精品解析：浙江省丽水市2024-2025学年高二上学期1月期末教学质量监控数学试题

丽水市2024学年第一学期普通高中教学质量监控 高二数学试题卷 （2025.01） 本试题卷分选择题和非选择题两部分.全卷共4页，满分150分，考试时间120分钟. 注意事项： 1．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔分别填在试题卷和答题卷规定的位置上. 2．答题时，请按照答题卷上“注意事项”的要求，在答题卷相应的位置上规范作答，在本试题卷上的作答一律无效. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 直线的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 2. 预测人口的变化趋势有多种方法，“直接推算法”使用的公式是，其中为预测期人口数，为初期人口数，k为预测期内人口年增长率，n为预测期间隔年数，如果在某一时期，那么在这期间人口数（ ） A. 呈上升趋势 B. 呈下降趋势 C. 摆动变化 D. 不变 3 已知，若，则（ ） A. B. C. D. 4. “太极图”因其形状如对称阴阳两鱼互抱在一起，故也被称为“阴阳鱼太极图”.如图是放在平面直角坐标系中的“太极图”，图中曲线为圆或半圆，已知点是阴影部分（包括边界）的动点，则的最小值为（ ） A. B. C. D. -1 5. 是从点P出发的三条射线，每两条射线的夹角均为，那么直线与平面所成角的余弦值是（ ） A. B. C. D. 6. 已知函数的图象如图所示，不等式的解集是（ ） A. B. C. D. 7. 记抛物线的焦点为为抛物线上一点，，直线与抛物线另一交点为，则（ ） A B. C. 2 D. 3 8. 已知双曲线的右焦点为，过的直线（为常数）与在第一象限交于点.若（为原点），则的离心率是（ ） A. B. C. D. 5 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知圆，，则下列说法正确的是（ ） A. 当时，圆与圆相离 B. 当时，是圆与圆的一条公切线 C. 当时，圆与圆相交 D. 当时，圆与圆的公共弦所在直线方程是 10. 已知等比数列的公比为q，前n项和，设，记的前n项和为，则下列判断正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 11. 已知正方体的棱长为，点为中点，动点在正方形内（包括边界），则下列说法正确的是（ ） A. 若，则的长度是 B. 若平面，则的最小值是 C. 若，则点轨迹长度是 D. 若平面，则点的位置唯一 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 若，，且，则实数的值是________ 13. 如图是一座抛物线型拱桥，当水面在l时，拱顶离水面，水面宽．当水位下降，水面宽为时，拱顶到水面的距离是______． 14. 已知的定义域是，且，则不等式的解是_______. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知公差不为零的等差数列的前项和为，若，且，，成等比数列． （1）求数列的通项公式； （2）若，求数列的前项和． 16. 已知函数． （1）当时，求函数的单调递减区间； （2）求函数在上的最小值． 17. 如图，在四棱锥中，平面，，，. （1）证明：平面平面； （2）若与平面所成角的正弦值为，求二面角的余弦值. 18. 已知椭圆的焦距为，其短轴的两个端点与长轴的一个端点构成正三角形. （1）求椭圆的标准方程； （2）设为的左焦点，为直线上任意一点，过作的垂线交于点，. （i）证明：平分线段（其中为坐标原点）； （ii）设线段中点为，若与面积之积是，求点的纵坐标. 19. 已知数表，其中表示数表中第行第列的实数，互不相同，且满足下列条件：①；②. （1）对于数表，若，写出所有满足条件的数表； （2）对于数表，当取最小值时，求证：存在正整数，使得； （3）对于数表，当n为偶数时，求的最大值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 丽水市2024学年第一学期普通高中教学质量监控 高二数学试题卷 （2025.01） 本试题卷分选择题和非选择题两部分.全卷共4页，满分150分，考试时间120分钟. 注意事项： 1．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔分别填在试题卷和答题卷规定的位置上. 2．答题时，请按照答题卷上“注意事项”的要求，在答题卷相应的位置上规范作答，在本试题卷上的作答一律无效. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 直线的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意，求得直线的斜率，得出，结合倾斜角的定义，即可求解. 【详解】由直线，可得直线的斜率为， 设直线的倾斜角为，可得， 因为，所以. 故选：A. 2. 预测人口的变化趋势有多种方法，“直接推算法”使用的公式是，其中为预测期人口数，为初期人口数，k为预测期内人口年增长率，n为预测期间隔年数，如果在某一时期，那么在这期间人口数（ ） A. 呈上升趋势 B. 呈下降趋势 C. 摆动变化 D. 不变 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意，可知为预测期内年增长率，当，可知年增长率为负，由此即可求出结果. 【详解】由题意，为预测期内年增长率，如果在某一时期有，即年增长率为负，故这期间人口数呈下降趋势. 故选:B. 3. 已知，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】求导，根据求解. 【详解】解：， 所以， 即， 故选：C. 4. “太极图”因其形状如对称的阴阳两鱼互抱在一起，故也被称为“阴阳鱼太极图”.如图是放在平面直角坐标系中的“太极图”，图中曲线为圆或半圆，已知点是阴影部分（包括边界）的动点，则的最小值为（ ） A. B. C. D. -1 【答案】C 【解析】 【分析】转化为点与点连线的斜率，然后结合图象由直线与圆的位置关系求解. 【详解】 依题意，则为直线的斜率， 结合图象可知，当直线与半圆相切时，斜率最小， 设，则，解得或（舍去）， 即的最小值为. 故选：C 5. 是从点P出发的三条射线，每两条射线的夹角均为，那么直线与平面所成角的余弦值是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】作图，找到直线在平面上的投影在构建多个直角三角形，找出边与角之间的关系，继而得到线面角；也可将三条射线截取出来放在正方体中进行分析. 【详解】解法一： 如图，设直线在平面的射影为， 作于点G，于点H，连接， 易得，又平面，则平面，又平面，则， 有 故． 已知， 故为所求． 解法二： 如图所示，把放在正方体中，的夹角均为． 建立如图所示的空间直角坐标系，设正方体棱长为1， 则， 所以， 设平面的法向量，则 令，则，所以， 所以． 设直线与平面所成角为，所以， 所以． 故选B． 6. 已知函数的图象如图所示，不等式的解集是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据 的正负分情况讨论，再结合函数图象判断 的正负，进而求解不等式. 【详解】1. 当 时，此时不等式 等价于 . 从函数图象可知，当，函数单调递增时.观察图象， 在 上单调递增，即此时当 时，满足题意. 2. 当 时，此时不等式 等价于 . 由函数单调性与导数的关系，当，函数单调递减时.观察图象， 在 上单调递减，即此时当 时，，满足题意. 综上，不等式 的解集是 ， 故选：B. 7. 记抛物线的焦点为为抛物线上一点，，直线与抛物线另一交点为，则（ ） A. B. C. 2 D. 3 【答案】C 【解析】 【分析】先求出抛物线方程及直线方程，联立，求出交点进而可得答案. 【详解】，由拋物线定义可知到准线距离为，即，解得， 即抛物线方程为，不妨取，又， 所以， 联立，消去整理得， 解得，即， 则. 故选：C. 8. 已知双曲线的右焦点为，过的直线（为常数）与在第一象限交于点.若（为原点），则的离心率是（ ） A. B. C. D. 5 【答案】D 【解析】 【分析】先利用直线过右焦点，简化直线方程，设点，分别根据点在双曲线上和建立方程组，通过①化简得出，代入②，化成的齐次式，解方程即得离心率. 【详解】 如图，由直线过右焦点，可得，即直线方程为， 不妨设点，依题意， 由①化简得：，解得或， 因当时，点，显然不合题意，舍去；把代入②，可得：， 化简得：，用代入计算可得：， 即，解得或（舍去），故的离心率是5. 故选：D 【点睛】方法点睛：本题主要考查双曲线离心率问题，属于难题. 求圆锥曲线的离心率一般有以下两种方法： （1）直接法：通过求出的值，直接求得； （2）齐次方程法：利用条件构造关于的齐次方程，解方程可得. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知圆，，则下列说法正确的是（ ） A. 当时，圆与圆相离 B. 当时，是圆与圆的一条公切线 C. 当时，圆与圆相交 D. 当时，圆与圆的公共弦所在直线方程是 【答案】ABD 【解析】 【分析】通过计算两圆的圆心距，再与两圆半径之和、半径之差比较来判断位置关系；对于公切线，需要判断两圆圆心到直线的距离是否等于半径；对于公共弦，可通过两圆方程相减得到. 