精品解析：山西省太原市2024-2025学年高二上学期期末学业诊断数学试卷

2024～2025学年第一学期高二年级期末学业诊断 数学试卷 （考试时间：上午8：00—10：00） 说明：本试卷为闭卷笔答，答题时间120分钟，满分150分. 一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 抛物线y2=4x的焦点坐标是 A. （02） B. （0,1） C. （2,0） D. （1,0） 2. 双曲线的顶点坐标为（ ） A ， B. ， C. ， D. ， 3. 已知抛物线以圆的圆心为焦点，则其标准方程为（ ） A. B. C. D. 4. 已知双曲线的一个焦点为，其离心率，则该双曲线的渐近线方程为（ ） A. B. C. D. 5. 已知双曲线C以椭圆方程E：的焦点为顶点，以E的顶点为焦点，则双曲线C的标准方程为（ ） A. B. C. D. 6. 已知点P是抛物线上一点，则点P到直线的距离的最小值为（ ） A. B. 2 C. D. 7. 已知直线与双曲线相交于、两个不同点，点是中点，则双曲线的离心率为（ ） A. B. C. D. 8. 古希腊数学家帕普斯在他的著作《数学汇编》中对圆锥曲线给出了统一定义，即到定点的距离与到定直线的距离的比是常数e的点的轨迹叫做圆锥曲线.当时，轨迹为椭圆；当时，轨迹为抛物线；当时，轨迹为双曲线.若方程表示的曲线是双曲线，则实数k的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 已知，，双曲线：与：，则下列结论正确的是（ ） A. 它们的实轴长相等 B. 它们的焦点相同 C. 它们离心率相等 D. 它们的渐近线相同 10. 已知直线l：，抛物线C：，则下列结论正确的是（ ） A. 直线l过定点 B. 当时，直线l与抛物线C相切 C. 当时，直线l与抛物线C有两个公共点 D. 当直线l与抛物线C无公共点时，或 11. 平面内到两定点距离之积为常数的点的轨迹称为卡西尼卵形线，它是1675年法国天文学家卡西尼在研究土星及其卫星的运行规律时发现的.已知平面直角坐标系中，，，动点P满足，记动点P的轨迹为曲线C，则下列结论正确的是（ ） A. 曲线C关于原点对称 B. 点P的横坐标的取值范围为 C. 面积的最大值为2 D. 的取值范围为 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 抛物线的准线方程是___________________. 13. 已知过抛物线C：（）的焦点F且斜率为的直线与C相交于A，B两个不同点，若，则（O是坐标原点）的面积为__________. 14. 已知双曲线E：的左焦点为F，点M是E右支上的动点，点N是圆上的动点，则的最大值为__________. 四、解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15. （1）已知抛物线C经过点，求C的标准方程和焦点坐标； （2）已知双曲线C经过点，，求C的标准方程和焦点坐标. 16. 已知点在抛物线C：（）上，且点P到C的准线的距离为2. （1）求C的方程； （2）设圆与抛物线C相交于A，B两个不同点，求的值. 17. 已知点，，动点P满足，记点P的轨迹为曲线C. （1）求曲线C的方程，并说明曲线C的形状； （2）若双曲线E的右焦点是曲线C的对称中心，其渐近线是曲线C的切线，求双曲线E的标准方程. 18. 已知点，，直线PM与PN相交于点P，且它们的斜率之积为，记点P的轨迹为曲线C. （1）求曲线C标准方程； （2）若直线l：交曲线C于A，B两点，点（不在直线l上），是否存在实数k，使得直线QA与QB的斜率之和为0？若存在，求出k的值；若不存在，说明理由. 19. 椭圆有很好的光学性质.如图，从椭圆C的一个焦点发出的光线，被椭圆上点P反射后，反射光线经过另一个焦点，且椭圆在点P处的切线l与的平分线l＇（即法线）垂直.已知椭圆C的中心为坐标原点O，左、右顶点分别为A，B，焦点为，.由发出的光线经椭圆C两次反射后回到所经过的路程为8c.过点作直线l的垂线，垂足为D，. （1）求椭圆C的标准方程； （2）当点P，A，B不共线时，设内切圆的圆心为，求实数n的取值范围； （3）过点的直线与椭圆C交于M，N两点（均与A，B不重合），直线AM交直线于点G，证明：B，N，G三点共线. