2025年湖南省长沙市九年级中考备考数学模拟试题

2025年湖南省长沙市中考备考数学模拟试题 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。 3．回答填空题时，请将每小题的答案直接填写在答题卡中对应横线上。写在本试卷上无效。 4．回答解答题时，每题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上。写在本试卷上无效。 5．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．下列建筑装饰图案中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（    ） A． B． C． D． 2．2024年两会这份数据，振奋人心！中国2023年GDP超126万亿元，同比GDP增量相当于一个中等国家经济总量，连续多年保持世界第二大商品消费市场，世界第一制造业大国，世界第一货物贸易大国地位．把数据126万亿元用科学记数法表示为（    ） A．元 B．元 C．元 D．元 3．在我国古代著名的数学专著《九章算术》中，首次引入负数．如果收入10元记作元，则元表示（    ） A．支出5元 B．收入5元 C．支出10元 D．收入10元 4．下列运算中，正确的是（    ） A． B． C． D． 5．某校书法兴趣小组20名学生日练字页数如下表所示： 日练字页数 2 3 4 5 6 人  数 2 6 5 4 3 这些学生日练字页数的中位数、平均数分别是(　　) A．3页，4页 B．3页，5页 C．4页，4页 D．4页，5页 6．坐标平面内，将点向右平移两个单位长度后恰好与点关于原点对称，则的值为（    ） A． B． C． D． 7．如图，已知函数和的图象交于点，则关于x，y的方程组的解是（　　）． A． B． C． D． 8．如图， ，点，在直线上，点在直线上，，若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 9．“圆材埋壁”是我国古代数学名著《九章算术》中的一个问题：“今有圆材，理在壁中，不知大小，深一寸，锯道长一尺．问：径几何？”用现在的几何语言表达即：如图，弦，垂足为点，寸，寸，则直径的长度是（    ） A．24寸 B．48寸 C． D．56寸 10．如图，将菱形纸片折叠，使点A恰好落在菱形的对角线交点O处，折痕为，若菱形的边长为，，那么为（    ） A． B． C． D． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在横线上） 11．若一组数据，，，，的众数是，则这组数据的方差为 ． 12．在5张一样的卡片上分别写上数，，，，，打乱顺序后，从中随机抽取一张，则抽到的卡片写的是无理数的概率是 ． 13．分式方程的解为 ． 14．如图，在圆心角为的扇形中，半径，从C，D为弧的三等分点，连接，则图中阴影部分的面积为 ． 15．如图，如果要测量池塘两端A、B的距离，可以在池塘外取一点C，连接、点D、E分别是、的中点，测得的长为12米，则的长为 米． 16．设为正整数，对于一个四位正整数，若千位与百位的数字之和等于，十位与个位的数字之和等于，则称这样的数为“级收缩数”．例如正整数中，因为，，所以是“级收缩数”，其中．最小的“级收缩数”是 ；若一个“级收缩数”的千位数字与十位数字之积为，且这个数能被整除，则满足条件的数是 ． 3、 解答题（本大题共9小题，共72分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 其中：17-19 每题6分 20-21 每题8分 22-23 每题9分 24-25 每题10分 17．（6分）计算： 18．（6分）先化简，再求值．，其中，． 19．（6分）如图，已知在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD是斜边AB上的中线，点E是边BC延长线上一点，连接AE、DE，过点C作CF⊥DE于点F，且DF＝EF． （1）求证：AD＝CE．     （2）若CD＝5，AC＝6，求△AEB的面积． 20．（8分）为了深化课程改革，某校积极开展校本课程建设，计划成立“文学鉴赏”、“国际象棋”、“音乐舞蹈”和“书法”等多个社团，要求每位学生都自主选择其中一个社团，为此，随机调查了本校部分学生选择社团的意向．