专题2 微重点4 平面向量数量积的最值与范围问题-【步步高】2024年高考数学大二轮专题复习与增分策略（新高考提高版）

微重点4　平面向量数量积的最值与范围问题 平面向量中的最值与范围问题，是高考的热点与难点问题，主要考查求向量的模、数量积、夹角及向量的系数等的最值、范围．解决这类问题的一般思路是建立求解目标的函数关系，通过函数的值域解决问题，同时，平面向量兼具“数”与“形”的双重身份，数形结合也是解决平面向量中的最值与范围问题的重要方法． 考点一　求参数的最值(范围) 例1　(1)(2023·漳州模拟)已知△ABC，点D满足＝，点E为线段CD上异于C，D的动点，若＝λ＋μ，则λ2＋μ2的取值范围是________． 答案　 解析　由题意设＝m，m∈(0,1)， 因为＝， 所以＝＝， 所以＝＋＝＋＝－， 又＝λ＋μ， 则 所以λ2＋μ2＝1＋m＋m2 ＝2＋， 又因为m∈(0,1)，由二次函数的性质得 y＝2＋∈， 所以λ2＋μ2的取值范围是. (2)设非零向量a，b的夹角为θ，若|a|＝2|b|＝2，且不等式|2a＋b|≥|a＋λb|对任意的θ恒成立，则实数λ的取值范围为(　　) A．[－1,3] B．[－1,5] C．[－7,3] D．[5,7] 答案　A 解析　∵非零向量a，b的夹角为θ，若|a|＝2|b|＝2， ∴|a|＝2，|b|＝1， a·b＝2×1×cos θ＝2cos θ， ∵不等式|2a＋b|≥|a＋λb|对任意的θ恒成立， ∴(2a＋b)2≥(a＋λb)2， ∴4a2＋4a·b＋b2≥a2＋2λa·b＋λ2b2， 整理可得(13－λ2)＋(8－4λ)cos θ≥0恒成立， ∵cos θ∈[－1,1]， ∴解得－1≤λ≤3. 规律方法　利用共线向量定理及推论 (1)a∥b⇔a＝λb(b≠0)． (2)＝λ＋μ(λ，μ为实数)，则A，B，C三点共线⇔λ＋μ＝1. 跟踪演练1　(1)(2023·深圳模拟)过△ABC的重心G的直线l分别交线段AB，AC于点E，F，若＝λ，＝μ，则λ＋μ的最小值为(　　) A.＋ B. C. D．1 答案　C 解析　如图，若D为BC的中点，又G为△ABC的重心，则A，G，D三点共线，且＝， 因为＝＋＝＋，所以＝＋，即＝＋， 又E，G，F三点共线，所以＋＝1， 故λ＋μ＝(λ＋μ) ＝＋ ≥＋×2＝， 当且仅当λ＝μ＝时，等号成立． (2)(2023·佛山模拟)如图，点C在半径为1，圆心角为的扇形OAB的弧上运动．已知＝x＋y，则当∠AOC＝时，x＋y＝________；x＋y的最大值为________． 答案　　2 解析　以O为坐标原点，OA所在直线为x轴，过点O作OA的垂线所在直线为y轴，建立如图所示的平面直角坐标系， 则A(1,0)，B，＝(1,0)，＝， 当∠AOC＝时，C， 则＝， 由＝x＋y， 得＝x(1,0)＋y， 即解得 故x＋y＝. 设∠AOC＝α， 则＝(cos α，sin α)， 由＝x＋y， 得(cos α，sin α)＝x(1,0)＋y， 即解得 故x＋y＝cos α＋sin α＝2sin， 由于0≤α≤，故当α＝时，2sin取最大值为2，即x＋y的最大值为2. 考点二　求向量模、夹角的最值(范围) 例2　(1)已知e为单位向量，向量a满足(a－e)·(a－5e)＝0，则|a＋e|的最大值为(　　) A．4 B．5 C．6 D．