【详解】圆的圆心坐标为，半径；圆的圆心坐标为，半径为. 则两圆的圆心距. 对于A，当时，.，知圆与圆相离，A正确； 对于B，当时，，由可得两圆相离. 因圆心到的距离为；圆心到的距离为， 故是圆与圆的一条公切线，B正确； 对于C，当时，，因为，两圆相离，C错误； 对于D，当时，将两圆方程相减得：， 整理得，即圆与圆的公共弦所在直线方程是，D正确. 故选：ABD. 10. 已知等比数列的公比为q，前n项和，设，记的前n项和为，则下列判断正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】BD 【解析】 【分析】先求得的取值范围，根据的取值范围进行分类讨论，利用差比较法比较出和的大小关系. 【详解】由于是等比数列，，所以， 当时，，符合题意； 当时，，即，上式等价于①或②.解②得.解①，由于可能是奇数，也可能是偶数，所以. 综上所述，的取值范围是. ，所以，所以，而，且. 所以，当，或时，，即，故BD选项正确，C选项错误. 当时，，即. 当或时，，A选项错误. 综上所述，正确的选项为BD. 故选：BD 【点睛】本小题主要考查等比数列的前项和公式，考查差比较法比较大小，考查化归与转化的数学思想方法，考查分类讨论的数学思想方法，属于中档题. 11. 已知正方体的棱长为，点为中点，动点在正方形内（包括边界），则下列说法正确的是（ ） A. 若，则的长度是 B. 若平面，则的最小值是 C. 若，则点的轨迹长度是 D. 若平面，则点的位置唯一 【答案】BCD 【解析】 【分析】连接，取其中点，由中位线定理得，可判断A；建立空间直角坐标系并得出各点坐标，设，其中，利用坐标法分别判断选项BCD. 【详解】选项A：连接，取其中点，在中，为中位线，所以， 由于，所以，A错误； 选项B： 如图，以D为原点分别以DA、DC、为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系， 则，，，，，，，，， 由于动点F在正方形内，可设，其中，， ，， 设平面的一个法向量为．则， 令，得，，故， 而，若平面，则， 则，即，所以， 此时，则， 当时，取最小值，故选项B正确； 选项C：， 因为，所以， 得，则点的轨迹如图线段，其中都为中点， 则，C正确； 选项D：若平面，则，． 由于，，， 则，解得：或（舍去）， 此时，即点F的位置唯一，故选项D正确. 故选：BCD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 若，，且，则实数的值是________ 【答案】 【解析】 【分析】根据空间向量垂直，则数量积为零，以及向量的线性运算，列式计算即可. 【详解】因为，， 故可得. 因为， 故可得， 即，解得. 故答案为：. 【点睛】本题考查空间向量的线性运算，数量积运算，以及向量垂直的坐标公式，属综合基础题. 13. 如图是一座抛物线型拱桥，当水面在l时，拱顶离水面，水面宽．当水位下降，水面宽为时，拱顶到水面的距离是______． 【答案】## 【解析】 【分析】建立平面直角坐标系，设抛物线方程为，求出抛物线的方程，再代点的坐标可得答案． 【详解】如图，建立平面直角坐标系，设抛物线方程为， 当水面未下降时，水面与拱桥的交点， 将代入抛物线方程， 得，所以． 当水面下降后与拱桥的交点为，设，代入， 得，解得， 所以拱桥到水面的距离为． 故答案为：． 14. 已知的定义域是，且，则不等式的解是_______. 【答案】 【解析】 【分析】变形不等式，构造函数并利用导数确守单调性。进而求解不等式. 【详解】依题意，不等式， 令函数，求导得，由， 得，函数在上单调递增，原不等式为， 因此，解得或， 所以原不等式的解集为. 故答案为： 【点睛】关键点点睛：利用同构的思想变形，再构造函数是露头角问题的关键. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知公差不为零的等差数列的前项和为，若，且，，成等比数列． （1）求数列的通项公式； （2）若，求数列的前项和． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）设数列的公差为，根据已知求出，即得解； （2）利用分组求和结合等差及等比求和公式计算求和即可. 小问1详解】 设数列的公差为，则有， 解得：， . 【小问2详解】 由（1）知， . 16. 已知函数． （1）当时，求函数的单调递减区间； （2）求函数在上的最小值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）当时，利用函数单调性与导数的关系可求出函数的单调递减区间； （2）对实数的取值进行分类讨论，利用导数分析函数在上的单调性，即可求得函数在上的最小值. 