并将调查结果绘制成如下统计图表（不完整）： 选择意向 文学鉴赏 国际象棋 音乐舞蹈 书法 其他 所占百分比    根据统计图表的信息，解答下列问题： (1)本次抽样调查的学生有　　人； (2)统计表中的　　，　　； (3)选择“国际象棋”的学生有 　　人； (4)若该校共有名学生，试估计全校选择“音乐舞蹈”社团的学生有 　 人． 21．（8分）如图，D，E为中边上两点，过D作交的延长线于点A，． (1)求证：； (2)若，，，求的长． 22．（9分）某汽车贸易公司销售A、B两种型号的新能源汽车，A型车进货价格为每台12万元，B型车进货价格为每台15万元，该公司销售2台A型车和5台B型车，可获利3.1万元，销售1台A型车和2台B型车，可获利1.3万元． （1）求销售一台A型、一台B型新能源汽车的利润各是多少万元？ （2）该公司准备用不超过300万元资金，采购A、B两种新能源汽车共22台，问最少需要采购A型新能源汽车多少台？ 23．（9分）如图，在矩形中，对角线交于点O，分别过点作的平行线交于点E，连接交于点F． (1)求证：四边形是菱形； (2)若，求菱形的周长． 24．（10分）如图，是的直径，是上一点，过点作的切线交的延长线于点，． (1)求的度数； (2)如图2，是线段上的动点，过点作的平行线，交于点，，连接，，． ①当时，求的长； ②当为何值时，． 25．（10分）我们称关于x的二次函数为一次函数和反比例函数的“共同体”函数．一次函数和反比例函数的交点称为二次函数的“共赢点”． (1)二次函数是哪两个函数的“共同体”函数？并求出它的“共赢点”； (2)已知二次函数与x轴的交点为M，N，有A，B两个“共赢点”，且，求a的值； (3)若一次函数和反比例函数的“共同体”函数的两个“共赢点”的横坐标为，，其中实数，．令，求L的取值范围． 试卷第8页，共9页 试卷第1页，共9页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025年湖南省长沙市中考备考数学模拟试题 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。 3．回答填空题时，请将每小题的答案直接填写在答题卡中对应横线上。写在本试卷上无效。 4．回答解答题时，每题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上。写在本试卷上无效。 5．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．下列建筑装饰图案中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查轴对称图形、中心对称图形的识别，根据轴对称图形（如果一个平面图形沿着一条直线折叠后，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴）与中心对称图形（在平面内，把一个图形绕着某个点旋转，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点叫做它的对称中心）的定义逐项判断即可． 【详解】解：A．图形是轴对称图形，也是中心对称图形，故此选项符合题意； B．该图形不是轴对称图形，但是中心对称图形，故此选项不符合题意； C．该图形不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故此选项不符合题意； D．该图形是轴对称图形，但不是中心对称图形，故此选项不符合题意． 故选：A． 2．2024年两会这份数据，振奋人心！中国2023年GDP超126万亿元，同比GDP增量相当于一个中等国家经济总量，连续多年保持世界第二大商品消费市场，世界第一制造业大国，世界第一货物贸易大国地位．把数据126万亿元用科学记数法表示为（    ） A．元 B．元 C．元 D．元 【答案】D 【分析】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数；确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同． 【详解】解：数据126万亿元用科学记数法表示为元． 故选：D． 3．在我国古代著名的数学专著《九章算术》中，首次引入负数．如果收入10元记作元，则元表示（    ） A．支出5元 B．收入5元 C．支出10元 D．收入10元 【答案】A 【分析】本题考查了正数和负数，理解“正”和“负”的相对性，确定一对具有相反意义的量． 【详解】根据题意，如果收入10元记作元，则元表示支出5元． 故选：A． 4．下列运算中，正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了幂的乘方，同底数幂的乘除，二次根式，熟悉相关性质是解题的关键．根据幂的乘方，同底数幂的乘除和二次根式的概念逐一判断即可． 【详解】解：A．，故该选项错误； B．，故该选项正确； C．，故该选项错误； D．，故该选项错误； 故选：B． 5．某校书法兴趣小组20名学生日练字页数如下表所示： 日练字页数 2 3 4 5 6 人  数 2 6 5 4 3 这些学生日练字页数的中位数、平均数分别是(　　) A．3页，4页 B．3页，5页 C．4页，4页 D．4页，5页 【答案】C 【分析】按顺序第10，11人的页数4，4的平均值为中位数；总页数与总人数之比为平均数. 【详解】因为有20个数据， 所以，按顺序第10，11人的页数4，4的平均值为中位数；即：4（页）. 平均数：（2×2+3×6+4×5+5×4+6×3）÷20=4（页）. 故选C. 【点睛】本题考核知识点：中位数，平均数. 解题关键点：熟记中位数和平均数的概念及求法. 6．坐标平面内，将点向右平移两个单位长度后恰好与点关于原点对称，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由点向右平移两个单位长度可得平移后点的坐标为，然后根据该点与点关于原点对称可求解． 【详解】解：由题意可知点平移后的坐标为， ∵点与点关于原点对称， ∴， ∴， ∴； 故选D． 【点睛】本题主要考查点的平移及关于原点对称，熟练掌握点的平移及关于原点对称的特征是解题的关键． 7．如图，已知函数和的图象交于点，则关于x，y的方程组的解是（　　）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查一次函数与二元一次方程（组）的关系，方程组的解就是使方程组中两个方程同时成立的一对未知数的值，而这一对未知数的值也同时满足两个相应的一次函数式，因此方程组的解就是两个相应的一次函数图象的交点坐标．将代入，可求得a的值，再根据一次函数与二元一次方程（组）的关系即可解答． 【详解】解：把点代入得：， 所以关于x，y的方程组的解是． 故选A． 8．如图， ，点，在直线上，点在直线上，，若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查平行线的性质，平角的定义．根据“两直线平行，内错角相等”与平角为进行解题即可． 【详解】解：， ， 又 ∴， ， 故选D． 9．“圆材埋壁”是我国古代数学名著《九章算术》中的一个问题：“今有圆材，理在壁中，不知大小，深一寸，锯道长一尺．问：径几何？”用现在的几何语言表达即：如图，弦，垂足为点，寸，寸，则直径的长度是（    ） A．24寸 B．48寸 C． D．56寸 【答案】C 【分析】本题考查了垂径定理及勾股定理，熟练掌握垂径定理及勾股定理是解答本题的关键．连结，设寸，根据垂径定理求出的长，根据勾股定理列方程并求解，得到半径的长，即得答案． 【详解】解：连结， 设寸，则寸， ， 寸， ， ， 解得， 寸． 故选C． 10．如图，将菱形纸片折叠，使点A恰好落在菱形的对角线交点O处，折痕为，若菱形的边长为，，那么为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】连接、，根据菱形性质得出，平分，求出，求出，、，根据折叠得出，平分，推出，可证得，根据相似三角形的性质求出即可． 【详解】解：连接、，与相交于点G，如图， ∵四边形是菱形， ，平分， ， ， ， ， 由勾股定理得：， ， 沿折叠与O重合， ，平分， ， ， ， ， ， ， 故选：C． 【点睛】本题考查了折叠性质，菱形性质，含30度角的直角三角形性质，勾股定理，相似三角形的判定与性质，主要考查学生综合运用定理进行推理和计算的能力． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在横线上） 11．