专题2 微重点3 三角函数中ω，φ的范围问题-【步步高】2024年高考数学大二轮专题复习与增分策略（新高考提高版）

微重点3　三角函数中ω，φ的范围问题 三角函数中ω，φ的范围问题，是高考的重点和热点，主要考查由三角函数的最值(值域)、单调性、零点等求ω，φ的取值范围，难度中等偏上． 考点一　三角函数的最值(值域)与ω，φ的取值范围 例1　(1)若函数f(x)＝sin(ω>0)在上的值域是，则ω的取值范围是(　　) A. B. C. D. 答案　B 解析　因为ω>0，所以当x∈时， ωx－∈. 又因为函数f(x)＝sin(ω>0)在 上的值域是， 所以≤－≤， 解得≤ω≤3. (2)(多选)(2023·湖北省八市联考)已知函数f(x)＝sin＋cos(ω>0)，将f(x)图象上所有点的横坐标缩短到原来的(纵坐标不变)得到函数g(x)的图象，若g(x)在上恰有一个最值点，则ω的取值可能是(　　) A．1 B．3 C．5 D．7 答案　BCD 解析　f(x)＝sin＋cos＝sin＋cos＝2sin. 由题意，可得g(x)＝2sin， 由x∈， 可得2ωx＋∈. 因为g(x)在上恰有一个最值点， 所以<＋≤，解得1<ω≤7， 由选项可知B，C，D满足． 规律方法　求三角函数的最值(值域)问题，主要是整体代换ωx±φ，利用正、余弦函数的图象求解，要注意自变量的范围． 跟踪演练1　(1)(2023·株洲模拟)已知函数f(x)＝2sin(ωx＋φ)＋1，其图象与直线y＝3相邻两个交点的距离为π，若f(x)>2对∀x∈恒成立，则φ的取值范围是(　　) A. B. C. D. 答案　D 解析　因为函数f(x)＝2sin(ωx＋φ)＋1，其图象与直线y＝3相邻两个交点的距离为π，所以函数周期T＝π，ω＝2，由f(x)>2知sin(2x＋φ)>， 又当x∈时，2x＋φ∈， 且|φ|≤， 所以 解得≤φ≤. (2)(2023·贵阳模拟)将函数f(x)＝sin(ω>0)的图象向右平移个周期后所得的图象在内有5个极值点，则ω的取值范围是________________． 答案　 解析　函数f(x)的最小正周期T＝， 将函数f(x)的图象向右平移后的解析式为 f ＝sin＝sin， 由x∈，可得ωx－∈， 要使得平移后的图象有5个极值点，则函数图象有5个最值点，则需<－≤， 解得<ω≤. 考点二　单调性与ω，φ的取值范围 例2　(1)(2023·南通模拟)已知函数f(x)＝2sin(ω>0)，若f(x)在区间上单调递增，则ω的取值范围是______________． 答案　 解析　令－＋2kπ≤ωx＋≤＋2kπ，k∈Z， 得－＋≤x≤＋，k∈Z， 故f(x)的单调递增区间为，k∈Z， 又f(x)在上单调递增， ∵ 解得－＋4k≤ω≤2k＋，k∈Z， 又ω>0，故0<ω≤. (2)(2023·柳州模拟)若直线x＝是曲线y＝sin(ω>0)的一条对称轴，且函数y＝sin在区间上不单调，则ω的最小值为(　　) A．9 B．7 C．11 D．3 答案　C 解析　因为直线x＝是曲线 y＝sin(ω>0)的一条对称轴， 则ω－＝kπ＋，k∈Z， 即ω＝4k＋3，k∈Z，由－≤ωx－≤， 得－≤x≤， 则函数y＝sin在上单调递增， 而函数y＝sin在区间上不单调， 则<，解得ω>9， 所以ω的最小值为11. 规律方法　若三角函数在区间[a，b]上单调递增，则区间[a，b]是该函数单调递增区间的子集，利用集合的包含关系即可求解． 跟踪演练2　已知f(x)＝sin(2x－φ)在上单调递增，且f(x)在上有最小值，那么φ的取值范围是(　　) A. B. C. D. 答案　B 解析　由x∈，可得2x－φ∈， 又由0<φ<，且f(x)在上单调递增， 可得－φ≤，所以≤φ＜. 当x∈时，2x－φ∈， 由f(x)在上有最小值，可得－φ>， 所以φ<.综上，≤φ<. 考点三　零点与ω，φ的取值范围 例3　(1)(2023·新高考全国Ⅰ)已知函数f(x)＝cos ωx－1(ω>0)在区间[0,2π]上有且仅有3个零点，则ω的取值范围是________． 答案　[2,3) 解析　因为0≤x≤2π， 所以0≤ωx≤2ωπ， 令f(x)＝cos ωx－1＝0， 则cos ωx＝1有3个根， 令t＝ωx，则cos t＝1有3个根，其中t∈[0,2ωπ]， 结合余弦函数y＝cos t的图象性质可得4π≤2ωπ<6π， 故2≤ω<3. (2)将函数f(x)＝cos x的图象先向右平移个单位长度，再把所得函数图象的横坐标变为原来的(ω>0)倍，纵坐标不变，得到函数g(x)的图象，若函数g(x)在上没有零点，则ω的取值范围是________． 答案　 解析　将函数f(x)＝cos x的图象先向右平移个单位长度，得到y＝cos的图象， 再把所得函数图象的横坐标变为原来的(ω>0)倍，纵坐标不变，得到函数g(x)＝cos(ω>0)，周期T＝， 因为函数g(x)在上没有零点，所以－0≤，得T≥π，即≥π，得0<ω≤2， 令g(x)＝0，则ωx－＝kπ＋，k∈Z， 得x＝＋，k∈Z， 令k＝0，得x＝，所以≥，得ω≤， 又0<ω≤2，所以0<ω≤. 规律方法　已知函数的零点、极值点求ω，φ的取值范围问题，一是利用三角函数的图象求解；二是利用解析式，直接求函数的零点、极值点即可，注意函数的极值点即为三角函数的最大值、最小值点． 跟踪演练3　(多选)(2023·郴州模拟)将函数g(x)＝sin ωx(ω>0)的图象向左平移个单位长度得到函数f(x)的图象，已知f(x)在[0,2π]上有且只有5个零点，则下列结论正确的是(　　) A．f(x)的图象关于点对称 B．f(x)在上有且只有5个极值点 C．f(x)在上单调递增 D．ω的取值范围是 答案　CD 解析　由题意知 f(x)＝g＝sin， 在[0,2π]上，令t＝ωx＋∈， 所以y＝sin t在上有5个零点， 则5π≤2ωπ＋<6π，解得≤ω<，D正确； 在(0,2π)上，t∈， 由上分析知，极值点个数可能为5或6个，B错误； f ＝sin且ω＋∈， 故f 不为0，A错误； 在上，t∈， 则ω＋∈， 故y＝sin t在上单调递增，即f(x)在上单调递增，C正确． 专题强化练 1．(2023·潮州模拟)若f(x)＝sin在区间[－t，t]上单调递增，则实数t的取值范围为(　　) A. B. C. D. 答案　D 解析　令－＋2kπ≤2x＋≤＋2kπ，k∈Z， 所以－＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z， 所以函数f(x)的单调递增区间为，k∈Z， 又因为f(x)在[－t，t]上单调递增， 则[－t，t]是，k∈Z的一个子区间， 当k＝0时，即， 若[－t，t]是的子集， 则t∈. 2．(2023·成都模拟)将函数f(x)＝sin(ω>0)的图象向右平移个单位长度后得到函数g(x)的图象，若g(x)在上单调递增，则ω的最大值为(　　) A. B. C. D．1 答案　A 解析　将f(x)＝sin的图象向右平移个单位长度后得到g(x)＝sin的图象， 因为x∈， 所以<ωx－＋<ωπ＋， 因为g(x)在上单调递增， 所以ωπ＋≤，即0<ω≤， 所以ω的最大值为. 3．设函数f(x)＝sin x在上的值域为[M，N]，则N－M的取值范围为(　　) A. B. C. D. 答案　B 解析　当f(x)＝sin x在上单调时， N－M＝ ＝ ＝ ＝ ＝≤， 所以N－M的最大值为， 当f(x)＝sin x在上不单调， 即f(x)＝sin x在上的图象对称时，N－M取得最小值， 不妨令＝， 所以N－M的最小值为， 所以N－M的取值范围为. 4．(2023·湖州模拟)已知函数f(x)＝acos ωx(a≠0，ω>0)，若将函数y＝f(x)的图象向左平移个单位长度后得到函数y＝g(x)的图象，若关于x的方程g(x)＝0在上有且仅有两个不相等的实数根，则实数ω的取值范围是(　　) A. B. C. D. 答案　B 解析　将函数f(x)＝acos ωx(a≠0，ω>0)向左平移个单位长度后得到函数y＝g(x)， 即g(x)＝acos＝acos， ∵x∈， ∴ωx＋∈， ∵g(x)＝0在上有且仅有两个不相等的实数根， ∴ω＋∈，解得≤ω<4， 即实数ω的取值范围是. 5．(2023·开封模拟)已知函数f(x)＝sin(ωx＋φ)的图象过点P，现将y＝f(x)的图象向左平移个单位长度得到的函数图象也过点P，则(　　) A．ω的最小值为2 B．ω的最小值为6 C．ω的最大值为2 D．ω的最大值为6 答案　A 解析　依题意f(0)＝sin φ＝，因为0<φ<，所以φ＝， f(x)＝sin的图象向左平移个单位长度得到g(x)＝sin ＝sin， g(0)＝sin＝， 所以ω＋＝2k1π＋或ω＋＝2k2π＋， 即ω＝6k1或ω＝6k2＋2，其中k1，k2∈Z， 由于ω>0，所以ω的最小值为2. 