7 答案　C 解析　可设e＝(1,0)，a＝(x，y)， 则(a－e)·(a－5e)＝(x－1，y)·(x－5，y) ＝x2－6x＋5＋y2＝0， 即(x－3)2＋y2＝4， 则1≤x≤5，－2≤y≤2， |a＋e|＝＝， 当x＝5时，取得最大值6， 即|a＋e|的最大值为6. (2)平面向量a，b满足|a|＝3|b|，且＝4，则a与a－b夹角的余弦值的最小值为________． 答案　 解析　如图所示，设a＝，b＝， 则a－b＝， 设|b|＝m，|a|＝3m， 又|a－b|＝4，则1<m<2， cos∠OAB＝ ＝＝＋≥2＝， 当且仅当＝，即m＝时，等号成立． 易错提醒　找两向量的夹角时，要注意“共起点”以及向量夹角的取值范围是[0，π]．若向量a，b的夹角为锐角，包括a·b>0和a，b不共线；若向量a，b的夹角为钝角，包括a·b<0和a，b不共线． 跟踪演练2　(1)(2023·杭州模拟)已知a＝(1,2)，b＝(1,1)，且a与a＋λb的夹角为锐角，则实数λ的取值范围为____________． 答案　∪(0，＋∞) 解析　因为a＝(1,2)，b＝(1,1)， 所以a＋λb＝(1＋λ，2＋λ)， 因为a与a＋λb的夹角为锐角， 所以a·(a＋λb)>0，且a与a＋λb不共线， 所以 解得λ>－且λ≠0， 所以λ的取值范围为∪(0，＋∞)． (2)(2023·安庆模拟)已知非零向量a，b的夹角为θ，|a＋b|＝2，且|a||b|≥，则夹角θ的最小值为(　　) A. B. C. D. 答案　C 解析　由|a＋b|2＝4， 得|a|2＋|b|2＋2|a|·|b|cos θ＝4， 即4≥2|a|·|b|(1＋cos θ)≥(1＋cos θ)， 当且仅当|a|＝|b|时，等号成立， 解得cos θ≤.又θ∈[0，π]，所以≤θ≤π， 所以夹角θ的最小值为. 考点三　求向量数量积的最值(范围) 例3　(1)(2023·开封模拟)等腰直角三角形ABC的直角顶点A在x轴的正半轴上，点B在y轴的正半轴上，点C在第一象限，且AB＝1，O为坐标原点，则·的取值范围是(　　) A. B. C. D. 答案　B 解析　由题意可得△OAB为直角三角形， 且AB＝1，设与的夹角为α， 则A(cos α，0)，B(0，sin α)， 其中α∈， 如图所示，则由等腰直角三角形的性质可得C(cos α＋sin α，cos α)， 所以·＝cos α(cos α＋sin α) ＝cos 2α＋sin 2α＋ ＝sin＋， 又2α＋∈， 所以sin∈， 则·∈. (2)(2023·全国乙卷)已知⊙O的半径为1，直线PA与⊙O相切于点A，直线PB与⊙O交于B，C两点，D为BC的中点，若|PO|＝，则·的最大值为(　　) A. B. C．1＋ D．2＋ 答案　A 解析　连接OA，由题可知|OA|＝1，OA⊥PA， 因为|PO|＝， 所以由勾股定理可得|PA|＝1， 则∠POA＝. 设直线PO绕点P按逆时针旋转θ后与直线PD重合， 则－<θ<，∠APD＝＋θ， 且|PD|＝cos θ. 所以·＝||||cos ＝cos θcos ＝cos θ ＝cos2θ－sin θcos θ ＝＋cos 2θ－sin 2θ ＝＋cos， 所以当θ＝－时，·取得最大值，为. 规律方法　向量数量积最值(范围)问题的解题策略 (1)形化：利用平面向量的几何意义将问题转化为平面几何中的最值或范围问题，然后根据平面图形的特征直接进行判断． (2)数化：利用平面向量的坐标运算，把问题转化为代数中的函数最值与值域、不等式的解集或方程有解等问题，然后利用函数、不等式或方程的有关知识来解决． 