若一组数据，，，，的众数是，则这组数据的方差为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查众数和方差，先根据众数的概念得出，再依据方差的定义计算可得． 【详解】解：∵数据，，，，的众数是， ∴， 则数据为，，，， ∴这组数据的平均数为：， ∴这组数据的方差为：； 故答案为：． 12．在5张一样的卡片上分别写上数，，，，，打乱顺序后，从中随机抽取一张，则抽到的卡片写的是无理数的概率是 ． 【答案】 【分析】此题主要考查了无理数，算术平方根，立方根以及概率公式的应用．先找出无理数的个数，再根据概率公式可得答案． 【详解】解：，，都是有理数， ，都是无理数，共2个， 则抽到的卡片写的是无理数的概率是． 故答案为：． 13．分式方程的解为 ． 【答案】 【分析】本题考查了解分式方程，先化为整式方程，再解一元一次方程，然后对所求的方程的解进行检验即可得． 【详解】解： 去分母得，， 解得， 检验：将代入， ∴原方程的解为． 故答案为：． 14．如图，在圆心角为的扇形中，半径，从C，D为弧的三等分点，连接，则图中阴影部分的面积为 ． 【答案】 【分析】本题考查扇形的面积等知识．作于．求出，即可求出的面积，再根据扇形面积公式计算即可求解． 【详解】解：如图作于． 点，为的三等分点，， ，， 是等腰直角三角形， ， ， ， ∴， ， 故答案为：． 15．如图，如果要测量池塘两端A、B的距离，可以在池塘外取一点C，连接、点D、E分别是、的中点，测得的长为12米，则的长为 米． 【答案】24 【分析】本题考查了三角形的中位线，掌握“三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半”是解决本题的关键． 根据三角形中位线定理计算即可． 【详解】点D、E分别是、的中点， 是的中位线，的长为12米， （米）， 的长为24米． 故答案为：24． 16．设为正整数，对于一个四位正整数，若千位与百位的数字之和等于，十位与个位的数字之和等于，则称这样的数为“级收缩数”．例如正整数中，因为，，所以是“级收缩数”，其中．最小的“级收缩数”是 ；若一个“级收缩数”的千位数字与十位数字之积为，且这个数能被整除，则满足条件的数是 ． 【答案】 【分析】本题考查了新定义运算，不定方程的应用，二元一次方程组的解；因为是“级收缩数”，那么千位与百位的数字之和等于，千位数字可选数字，则百位数字为；十位与个位数字的和为，十位可选最小的数字0，则个位数字为，那么可得最小的“级收缩数”；设“级收缩数”的千位数字为，十位数为，判断出其他数位上的数字，根据这个数千位数字与十位数字之积为以及这个数能被整除可得所求的数． 【详解】解：是“级收缩数”， ． 求最小的“级收缩数”， 千位数字可选数字， 百位数字为． 十位与个位数字的和为， 十位可选最小的数字， 个位数字为． ∴最小的“级收缩数”为：； 设“级收缩数”的千位数字为，十位上的数字为，则百位数字为，个位上的数字为． ∵千位数字与十位数字之积为， ∴(不合题意，舍去)或或或． ∴“级收缩数”为或或． ∵这个数能被整除，上述个数只有是的整数倍， ∴“级收缩数”为：． 故答案为：，． 3、 解答题（本大题共9小题，共72分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 其中：17-19 每题6分 20-21 每题8分 22-23 每题9分 24-25 每题10分 17．（6分）计算： 【答案】 【分析】先计算有理数的乘方、零指数幂、特殊角的余弦值、化简绝对值，再计算乘法与加减法即可得． 【详解】解：原式 ． 【点睛】本题考查了零指数幂、特殊角的余弦值、实数的混合运算，熟练掌握各运算法则是解题关键． 18．（6分）先化简，再求值．，其中，． 【答案】； 【分析】本题考查整式的化简求值．注意计算的准确性即可． 【详解】解： ． 当，时， 原式 19．（6分）如图，已知在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD是斜边AB上的中线，点E是边BC延长线上一点，连接AE、DE，过点C作CF⊥DE于点F，且DF＝EF． （1）求证：AD＝CE．     （2）若CD＝5，AC＝6，求△AEB的面积． 