2025年九年级中考数学一轮复习授课教案：一元二次方程根的判别式及根与系数的关系

序号：______ 科 目 任教班级 授课时间 课 题 一元二次方程根的判别式及根与系数的关系 课型 复习 学科素养目标 1.理解一元二次方程根的判别式，两根之和与两根之积和一元二次方程系数的关系； 2.掌握用判别式判断一元二次方程根的情况的方法，能应用根与系数的关系解决问题。 单元教学分析 重点：一元二次根的判别式和韦达定理的基本运用； 难点：灵活运用根的判别式和韦达定理解决问题。 创新设计 综合化学习，形成相应的知识网络，精选典型例题突出知识重点，突破知识难点。 教学活动过程 二次备课 热身小练 1．若,是方程的两个根，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 2．已知关于的方程有一个根为1，则另一个根是________. 【答案】 3．[2024·山东]若关于的方程有两个相等的实数根，则的值为________. 【答案】 考点梳理 考点1 一元二次方程根的判别式 对一元二次方程的根的判别式，有： （1） 方程有两个不相等的实数根； （2） 方程有两个相等的实数根； （3） 方程没有实数根. 【注意】在使用根的判别式解决问题时，如果二次项系数中含有字母，一定要加上二次项系数不为0这个限制条件. 考点2 一元二次方程根与系数的关系 一元二次方程的两个根分别为,，则  ，  . 【注意】利用一元二次方程根与系数的关系时要注意根的判别式. 典型例题 【例1】 [2024·广安]若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是（ ） A. 且 B. C. 且 D. 【答案】A 【变式1】 [2024·龙东地区]若关于的一元二次方程有两个实数根，则的取值范围是（ ） A. B. C. 且 D. 且 【答案】D 【例2】 [2024·烟台]若一元二次方程的两根为，，则的值为____. 【答案】6 【变式2】 [2024·泸州]已知，是一元二次方程的两个实数根，则的值是__. 【答案】14 【例3】 [2024·遂宁]已知关于的一元二次方程. （1） 求证：无论取何值，方程都有两个不相等的实数根； （2） 如果方程的两个实数根为,，且，求的值. 【答案】 （1） 证明：. 无论 取何值，恒成立， 无论 取何值，方程都有两个不相等的实数根； （2） 解：,是方程 的两个实数根， ，， ， 解得,， 的值为1或. 【变式3】 [2024·南充]已知，是关于的方程的两个不相等的实数根. （1） 求的取值范围; （2） 若，且，，都是整数，求的值. 【答案】 （1） 解：，是关于 的方程 的两个不相等的实数根， ， 解得； （2） ，由（1）得， ， 整数 的值有2，3，4. 当 时，方程为， 解得，（都是整数，此情况符合题意）； 当 时，方程为， 解得（不是整数，此情况不符合题意）； 当 时，方程为， 解得（不是整数，此情况不符合题意）. 综上所述，的值为2. ※【例4】 已知关于的一元二次方程，且． （1） 请直接写出方程的一个根． （2） 已知方程． ① 若方程的另一个根为，求方程的两根； ② 若方程，的根相同，求证． 【答案】 （1） 解：把 代入方程，得， 是方程 的一个根． （2） ① 由（1）知 是方程 的一个根． 方程 的另一个根为， 方程 的根为,. 方程 的两边同除以，得， ， 或， ，； ② 设两方程两根为,,证明如下： 方程，的根相同， 对于方程，则，对于方程，则， ，， . 链接中考 1．[2024·上海]以下一元二次方程有两个相等实数根的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 2．[2024·绥化]小影与小冬一起写作业，在解一道一元二次方程时，小影在化简过程中写错了常数项，因而得到方程的两个根是6和1；小冬在化简过程中写错了一次项的系数，因而得到方程的两个根是和，则原来的方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 3．[2024·湖南]若关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则的值为____. 【答案】2 4．[2024·成都]若，是一元二次方程的两个实数根，则的值为____. 【答案】7 5．[2024·内江]已知关于的一元二次方程为常数有两个不相等的实数根和. （1） 填空：______，____； （2） 求； （3） 已知，求的值. 【答案】（1） ；1 （2） 解：，， ; （3） 由根与系数的关系得，. ， ， ，， 解得,， 一元二次方程 为 或. 当 时，，不合题意，舍去； 当 时，，符合题意， . 板书设计 第九课时 一元二次方程根的判别式及根与系数的关系 知识网络 一元二次方程根的判别式 一元二次方程根与系数的关系 作业设计与布置 教学评价与反思 学科网（北京）股份有限公司 $$