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024～2025学年第一学期高二年级期末学业诊断 数学试卷 （考试时间：上午8：00—10：00） 说明：本试卷为闭卷笔答，答题时间120分钟，满分150分. 一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 抛物线y2=4x的焦点坐标是 A. （0,2） B. （0,1） C. （2,0） D. （1,0） 【答案】D 【解析】 【详解】试题分析：的焦点坐标为，故选D. 【考点】抛物线的性质 【名师点睛】本题考查抛物线的定义．解析几何是中学数学的一个重要分支，圆锥曲线是解析几何的重要内容，它们的定义、标准方程、简单几何性质是我们要重点掌握的内容，一定要熟记掌握． 2. 双曲线的顶点坐标为（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】B 【解析】 【分析】根据双曲线的几何性质即可求解. 【详解】由双曲线方程可知双曲线焦点在轴上，，所以双曲线的顶点坐标为，. 故选：B. 3. 已知抛物线以圆的圆心为焦点，则其标准方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据条件得到圆心为，可得，再利用标准方程的形式，即可求解. 【详解】因为的圆心为，所以，得到， 又焦点在轴的正半轴上，所以抛物线的标准方程为， 故选：D. 4. 已知双曲线的一个焦点为，其离心率，则该双曲线的渐近线方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由条件求得，再根据焦点位置确定渐近线方程． 【详解】由题意，，，所以， 焦点在轴，则渐近线方程为， 故选：A． 5. 已知双曲线C以椭圆方程E：的焦点为顶点，以E的顶点为焦点，则双曲线C的标准方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】求出椭圆的顶点和焦点，即可得出双曲线方程. 【详解】∵椭圆方程E：的焦点坐标为，，上、下顶点为，. ∴设双曲线方程C：，则， ，∴设双曲线方程C：. 故选：C. 6. 已知点P是抛物线上一点，则点P到直线的距离的最小值为（ ） A. B. 2 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据点P在抛物线上，设，结合点到直线的距离公式与二次函数的性质即可求解. 【详解】∵点P在抛物线上，∴设， ∴点到直线的距离， 当且仅当，即时取等号. 点P到直线的距离的最小值为. 故选：A. 7. 已知直线与双曲线相交于、两个不同点，点是的中点，则双曲线的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用点差法可求得，结合可得出双曲线的离心率的值. 【详解】设点、，由题意可得， 因为点是的中点，则， 因为，这两个等式作差可得， 所以，， 因此，双曲线的离心率为. 故选：D. 8. 古希腊数学家帕普斯在他的著作《数学汇编》中对圆锥曲线给出了统一定义，即到定点的距离与到定直线的距离的比是常数e的点的轨迹叫做圆锥曲线.当时，轨迹为椭圆；当时，轨迹为抛物线；当时，轨迹为双曲线.若方程表示的曲线是双曲线，则实数k的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】把方程化为点到定点的距离与到定直线距离之比的形式后，由定义可得． 【详解】由得，即， 该方程表示双曲线，则，解得， 故选：B． 二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 已知，，双曲线：与：，则下列结论正确的是（ ） A. 它们的实轴长相等 B. 它们的焦点相同 C. 它们的离心率相等 D. 它们的渐近线相同 【答案】AC 【解析】 【分析】根据双曲线的方程一一求出它们的实轴长、焦点位置、离心率和渐近线方程即可判断各选项． 【详解】对于A，由题意可知双曲线的长轴长均为，所以它们的实轴长相等，故A正确； 对于B，双曲线的焦点分别在轴和y轴上，所以它们的焦点不相同，故B错误； 对于C，双曲线的焦距均为，所以它们的离心率均为，即它们的离心率相等，故C正确； 对于D，双曲线的渐近线分别为和， 所以当即时，它们的渐近线不相同，故D错误. 故选：AC． 10. 已知直线l：，抛物线C：，则下列结论正确的是（ ） A. 直线l过定点 B. 当时，直线l与抛物线C相切 C. 当时，直线l与抛物线C有两个公共点 D. 当直线l与抛物线C无公共点时，或 【答案】BD 【解析】 【分析】直接代入点的坐标到直线方程验证后判断A；利用特例判断C；由直线方程与抛物线方程组成方程组，由方程组的解的情况判断BD． 【详解】选项A，因为，因此不是直线所过定点，A错； 选项B，时，直线方程，代入抛物线方程得，解得，从而， 又直线与抛物线的对称轴不平行，所以直线与抛物线相切，切点为，B正确； 选项C，时，直线方程为，它与抛物线的对称轴平行，直线与抛物线只有一个公共点，C错； 选项D，由得，， 由，得或，D正确． 故选：BD． 11. 平面内到两定点距离之积为常数的点的轨迹称为卡西尼卵形线，它是1675年法国天文学家卡西尼在研究土星及其卫星的运行规律时发现的.已知平面直角坐标系中，，，动点P满足，记动点P的轨迹为曲线C，则下列结论正确的是（ ） A. 曲线C关于原点对称 B. 点P的横坐标的取值范围为 C. 面积的最大值为2 D. 的取值范围为 【答案】ACD 【解析】 【分析】利用对称性判断A，结合曲线方程判断BC，利用平面几何性质及对勾函数性质求解判断D． 【详解】设，由题意，变形得， 点代入有， 所以点为关于原点对称的点，也在曲线上，即曲线关于原点对称，A对， 曲线方程整理为， 令，则，此关于的方程有实数解， 则， 又，即方程有非负数解， 所以，解得，当时，，即和是曲线上的点， 所以横坐标范围是，B错， 选项C，曲线的方程整理为， 因此，解得， 时，，时,，即点在曲线上， 所以，C正确； 选项D，首先，当是中点时，，， 不妨设，则，， ，，解得， ，由对称性得， ，记，则，， 由对勾函数性质知函数在上单调递减，在上单调递增， 时，，时，， 所以，D正确． 故选：ACD． 【点睛】关键点点睛：利用两点式得到所在的曲线方程，令有，应用方程及函数思想为关键. 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 抛物线的准线方程是___________________. 【答案】 【解析】 【分析】将化成抛物线的标准方程，利用抛物线的性质求解即可． 【详解】由得：，所以，即： 所以抛物线的准线方程为：． 【点睛】本题主要考查了抛物线的简单性质，属于基础题． 13. 已知过抛物线C：（）的焦点F且斜率为的直线与C相交于A，B两个不同点，若，则（O是坐标原点）的面积为__________. 【答案】1 【解析】 【分析】设直线方程为，设，直线方程代入抛物线方程应用韦达定理结合弦长公式求得，再求出到直线的距离后，由面积公式计算． 【详解】由题意，直线方程为，设， 由得， 所以， 又， 所以，解得（负值舍去），即直线方程为， 所以到直线的距离为， ， 故答案：1. 14. 已知双曲线E：的左焦点为F，点M是E右支上的动点，点N是圆上的动点，则的最大值为__________. 【答案】 【解析】 【分析】结合双曲线的定义与三角形三边关系可得，再根据定点到圆上一动点的距离最值的解法即可求解. 【详解】设双曲线E：的右焦点为，则，. 由双曲线定义可得，即. ， 当且仅当三点共线时，取得最大值 ∵点N是圆上的动点， ∴圆心设为，半径， ，. 故答案为：. 四、解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15. （1）已知抛物线C经过点，求C的标准方程和焦点坐标； （2）已知双曲线C经过点，，求C的标准方程和焦点坐标. 【答案】（1）标准方程为，其焦点坐标为或，焦点坐标为；（2），其焦点坐标为. 【解析】 【分析】（1）根据焦点在x轴正半轴上，或在y轴正半轴上分类讨论，设出抛物线方程，代入点的坐标求得参数值，得结论； （2）根据焦点在x轴上，或在y轴上分类讨论，设出双曲线方程，代入点的坐标求得参数值，得结论. 【详解】（1）由题意知，抛物线的焦点在x轴正半轴上，或在y轴正半轴上. 当焦点在x轴正半轴上时，设抛物线的标准方程为（），则， ∴. 故抛物线的标准方程为，其焦点坐标为. 当焦点在y轴正半轴上时，设抛物线的标准方程为（），则， ∴. 故抛物线的标准方程为，焦点坐标为. （2）当双曲线的焦点在x轴上时，设其标准方程为（，）， 由得， ∴，焦点坐标为. 当双曲线的焦点在y轴上时，设其标准方程为（，）， 因无解，所以双曲线的焦点在y轴上不成立. 综上，双曲线的标准方程为，其焦点坐标为. 16. 已知点在抛物线C：（）上，且点P到C的准线的距离为2. （1）求C的方程； （2）设圆与抛物线C相交于A，B两个不同点，求的值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由抛物线的定义求得，得抛物线方程； （2）圆方程与抛物线方程联立，求得交点坐标后可得两点间距离． 【小问1详解】 由题意得，， ∴， ∴抛物线C方程为. 【小问2详解】 设，，由得，， 解得或（舍去）， 当时，则， ∴. 17. 已知点，，动点P满足，记点P的轨迹为曲线C. （1）求曲线C的方程，并说明曲线C的形状； （2）若双曲线E的右焦点是曲线C的对称中心，其渐近线是曲线C的切线，求双曲线E的标准方程. 【答案】（1），曲线C是以为圆心，为半径的圆 （2） 【解析】 【分析】（1）设，根据两点间距离公式得到方程，化简即可求解. （2）由（1）可设双曲线E的方程为（，），且，结合点到直线的距离公式与双曲线渐近线方程，即可求解. 【小问1详解】 设，由题意得， 化简并整理可得曲线C的方程， ∴曲线C是以为圆心，为半径的圆. 【小问2详解】 由（1）可设双曲线E的方程为（，），， 圆心到双曲线E的渐近线的距离， ∴，，∴双曲线E的标准方程为. 18. 已知点，，直线PM与PN相交于点P，且它们的斜率之积为，记点P的轨迹为曲线C. （1）求曲线C的标准方程； （2）若直线l：交曲线C于A，B两点，点（不在直线l上），是否存在实数k，使得直线QA与QB的斜率之和为0？若存在，求出k的值；若不存在，说明理由. 【答案】（1）（） （2）存在实数，理由见解析 【解析】 【分析】（1）设，运用直线的斜率公式，结合题意化简可得曲线C的方程； （2）假设存在实数k，使得直线QA与QB的斜率之和为0.设，，联立直线方程与双曲线方程、消元、利用韦达定理得到直线与双曲线交点坐标满足的关系式，再结合斜率公式与求解即可. 【小问1详解】 设，由题意得直线PM斜率为（）， 直线PN斜率为（）， ∴， 化简，得曲线C的标准方程（）. 【小问2详解】 假设存在实数k，使得直线QA与QB的斜率之和为0.设，， 由得， ∴，. ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴或， 当时，直线l的方程为，即l过点Q，不符合题意； 当时，则，，当时，符合题意； 综上所述，存在实数. 【点睛】方法点睛：直线与双曲线的综合应用的解题通法为：联立方程组、消元、利用韦达定理得到直线与双曲线交点坐标满足的关系式，再结合题中已知条件求解即可. 19. 椭圆有很好的光学性质.如图，从椭圆C的一个焦点发出的光线，被椭圆上点P反射后，反射光线经过另一个焦点，且椭圆在点P处的切线l与的平分线l＇（即法线）垂直.已知椭圆C的中心为坐标原点O，左、右顶点分别为A，B，焦点为，.由发出的光线经椭圆C两次反射后回到所经过的路程为8c.过点作直线l的垂线，垂足为D，. （1）求椭圆C的标准方程； （2）当点P，A，B不共线时，设内切圆的圆心为，求实数n的取值范围； （3）过点的直线与椭圆C交于M，N两点（均与A，B不重合），直线AM交直线于点G，证明：B，N，G三点共线. 【答案】（1） （2） （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）延长交的延长线于点Q，易得，即可求解椭圆方程； （2）设（），根据三角形面积公式可得，根据椭圆的范围即可求解； （3）设直线MN方程为，，，求出，的坐标，即可证明. 【小问1详解】 由题意设椭圆C的方程（），则，∴. 如图所示，延长交的延长线于点Q，由直线l＇平分，且，∴. ∵，∴. ∵，∴， ∴， ∴，，， ∴椭圆C的方程为. 【小问2详解】 由题意设（），由得， 由的面积， ∴，∴， ∴，且， ∴实数n的取值范围为. 【小问3详解】 由（1）得，，，设直线MN的方程为， 设，，直线BN与直线交于点E，如图所示. 直线AM的方程为，令，则，∴， 直线BN的方程为，令，则，∴， 由得， ∴，， ∵， ∴， ∴点G与E重合， ∴B，N，G三点共线. 【点睛】方法点睛：椭圆与直线的综合应用的解题通法为联立方程组、消元、利用韦达定理得到直线与椭圆交点坐标满足的关系式，再结合题中已知条件求解即可. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$