专题2 培优点5 极化恒等式、奔驰定理与等和线定理-【步步高】2024年高考数学大二轮专题复习与增分策略（新高考提高版）

培优点5　极化恒等式、奔驰定理与等和线定理 平面向量基本定理及数量积是高考考查的重点，很多时候需要用基底代换，运算量大且复杂，用向量极化恒等式、奔驰定理、等和(高)线求解，能简化向量代换，减少运算量，使题目更加清晰简单． 考点一　向量极化恒等式 极化恒等式：a·b＝2－2. 变式：(1)a·b＝－， a·b＝－. (2)如图，在△ABC中，设M为BC的中点，则·＝2－2＝2－2. 例1　(1)如图，在△ABC中，D是BC的中点，E，F是AD上的两个三等分点．·＝4，·＝－1，则·的值为________． 答案　 解析　设BD＝DC＝m，AE＝EF＝FD＝n， 则AD＝3n. 根据向量的极化恒等式， 得·＝2－2＝9n2－m2＝4，① ·＝2－2＝n2－m2＝－1.② 联立①②，解得n2＝，m2＝. 因此·＝2－2＝4n2－m2＝. 即·＝. (2)(2023·郑州模拟)如图所示，△ABC是边长为8的等边三角形，点P为AC边上的一个动点，长度为6的线段EF的中点为B，则·的取值范围是________． 答案　[39,55] 解析　由向量极化恒等式知 ·＝||2－||2＝||2－9. 又△ABC是边长为8的等边三角形， 所以当点P位于点A或点C时，||取最大值8. 当点P位于AC的中点时，||取最小值， 即||min＝8sin ＝4， 所以||的取值范围为[4，8]， 所以·的取值范围为[39,55]． 规律方法　利用向量的极化恒等式可以对数量积进行转化，体现了向量的几何属性，特别适合于以三角形为载体，含有线段中点的向量问题． 跟踪演练1　(1)如图，△AOB为直角三角形，OA＝1，OB＝2，C为斜边AB的中点，P为线段OC的中点，则·等于(　　) A．1 B. C. D．－ 答案　B 解析　取AO的中点M，连接PM，如图所示，易得AB＝， 由向量极化恒等式知·＝·＝2－2 ＝2－2＝2－ ＝2－＝－＝. (2)如图，正方形ABCD的边长为2，P为正方形ABCD内一点(包含边界)，且PA⊥PB，则·的取值范围是________． 答案　[0,4] 解析　如图，∵PA⊥PB， ∴点P在以AB为直径的半圆上，取CD的中点O，连接PO， 由向量极化恒等式知·＝2－2＝2－1， 当点P在A(或B)处时，||max＝， 当点P在的中点时，||min＝1， ∴||∈[1，]，∴·∈[0,4]． 考点二　平面向量“奔驰定理” 定理：如图，已知P为△ABC内一点，则有S△PBC·＋S△PAC·＋S△PAB·＝0. 例2　(1)已知O是△ABC内部一点，满足＋2＋m＝0，且＝，则实数m等于(　　) A．2 B．3 C．4 D．5 答案　C 解析　由奔驰定理得 S△BOC·＋S△AOC·＋S△AOB·＝0， 又＋2＋m＝0， ∴S△BOC∶S△AOC∶S△AOB＝1∶2∶m. ∴＝＝，解得m＝4. (2)(2023·重庆模拟)△ABC内一点O满足关系式S△OBC·＋S△OAC·＋S△OAB·＝0，即称为经典的“奔驰定理”，若△ABC的三边为a，b，c，现有a·＋b·＋c·＝0，则O为△ABC的(　　) A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心 答案　B 解析　记点O到AB，BC，CA的距离分别为h1，h2，h3，S△OBC＝a·h2，S△OAC＝b·h3， S△OAB＝c·h1， 因为S△OBC·＋S△OAC·＋S△OAB·＝0， 则a·h2·＋b·h3·＋c·h1·＝0，即a·h2·＋b·h3·＋c·h1·＝0， 又因为a·＋b·＋c·＝0，所以h1＝h2＝h3，所以点P是△ABC的内心． 易错提醒　利用平面向量“奔驰定理”解题时，要严格按照定理的格式，注意定理中的点P为△ABC内一点；定理中等式左边三个向量的系数之比对应三个三角形的面积之比． 跟踪演练2　(1)如图，设O为△ABC内一点，且满足＋2＋3＝3＋2＋，则等于(　　) A. B. C. D. 答案　D 解析　∵O为△ABC内一点，且满足＋2＋3＝3＋2＋， ∴＋2＋3＝3(－)＋2(－)＋(－)⇒3＋＋2＝0， ∵S△BOC·＋S△AOC·＋S△AOB·＝0， S△BOC∶S△AOC∶S△AOB＝3∶1∶2， ∴＝＝. (2)(2023·安阳模拟)如图，已知O是△ABC的垂心，且＋2＋3＝0，则tan∠BAC∶tan∠ABC∶tan∠ACB等于(　　) A．1∶2∶3 B．1∶2∶4 C．2∶3∶4 D．2∶3∶6 答案　A 解析　O是△ABC的垂心，延长CO，BO，AO分别交边AB，AC，BC于点P，M，N，如图， 则CP⊥AB，BM⊥AC，AN⊥BC，∠BOP＝∠BAC，∠AOP＝∠ABC， 因此，＝＝ ＝＝， 同理＝， 于是得tan∠BAC∶tan∠ABC∶tan∠ACB＝S△BOC∶S△AOC∶S△AOB， 又＋2＋3＝0， 由“奔驰定理”有S△BOC·＋S△AOC·＋S△AOB·＝0， 即S△BOC∶S△AOC∶S△AOB＝1∶2∶3，所以tan∠BAC∶tan∠ABC∶tan∠ACB＝1∶2∶3. 考点三　等和(高)线定理 等和(高)线 平面内一组基底，及任一向量，＝λ＋μ(λ，μ∈R)，若点P′在直线AB上或在平行于AB的直线上，则λ＋μ＝k(定值)；反之也成立，我们把直线AB以及与直线AB平行的直线称为等和(高)线． (1)当等和线恰为直线AB时，k＝1； (2)当等和线在O点和直线AB之间时，k∈(0,1)； (3)当直线AB在O点和等和线之间时，k∈(1，＋∞)； (4)当等和线过O点时，k＝0； (5)若两等和线关于O点对称，则定值k1，k2互为相反数； (6)定值k的变化与等和线到O点的距离成正比． 例3　在矩形ABCD中，AB＝1，AD＝2，动点P在以点C为圆心且与BD相切的圆上．若＝λ＋μ，则λ＋μ的最大值为(　　) A．3 B．2 C. D．2 答案　A 解析　如图所示，由平面向量基底等和线定理知，当等和线l与圆相切时，λ＋μ最大，此时λ＋μ＝＝＝＝3. 规律方法　要注意等和(高)线定理的形式，解题时一般要先找到k＝1时的等和(高)线，利用比例求其他的等和(高)线． 跟踪演练3　如图，△BCD与△ABC的面积之比为2，点P是△BCD内任意一点(含边界)，且＝λ＋μ，则λ＋μ的取值范围为(　　) A．[2,3] B．[1,2] C．[1,3] D．[1,4] 答案　C 解析　如图，当点P位于线段BC上时， (λ＋μ)min＝1， 当点P位于点D时， (λ＋μ)max＝3. 故1≤λ＋μ≤3. 专题强化练 1．如图，AB为⊙O的直径，P是上任一点，M，N是直径AB上关于点O对称的两点，且AB＝6，MN＝4，则·等于(　　) A．13 B．7 C．5 D．3 答案　C 解析　依题意，O为MN的中点，由向量极化恒等式知，·＝2－2＝9－4＝5. 2．点O为△ABC内一点，若S△AOB∶S△BOC∶S△AOC＝4∶3∶2，设＝λ＋μ，则实数λ和μ的值分别为(　　) A.， B.， C.， D.， 答案　A 解析　根据奔驰定理， 得3＋2＋4＝0， 即3＋2(＋)＋4(＋)＝0， 整理得＝＋， 故λ＝，μ＝. 3.如图，在四边形MNPQ中，若＝，||＝6，||＝10，·＝－28，则·等于(　　) A．64 B．42 C．36 D．28 答案　C 解析　由·＝2－2 ＝36－2＝－28， 解得2＝64，所以2＝64， 所以·＝·＝2－2 ＝100－64＝36. 4.如图所示，正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为2，MN是它的内切球的一条弦(我们把球面上任意两点之间的线段称为球的弦)，P为正方体表面上的动点，当弦MN的长度最大时，·的取值范围是(　　) A．[0,1] B．[0,2] C．[1,3] D．[0,4] 答案　B 解析　由正方体的棱长为2，得内切球的半径为1，正方体的体对角线长为2.当弦MN的长度最大时，MN为内切球的直径．设内切球的球心为O， 则·＝2－2＝2－1. 由于P为正方体表面上的动点，故OP∈[1，]， 所以·∈[0,2]． 5．(2023·佛山模拟)已知A(－1,0)，B(2,0)，若动点M满足MB＝2MA，则·的最大值是(　　) A．－ B．4 C．12 D．18 答案　D 解析　设M(x，y)，因为MB＝2MA， 所以 ＝2， 化简得(x＋2)2＋y2＝4， 设线段AB的中点为C， 则C， 因为·＝2－2＝|MC|2－2＝|MC|2－，又|MC|max＝－(－2)＋2＝， 所以·的最大值为2－＝18. 6.(多选)给定两个长度为1的平面向量和，它们的夹角为，如图所示，点C在以O为圆心的上运动，若＝x＋y(x，y∈R)，则x＋y的取值可以是(　　) A．1 B. C．2 D. 答案　ABC 解析　令x＋y＝k，如图，在所有与直线AB平行的直线中，切线离圆心最远，即此时k取得最大值，又∠AOB＝，则k＝＝2. 当点C在A(或B)处时，x＋y最小为1. 故x＋y的取值范围是[1,2]． 7．(多选)(2023·六安模拟)已知O是△ABC内一点，△BOC，△AOC，△AOB的面积分别为S△BOC，S△AOC，S△AOB，则S△BOC·＋S△AOC·＋S△AOB·＝0，∠BAC，∠ABC，∠ACB分别是△ABC的三个内角，以下命题正确的有(　　) A．若2＋3＋4＝0，则S△BOC∶S△AOC∶S△AOB＝4∶3∶2 B．若||＝||＝2，∠AOB＝，且2＋3＋4＝0，则S△ABC＝ C．若·＝·＝·，则O为△ABC的垂心 D．若O为△ABC的内心，且5＋12＋13＝0，则 ∠ACB＝ 答案　BCD 解析　对于A,2＋3＋4＝0， 则S△BOC∶S△AOC∶S△AOB＝2∶3∶4，故A错误； 对于B，S△AOB＝×2×2×sin ＝， 又2＋3＋4＝0， 故S△BOC∶S△AOC∶S△AOB＝2∶3∶4， 所以S△ABC＝S△AOB＝，故B正确； 对于C，·＝·，即(－)·＝·＝0，故⊥， 同理可得⊥，⊥，所以O为△ABC的垂心，故C正确； 对于D,5＋12＋13＝0，故S△BOC∶S△AOC∶S△AOB＝5∶12∶13，设内切圆半径为r， S△BOC＝r·BC，S△AOC＝r·AC，S△AOB＝r·AB，即BC∶AC∶AB＝5∶12∶13， 即AB2＝AC2＋BC2，∠ACB＝，故D正确． 8.(2023·黄冈模拟)如图，已知菱形ABCD的边长为2，∠DAB＝45°.若M为菱形ABCD内部(含边界)任一点，则·的取值范围是________． 答案　[－1,4＋2] 解析　取线段AB的中点E，连接ME，如图， ·＝2－2＝2－1， 当且仅当||＝0，即点M与点E重合时，·最小为－1， 当且仅当||最长，即点M与点C重合时，·最大， 显然∠CBA＝135°，＝－， ·＝||||cos∠CBA ＝1×2×cos 135°＝－， 因此2＝(－)2＝2＋2－2·＝5＋2，即2的最大值为5＋2， 所以·的最大值是4＋2.故·的取值范围是[－1,4＋2]． 9．若△ABC内接于以O为圆心，以1为半径的圆，且3＋4＋5＝0.则△ABC的面积为______． 答案　 解析　∵3＋4＝－5， 且||＝||＝||＝1， ∴9||2＋16||2＋24·＝25||2， ∴·＝0，∴OA⊥OB， ∴S△AOB＝×1×1＝， 由奔驰定理知，S△BOC∶S△AOC∶S△AOB＝3∶4∶5， ∴S△AOB＝·S△ABC， ∴S△ABC＝S△AOB＝. 10.如图，圆O是边长为2的等边△ABC的内切圆，其与BC边相切于点D，点M为圆上任意一点，＝x＋y(x，y∈R)，则2x＋y的最大值为________． 答案　2 解析　如图，D，E，N分别为BC，AB，AC的中点，P为DE与BN的交点， ＝x＋y＝2x·＋y＝2x＋y， 设2x＋y＝k，作出定值k为1的等和线DE，AC是过圆上的点最远的等和线， 当M在N点所在的位置时，2x＋y最大， 则k＝＝2，所以2x＋y取得最大值2. 学科网（北京）股份有限公司 $$