精品解析：安徽省蚌埠市2025届高三上学期第一次教学质量检查考试（1月）数学试题

蚌埠市2025届高三年级第一次教学质量检查考试 数学 本试卷满分150分，考试时间120分钟 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡和试卷上. 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知向量，，若，则（ ） A. 0 B. 1 C. D. 2. 已知为虚数单位，复数满足，则（ ） A. B. 5 C. D. 2 3. 若集合，，则（ ） A. B. C. D. 4. 已知直线与圆相交于点P，Q，则（ ） A. B. C. 2 D. 5. 已知，则（ ） A. B. C. D. 6. 若等差数列满足，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 7. 已知三棱锥中，是边长为3的正三角形，，平面平面，则该三棱锥的外接球体积为（ ） A. B. C. D. 8. 抛掷一枚骰子一次，观察向上一面的点数，将结果记作．若事件，事件，事件C满足，则事件C的个数为（ ） A. 9 B. 8 C. 7 D. 6 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知点P在抛物线上，点M坐标为，O为坐标原点．若是等腰直角三角形，则p的值可以为（ ） A. 4 B. 2 C. 1 D. 10. 已知函数在上单调递增，则实数的取值可以是（ ） A. 1 B. C. 6 D. 9 11. 已知，，且，其中为自然对数的底数，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知随机变量，若，则______． 13. 的展开式中系数最大的项为______． 14. 已知椭圆与双曲线有相同的焦点，，点是与的交点．记椭圆在点P处的切线为直线m，双曲线在点P处的切线为直线n，的平分线与m，n分别相交于点M，N，则______． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 怀远石榴是安徽省怀远县的特产，国家地理标志产品，唐代已有栽植．怀远石榴籽白莹澈如水晶，果实大如碗，皮黄而透红，肉肥核细，汁多味甘．现按照怀远石榴的果径大小分为四类：特级果，一级果，二级果，三级果．某果农从其果园采摘的石榴中随机选取50个，测量果径对照分类标准得到数据如表所示： 等级 特级果 一级果 二级果 三级果 个数 5 10 20 a （1）求a的值并计算三级果所占的百分比； （2）用样本估计总体，该果农参考以下两种销售方案进行销售． 方案1：分类出售，各等级石榴的市场价如表所示： 等级 特级果 一级果 二级果 三级果 售价（元/个） 10 8 5 2 方案2：不分类出售，均按二级果售价出售． 从果农的收益考虑，不考虑其它因素应该采用哪种方案较好？说明理由． 16. 北京时间2024年8月8日凌晨，中国花样游泳队以遥遥领先的得分优势，历史性地登上巴黎奥运会最高领奖台．赛后采访中，主教练透露自己在编排动作时，特别融入了中国元素，以甲骨文“山”字为造型（图1），体现了中国花游不畏艰难险阻，逐梦不止的精神．某公司也以此为创意，设计了本公司的LOGO，如图2．在中，，，点B，H，C在线段上，且，和都是等腰直角三角形，，交于点D，交于点E． （1）求； （2）求； （3）求四边形的面积． 17. 如图，三棱柱中，侧面是菱形，侧面是正方形，，，点是的中点． （1）求证：平面； （2）若，求平面与平面的夹角的余弦值． 18. 已知函数． （1）求函数在处的切线方程； （2）求函数的极值； （3）若关于的方程有两个根和，求证：． 19. 在反诈骗题材电影《孤注一掷》中有这样一个情节，作为程序员的男主角通过在拍照时摆出数字“6”的手势向朋友发出求救信号，因为数字6的二进制表达式为110．进位计数制是一种计数方法，可使用有限的数字符号代表所有的数值，可使用数字符号的数目称为基数，基数为即可称为m进制，例如我们最常用的十进制，就是用0~9这十个阿拉伯数字表示所有的数值．对于正整数n，若它的二进制表达式为，则，其中，，，1，2，…，，如，． （1）用二进制表示正整数2025； （2）对于正整数n，若，记，求证：； （3）记表示正整数n的二进制表达式中0的个数，求． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 蚌埠市2025届高三年级第一次教学质量检查考试 数学 本试卷满分150分，考试时间120分钟 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡和试卷上. 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知向量，，若，则（ ） A. 0 B. 1 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据向量共线的坐标运算即可求解. 【详解】因为向量，，且， 所以，解得. 故选：D. 2. 已知为虚数单位，复数满足，则（ ） A. B. 5 C. D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】利用复数的除法求出复数，再利用复数模长公式即可求解. 【详解】因为， 所以， 所以， 故选：A. 3. 若集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】解一元二次不等式求集合，再应用并运算求集合. 【详解】由， 而，所以. 故选：C 4. 已知直线与圆相交于点P，Q，则（ ） A. B. C. 2 D. 【答案】B 【解析】 【分析】求得圆心到直线的距离，进而可求得. 【详解】由圆，可得圆心，半径， 圆心到直线的距离， 所以弦长. 故选：B. 5. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】首先利用诱导公式将转化为，然后将式子转化为关于的表达式，最后代入求值. 【详解】根据诱导公式，可得. 则. 将上式分子分母同时除以，得到. 分子分母同时除以，则. 已知，将其代入，得到. 故选：B. 6. 若等差数列满足，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用三角换元可求的取值范围. 【详解】设等差数列的公差为，则， 而， 故 设，故， 故选：D. 7. 已知三棱锥中，是边长为3的正三角形，，平面平面，则该三棱锥的外接球体积为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】取等边三角形的中心为，可证为外接球的球心，从而可求半径，故可求外接球的体积. 【详解】 取等边三角形的中心为，连接并延长交于， 则且， 因为平面平面，平面，平面平面， 所以平面，而平面，故， 故，同理， ，，故，故为外接球的球心， 且，故外接球的体积为， 故选：C . 8. 抛掷一枚骰子一次，观察向上一面的点数，将结果记作．若事件，事件，事件C满足，则事件C的个数为（ ） A. 9 B. 8 C. 7 D. 6 【答案】A 【解析】 【分析】由独立乘法公式即可求解. 【详解】根据题意，得到,,则， 当，，等式成立； 当，，； C中含6，从1,2,3,5的4个元素中选3个，共种. 同理，当也有4种，共种. 故选：A. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知点P在抛物线上，点M坐标为，O为坐标原点．若是等腰直角三角形，则p的值可以为（ ） A. 4 B. 2 C. 1 D. 【答案】CD 【解析】 【分析】对于等腰直角三角形，需要分情况讨论直角顶点的位置.可能是，或者三种情况. 利用等腰直角三角形的性质（两直角边相等）以及点在抛物线上这个条件来求解的值. 【详解】因点,点在抛物线上,故点不可能是直角顶点. 当时，因为是等腰直角三角形，所以. 则, 将其代入得，即. 由题意，解得； 当时，因为是等腰直角三角形，所以. 因，故,即,代入，解得. 综上所得，故的值可以为或. 故选：CD. 10. 已知函数在上单调递增，则实数的取值可以是（ ） A. 1 B. C. 6 D. 9 【答案】ABD 【解析】 【分析】利用正弦函数的单调性列不等式求解即可. 【详解】函数的单调递增区间为， 又函数在上单调递增， 所以，即， 则， 又，即， 当时，，当，. 故选：ABD. 11. 