【小问1详解】 当时，，该函数的定义域为， 则，由得， 所以，函数的单调递减区间为. 【小问2详解】 ，其中， 当时，对任意的，，在上单调递增， 此时，； 当时，对任意的，，在上单调递减， 此时，； 当时，令，可得，列表如下： 减 极小值 增 所以，函数在上单调递减，在上单调递增， 此时，. 综上所述，. 17. 如图，在四棱锥中，平面，，，. （1）证明：平面平面； （2）若与平面所成角的正弦值为，求二面角的余弦值. 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）取中点为，连接，由题意得，故有，再由平面得，从而平面，即可得平面平面； （2）作，垂足为，证明平面，得即为与平面所成角，由之求出长，建系后求出相关点坐标，继而求得两平面的法向量，利用空间向量的夹角公式即可求得二面角的余弦值. 【小问1详解】 如图，取中点为，连接，则，又， 所以，所以，即，且， 因为平面，平面，所以， 又，平面，所以平面 又平面，所以平面平面 【小问2详解】 作，垂足为，由（1）知：平面平面， 因平面，且平面平面，则平面， 故即为与平面所成角， 则，解得.在中，由， 可得 ，故， 以为坐标原点，以分别为轴建立空间直角坐标系， 则，，， ，. ，，， 设平面的一个法向量为 则，得，取， 设平面的一个法向量为 则，得，取， 所以，由图知，二面角是锐二面角， 所以二面角的余弦值为. 18. 已知椭圆的焦距为，其短轴的两个端点与长轴的一个端点构成正三角形. （1）求椭圆的标准方程； （2）设为的左焦点，为直线上任意一点，过作的垂线交于点，. （i）证明：平分线段（其中为坐标原点）； （ii）设线段的中点为，若与面积之积是，求点的纵坐标. 【答案】（1） （2）（i）证明见解析；（ii） 【解析】 【分析】（1）根据题意求，即可得椭圆方程； （2）（i）设的方程为，联立方程可得线段的中点为，可知过的中点，即可知平分线段；（ii）根据题意求与的面积，列式求解即可. 【小问1详解】 由题意可知：，即， 且，则，可得， 所以椭圆的标准方程. 【小问2详解】 椭圆方程化为，显然直线的斜率不为0，且与椭圆必相交， （i）设的方程为，代入椭圆方程得：. 设，的中点为， 则， 可得， 又的方程为，则得， 所以，即过的中点，即平分线段； （ii）因为， 可得，解得或（舍去）， 所以，点的纵坐标为. 【点睛】方法点睛：有关圆锥曲线弦长、面积问题的求解方法 1.涉及弦长的问题中，应熟练地利用根与系数的关系、设而不求计算弦长；涉及垂直关系时也往往利用根与系数的关系、设而不求法简化运算；涉及过焦点的弦的问题，可考虑用圆锥曲线的定义求解； 2.面积问题常采用底高，其中底往往是弦长，而高用点到直线距离求解即可，选择底很重要，选择容易坐标化的弦长为底．有时根据所研究三角形的位置，灵活选择其面积表达形式，若求多边形的面积问题，常转化为三角形的面积后进行求解； 3.在求解有关直线与圆锥曲线的问题时，应注意数形结合、分类与整合、转化与化归及函数与方程思想的应用． 19. 已知数表，其中表示数表中第行第列的实数，互不相同，且满足下列条件：①；②. （1）对于数表，若，写出所有满足条件的数表； （2）对于数表，当取最小值时，求证：存在正整数，使得； （3）对于数表，当n为偶数时，求的最大值. 【答案】（1），， （2）证明见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）根据题意写出满足条件的所有数表即可； （2）用反证法证明，假设对任意的正整数，，可得，可知必定为偶数，分和讨论证明； （3）结合定义条件可得，，两式相加可得，即，结合，可得，得解. 【小问1详解】 根据题意，因，，且，， 则满足条件的数表可以是，，. 【小问2详解】 当时，显然成立， 当时，用反证法证明如下： 假设对任意的正整数，，则由条件①必存在正整数，使得， 由条件②可知必定为偶数，， i）若，则交换和位置，此时，新数表仍然符合条件①②，但新数表第一行之和变小，与是最小值矛盾； ii）若，则交换和的位置，此时，新数表仍然符合条件①②，又返回到第i）种情形. 所以当取最小值时，数表中一定存在一项. 【小问3详解】 设，则，则 ， 所以， 又 ...... 则， 所以， 设，， 则，又， 所以， ， 所以的最大值是， 当数表为如下形式时，， 综上可知，当为偶数时，的最大值为. 【点睛】关键点点睛：本题考查数列相关的新定义问题，意在考查学生的理解能力，转化能力和综合应用能力，第二问当正面证明不好处理时，利用反证法可以简化证明过程，是解题的关键. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $