专题1 第2讲 基本初等函数、函数与方程-【步步高】2024年高考数学大二轮专题复习与增分策略（新高考提高版）

第2讲　基本初等函数、函数与方程 [考情分析]　1.基本初等函数的图象与性质是高考考查的重点，利用函数性质比较大小、解不等式是常见题型.2.函数零点的个数判断及参数范围是常考题型，常以压轴题的形式出现.3.函数模型及应用是近几年高考的热点，通常考查指数函数、对数函数模型． 考点一　基本初等函数的图象与性质 核心提炼 指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)与对数函数y＝logax(a>0，且a≠1)互为反函数，其图象关于y＝x对称，它们的图象和性质分0<a<1，a>1两种情况，着重关注两种函数图象的异同． 例1　(1)已知log2a＋log2b＝0(a>0且a≠1，b>0且b≠1)，则函数f(x)＝x与g(x)＝logbx的图象可能是(　　) 答案　B 解析　log2a＋log2b＝0， 即为log2ab＝0，即有ab＝1， 当a＞1时，0＜b＜1， 函数f(x)＝x与g(x)＝logbx均为减函数，四个图象均不满足；当0＜a＜1时，b＞1， 函数f(x)＝x与g(x)＝logbx均为增函数，排除A，C，D，在同一坐标系中的图象只能是B. (2)(2023·六盘水质检)设a＝0.70.8，b＝0.80.7，c＝log0.80.7，则a，b，c的大小关系为(　　) A．b>c>a B．a>c>b C．c>a>b D．c>b>a 答案　D 解析　由对数函数的性质， 可得c＝log0.80.7>log0.80.8＝1， 又由指数函数的性质， 可得1>b＝0.80.7>0.80.8， 由幂函数y＝x0.8在(0，＋∞)上单调递增，可得0.80.8>0.70.8＝a，所以1>b>a， 所以log0.80.7>0.80.7>0.70.8，即c>b>a. 规律方法　(1)指数函数、对数函数的图象与性质受底数a的影响，解决与指数函数、对数函数有关的问题时，首先要看底数a的取值范围． (2)基本初等函数的图象和性质是统一的，在解题中可相互转化． 跟踪演练1　(1)(多选)(2023·惠州模拟)若6a＝2,6b＝3，则(　　) A．a＋b＝1 B.>1 C．ab< D．b－a< 答案　ABC 解析　因为6b＝3,6a＝2， 所以b＝log63，a＝log62，则a＋b＝log66＝1，故A正确； 选项B，＝＝log23>log22＝1，故B正确； 选项C，因为a>0，b>0，a≠b， 所以ab<2＝，故C正确； 选项D，因为5(b－a)＝5log6＝log6>log66＝1，所以b－a>，故D错误． (2)(2023·邯郸模拟)不等式10x－6x－3x≥1的解集为________． 答案　[1，＋∞) 解析　由10x－6x－3x≥1， 可得x＋x＋x≤1. 令f(x)＝x＋x＋x， 因为y＝x，y＝x，y＝x均在R上是减函数，则f(x)在R上是减函数，且f(1)＝1，所以f(x)≤f(1)，即x≥1. 故不等式10x－6x－3x≥1的解集为[1，＋∞)． 考点二　函数的零点 核心提炼 判断函数零点个数的方法 (1)利用函数零点存在定理判断． (2)代数法：求方程f(x)＝0的实数根． (3)几何法：对于不易求根的方程，将它与函数y＝f(x)的图象联系起来，利用函数的性质找出零点或利用两个函数图象的交点求解．在利用函数性质时，可用求导的方法判断函数的单调性． 考向1　函数零点个数的判断 例2　(2023·全国甲卷)函数y＝f(x)的图象由函数y＝cos的图象向左平移个单位长度得到，则y＝f(x)的图象与直线y＝x－的交点个数为(　　) A．1 B．2 C．3 D．4 答案　C 解析　因为y＝cos向左平移个单位长度所得函数为y＝cos＝cos＝－sin 2x， 所以f(x)＝－sin 2x， 而y＝x－显然过与(1,0)两点， 作出y＝f(x)与y＝x－的大致图象如图所示， 考虑2x＝－，2x＝，2x＝， 即x＝－，x＝，x＝处f(x)与y＝x－的大小关系， 当x＝－时，f ＝－sin＝－1， y＝×－＝－<－1； 当x＝时，f ＝－sin ＝1， y＝×－＝<1； 当x＝时，f ＝－sin ＝1， y＝×－＝>1. 所以由图可知，f(x)与y＝x－的交点个数为3. 考向2　求参数的值或范围 例3　若关于x的方程ex＝a|x|恰有两个不同的实数解，则实数a＝________. 答案　e 解析　如图，显然a>0. 当x≤0时，由单调性得方程ex＝－ax有且仅有一解． 因此当x>0时，方程ex＝ax只有一解． 即y＝ax与y＝ex相切， y′＝ex，令y′＝a得x＝ln a， 故当x＝ln a时，ex＝ax， 得eln a＝aln a，即a＝aln a， 从而a＝e，故当a＝e时，y＝ax与函数y＝ex相切，此时方程ex＝ax有一解， 若方程ex＝a|x|恰有两个不同的解，则a＝e. 规律方法　利用函数零点的情况求参数值(或取值范围)的三种方法 跟踪演练2　(1)函数f(x)＝的零点个数为(　　) A．1 B．2 C．3 D．4 答案　B 解析　当x≥0时，f(x)＝2x＋3x－4在(0，＋∞)上单调递增且f(0)f(1)<0， ∴f(x)在(0,1)上有唯一零点； 当x<0时，令x2＋2x＝0， 解得x＝－2(舍x＝0)，故f(x)共有2个零点． (2)(2023·九江模拟)函数f(x)＝4sin x－|x－1|的所有零点之和为________． 答案　6 解析　令f(x)＝0，得4sin x＝|x－1|， 令g(x)＝4sin x，h(x)＝|x－1|， 可知g(x)的周期T＝＝4， 对称轴为x＝1＋2k，k∈Z， 且h(x)的对称轴为x＝1， 易得4sin ＝4＝|5－1|， 4sin＝4＝|－3－1|， 作出g(x)＝4sin x和h(x)＝|x－1|的图象如图所示． 因为g(x)与h(x)有6个交点， 所以f(x)在[－3,5]上存在6个零点， 因为g(x)和h(x)的函数图象关于x＝1对称，则f(x)零点关于x＝1对称， 所以f(x)的所有零点之和为6×1＝6. 考点三　函数模型及其应用 核心提炼 解函数应用题的步骤 (1)审题：缜密审题，准确理解题意，分清条件和结论，理清数量关系． (2)建模：将自然语言转化为数学语言，将文字语言转化为符号语言，利用数学知识，建立相应的数学模型． (3)求模：求解数学模型，得出数学结论． (4)反馈：将得到的数学结论还原为实际问题的意义． 例4　(1)某纯净水制造厂在净化水的过程中，每增加一次过滤可使水中杂质减少50%，若要使水中杂质减少到原来的5%以下，则至少需要过滤(参考数据：lg 2≈0.301 0)(　　) A．2次 B．3次 C．4次 D．5次 答案　D 解析　设经过n(n∈N*)次过滤后，水中杂质减少到原来的5%以下，则n<5%， 即n<， 不等式两边取常用对数得nlg 2>lg 2＋1， 解得n>≈4.3， 故至少需要过滤5次． (2)(多选)(2023·新高考全国Ⅰ)噪声污染问题越来越受到重视．用声压级来度量声音的强弱，定义声压级Lp＝20×lg ，其中常数p0(p0>0)是听觉下限阈值，p是实际声压．下表为不同声源的声压级： 声源 与声源的距离/m 声压级/dB 燃油汽车 10 60～90 混合动力汽车 10 50～60 电动汽车 10 40 已知在距离燃油汽车、混合动力汽车、电动汽车10 m处测得实际声压分别为p1，p2，p3，则(　　) A．p1≥p2 B．p2>10p3 C．p3＝100p0 D．p1≤100p2 答案　ACD 解析　因为Lp＝20×lg 随着p的增大而增大， 且∈[60,90]，∈[50,60]， 所以， 所以p1≥p2，故A正确； 由Lp＝20×lg ，得p＝， 因为＝40， 所以p3＝＝100p0，故C正确； 假设p2>10p3，则 >， 所以>10， 所以>20，不可能成立，故B不正确； 因为＝≥1， 所以p1≤100p2，故D正确． 易错提醒　构建函数模型解决实际问题的失分点 (1)不能选择相应变量得到函数模型． (2)构建的函数模型有误． (3)忽视函数模型中变量的实际意义． 跟踪演练3　(1)(2023·合肥模拟)Malthus模型是一种重要的数学模型．某研究人员在研究一种细菌繁殖数量N(t)与时间t的关系时，得到的Malthus模型是N(t)＝N0e0.46t，其中N0是t＝t0时刻的细菌数量，e为自然对数的底数．若t时刻细菌数量是t0时刻细菌数量的6.3倍，则t约为(ln 6.3≈1.84)(　　) A．2 B．3 C．4 D．5 答案　C 解析　由题意得，N(t)＝N0e0.46t＝6.3N0，即e0.46t＝6.3， 则0.46t＝ln 6.3≈1.84，得t≈4. (2)金针菇采摘后会很快失去新鲜度，甚至腐烂，所以超市销售金针菇时需要采取保鲜膜封闭保存．已知金针菇失去的新鲜度h与其采摘后时间t(天)满足的函数解析式为h＝mln(t＋a)(a>0)．若采摘后1天，金针菇失去的新鲜度为40%，采摘后3天，金针菇失去的新鲜度为80%.那么若不及时处理，采摘下来的金针菇在多长时间后开始失去全部新鲜度(已知≈1.414，结果取一位小数)(　　) A．4.0天 B．4.3天 C．4.7天 D．5.1天 答案　C 解析　由已知 相除得＝2， ln(3＋a)＝2ln(1＋a)，(1＋a)2＝3＋a， 因为a>0，故解得a＝1， 设t天后开始失去全部新鲜度，则mln(t＋1)＝1， 又mln(1＋1)＝0.4， 所以＝， 2ln(t＋1)＝5ln 2＝ln 32， (t＋1)2＝32，t＋1＝＝4≈4×1.414＝5.656，t≈4.656≈4.7. 专题强化练 一、单项选择题 1．已知幂函数y＝f(x)的图象过点(8,2)，则f(9)的值为(　　) A．2 B．3 C．4 D．9 答案　B 解析　设幂函数为f(x)＝xa，图象过点(8,2)，故f(8)＝8a＝2，故a＝， f(x)＝，f(9)＝＝3. 2．(2023·南昌模拟)已知a＝log40.4，b＝log0.40.2，c＝0.40.2，则(　　) A．c>a>b B．c>b>a C．b>c>a D．a>c>b 答案　C 解析　因为a＝log40.4<log41＝0， b＝log0.40.2>log0.40.4＝1， 0<c＝0.40.2<0.40＝1，所以b>c>a. 3．(2023·威海模拟)已知2a＝9，log83＝b，则等于(　　) A. B．2 C．6 D．9 答案　C 解析　因为2a＝9， 所以a＝log29＝log232＝2log23， 又b＝log83＝＝log23， 所以＝＝6. 4.已知函数y＝loga(x＋c)(a，c为常数，其中a>0，a≠1)的图象如图所示，则下列结论成立的是(　　) A．a>1，c>1 B．a>1,0<c<1 C．0<a<1，c>1 D．0<a<1,0<c<1 答案　D 解析　由题图可知函数为减函数， 结合y＝loga(x＋c)可知0<a<1， 当x＝1时，loga(1＋c)<0，∴1＋c>1，∴c>0， 当x＝0时，logac>0，∴0<c<1，故0<c<1. 5．(2023·银川模拟)函数f(x)＝log2x＋x2＋m在区间(2,4)上存在零点，则实数m的取值范围是(　　) A．(－∞，－18) B．(5，＋∞) C．(5,18) D．(－18，－5) 答案　D 解析　由函数零点存在定理可知，若函数f(x)＝log2x＋x2＋m在区间(2,4)上存在零点， 显然函数为增函数，只需满足f(2)·f(4)<0，即(m＋5)(m＋18)<0， 解得－18<m<－5， 所以实数m的取值范围是(－18，－5)． 6．(2023·天津模拟)设正实数a，b，c分别满足＝2a，＝log2b，＝log3c，则a，b，c的大小关系为(　　) A．a>b>c B．b>a>c C．c>b>a D．a>c>b 答案　C 解析　在同一坐标系中，作出y＝2x，y＝，y＝log2x，y＝log3x的图象，由图象得c>b>a. 7．(2023·郑州模拟)某中学坚持“五育”并举，全面推进素质教育．为了更好地增强学生们的身体素质，校长带领同学们一起做俯卧撑锻炼．锻炼是否达到中等强度运动，简单测量方法为f(t)＝ket，其中t为运动后心率(单位：次/分)与正常时心率的比值，k为每个个体的体质健康系数．若f(t)介于[28,34]之间，则达到了中等强度运动；若低于28，则运动不足；若高于34，则运动过量．已知某同学正常时心率为80，体质健康系数k＝7，经过俯卧撑后心率y(单位：次/分)满足y＝80，x为俯卧撑个数．已知俯卧撑每组12个，若该同学要达到中等强度运动，则较合适的俯卧撑组数为(e为自然对数的底数，e≈2.718)(　　) A．2 B．3 C．4 D．5 答案　B 解析　由题意，设俯卧撑组数为a(a∈N*)， 则x＝12a， 所以t＝＝ln＋1＝ln(e)， 所以f(t)＝7et＝＝7e∈[28,34]， 所以∈，a∈， 因为≈2.166，≈3.193，且a∈N*，所以a＝3. 8．(2023·铜陵模拟)已知a＝log75，b＝log97，c＝log119，则(　　) A．a<b<c B．a<c<b C．b<a<c D．c<b<a 答案　A 解析　因为log75－log97＝－＝， 又因为lg 5lg 9≤2 ＝2<2＝lg27， 所以log75－log97<0，即a<b； 因为log97－log119＝－＝， 又因为lg 7lg 11≤2＝2<2＝lg29， 所以log97－log119<0，即b<c，所以a<b<c. 二、多项选择题 9．(2023·红河模拟)下列函数中，是奇函数且存在零点的是(　　) A．y＝x＋ B．y＝x3＋x C．y＝sin D．y＝cos 答案　BD 解析　对于A，设f(x)＝x＋，x≠0， 则f(－x)＝－x＋＝－f(x)，得y＝x＋为奇函数， 令x＋＝0，方程无解，即函数不存在零点，A不符合； 对于B，设f(x)＝x3＋x，x∈R，则f(－x)＝(－x)3－x＝－x3－x＝－f(x)，得y＝x3＋x为奇函数，令x3＋x＝0，得x＝0，即函数存在零点，B符合； 对于C，设f(x)＝sin＝cos x，其为R上的偶函数，C不符合； 对于D，设f(x)＝cos＝－sin x，其为R上的奇函数，且存在零点，D符合． 10．在下列四个图形中，二次函数y＝ax2＋bx与指数函数y＝x的图象可能是(　　) 答案　ABD 解析　当a>b>0时，A正确；当2a>b>a>0时，B正确； 当0>a>b>2a时，D正确；对于C，由二次函数知－<－1，即>1，此时y＝x单调递增，故C不正确． 11．(2023·重庆九龙坡区模拟)若a，b，c都是正数，且2a＝3b＝6c，则(　　) A.＋＝ B.＋＝ C．a＋b>4c D．ab>4c2 答案　BCD 解析　设2a＝3b＝6c＝t， 则a＝log2t＝，＝logt2， b＝log3t＝，＝logt3， c＝log6t＝，＝logt6， 所以＋＝， (a＋b)＝2＋＋≥2＋2＝4， 因为a≠b，所以≠，则等号不成立， 所以(a＋b)>4， 则a＋b>＝4c， 因为a＋b＝ab>4c， 所以ab>＝4c2. 12．(2023·蚌埠模拟)已知函数f(x)＝log4(1＋4x)－x，则下列说法中正确的是(　　) A．函数f(x)的图象关于原点对称 B．函数f(x)的图象关于y轴对称 C．函数f(x)在[0，＋∞)上单调递减 D．函数f(x)的值域为 答案　BD 解析　因为f(x)的定义域为R， f(x)＝log4(1＋4x)－＝log4＝log4(2－x＋2x)，所以f(－x)＝log4(2x＋2－x)＝f(x)， 所以f(x)为偶函数，所以A错误，B正确； 令t＝2x，则y＝log4， 令s＝t＋，则y＝log4s， 当x∈[0，＋∞)时，t∈[1，＋∞)，所以s＝t＋为增函数， 又y＝log4s为增函数，所以y＝log4为增函数， 又t＝2x为增函数， 所以f(x)在[0，＋∞)上单调递增． 又f(x)为R上的偶函数， 所以f(x)≥f(0)＝， 所以f(x)的值域为， 所以C错误，D正确． 三、填空题 13．(2023·深圳模拟)若函数f(x)＝－的零点属于区间(n，n＋1)(n∈N)，则n＝________. 答案　0 解析　因为y＝，y＝－都是减函数， 所以f(x)＝－是减函数， 又f(1)＝－1＝－<0，f(0)＝1>0， 所以函数在(0,1)上有唯一零点，所以n＝0. 14．已知f(x)＝则函数y＝4[f(x)]2－8f(x)＋3的零点个数是________． 答案　7 解析　函数y＝4[f(x)]2－8f(x)＋3的零点即为方程4[f(x)]2－8f(x)＋3＝0的根，解方程4[f(x)]2－8f(x)＋3＝0得f(x)＝或f(x)＝. 作出函数y＝f(x)的图象，如图所示． 由图象知直线y＝与y＝f(x)的图象有4个交点，直线y＝与y＝f(x)的图象有3个交点． 因此函数y＝4[f(x)]2－8f(x)＋3的零点有7个． 15．(2023·聊城模拟)“环境就是民生，青山就是美丽，蓝天也是幸福”，随着经济的发展和社会的进步，人们的环保意识日益增强．某化工厂产生的废气中污染物的含量为1.2 mg/cm3，排放前每过滤一次，该污染物的含量都会减少20%，当地环保部门要求废气中该污染物的含量不能超过0.2 mg/cm3，若要使该工厂的废气达标排放，那么该污染物排放前需要过滤的次数至少为________．(参考数据：lg 2≈0.3，lg 3≈0.477) 答案　8 解析　设该污染物排放前过滤的次数为n(n∈N*)，由题意1.2×0.8n≤0.2，即n≥6， 两边取以10为底数的对数可得lgn≥lg 6， 即nlg≥lg 2＋lg 3， 所以n≥， 因为lg 2≈0.3，lg 3≈0.477， 所以≈＝7.77， 所以n≥7.77，又n∈N*，所以nmin＝8，即该污染物排放前需要过滤的次数至少为8. 16．已知 a>0且a≠1，方程xa＝ln x(x>0)有且仅有两个不相等的实数根，则a的取值范围为________． 答案　 解析　由xa＝ln x(x>0)， 得ln(ln x)＝aln x(x>1)． 令ln x＝t(t>0)，则a＝， 设函数g(t)＝， 得g′(t)＝. 令g′(t)＝0，得t＝e. 在(0，e)上g′(t)>0，g(t)单调递增； 在(e，＋∞)上g′(t)<0，g(t)单调递减， 所以g(t)max＝g(e)＝， g＝－e<0， 又当t>1时，g(t)>0恒成立， 所以方程xa＝ln x(x>0)有且仅有两个不相等的实数根，即曲线y＝g(t)＝的图象与直线y＝a有两个交点，即0<a<， 所以a的取值范围是. 学科网（北京）股份有限公司 $$