专题1 微重点1 导数中函数的构造问题-【步步高】2024年高考数学大二轮专题复习与增分策略（新高考提高版）

微重点1　导数中函数的构造问题 导数中的函数构造问题是高考考查的一个热点内容，经常以客观题出现，通过已知等式或不等式的结构特征，构造新函数，解决比较大小、解不等式、恒成立等问题． 考点一　导数型构造函数 考向1　利用f(x)与x构造 例1　已知函数f(x)的定义域为[0，＋∞)，导函数为f′(x)，若f′(x)<恒成立，则(　　) A．f(2)>f(3) B．2f(1)>f(3) C．f(5)>2f(2) D．3f(5)>f(1) 答案　B 解析　设函数g(x)＝，x≥0， 因为f′(x)<，x≥0， 所以(x＋1)f′(x)－f(x)<0， 则g′(x)＝<0， 所以g(x)在定义域上是减函数， 从而g(1)>g(2)>g(3)>g(5)， 即>>>. 所以4f(2)>3f(3)，2f(1)>f(3)，2f(2)>f(5)，3f(1)>f(5)． 规律方法　(1)出现nf(x)＋xf′(x)的形式，构造函数F(x)＝xnf(x)； (2)出现xf′(x)－nf(x)的形式，构造函数F(x)＝. 跟踪演练1　(2023·常州模拟)已知f(x)是定义在(－∞，0)∪(0，＋∞)上的奇函数，f′(x)是f(x)的导函数，当x>0时，xf′(x)＋2f(x)>0，若f(2)＝0，则不等式x2f(x)>0的解集是________________． 答案　(－2,0)∪(2，＋∞) 解析　构造函数g(x)＝x2f(x)，其中f(x)为奇函数且x≠0， 则g(－x)＝(－x)2f(－x)＝－x2f(x)＝－g(x)， 所以函数g(x)为奇函数， 且g(2)＝0，g(－2)＝－g(2)＝0， 当x>0时，g′(x)＝x2f′(x)＋2xf(x)＝x[xf′(x)＋2f(x)]>0， 所以函数g(x)在(0，＋∞)上单调递增， 因为函数g(x)为奇函数，故函数g(x)在(－∞，0)上单调递增， 故x2f(x)>0⇒g(x)>0， 当x<0时，g(x)>0＝g(－2)，可得－2<x<0； 当x>0时，g(x)>0＝g(2)，可得x>2. 综上所述，不等式x2f(x)>0的解集为(－2,0)∪(2，＋∞)． 考向2　利用f(x)与ex构造 例2　(2023·黄山模拟)已知定义域为R的函数f(x)，其导函数为f′(x)，且满足f′(x)－2f(x)<0，f(0)＝1，则(　　) A．e2f(－1)<1 B．f(1)>e2 C．f <e D．f(1)>ef  答案　C 解析　设g(x)＝， 则g′(x)＝ ＝， 因为f′(x)－2f(x)<0在R上恒成立， 所以g′(x)<0在R上恒成立， 故g(x)是减函数， 所以g(－1)>g(0)， ＝e2f(－1)>＝1，故A不正确； g(1)<g(0)，即<， 即f(1)<e2f(0)＝e2，故B不正确； g<g(0)， 即<＝1， 即f <e，故C正确； g>g(1)，即>， 即f(1)<ef ，故D不正确． 规律方法　(1)出现f′(x)＋nf(x)的形式，构造函数F(x)＝enxf(x)； (2)出现f′(x)－nf(x)的形式，构造函数F(x)＝. 跟踪演练2　函数f(x)的定义域是R，f(0)＝2，对任意x∈R，f(x)＋f′(x)>1，则不等式ex·f(x)>ex＋1的解集为(　　) A．{x|x>0} B．{x|x<0} C．{x|x<－1或x>1} D．{x|x<－1或0<x<1} 答案　A 解析　令φ(x)＝exf(x)－ex，x∈R， 则φ′(x)＝exf(x)＋exf′(x)－ex ＝ex[f(x)＋f′(x)－1]． 又f(x)＋f′(x)>1，∴f(x)＋f′(x)－1>0， ∴φ′(x)>0， ∴φ(x)在定义域上是增函数， 不等式exf(x)>ex＋1可化为exf(x)－ex>1， 又φ(0)＝e0f(0)－e0＝1， ∴原不等式等价于φ(x)>φ(0)，故x>0， ∴原不等式的解集为{x|x>0}． 考向3　利用f(x)与sin x，cos x构造 例3　(2023·重庆模拟)已知偶函数f(x)的定义域为，其导函数为f′(x)，当0≤x<时，有f′(x)cos x＋f(x)sin x>0成立，则关于x的不等式f(x)>2f cos x的解集为(　　) A. B. C.∪ D.∪ 答案　C 解析　构造函数g(x)＝，－<x<， g′(x)＝ ＝， 当0≤x<时，g′(x)>0， 所以函数g(x)在上单调递增， 因为函数f(x)为偶函数，所以函数g(x)也为偶函数， 且函数g(x)在上单调递增， 所以函数g(x)在上单调递减， 因为x∈，所以cos x>0， 关于x的不等式f(x)>2f cos x可变为 >，即g(x)>g， 所以g(|x|)>g， 则 解得<x<或－<x<－. 规律方法　函数f(x)与sin x，cos x相结合构造可导函数的几种常见形式 (1)F(x)＝f(x)sin x， F′(x)＝f′(x)sin x＋f(x)cos x； (2)F(x)＝， F′(x)＝； (3)F(x)＝f(x)cos x， F′(x)＝f′(x)cos x－f(x)sin x； (4)F(x)＝， F′(x)＝. 跟踪演练3　(2023·成都统考)记函数f(x)的导函数为f′(x)，若f(x)为奇函数，且当x∈时恒有f(x)cos x＋f′(x)sin x>0成立，则(　　) A．f >f  B．f >－f  C.f >f  D.f >－f  答案　B 解析　令g(x)＝f(x)sin x，则g′(x)＝f(x)cos x＋f′(x)sin x， 当x∈时恒有f(x)cos x＋f′(x)sin x>0，所以g′(x)>0， 则g(x)＝f(x)sin x在上单调递增， 所以g>g，则－f >－f ，即f <f ，选项A错误； g>g，则－f >－f ，又f(x)为奇函数，所以－f(－x)＝f(x)，即f >－f ，选项B正确； g<g，则f >f ，所以f <f ，选项C错误； 由f >f ，得－f >f ，选项D错误． 考点二　构造函数比较大小 例4　(1)(2023·榆林统考)已知a＝ln ，b＝ln ，c＝2ln －，则(　　) A．a<c<b B．b<a<c C．a<b<c D．c<b<a 答案　D 解析　a＝ln ＝2ln －， b＝ln ＝2ln －， 构造函数f(x)＝2ln(x＋1)－x(0<x<1)， 则f′(x)＝－1＝， 当0<x<1时，f′(x)>0，f(x)在(0,1)上单调递增， 所以f <f <f ，所以c<b<a. (2)(2023·咸阳模拟)已知a＝，b＝，c＝，则(　　) A．a>b>c B．b>a>c C．b>c>a D．a>c>b 答案　B 解析　设f(x)＝ex－x－1， 所以f′(x)＝ex－1， 令f′(x)<0⇒x<0，令f′(x)>0⇒x>0， 所以函数f(x)在(－∞，0)上单调递减，在(0，＋∞)上单调递增， 则f(x)≥f(0)＝0，即ex－x－1≥0，得ex≥x＋1. 所以b＝>－＋1＝＝a，即b>a； 又0<cos <1， 所以c＝<＝a， 即a>c，所以b>a>c. 规律方法　构造函数比较大小的常见类型 (1)构造相同的函数，利用单调性，比较函数值的大小； (2)构造不同的函数，通过比较两个函数的函数值进行比较大小． 跟踪演练4　(1)(2023·山西联考)设a＝，b＝，c＝，则(　　) A．b>c>a B．b>a>c C．a>b>c D．a>c>b 答案　D 解析　易知a＝＝， b＝，c＝＝， 令f(x)＝(x>0)， 则f′(x)＝， f′(x)<0⇒x>e， 所以f(x)在(e，＋∞)上单调递减， 又因为e<3<π， 所以f(e)>f(3)>f(π)，即a>c>b. (2)已知a＝1012，b＝1111，c＝1210，则a，b，c的大小关系为(　　) A．b>c>a B．b>a>c C．a>c>b D．a>b>c 答案　D 解析　构造函数f(x)＝(22－x)ln x，x≥10， f′(x)＝－ln x＋－1， f′(x)＝－ln x＋－1在[10，＋∞)上单调递减， 且f′(10)＝－ln 10＋－1＝－ln 10<－ln e2＝－2<0， 所以f′(x)＝－ln x＋－1<0在[10，＋∞)恒成立， 故f(x)＝(22－x)ln x在[10，＋∞)上单调递减， 所以f(10)>f(11)>f(12)， 即12ln 10>11ln 11>10ln 12， 所以1012>1111>1210，即a>b>c. 专题强化练 1．(2023·汉中模拟)已知函数f(x)是定义在R上的函数，且满足f′(x)＋f(x)>0，其中f′(x)为f(x)的导数，设a＝f(0)，b＝3f(ln 3)，c＝ef(1)，则a，b，c的大小关系是(　　) A．c>b>a B．a>b>c C．c>a>b D．b>c>a 答案　D 解析　令g(x)＝exf(x)， 则g′(x)＝exf(x)＋exf′(x) ＝ex[f(x)＋f′(x)]， 因为f′(x)＋f(x)>0，而ex>0恒成立， 所以g′(x)>0， 所以g(x)在定义域上是增函数， 又0<1＝ln e<ln 3， 所以g(0)<g(1)<g(ln 3)， 因为a＝f(0)＝e0f(0)＝g(0)， b＝3f(ln 3)＝eln 3f(ln 3)＝g(ln 3)， c＝ef(1)＝g(1)， 所以b>c>a. 2．(2023·广州模拟)已知函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，其导函数为f′(x)，若xf′(x)－1<0，f(e)＝2，则关于x的不等式f(ex)<x＋1的解集为(　　) A．(0,1) B．(0，e) C．(1，＋∞) D．(e，＋∞) 答案　C 解析　令函数g(x)＝f(x)－ln x，x>0，则g′(x)＝f′(x)－＝<0，因此函数g(x)在定义域(0，＋∞)上是减函数， g(e)＝f(e)－ln e＝1， 因此f(ex)<x＋1⇔f(ex)－x<1⇔g(ex)<g(e)，即ex>e，解得x>1， 所以不等式f(ex)<x＋1的解集为(1，＋∞)． 3．设函数f′(x)是定义在(0，π)上的函数f(x)的导函数，有f′(x)cos x－f(x)sin x>0，若a＝f ，b＝0，c＝－f ，则a，b，c的大小关系是(　　) A．a<b<c B．b<c<a C．c<b<a D．c<a<b 答案　A 解析　设函数g(x)＝f(x)cos x， 则g′(x)＝f′(x)cos x－f(x)sin x， 因为f′(x)cos x－f(x)sin x>0，所以g′(x)>0， 所以g(x)在(0，π)上是增函数， a＝f ＝f cos ＝g， b＝0＝f cos ＝g， c＝－f ＝f cos ＝g， 因为<<，所以a<b<c. 4．已知实数a，b，c∈R，则a＝，b＝，c＝的大小关系为(　　) A．a<b<c B．c<a<b C．c<b<a D．a<c<b 答案　C 解析　令f(x)＝，x>1， 则f′(x)＝<0， ∴f(x)在(1，＋∞)上单调递减， 而2<3<4，故>>， 又因为4>ln 4>0，则>，则a>b>c. 5．(2023·南充模拟)设定义在R上的函数y＝f(x)满足任意x∈R，都有f(x＋4)＝f(x)，且当x∈(0,4]时，xf′(x)>f(x)，则f(2 021)，，的大小关系是(　　) A．f(2 021)<< B.<f(2 021)< C.<<f(2 021) D.<f(2 021)< 答案　A 解析　依题意，对任意x∈R，都有f(x＋4)＝f(x)，所以f(x)是周期为4的周期函数． 所以f(2 021)＝f(1)，＝， ＝. 构造函数F(x)＝(0<x≤4)， F′(x)＝>0， 所以F(x)在区间(0,4]上单调递增，所以F(1)<F(2)<F(3)， 即<<， 即f(2 021)<<. 6．已知f′(x)是函数f(x)的导函数，且对于任意实数x都有f′(x)－f(x)＝ex(2x－1)，f(0)＝－1，则不等式f(x)<5ex的解集为(　　) A．(－∞，－2)∪(3，＋∞) B．(－∞，－3)∪(2，＋∞) C．(－2,3) D．(－3,2) 答案　C 解析　令g(x)＝，① 则g′(x)＝， ∵f′(x)－f(x)＝ex(2x－1)， ∴＝2x－1， 即g′(x)＝2x－1， ∴g(x)＝x2－x＋c，② 由①②知，＝x2－x＋c， ∴f(x)＝ex(x2－x＋c)，又f(0)＝－1， ∴e0·c＝－1，即c＝－1， ∴＝x2－x－1， ∴不等式f(x)<5ex⇔＝x2－x－1<5， ∴－2<x<3，即不等式f(x)<5ex的解集为(－2，3)． 7．已知a，b，c∈(1，＋∞)，且a－ln a－1＝e－1，b－ln b－2＝e－2，c－ln c－4＝e－4，其中e是自然对数的底数，则(　　) A．a<b<c B．b<a<c C．b<c<a D．c<b<a 答案　A 解析　由题意可得a－ln a＝e－1＋1， b－ln b＝e－2＋2， c－ln c＝e－4＋4， 令f(x)＝e－x＋x， 则f′(x)＝－e－x＋1， 因为当x>0时，f′(x)>0，f(x)单调递增， 所以f(1)<f(2)<f(4)， 即a－ln a<b－ln b<c－ln c， 令g(x)＝x－ln x，则g′(x)＝1－， 因为当x>1时，g′(x)>0， 所以g(x)在(1，＋∞)上单调递增，又因为a，b，c∈(1，＋∞)且g(a)<g(b)<g(c)， 所以a<b<c. 8．(2023·新余模拟)已知a＝ln 1.1，b＝，c＝，则(　　) A．a>b>c B．a>c>b C．c>b>a D．c>a>b 答案　D 解析　构造函数f(x)＝ln(1＋x)－(x≥0)， 所以f′(x)＝－＝＝≤0， 故f(x)在[0，＋∞)上单调递减， 所以f(0.1)<f(0)＝0， 即ln 1.1－<0，即ln 1.1<，即a<c. 因为ln 1.1＝ln ＝－ln ＝－ln ＝－ln， 构造函数g(x)＝ln(1＋x)－x，x∈(－1,0]， 所以g′(x)＝－1＝≥0， 即g(x)在(－1,0]上单调递增，所以g<g(0)＝0， 即ln＋<0， 即<－ln，即b<a， 综上，b<a<c. 9．(2023·吉林省实验校考模拟)已知a＝sin 0.9，b＝0.9，c＝cos 0.9，则a，b，c的大小关系是________． 答案　b>a>c 解析　令函数f(x)＝x－sin x，x>0， 则f′(x)＝1－cos x≥0恒成立，故函数f(x)在定义域(0，＋∞)上是增函数， 所以当x>0时，f(x)>f(0)＝0， 则f(0.9)＝0.9－sin 0.9>0， 于是0.9>sin 0.9，即b>a； 当x∈时， x－∈， 则y＝sin x－cos x＝sin>0， 所以sin x>cos x， 而<0.9<， 于是sin 0.9>cos 0.9，即a>c. 综上，b>a>c. 10．设函数f(x)在R上存在导数f′(x)，对任意的x∈R，有f(x)－f(－x)＝2sin x，且在[0，＋∞)上，f′(x)>cos x．若f－f(t)>cos t－sin t，则实数t的取值范围为____________． 答案　 解析　因为f(x)－f(－x)＝2sin x， 所以f(x)－sin x＝f(－x)－sin(－x)， 设g(x)＝f(x)－sin x，x∈R， 可得g(x)＝g(－x)，所以g(x)为偶函数， 在[0，＋∞)上有f′(x)>cos x， 所以g′(x)＝f′(x)－cos x>0，x∈[0，＋∞)， 故g(x)在[0，＋∞)上单调递增，根据偶函数的对称性可知，g(x)在(－∞，0)上单调递减， 由f －f(t)>cos t－sin t，得 f(t)－sin t<f －cos t ＝f －sin， 即g(t)<g， 所以|t|<， 即t2<2，－πt>0，解得t<. 学科网（北京）股份有限公司 $$