 使得当时，，D选项错误. 故选：C 【点睛】方法点睛 对于涉及取整函数的题目，关键是要准确理解取整函数的定义，即不超过的最大整数，研究函数的性质（如奇偶性、最值等）时，要根据函数的表达式，结合定义进行分析，对于奇偶性，要判断与的关系；对于最值，要先确定函数的取值范围. 二、选择题：本题共3小题，每小题5分，共15分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知，且，则下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】BD 【解析】 【分析】根据指数幂运算以及对数的性质逐项分析判断即可. 【详解】对于选项A：，故A错误； 对于选项B：，故B正确； 对于选项C：，故C错误； 对于选项D：，故D正确； 故选：BD. 10. 已知函数是定义在上的奇函数，是定义在上的偶函数，则下列说法正确的有（ ） A. 是奇函数 B. 是偶函数 C. 若在上单调递增，则当时， D. 若在上单调递减，则当时， 【答案】ACD 【解析】 【分析】直接利用函数奇偶性的定义判断AB；根据奇函数的图象关于原点对称判断C；根据偶函数的图象关于对称判断D. 【详解】因为函数是定义在上的奇函数，是定义在上的偶函数， 所以，. A. 设，则，所以是奇函数，故正确； B. 设，则，所以不是偶函数，故错误； C. 因为函数是定义在上的奇函数，所以其图象关于原点对称，若在上单调递增，则在上单调递增，当时，，正确； D. 因为是定义在上的偶函数，所以其图象关于轴对称，若在上单调递减，则在上单调递增，当时，，正确. 故选：ACD. 11. 已知函数，则（ ） A. 存在点，使得的图象关于点中心对称 B. 的一个周期为 C. 的值域为 D. 在内有且仅有2零点 【答案】BD 【解析】 【分析】根据三角函数的性质对选项进行分析，从而确定正确答案. 【详解】选项A： 若函数的图象关于点中心对称，则有恒成立. 对于，， 所以函数是偶函数，其图象关于轴对称. 假设存在点使得的图象关于点中心对称，， 若，的值不恒为常数， 所以不存在点，使得的图象关于点中心对称，A选项错误. 选项B： 若是函数的周期，则恒成立. ，所以是的一个周期，B选项正确. 选项C： 因为，那么. 令，函数在上的值域是，因为， 所以值域是，不是，C选项错误. 选项D： 令，则，即. 当时，. 对于，当时，， 在单调递增，在单调递减，所以在内有个解. 当取其他整数时， 所以在内有且仅有个零点，D选项正确. 故选：BD 【点睛】思路点睛： 遇到判断函数性质的问题，先明确函数的类型（如本题是三角函数相关的复合函数），然后根据三角函数的基本性质（对称性、周期性、值域、零点等）的定义和相关结论进行分析,对于复合函数，要注意内外层函数之间的关系和相互影响. 第Ⅱ卷（非选择题 共73分） 三、填空题：本题共3小题，每小题4分，共12分． 12. 函数的定义域为__________． 【答案】 【解析】 【分析】解不等式,即得解. 【详解】解：由题意得. 解得. 故答案为： 13. 已知正数，满足，则的最小值为________． 【答案】1 【解析】 【分析】由“1”的代换即可求解. 【详解】因为， 所以， 当且仅当时取等号，所以的最小值为1， 故答案为：1 14. 若函数在定义域内存在单调区间，且其图象的两条对称轴分别为直线和，则的一个解析式可以是________． 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】根据给定条件，可得函数是周期函数，确定函数的一个周期写出解析式. 【详解】依题意，函数是周期函数，它的一个周期是， 又函数在定义域内存在单调区间，可选该函数为余弦型函数，令， 显然，直线和是图象的对称轴，符合题意. 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共61分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 已知，且是第二象限角． （1）求和的值； （2）求的值． 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）根据同角三角函数的基本关系式来求得正确答案. （2）根据诱导公式来求得正确答案. 【小问1详解】 ，且是第二象限角， ， ． 【小问2详解】 ． 16. 已知幂函数在区间上单调递增． （1）求的解析式； （2）若，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据幂函数的定义和性质来求得的值，从而求得的解析式. （2）根据函数单调性化简不等式，从而求得的取值范围. 【小问1详解】 是幂函数， ，解得或， 又幂函数在区间上单调递增， ，即． 【小问2详解】 ）易知在上单调递增， 又， ，即， 解得， 实数的取值范围为． 17. 已知函数（，且） （1）求函数的定义域； （2）若函数在区间上的最大值为2，求实数的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据函数定义域的求法来求得正确答案. （2）化简的解析式，对进行分类讨论，根据最值列方程来求得的值. 【小问1详解】 要使函数的解析式有意义， 则 解得， 函数定义域为． 【小问2详解】 ， 当时，， 当时，函数在上单调递减， 此时， ，即，解得（舍）． 当时，函数在上单调递增， 此时， ，即，解得或（舍）． 综上，实数的值为． 18. 已知函数． （1）求函数的最小正周期； （2）讨论函数在区间上的单调性； （3）当时，求不等式的解集． 【答案】（1） （2）在区间上单调递减，在区间上单调递增，在区间上单调递减 （3） 【解析】 【分析】（1）先利用正弦、余弦的二倍角公式和余弦的两角差公式化简，再根据周期公式求解即可； （2）根据余弦函数的图象和性质求解即可； （3）令解得或，结合（2）中单调性即可求解. 【小问1详解】 由题意 ， 函数的最小正周期为． 【小问2详解】 因为函数的单调递增区间为，单调递减区间为， 由，解得， 当时，， 由，解得， 当时，；当时，， 所以函数在区间上单调递减，在区间上单调递增，在区间上单调递减． 【小问3详解】 令， 解得或， 即或， 当时，方程的解为或， 结合（2）中单调性的结论知，当时，， 所以当时，不等式的解集为． 19. 若在函数的定义域内存在，使得成立，则称具有性质． （1）试判断函数是否具有性质； （2）证明：函数具有性质； （3）若函数具有性质，求实数的取值范围． 【答案】（1）不具有性质 （2）证明见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）根据性质的定义判断即可； （2）函数，根据性质的定义证明即可； （3）由已知可得，令，则问题转化为存在的根，计算求解即可得出解. 【小问1详解】 假设函数具有性质， 则存在，使得， 即，即，显然不成立， 假设不成立，即不具有性质． 【小问2详解】 证明：， ，，， 令，得， 即，即， 又函数的定义域为，， 函数具有性质． 【小问3详解】 函数的定义域为，且具有性质， ， 即， 令，则， ， ， 解得或， 当方程有一个正根时，即， 即，此时． 当方程有两个正根时，当，即时，此时． 实数的取值范围为 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$