专题1 第1讲 函数的图象与性质-【步步高】2024年高考数学大二轮专题复习与增分策略（新高考提高版）

第1讲　函数的图象与性质 [考情分析]　1.函数的图象与性质是高考考查的重点和热点，主要考查函数的定义域与值域、分段函数、函数图象的识别与应用以及函数性质(单调性、奇偶性、周期性、对称性)的综合应用，难度属于中等及以上.2.此部分内容多以选择题、填空题的形式出现，有时在压轴题的位置，多与导数、不等式、创新性问题相结合命题． 考点一　函数的概念与表示 核心提炼 1．复合函数的定义域 (1)若f(x)的定义域为[m，n]，则在f(g(x))中，由m≤g(x)≤n解得x的范围即为f(g(x))的定义域． (2)若f(g(x))的定义域为[m，n]，则由m≤x≤n得到g(x)的范围，即为f(x)的定义域． 2．分段函数 分段函数的定义域等于各段函数的定义域的并集，值域等于各段函数值域的并集． 例1　(1)(2023·南昌模拟)已知函数f(x)的定义域为(1，＋∞)，则函数F(x)＝f(2x－3)＋的定义域为(　　) A．(2,3] B．(－2,3] C．[－2,3] D．(0,3] 答案　A 解析　由题可知，⇒⇒2<x≤3，故函数F(x)的定义域为(2,3]． (2)(2023·重庆模拟)设a>0且a≠1，若函数f(x)＝的值域是[5，＋∞)，则a的取值范围是(　　) A．[，＋∞) B．(1，) C．(1，] D．(，＋∞) 答案　C 解析　由于函数f(x)＝(a>0且a≠1)的值域是[5，＋∞)， 故当x≤2时，满足f(x)＝7－x≥5. 若a>1，f(x)＝3＋logax在它的定义域上为增函数， 当x>2时，由f(x)＝3＋logax≥5， 得logax≥2，∴loga2≥2， ∴1<a≤. 若0<a<1，f(x)＝3＋logax在它的定义域上为减函数，f(x)＝3＋logax<3＋loga2<3，不满足f(x)的值域是[5，＋∞)． 综上可得1<a≤. 规律方法　(1)形如f(g(x))的函数求值时，应遵循先内后外的原则． (2)对于分段函数的求值(解不等式)问题，必须依据条件准确地找出利用哪一段求解． 跟踪演练1　(1)(2023·潍坊模拟)设函数f(x)＝则f(8)等于(　　) A．10 B．9 C．7 D．6 答案　C 解析　因为f(x)＝ 则f(8)＝f(f(12))＝f(9)＝f(f(13)) ＝f(10)＝7. (2)(多选)设函数f(x)的定义域为D，如果对任意的x∈D，存在y∈D，使得f(x)＝－f(y)成立，则称函数f(x)为“M函数”．下列为“M函数”的是(　　) A．f(x)＝sin xcos x B．f(x)＝ln x＋ex C．f(x)＝2x D．f(x)＝x2－2x 答案　AB 解析　由题意，得“M函数”的值域关于原点对称．A中，f(x)＝sin xcos x＝sin 2x∈，其值域关于原点对称，故A是“M函数”；B中，函数f(x)＝ln x＋ex的值域为R，故B是“M函数”；C中，因为f(x)＝2x>0，故C不是“M函数”；D中，f(x)＝x2－2x＝(x－1)2－1≥－1，其值域不关于原点对称，故D不是“M函数”． 考点二　函数的图象 核心提炼 1．作函数图象有两种基本方法：一是描点法；二是图象变换法，其中图象变换有平移变换、伸缩变换、对称变换． 2．利用函数图象可以判断函数的单调性、奇偶性，作图时要准确画出图象的特点． 例2　(1)(2023·宁波十校联考)函数f(x)＝ln |x|cos的图象可能为(　　) 答案　A 解析　因为函数f(x)＝ln |x|cos ＝－ln |x|sin 2x，定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)， 且f(－x)＝－ln |－x|sin(－2x)＝ln |x|sin 2x＝－f(x)， 所以函数f(x)为奇函数，图象关于原点对称，故排除选项B，D； 当x∈(0,1)时，ln |x|<0，sin 2x>0， 所以f(x)＝－ln |x|sin 2x>0，故排除选项C. (2)(多选)(2023·吉安模拟)已知函数f(x)＝若x1<x2<x3<x4，且f(x1)＝f(x2)＝f(x3)＝f(x4)，则下列结论正确的是(　　) A．x1＋x2＝－4 B．x3x4＝1 C．1<x4<4 D．