已知，，且，其中为自然对数的底数，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】原因变形为，进而变形为，令，求导可得函数在上单调递增，从而可得，可判断A；进而计算可得，判断B；进而得，计算可判断CD. 【详解】因为，，所以， 又因为，所以， 所以，令，求导得， 当时，，所以函数在上单调递增， 所以，所以，故A正确； 所以，所以，所以，故B错误； 因为，所以，故C正确； 又，所以，故D正确. 故选：ACD. 【点睛】关键点点睛：关键在于由原式变形放缩得到，进而构造函数，通过单调性解决问题. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知随机变量，若，则______． 【答案】0.1## 【解析】 【分析】利用正态分布的对称性求概率即可. 【详解】由题设，随机变量的分布曲线关于对称，则，且， 所以. 故答案为： 13. 的展开式中系数最大的项为______． 【答案】 【解析】 【分析】利用二项式定理求得展开式可得结论. 【详解】 ， 所以的展开式中系数最大的项为. 故答案为：. 14. 已知椭圆与双曲线有相同的焦点，，点是与的交点．记椭圆在点P处的切线为直线m，双曲线在点P处的切线为直线n，的平分线与m，n分别相交于点M，N，则______． 【答案】2 【解析】 【分析】由题意可求得，，，可求的椭圆的方程与双曲线方程，分别设出过点与椭圆和双曲线相切的方程，利用判别式法求得切线方程，求得的平分线的方程，联立方程求得交点的坐标，可求. 【详解】因为，，，所以，所以，， 所以，设椭圆的长轴为，短轴长为， 可得，解得，所以， 所以椭圆的方程为， 设双曲线的实轴为，虚轴长为，可得，解得， 所以，所以双曲线的方程为， 设过点与椭圆相切的切线的方程为， 代入椭圆方程得， 整理得， 所以，解得， 所以切线方程为，即， 设过点与双曲线的方程为相切的切线的方程为， 代入双曲线方程得， 整理得，因为直线与双曲线相切，故， 所以，解得， 所以切线方程为，切线， 设，则的平分线的倾斜角为，所以， 所以，所以，解得或（舍去）， 所以的平分线的方程为，即， 联立，解得，即，所以， 联立，解得，即，所以， 所以. 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：关键在于利用法求得两切线方程，进而与角平分线方程联立求得交点坐标，进而可求比值. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 怀远石榴是安徽省怀远县的特产，国家地理标志产品，唐代已有栽植．怀远石榴籽白莹澈如水晶，果实大如碗，皮黄而透红，肉肥核细，汁多味甘．现按照怀远石榴的果径大小分为四类：特级果，一级果，二级果，三级果．某果农从其果园采摘的石榴中随机选取50个，测量果径对照分类标准得到数据如表所示： 等级 特级果 一级果 二级果 三级果 个数 5 10 20 a （1）求a的值并计算三级果所占的百分比； （2）用样本估计总体，该果农参考以下两种销售方案进行销售． 方案1：分类出售，各等级石榴的市场价如表所示： 等级 特级果 一级果 二级果 三级果 售价（元/个） 10 8 5 2 方案2：不分类出售，均按二级果售价出售． 从果农的收益考虑，不考虑其它因素应该采用哪种方案较好？说明理由． 【答案】（1）15，30% （2）用样本估计总体的分布，可得方案1的石榴的平均售价为 （元）， 因为，所以选择方案1较好． 【解析】 【分析】（1）求出的值，再得出礼品果所占的比例；（2）求出方案1中石榴的平均价格，并与方案2中的平均价格比较即可. 【小问1详解】 ，三级果所占的百分比为． 【小问2详解】 略 16. 北京时间2024年8月8日凌晨，中国花样游泳队以遥遥领先的得分优势，历史性地登上巴黎奥运会最高领奖台．赛后采访中，主教练透露自己在编排动作时，特别融入了中国元素，以甲骨文“山”字为造型（图1），体现了中国花游不畏艰难险阻，逐梦不止的精神．某公司也以此为创意，设计了本公司的LOGO，如图2．在中，，，点B，H，C在线段上，且，和都是等腰直角三角形，，交于点D，交于点E． （1）求； （2）求； （3）求四边形的面积． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）在中，利用余弦定理可求得； （2）由余弦定理可求得，进而利用两角和的正弦公式可求得； （3）利用正弦定理可求得，进而由三角形的面积公式可求结论. 【小问1详解】 在中，由余弦定理， ，所以． 【小问2详解】 在中，，在中，由余弦定理， ， 则， ． 【小问3详解】 在中，，， 由正弦定理，， ， 四边形的面积为． 17. 如图，三棱柱中，侧面是菱形，侧面是正方形，，，点是的中点． （1）求证：平面； （2）若，求平面与平面的夹角的余弦值． 【答案】（1）取的中点O，连接，，， 在菱形中，，则为正三角形，， 从而，由余弦定理， ， 又，正方形中，， 所以，即． 在正方形中，，， ，平面，所以平面. （2） 【解析】 【分析】（1）取的中点O，由余弦定理求出，然后由勾股定理得，再由线面垂直的判定定理可得答案； （2）以O为原点，，，分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，设，由求出得点坐标，求出平面、平面的法向量，再由二面角的向量求法可得答案． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 平面，则， 又为中位线，，所以． 在正三角形中，， 由（1）知，平面，平面，则， 而，所以， 如图，以O为原点，，，分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系， 则，，，，， 设，，则， 由，解得点． ，，， 设平面的法向量为， 由，取，则， 平面的法向量为． 设平面的法向量为， 由，取，则，， 平面的法向量为． 设平面与平面的夹角为， 则． 18. 已知函数． （1）求函数在处的切线方程； （2）求函数的极值； （3）若关于的方程有两个根和，求证：． 【答案】（1） （2）极大值为，无极小值． （3）由（2）不妨令，，， 构造，， 则，令，解得；令，解得， 在上单调递增，在上单调递减，， 由，则， 所以，当且仅当时等号成立， 构造，， ，令，得；令，得， 在上单调递增，在上单调递减，， 由，则， 所以，当且仅当时等号成立， 所以，又等号不同时成立， 所以． 【解析】 【分析】（1）求出函数的导函数，利用导数的几何意义求出切线方程； （2）求出函数的单调区间，即可求出函数的极值； （3）由（2）不妨令，，构造，，利用导数说明函数的单调性，即可得到，再构造，，利用导数说明，即可得证. 【小问1详解】 因为，所以，则， 又， 故在处的切线方程为，即． 【小问2详解】 函数的定义域为，又， 令，解得；令，解得， 故在上单调递增，在上单调递减， 所以的极大值为，无极小值． 【小问3详解】 略 【点睛】方法点睛：利用导数证明不等式的基本步骤 （1）作差或变形； （2）构造新的函数； （3）利用导数研究的单调性或最值； （4）根据单调性及最值，得到所证不等式． 特别地：当作差或变形构造的新函数不能利用导数求解时，一般转化为分别求左、右两端两个函数的最值问题． 19. 在反诈骗题材电影《孤注一掷》中有这样一个情节，作为程序员的男主角通过在拍照时摆出数字“6”的手势向朋友发出求救信号，因为数字6的二进制表达式为110．进位计数制是一种计数方法，可使用有限的数字符号代表所有的数值，可使用数字符号的数目称为基数，基数为即可称为m进制，例如我们最常用的十进制，就是用0~9这十个阿拉伯数字表示所有的数值．对于正整数n，若它的二进制表达式为，则，其中，，，1，2，…，，如，． （1）用二进制表示正整数2025； （2）对于正整数n，若，记，求证：； （3）记表示正整数n的二进制表达式中0的个数，求． 【答案】（1） （2）设， 则， ， ， ，所以． （3）3280 【解析】 【分析】（1）利用二进制计算可求结论； （2）借助二进制的定义计算可得，，即可得证； （3）计算出，的个数，即可得. 【小问1详解】 ． 【小问2详解】 略 【小问3详解】 ， 对于，的正整数n共有 （个）， 的有8个，也符合，所以的自然数n共有个， ． 【点睛】关键点点睛：本题最后一小问关键点在于结合二进制的定义，得到的自然数n共有个，再结合组合数的性质计算得到结果. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $