专题2 第1讲 三角函数的图象与性质-【步步高】2024年高考数学大二轮专题复习与增分策略（新高考提高版）

第1讲　三角函数的图象与性质 [考情分析]　1.高考对此部分的命题主要集中于三角函数的定义、图象与性质，主要考查图象的变换、函数的单调性、奇偶性、周期性、对称性，常与三角恒等变换交汇命题.2.主要以选择题、填空题的形式考查，难度为中等或偏下． 考点一　三角函数的运算 核心提炼 1．同角关系：sin2α＋cos2α＝1，＝tan α. 2．诱导公式：在＋α，k∈Z的诱导公式中“奇变偶不变，符号看象限”． 例1　(1)(2023·南宁模拟)在平面直角坐标系中，角α与β的顶点在原点，始边与x轴非负半轴重合，它们的终边关于原点对称，且sin α＝，则sin(α＋β)＝________. 答案　± 解析　由题意，角α与β的顶点在原点，终边构成一条直线，所以β＝α＋π＋2kπ，k∈Z， 所以sin(α＋β)＝sin(2α＋π＋2kπ)＝sin(2α＋π) ＝－sin 2α＝－2sin αcos α， 又sin α＝， 所以cos α＝±＝±， 所以sin(α＋β)＝－2sin αcos α＝－2××＝±. (2)(2023·巴中模拟)勾股定理，在我国又称为“商高定理”，最早的证明是由东汉末期数学家赵爽在为《周髀算经》作注时给出的，他利用了勾股圆方图，此图被称为“赵爽弦图”．“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和中间的一个小正方形组成的大正方形图案(如图所示)，若小正方形与大正方形的面积之比为，则“赵爽弦图”里的直角三角形中最小角的正弦值为(　　) A. B. C. D. 答案　D 解析　设大正方形的边长1，直角三角形中最小的角为θ，则中间小正方形的边长为cos θ－sin θ， 由题意可得(cos θ－sin θ)2＝， 显然0<θ<，所以cos θ>sin θ>0， 所以cos θ－sin θ＝，① 又cos2θ＋sin2θ－2cos θsin θ＝， 所以2cos θsin θ＝， 所以(cos θ＋sin θ)2＝cos2θ＋sin2θ＋2cos θsin θ＝，即cos θ＋sin θ＝，② 联立①②，解得sin θ＝. 二级结论　(1)若α∈，则sin α<α<tan α. (2)由(sin α±cos α)2＝1±2sin αcos α知， sin α＋cos α，sin α－cos α，sin αcos α三者知一可求二． 跟踪演练1　(1)(2023·鹰潭模拟)设sin 23°＝m，则tan 67°等于(　　) A．－ B. C. D. 答案　D 解析　∵sin 23°＝m， ∴cos 67°＝m，∴sin 67°＝， ∴tan 67°＝， ∵sin 23°＝m>0， ∴tan 67°＝＝. (2)已知2cos＝cos(α－π)，则sin 2α＋cos 2α＝________. 答案　－ 解析　∵2cos＝cos(α－π)， ∴2sin α＝－cos α， ∴tan α＝－， ∴sin 2α＋cos 2α＝ ＝＝－. 考点二　三角函数的图象 核心提炼 由函数y＝sin x的图象变换得到y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)图象的步骤 例2　(1)(2023·海东模拟)为了得到函数f(x)＝sin的图象，只需将函数g(x)＝cos 2x的图象(　　) A．向左平移个单位长度 B．向右平移个单位长度 C．向左平移个单位长度 D．向右平移个单位长度 答案　B 解析　因为sin＝sin＝cos，所以f(x)＝cos， 故为了得到f(x)的图象，只需将g(x)的图象向右平移个单位长度． (2)(多选)如图是函数y＝sin(ωx＋φ)的部分图象，则sin(ωx＋φ)等于(　　) A．sin B．sin C．cos D．cos 答案　BC 解析　由函数图象可知，＝－＝， 则|ω|＝＝＝2，所以排除A； 不妨令ω＝2， 当x＝＝时，y＝－1， ∴2×＋φ＝＋2kπ(k∈Z)， 解得φ＝2kπ＋(k∈Z)， 即函数的解析式为 y＝sin＝sin ＝cos＝sin. 而cos＝－cos. 所以排除D，选BC. 规律方法　由三角函数的图象求解析式y＝Asin(ωx＋φ)＋B(A>0，ω>0)中参数的值 (1)最值定A，B：根据给定的函数图象确定最值，设最大值为M，最小值为m，则M＝A＋B，m＝－A＋B，解得B＝，A＝. (2)T定ω：由周期的求解公式T＝，可得ω＝. (3)特殊点定φ：代入特殊点求φ，一般代入最高点或最低点，代入中心点时应注意是上升趋势还是下降趋势． 跟踪演练2　(1)把函数y＝f(x)图象上所有点的横坐标缩短为原来的，纵坐标不变，再把所得曲线向右平移个单位长度，得到函数y＝sin的图象，则f(x)等于(　　) A．sin B．sin C．sin D．sin 答案　B 解析　方法一　函数y＝f(x)图象上所有点的横坐标缩短为原来的，纵坐标不变，得到y＝f(2x)的图象，再把所得曲线向右平移个单位长度，应当得到y＝f 的图象， 根据已知得到了函数y＝sin的图象，所以f ＝sin，令t＝2， 则x＝＋，x－＝＋， 所以f(t)＝sin， 所以f(x)＝sin. 方法二　由已知的函数y＝sin逆向变换， 第一步，向左平移个单位长度，得到y＝sin＝sin的图象； 第二步，图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，得到y＝sin的图象， 即为y＝f(x)的图象，所以f(x)＝sin. (2)(2023·鞍山模拟)函数f(x)＝Acos(ωx＋φ)的部分图象如图所示，将函数f(x)的图象向左平移1个单位长度后得到函数g(x)的图象，则g等于(　　) A. B. C. D．1 答案　D 解析　由图象可知，A＝2，＝1－(－1)＝2， 得T＝8＝，所以ω＝， 所以f(x)＝2cos， 又因为点(－1,0)在函数f(x)的图象上， 所以2cos＝0， 所以－＋φ＝－＋2kπ，k∈Z， 即φ＝－＋2kπ，k∈Z， 又|φ|<，所以φ＝－， 即f(x)＝2cos. 所以g(x)＝f(x＋1)＝2cos ＝2cos x，所以g＝2cos＝2cos ＝1. 考点三　三角函数的性质 核心提炼 函数y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的性质 (1)单调性：由－＋2kπ≤ωx＋φ≤＋2kπ(k∈Z)可得单调递增区间，由＋2kπ≤ωx＋φ≤＋2kπ(k∈Z)可得单调递减区间． (2)对称性：由ωx＋φ＝kπ(k∈Z)可得对称中心；由ωx＋φ＝kπ＋(k∈Z)可得对称轴． (3)奇偶性：当φ＝kπ(k∈Z)时，函数y＝Asin(ωx＋φ)为奇函数；当φ＝kπ＋(k∈Z)时，函数y＝Asin(ωx＋φ)为偶函数． 例3　(1)(2023·全国乙卷)已知函数f(x)＝sin(ωx＋φ)在区间单调递增，直线x＝和x＝为函数y＝f(x)的图象的两条相邻对称轴，则f 等于(　　) A．－ B．－ C. D. 答案　D 解析　因为直线x＝和x＝为函数y＝f(x)的图象的两条相邻对称轴， 所以＝－＝，不妨取ω>0，则T＝π，ω＝＝2， 由题意知，当x＝时，f(x)取得最小值，则2×＋φ＝2kπ－，k∈Z， 则φ＝2kπ－，k∈Z，不妨取k＝0， 则f(x)＝sin， 则f ＝sin＝. (2)(多选)(2023·佛山模拟)已知函数f(x)＝3sin(2x＋φ)的初相为，则下列结论正确的是(　　) A．函数f(x)的图象关于直线x＝－对称 B．函数f(x)的一个单调递减区间为 C．若把函数f(x)的图象向右平移个单位长度得到函数g(x)的图象，则g(x)为偶函数 D．函数f(x)在区间上的值域为 答案　AB 解析　由题意知φ＝， 所以f(x)＝3sin. 对于选项A，因为f ＝－3， 所以函数f(x)的图象关于直线x＝－对称，故A项正确； 对于选项B，由2kπ＋≤2x＋≤2kπ＋，k∈Z， 得kπ＋≤x≤kπ＋，k∈Z， 则当k＝－1时，函数f(x)的一个单调递减区间为，故B项正确； 对于选项C，把函数f(x)的图象向右平移个单位长度得到函数g(x)＝3sin ＝3sin 2x的图象， 所以g(x)为奇函数，故C项错误； 对于选项D，因为－≤x≤， 所以－≤2x＋≤， 所以－≤sin≤1， 所以－≤3sin≤3， 即函数f(x)在区间上的值域为，故D项错误． 规律方法　研究三角函数的性质，首先化函数为f(x)＝Asin(ωx＋φ)＋h的形式，然后结合正弦函数y＝sin x的性质求f(x)的性质，此时有两种思路：一种是根据y＝sin x的性质求出f(x)的性质，然后判断各选项；另一种是由x的值或范围求得t＝ωx＋φ的范围，然后由y＝sin t的性质判断各选项． 跟踪演练3　(1)(2023·广州模拟)已知函数f(x)＝sin(2x＋φ)，0<φ<π，若f(x)≤恒成立，则f(x)的单调递增区间为(　　) A.(k∈Z) B.(k∈Z) C.(k∈Z) D.(k∈Z) 答案　D 解析　因为f(x)≤恒成立， 所以＝f(x)max＝1， 即sin＝±1， 所以＋φ＝＋2kπ或＋φ＝＋2kπ，k∈Z， 所以φ＝－＋2kπ或φ＝＋2kπ，k∈Z， 又0<φ<π，所以φ＝， 所以f(x)＝sin， 令－＋2kπ≤2x＋≤＋2kπ，k∈Z， 得－＋kπ≤x≤－＋kπ，k∈Z， 所以f(x)的单调递增区间为(k∈Z)． (2)已知函数f(x)＝a－tan 2x在区间上的最大值为7，最小值为3，则ab的值为(　　) A. B. C. D. 答案　B 解析　∵x∈， ∴b>－，且2x∈， 根据函数f(x)在区间上的最大值为7，最小值为3，得2b<，即b<， 根据正切函数g(x)＝tan x在上单调递增， 则f(x)＝a－tan 2x在上单调递减， ∴f ＝a＋3＝7，解得a＝4， ∴f(b)＝4－tan 2b＝3，则tan 2b＝， ∵2b∈，∴2b＝，即b＝， ∴ab＝4×＝. 专题强化练 一、单项选择题 1．已知点P(6，－8)是角α终边上一点，则sin等于(　　) A．－ B. C．－ D. 答案　D 解析　点P(6，－8)是角α终边上一点，故cos α＝＝， sin＝cos α＝. 2．(2023·扬州模拟)与函数y＝tan的图象不相交的一条直线是(　　) A．x＝ B．x＝ C．x＝ D．x＝ 答案　B 解析　由2x＋≠＋kπ，k∈Z， 解得x≠＋，k∈Z，当k＝0时，x≠， ∴与函数y＝tan的图象不相交的一条直线是x＝. 3．(2023·深圳模拟)已知sin＝，则cos的值为(　　) A．－ B. C．－ D. 答案　C 解析　cos＝cos ＝－sin＝－. 4．已知直线x＝x1，x＝x2是函数f(x)＝sin(ω>0)图象的任意两条对称轴，且|x1－x2|的最小值为，则f(x)的单调递增区间是(　　) A.，k∈Z B.，k∈Z C.，k∈Z D.，k∈Z 答案　B 解析　∵直线x＝x1，x＝x2是函数f(x)＝sin图象的任意两条对称轴，且|x1－x2|的最小值为， ∴＝，即T＝π＝， 解得ω＝2，即f(x)＝sin， 令2x＋∈，k∈Z， 解得x∈，k∈Z， ∴f(x)的单调递增区间是，k∈Z. 5．(2023·全国甲卷)设甲：sin2α＋sin2β＝1，乙：sin α＋cos β＝0，则(　　) A．甲是乙的充分条件但不是必要条件 B．甲是乙的必要条件但不是充分条件 C．甲是乙的充要条件 D．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件 答案　B 解析　甲等价于sin2α＝1－sin2β＝cos2β， 等价于sin α＝±cos β， 所以由甲不能推导出sin α＋cos β＝0， 所以甲不是乙的充分条件； 由sin α＋cos β＝0，得sin α＝－cos β， 平方可得sin2α＝cos2β＝1－sin2β， 即sin2α＋sin2β＝1， 所以由乙可以推导出甲，则甲是乙的必要条件． 6．(2023·沈阳模拟)已知向量m＝，n＝，函数f(x)＝m·n，若∃x∈，使不等式f(x)－a－1≥0成立，则实数a的最大值为(　　) A．－ B．－3 C．－2 D．－－1 答案　C 解析　由题设，f(x)＝sin＋sin＝cos＋sin＝2sin， 若x∈，则x＋∈， 故sin∈， 所以f(x)∈[－2，－1]， 因为∃x∈，使不等式f(x)－a－1≥0成立，只需f(x)max≥a＋1即可， 所以a＋1≤－1，即a≤－2，故a的最大值为－2. 7．(2023·怀化模拟)设ω>0，若函数y＝2cos的图象向右平移个单位长度后与函数y＝2sin的图象重合，则ω的最小值是(　　) A. B. C. D. 答案　C 解析　函数y＝2cos的图象向右平移个单位长度后，得到y＝2cos的图象， 与函数y＝2sin＝2sin＝2cos图象重合， 则－＋＝－＋2kπ，k∈Z， 解得ω＝－10k，k∈Z， ∵ω>0，∴当k＝0时，ω取到最小值，此时ω＝. 8．我国第一高楼上海中心大厦的阻尼器减震装置，被称为“定楼神器”，如图1.由物理学知识可知，某阻尼器的运动过程可近似为单摆运动，其离开平衡位置的位移y(m)和时间t(s)的函数关系为y＝sin(ωt＋φ)(ω>0，|φ|<π)，如图2.若该阻尼器在摆动过程中连续三次到达同一位置的时间分别为t1，t2，t3(0<t1<t2<t3)，且t1＋t2＝2，t2＋t3＝5，则1分钟内阻尼器由其他位置摆动经过平衡位置的次数最多为(　　) A．19 B．20 C．40 D．41 答案　C 解析　因为t1＋t2＝2，t2＋t3＝5，t3－t1＝T，所以T＝3，又T＝，所以ω＝， 则y＝sin， 由0≤t≤60，则φ≤t＋φ≤40π＋φ， 所以1分钟内阻尼器由其他位置摆动经过平衡位置的次数最多，等价于1分钟内y＝sin＝0的次数最多，等价于区间[φ，40π＋φ]内包含kπ(k∈Z)的次数最多， 又|φ|<π，则区间[φ，40π＋φ]内包含了0，π，2π，3π，…，39π或π，2π，3π，…，40π， 所以区间[φ，40π＋φ]内包含kπ(k∈Z)的次数最多为40. 二、多项选择题 9．为了得到函数f(x)＝sin的图象，只需将函数g(x)＝sin x的图象(　　) A．所有点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，再将所得图象向右平移个单位长度 B．所有点的横坐标伸长到原来的3倍，纵坐标不变，再将所得图象向右平移个单位长度 C．向右平移个单位长度，再将所得图象所有点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变 D．向右平移个单位长度，再将所得图象所有点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变 答案　AC 解析　将函数g(x)＝sin x的图象所有点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，再将所得图象向右平移个单位长度，可以得到函数f(x)＝sin的图象，A正确； 将函数g(x)＝sin x的图象所有点的横坐标伸长到原来的3倍，纵坐标不变，再将所得图象向右平移个单位长度，可以得到函数f(x)＝sin的图象，B不正确； 将函数g(x)＝sin x的图象向右平移个单位长度，再将所得图象所有点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，可以得到函数f(x)＝sin的图象，C正确； 将函数g(x)＝sin x的图象向右平移个单位长度，再将所得图象所有点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，可以得到函数f(x)＝sin的图象，D不正确． 10．(2023·烟台模拟)已知函数f(x)＝sin x－cos x，则(　　) A．f(x)的最小正周期为π B．f(x)在上单调递增 C．直线x＝－是f(x)图象的一条对称轴 D．f(x)的图象可由y＝sin x的图象向左平移个单位长度得到 答案　BC 解析　f(x)＝sin x－cos x可化为f(x)＝sin， 则函数f(x)＝sin的最小正周期为2π，A错误； 当0≤x≤时，－≤x－≤， 因为函数y＝sin x在上单调递增， 所以函数f(x)在上单调递增，B正确； 当x＝－时，x－＝－， 所以直线x＝－是f(x)图象的一条对称轴，C正确； 函数y＝sin x的图象向左平移个单位长度得到函数g(x)＝sin的图象，D错误． 11．(2023·黄山模拟)若＝－，则tan(k∈Z)的值可能是(　　) A. B. C．2 D．3 答案　CD 解析　由余弦的二倍角公式知，＝sin θ·(cos θ－sin θ)＝＝＝－， 得5tan θ－5tan2θ＝－3－3tan2θ， 即2tan2θ－5tan θ－3＝0， 解得tan θ＝－或tan θ＝3， 当k＝2m(m∈Z)时，tan＝tan＝tan θ， 当k＝2m－1(m∈Z)时，tan ＝tan＝tan＝－， 所以当tan θ＝－时，tan＝－或tan＝2(k∈Z)， 当tan θ＝3时，tan＝3或tan＝－(k∈Z)． 12．(2023·张家口模拟)已知函数f(x)＝|sin x|＋cos|x|，则下列结论正确的有(　　) A．f(x)为偶函数 B．f(x)的最小值为－ C．f(x)在区间上单调递增 D．方程f(x)＝在区间[0,4π]内的所有根的和为8π 答案　ACD 解析　对于A项，f(x)的定义域为R，f(－x)＝|sin(－x)|＋cos|－x|＝|sin x|＋cos|x|＝f(x)，故A正确； 对于B项，由cos(－x)＝cos x得cos|x|＝cos x， 所以f(x)＝|sin x|＋cos x， 又因为f(x＋2π)＝|sin(x＋2π)|＋cos(x＋2π)＝|sin x|＋cos x＝f(x)， 所以函数f(x)是以2π为周期的周期函数， 所以f(x)＝|sin x|＋cos x ＝k∈Z， 即f(x)＝k∈Z， 故函数f(x)的图象如图所示． 则f(π＋2kπ)＝－1， 所以函数f(x)的最小值为－1，故B错误； 对于C项， 方法一　如图，当x∈时，函数f(x)在上单调递增，故C正确； 方法二　当x∈时，f(x)＝－sin x＋cos x＝cos， 因为x＋∈，函数y＝cos x在上单调递增， 所以函数f(x)在上单调递增，故C正确； 对于D项，由图象可知，方程f(x)＝在区间[0,4π]上有四个不相等的实数根，设x1<x2<x3<x4， 则＝＝2π， 所以x1＋x2＋x3＋x4＝8π，故D正确． 三、填空题 13．(2023·西安模拟)已知sin2(π－θ)＝cos，0<|θ|<，则θ＝________. 答案　 解析　由题知sin2θ＝sin θ， 所以sin θ＝或sin θ＝0， 又因为0<|θ|<，所以θ＝. 14．(2023·全国乙卷)若θ∈，tan θ＝，则sin θ－cos θ＝________. 答案　－ 解析　因为θ∈， 则sin θ>0，cos θ>0， 又因为tan θ＝＝， 则cos θ＝2sin θ， 且cos2θ＋sin2θ＝4sin2θ＋sin2θ＝5sin2θ＝1， 解得sin θ＝或sin θ＝－(舍去)， 所以sin θ－cos θ＝sin θ－2sin θ＝－sin θ＝－. 15．(2023·新高考全国Ⅱ)已知函数f(x)＝sin(ωx＋φ)，如图，A，B是直线y＝与曲线y＝f(x)的两个交点，若|AB|＝，则f(π)＝________. 答案　－ 解析　设A，B， 由|AB|＝可得x2－x1＝， 由sin x＝可知， x＝＋2kπ，k∈Z或x＝＋2kπ，k∈Z， 由图可知， ωx2＋φ－(ωx1＋φ)＝－＝， 即ω(x2－x1)＝，所以ω＝4. 因为f ＝sin＝0， 所以＋φ＝kπ，k∈Z， 即φ＝－＋kπ，k∈Z. 所以f(x)＝sin，k∈Z， 所以f(x)＝sin或f(x)＝－sin， 又因为f(0)<0， 所以f(x)＝sin， 所以f(π)＝sin＝－. 16．(2023·重庆模拟)如图，函数f(x)＝2sin(ωx＋φ)(ω>0,0<φ<π)的图象与坐标轴交于点A，B，C，直线BC交f(x)的图象于点D，O(坐标原点)为△ABD的重心(三条边中线的交点)，其中A(－π，0)，则tan∠ABD＝________. 答案　 解析　因为O为△ABD的重心，且A(－π，0)， 可得OA＝AC＝π，则AC＝， 所以C， 所以T＝－(－π)＝， 所以T＝3π，由ω>0，所以＝3π，解得ω＝， 可得f(x)＝2sin， 由f(－π)＝0，即sin＝0， 可得×(－π)＋φ＝kπ，k∈Z， 解得φ＝kπ＋，k∈Z， 又由0<φ<π，所以φ＝， 所以f(x)＝2sin， 于是f(0)＝2sin＝，所以B. 所以tan∠ABD＝tan(∠ABO＋∠CBO) ＝＝＝. 学科网（北京）股份有限公司 $$