6．(多选)(2023·宜春模拟)设函数f(x)＝sin(ω>0)，若f(x)的图象与直线y＝－1在[0,2π]上有且仅有1个交点，则下列说法正确的是(　　) A．ω的取值范围是 B．f(x)在[0,2π]上有且仅有2个零点 C．若f(x)的图象向右平移个单位长度后关于y轴对称，则ω＝ D．若将f(x)图象上各点的横坐标变为原来的，得到函数g(x)的图象，则g(x)在上单调递增 答案　AC 解析　由题意若f(x)的图象与直线y＝－1在[0,2π]上有且仅有1个交点， 则ωx－∈，结合正弦函数图象，如图， 由于－<－， 故≤2ωπ－<， 解得≤ω<， 即ω∈，A正确； 结合以上分析可知ωx－∈， 2ωπ－∈， 当ωx－＝kπ，k∈Z时，f(x)＝0，由此可知当ωx－＝0或π时，函数一定有2个零点， 当ωx－＝2π或3π时，相应的x可能是函数的零点，也可能不是， 即f(x)在[0,2π]上可能有2个零点，也可能有3个或4个零点，B错误； f(x)的图象向右平移个单位长度后关于y轴对称， 即平移后图象对应的函数y＝sin ＝sin为偶函数， 则－－＝＋kπ，k∈Z， 即ω＝－－12k，k∈Z， 只有当k＝－1时，ω＝∈，C正确； 将f(x)图象上各点的横坐标变为原来的，得到函数g(x)的图象， 则g(x)＝sin， x∈， 则2ωx－∈， 由于ω∈， 故－∈， 而－<－，<<， 故g(x)在上不一定单调递增，D错误． 7．(2023·沈阳模拟)已知函数f(x)＝sin ωx＋cos ωx(ω>0)，若∃x0∈使得f(x)的图象在点(x0，f(x0))处的切线与x轴平行，则ω的最小值是________． 答案　 解析　f(x)＝sin ωx＋cos ωx＝sin， 因为∃x0∈使得f(x)的图象在点(x0，f(x0))处的切线与x轴平行， 所以函数f(x)在上存在最值，即ωx＋＝kπ＋，k∈Z， 得x＝＋，k∈Z， 因为－≤x≤， 所以－≤＋≤， 即－≤＋≤， 则k∈Z， 又ω>0，故当k＝0时，ω取最小值. 8．(2023·北京模拟)设函数f(x)＝sin(ω>0)．给出一个ω的值，使得f(x)的图象向右平移个单位长度后得到的函数g(x)的图象关于原点对称，则ω的一个取值为__________；若f(x)在区间(0，π)上有且仅有两个零点，则ω的取值范围是__________． 答案　2　 解析　g(x)＝sin ＝sin， 取－ω＝0，得到ω＝2满足条件． x∈(0，π)，则ωx＋∈，f(x)有且仅有两个零点， 则2π<ωπ＋≤3π，解得<ω≤. 9．(2023·晋中模拟)已知函数f(x)＝sin 2x＋cos 2x的图象向左平移φ(φ>0)个单位长度后得到函数g(x)，若g(x)在上单调，则φ的最小值为________． 答案　 解析　∵函数f(x)＝sin 2x＋cos 2x＝2sin， ∴函数f(x)的图象向左平移φ个单位长度后得到g(x)＝2sin＝2sin， 当－≤x≤时， 2φ－≤2x＋2φ＋≤2φ＋， 又g(x)在上单调， 由正弦函数的单调性可知，⊆(k∈Z)或⊆(k∈Z)． 要使φ最小，则k取0， 故有或 结合φ>0，解得≤φ≤， 综上，φ的最小值为. 10．设函数f(x)＝sin(ωx＋φ)，其中ω>0.f(0)＝，且f ＋f ＝0，则ω的最小值为_____________________． 答案　 解析　因为f(x)＝sin(ωx＋φ)，f(0)＝， 所以sin φ＝，则φ＝＋2k1π或φ＝＋2k1π，k1∈Z， 因为f ＋f ＝0，且－＋＝＝2×， 若要使ω最小，则结合正弦函数的对称性可知f(x)关于点对称， 所以sin＝0，则ω＋φ＝k2π，k2∈Z， 当φ＝＋2k1π时，ω＋＋2k1π＝k2π，则＝－＋k2－2k1，其中k1∈Z，k2∈Z， 因为ω>0，所以－＋k2－2k1>0，则k2－2k1>，又k2－2k1∈Z， 所以(k2－2k1)min＝1，则min＝－＋(k2－2k1)min＝，故ωmin＝； 当φ＝＋2k1π时，ω＋＋2k1π＝k2π，则＝－＋k2－2k1，其中k1∈Z，k2∈Z， 因为ω>0，所以－＋k2－2k1>0，则k2－2k1>，又k2－2k1∈Z， 所以(k2－2k1)min＝1，则min＝－＋(k2－2k1)min＝，故ωmin＝； 综上，ωmin＝. 学科网（北京）股份有限公司 $$