跟踪演练3　(1)(2023·台州模拟)已知P是边长为2的正六边形ABCDEF内(含边界)一点，M为边BC的中点，则·的取值范围是(　　) A．[－2,6] B．[－1,9] C．[－2,4] D．[－1,6] 答案　B 解析　如图，过P作PN⊥AM于N，则·＝||||cos∠PAN＝±||·||，分别过C，F作CK⊥AM，FH⊥AM，K，H为垂足， 则当N与K重合(即P与C重合)时，·取得最大值，当N与H重合(即P与F重合)时，·取得最小值， 因为ABCDEF是正六边形，所以以AB为x轴，AE为y轴建立如图所示的平面直角坐标系， 则A(0,0)，B(2,0)，C(3，)，F(－1，)，M是BC的中点，则M， ＝，＝(3，)，＝(－1，)， ·＝＋＝9，·＝－＋＝－1， 所以·的取值范围是[－1,9]． (2)(2023·邵阳模拟)已知四边形ABCD是边长为1的正方形，P为对角线AC上一点，则·(＋)的最小值是(　　) A．0 B．－ C．－ D．－2 答案　B 解析　作出如图所示的图形， ·(＋)＝·2. 令＝λ，则λ∈[0,1]， ＝－＝－λ＝， ∵·2＝－λ·2 ＝(2λ2－λ)·2＝4λ2－2λ，λ∈[0,1]， ∴当λ＝时，(·2)min＝－. 专题强化练 1．(2023·咸阳模拟)已知向量a，b，且|a|＝|b|＝5，|a＋b|＝6，则|ta＋b|(t∈R)的最小值为(　　) A. B．4 C. D. 答案　A 解析　由题意，∵|a＋b|＝6， ∴a2＋b2＋2a·b＝36， ∵|a|＝|b|＝5，∴a·b＝－7， ∴|ta＋b|2＝t2a2＋2ta·b＋b2 ＝25t2＋2t×(－7)＋25 ＝25t2－14t＋25 ＝252＋， 当t＝时，|ta＋b|2取得最小值， ∴|ta＋b|的最小值为. 2．(2023·辽宁省名校联盟联考)已知单位向量a，b，若对任意实数x，≥恒成立，则向量a，b的夹角的取值范围为(　　) A. B. C. D. 答案　B 解析　a，b是单位向量，由≥得 (xa＋b)2≥⇔x2＋2(a·b)x＋≥0， 依题意，不等式x2＋2(a·b)x＋≥0对任意实数x恒成立，则Δ＝4(a·b)2－1≤0， 解得－≤a·b≤， 而cos〈a，b〉＝＝a·b， 则－≤cos〈a，b〉≤， 又0≤〈a，b〉≤π，函数y＝cos x在[0，π]上单调递减，因此≤〈a，b〉≤， 所以向量a，b的夹角的取值范围为. 3．(2023·成都模拟)如图，四边形ABCD中，E为AB的中点，M为线段AD上的动点，若＝λ＋μ，则λ＋μ的取值范围是(　　) A．(1，＋∞) B．(0,1) C．[1,2] D．[0,2] 答案　C 解析　因为M在线段AD上，设＝k，其中0≤k≤1，则－＝k(－)， 所以＝(1－k)＋k， 因为E为BA的中点，则＝2， 所以＝2(1－k)＋k， 又因为＝λ＋μ，且，不共线， 则 所以λ＋μ＝2(1－k)＋k＝2－k∈[1,2]． 4．(2023·北京模拟)已知e为单位向量，向量a满足a·e＝2，|a－λe|＝1，则|a|的最大值为(　　) A．1 B．2 C. D．4 答案　C 解析　依题意设e＝(1,0)，a＝(x，y)， 因为a·e＝2，所以x＝2， 则a＝(2，y)， 又a－λe＝(2，y)－(λ，0)＝(2－λ，y)， 且|a－λe|＝1， 所以＝1， 即y2＝1－(2－λ)2， 所以|a|＝＝≤，当且仅当λ＝2时等号成立， 即|a|的最大值为. 5．