【答案】（1）见解析；（2）39 【分析】（1）首先根据CF⊥DE，DF＝EF得出CF为DE的中垂线，然后根据垂直平分线的性质得到CD＝CE，然后根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得到CD＝AD，即可证明AD＝CE； （2）由（1）得CD＝CE=AB=5，由勾股定理求出BC，然后结合三角形的面积公式进行计算． 【详解】（1）证明：∵DF＝EF   ∴点F为DE的中点 又∵CF⊥DE   ∴CF为DE的中垂线 ∴CD＝CE 又∵在Rt△ABC中，∠ACB＝90°， CD是斜边AB上的中线 ∴CD＝=AD ∴AD＝CE （2）解：由（1）得CD＝CE==5 ∴AB=10   ∴在Rt△ABC中，BC==8 ∴EB=EC+BC=13 ∴ ． 【点睛】此题考查了垂直平分线的判定和性质，直角三角形性质，三角形面积公式等知识，解题的关键是熟练掌握垂直平分线的判定和性质，直角三角形性质，三角形面积公式． 20．（8分）为了深化课程改革，某校积极开展校本课程建设，计划成立“文学鉴赏”、“国际象棋”、“音乐舞蹈”和“书法”等多个社团，要求每位学生都自主选择其中一个社团，为此，随机调查了本校部分学生选择社团的意向．并将调查结果绘制成如下统计图表（不完整）： 选择意向 文学鉴赏 国际象棋 音乐舞蹈 书法 其他 所占百分比    根据统计图表的信息，解答下列问题： (1)本次抽样调查的学生有　　人； (2)统计表中的　　，　　； (3)选择“国际象棋”的学生有 　　人； (4)若该校共有名学生，试估计全校选择“音乐舞蹈”社团的学生有 　 人． 【答案】(1) (2)； (3) (4) 【分析】（1）用“书法”的人数除以其所占的百分比即可求出抽样调查的学生总人数； （2）用“文学鉴赏”、“音乐舞蹈”的人数除以总人数即可求出、的值； （3）用总人数乘以“国际象棋”的人数所占的百分比求出“国际象棋”的人数； （4）用该校总人数乘以全校选择“音乐舞蹈”社团的学生所占的百分比即可． 【详解】（1）解：（1）本次抽样调查的学生总人数是：（人）， 故答案为：． （2）， ， 故答案为：；． （3）“国际象棋”的人数是：（人）， 故答案为：． （4）（人）， 估计全校选择“音乐舞蹈”社团的学生有人， 故答案为：． 【点睛】本题考查的是条形统计图的综合运用．读懂统计图，从统计图中得到必要的信息是解决问题的关键，条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据． 21．（8分）如图，D，E为中边上两点，过D作交的延长线于点A，． (1)求证：； (2)若，，，求的长． 【答案】(1)详见解析 (2) 【分析】本题考查了全等三角形的判定，相似三角形的判定与性质等知识，熟练掌握全等三角形的判定，相似三角形的判定与性质是解题的关键 （1）由，可得，，进而可证． （2）由，证明，则，即，计算求解即可． 【详解】（1）证明：∵， ∴，， 又∵， ∴． （2）解：∵， ∴， ∴，即， 解得，， ∴的长为． 22．（9分）某汽车贸易公司销售A、B两种型号的新能源汽车，A型车进货价格为每台12万元，B型车进货价格为每台15万元，该公司销售2台A型车和5台B型车，可获利3.1万元，销售1台A型车和2台B型车，可获利1.3万元． （1）求销售一台A型、一台B型新能源汽车的利润各是多少万元？ （2）该公司准备用不超过300万元资金，采购A、B两种新能源汽车共22台，问最少需要采购A型新能源汽车多少台？ 【答案】（1）销售每台A型车的利润为0.3万元，每台B型车的利润为0.5万元；（2）最少需要采购A型新能源汽车台． 【分析】（1）设每台A型车的利润为x万元，每台B型车的利润为y万元，根据题意中的数量关系列出二元一次方程组，解方程组即可； （2）先求出每台A型车和每台B型车的采购价，根据“用不超过300万元资金，采购A、B两种新能源汽车共22台”列出不等式求解即可． 【详解】解：（1）设每台A型车的利润为x万元，每台B型车的利润为y万元，根据题意得， 解得， 答：销售每台A型车的利润为0.3万元，每台B型车的利润为0.5万元； （2）因为每台A型车的采购价为：12万元，每台B型车的采购价为：15万元， 设最少需要采购A型新能源汽车m台，则需要采购B型新能源汽车(22-m)台，根据题意得， 解得， ∵m是整数， ∴m的最小整数值为， 即，最少需要采购A型新能源汽车台． 【点睛】本题主要考查了一元一次不等式的应用和二元一次方程组的应用，解答此题的关键是找出题中的数量关系． 23．（9分）如图，在矩形中，对角线交于点O，分别过点作的平行线交于点E，连接交于点F． (1)求证：四边形是菱形； (2)若，求菱形的周长． 【答案】(1)见解析 (2)20 【分析】该题主要考查了平行四边形的性质和判定，矩形的性质，菱形的性质和判定，等边三角形的性质和判定等知识点，解题的关键是掌握以上知识点； （1）根据平行四边形的判定得出四边形是平行四边形，进而利用菱形的判定解答即可； （2）根据矩形的性质和菱形的性质得出面积解答即可． 【详解】（1）证明：∵， ∴四边形是平行四边形， ∵四边形是矩形， ∴， ∴四边形是菱形； （2）解：∵四边形是矩形，， ∴， ∴是等边三角形， ∴， 由（1）知：四边形是菱形， ∴． 24．（10分）如图，是的直径，是上一点，过点作的切线交的延长线于点，． (1)求的度数； (2)如图2，是线段上的动点，过点作的平行线，交于点，，连接，，． ①当时，求的长； ②当为何值时，． 【答案】(1) (2)①；②当时， 【分析】（1）连接，由得到，从而，根据是的切线，得到，从而，即，结合即可解答； （2）①连接，由是直径得到，由得到，解直角三角形得到，连接，则，由得到，解直角三角形得到，，，证明，得到，代入即可解答； ②过点B作于点G，证得，得到，设，则，．过点O作于点N，，，．根据得到，分别代入得到方程，求解即可解答． 【详解】（1）解：连接， ∵， ∴， ∴， ∵是的切线，是半径， ∴， ∴， ∴，即， ∵ ∴， ∴； （2）解：①连接， ∵是直径， ∴， ∵， ∴， ∴， ， 连接，则 ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴； ②过点B作于点G， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 设， ∵，， ∴， ∴． 过点O作于点N， ∵， ∴ ∴在中，， ∵过圆心O，且， ∴， ∴． ∵，即， ∴， 解得：或（不合题意，舍去）， ∴， ∴当时，． 【点睛】本题考查等腰三角形的判定及性质，相似三角形的判定及性质，解直角三角形，垂径定理，勾股定理．正确作出辅助线，综合运用相关知识是解题的关键． 25．（10分）我们称关于x的二次函数为一次函数和反比例函数的“共同体”函数．一次函数和反比例函数的交点称为二次函数的“共赢点”． (1)二次函数是哪两个函数的“共同体”函数？并求出它的“共赢点”； (2)已知二次函数与x轴的交点为M，N，有A，B两个“共赢点”，且，求a的值； (3)若一次函数和反比例函数的“共同体”函数的两个“共赢点”的横坐标为，，其中实数，．令，求L的取值范围． 【答案】(1)二次函数是一次函数与反比例函数的“共同体”函数，“共赢点”是， (2) (3) 【分析】（1）根据“共同体”函数和“共赢点”的定义即可求解； （2）对于二次函数，令，则，得到交点M，N的横坐标满足，，根据两点间距离公式有．二次函数是一次函数与反比例函数的“共同体”函数，由得，则两个“共赢点”A，B的横坐标满足，，纵坐标满足，，根据两点间距离公式有，由，即可求出a的值； （3）由，得到，，，，从而，由题意可得，，从而，根据二次函数的增减性并结合，可求出L的取值范围． 【详解】（1）根据题意，二次函数中，，，， ∴二次函数是一次函数与反比例函数的“共同体”函数， 解方程组得，， 经检验，，都是方程组的解， ∴一次函数与反比例函数图象的交点为，， 即二次函数的“共赢点”是，； （2）∵二次函数与x轴的交点为M，N， ∴令，则， ∴交点M，N的横坐标满足，， ∴， ∵二次函数是一次函数与反比例函数的“共同体”函数，有A，B两个“共赢点”， ∴由得， ∴， ∴A，B两个“共赢点”的横坐标满足，， 纵坐标，， ∴， ， ∴ ， ∵， ∴， ∴， ∵二次函数与x轴有两个交点M，N， ∴， ∴， ∴； （3）∵，， ∴，，，， ∴， ∵一次函数和反比例函数的“共同体”函数的两个“共赢点”的横坐标为，， ∴，是方程，即的两个根， ∴，， ∵ ， ∵， ∴， 即． 【点睛】本题考查一次函数与反比例函数的交点，一元二次方程根与系数的关系，两点间距离公式，完全平方公式的应用．熟练运用一元二次方程根与系数的关系是解题的关键． 试卷第20页，共23页 试卷第1页，共23页 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