(2023·深圳模拟)已知△ABC是单位圆O的内接三角形，若A＝，则·的最大值为(　　) A. B. C．1 D. 答案　C 解析　如图所示，圆O是△ABC的外接圆，且A＝，所以OB⊥OC， 又＝－，所以·＝·－·＝－·＝－cos〈，〉， 故当，反向共线时，·最大， 所以(·)max＝1. 6．在四边形ABCD中，点E为AD的中点，点F为BC的中点，且||＝1，||＝2，若·>0，则||的取值范围是(　　) A. B. C. D. 答案　A 解析　因为＝＋＋，＝＋＋， 又点E为AD的中点，点F为BC的中点，所以2＝＋， 又因为0<·≤1×2＝2， 所以4||2＝2＋2＋2·>1＋4＝5， 且4||2＝2＋2＋2·≤1＋4＋2×2＝9， 所以4||2∈(5,9]， 即||∈. 7．(多选)(2023·南通模拟)平面向量a，b满足a2－a·b－4＝0，|b|＝3，则|a|的取值可能是(　　) A．1 B．3 C．4 D．6 答案　ABC 解析　设向量a，b的夹角为θ， ∵a2－a·b－4＝0，|b|＝3， ∴a2－4＝a·b＝3|a|cos θ， ∴3cos θ＝＝|a|－，且a≠0， ∵0≤θ≤π， ∴－1≤cos θ≤1，即－3≤|a|－≤3， ∵|a|>0，∴解得1≤|a|≤4. 8．(多选)(2023·岳阳模拟)如图，正方形ABCD的边长为2，P是正方形ABCD的内切圆上任意一点，＝λ＋μ(λ，μ∈R)，则下列结论正确的是(　　) A.·的最大值为4 B．λ－μ的最大值为 C.·的最大值为2 D．λ＋μ的最大值为1＋ 答案　ABD 解析　以正方形ABCD的中心为原点，如图，建立平面直角坐标系， 则A(－1，－1)，B(1，－1)，D(－1,1)， 设P(cos θ，sin θ)，θ∈[0,2π)， 则＝(1＋cos θ，1＋sin θ)，＝(2,0)，＝(－2,2)，＝(0,2)， 所以·＝2(1＋cos θ)， 所以当θ＝0时，·的最大值为4，A正确； ·＝－2(1＋cos θ)＋2(1＋sin θ)＝2(sin θ－cos θ)＝2sin， 所以当θ＝时，·的最大值为2，C错误； 由＝λ＋μ知 (1＋cos θ，1＋sin θ)＝λ(2,0)＋μ(0,2)， 所以得 则λ－μ＝(cos θ－sin θ)＝cos， 所以当θ＝时，λ－μ的最大值为，B正确； λ＋μ＝1＋(cos θ＋sin θ)＝1＋sin， 所以当θ＝时，λ＋μ的最大值为1＋，D正确． 9．(2023·安康模拟)在△ABC中，CA＝CB＝2，D为AC的中点，则·的取值范围是____________． 答案　(－1,3) 解析　依题意·＝·(＋) ＝2＋·＝2－·＝1－1×2cos∠BCD. 又cos∠BCD∈(－1,1)， 所以1－1×2cos∠BCD＝1－2cos∠BCD∈(－1,3)． 10．已知向量a，b满足|a|＝1，|b|＝3，则|2a＋b|＋|2a－b|的最小值是________，最大值是________． 答案　6　2 解析　∵|2a＋b|＋|2a－b|≥|2a＋b＋2a－b|＝4|a|＝4， 且|2a＋b|＋|2a－b|≥|2a＋b－2a＋b|＝2|b|＝6， ∴|2a＋b|＋|2a－b|≥6，当且仅当2a＋b与2a－b反向时等号成立． 此时|2a＋b|＋|2a－b|的最小值为6. ∵≤ ＝＝， ∴|2a＋b|＋|2a－b|≤2， 当且仅当|2a＋b|＝|2a－b|时等号成立， ∴|2a＋b|＋|2a－b|的最大值为2. 学科网（北京）股份有限公司 $$