0<x1x2x3x4≤4 答案　AB 解析　函数f(x)＝的图象如图所示， 设f(x1)＝f(x2)＝f(x3)＝f(x4)＝t，则0<t<4， 则直线y＝t与函数y＝f(x)的图象的4个交点横坐标分别为x1，x2，x3，x4， 对于A，函数y＝－x2－4x的图象关于直线x＝－2对称，则x1＋x2＝－4，故A正确； 对于B，由图象可知|log2x3|＝|log2x4|，且0<x3<1<x4， 所以－log2x3＝log2x4，即log2(x3x4)＝0，所以x3x4＝1，故B正确； 当x≤0时，f(x)＝－x2－4x＝－(x＋2)2＋4≤4， 由图象可知log2x4∈(0,4)，则1<x4<16，故C错误； 由图象可知－4<x1<－2， 所以x1x2x3x4＝x1(－4－x1)＝－x－4x1＝－(x1＋2)2＋4∈(0,4)，故D错误． 规律方法　(1)确定函数图象的主要方法是利用函数的性质，如定义域、奇偶性、单调性等，特别是利用一些特殊点排除不符合要求的图象． (2)函数图象的应用主要体现为数形结合思想，借助于函数图象的特点和变化规律，求解有关不等式恒成立、最值、交点、方程的根等问题． 跟踪演练2　(1)(2022·全国乙卷)如图是下列四个函数中的某个函数在区间[－3,3]的大致图象，则该函数是(　　) A．y＝ B．y＝ C．y＝ D．y＝ 答案　A 解析　对于选项B，当x＝1时，y＝0，与图象不符，故排除B；对于选项D，当x＝3时，y＝sin 3＞0，与图象不符，故排除D；对于选项C，当0＜x＜时，0＜cos x＜1，故y＝＜≤1，与图象不符，所以排除C.故选A. (2)已知函数f(x)＝则下列图象错误的是(　　) 答案　D 解析　当－1≤x≤0时，f(x)＝－2x，表示一条线段，且线段经过(－1,2)和(0,0)两点． 当0<x≤1时，f(x)＝，表示一段曲线．函数f(x)的图象如图所示． f(x－1)的图象可由f(x)的图象向右平移一个单位长度得到，故A正确；f(－x)的图象可由f(x)的图象关于y轴对称后得到，故B正确；由于f(x)的值域为[0,2]，故f(x)＝|f(x)|，故|f(x)|的图象与f(x)的图象完全相同，故C正确；很明显D中f(|x|)的图象不正确． 考点三　函数的性质 核心提炼 1．函数的奇偶性 (1)定义：若函数的定义域关于原点对称，则有 f(x)是偶函数⇔f(－x)＝f(x)＝f(|x|)； f(x)是奇函数⇔f(－x)＝－f(x)． (2)判断方法：定义法、图象法、奇偶函数性质法(如奇函数×奇函数是偶函数)． 2．函数单调性判断方法：定义法、图象法、导数法． 3．函数的周期性 若函数f(x)满足f(x＋a)＝f(x－a)或f(x＋2a)＝f(x)，则函数y＝f(x)的周期为2|a|. 4．函数图象的对称中心和对称轴 (1)若函数f(x)满足关系式f(a＋x)＋f(a－x)＝2b，则函数y＝f(x)的图象关于点(a，b)对称． (2)若函数f(x)满足关系式f(a＋x)＝f(b－x)，则函数y＝f(x)的图象关于直线x＝对称． 考向1　单调性与奇偶性 例3　(2023·泰安模拟)已知奇函数f(x)在R上是减函数，g(x)＝xf(x)，若a＝g(－log25.1)，b＝g(3)，c＝g(20.8)，则a，b，c的大小关系为(　　) A．a<b<c B．c<b<a C．b<c<a D．b<a<c 答案　D 解析　因为f(x)为奇函数且在R上是减函数， 所以f(－x)＝－f(x)，且当x>0时，f(x)<0. 因为g(x)＝xf(x)， 所以g(－x)＝－xf(－x)＝xf(x)， 故g(x)为偶函数． 当x>0时，g′(x)＝f(x)＋xf′(x)， 因为f(x)<0，f′(x)<0，所以g′(x)<0. 即g(x)在(0，＋∞)上单调递减． a＝g(－log25.1)＝g(log25.1)， 因为3＝log28>log25.1>log24＝2>20.8， 所以g(3)<g(log25.1)<g(20.8)，即b<a<c. 考向2　奇偶性、周期性与对称性 例4　(多选)(2023·盐城统考)已知函数f(x)，g(x)的定义域均为R，f(x)为偶函数，且f(x)＋g(2－x)＝1，g(x)－f(x－4)＝3，下列说法正确的有(　　) A．函数g(x)的图象关于直线x＝1对称 B．函数f(x)的图象关于点(－1，－1)对称 C．函数f(x)是以4为周期的周期函数 D．函数g(x)是以6为周期的周期函数 答案　BC 解析　对于A选项，因为f(x)为偶函数， 所以f(－x)＝f(x)． 由f(x)＋g(2－x)＝1， 可得f(－x)＋g(2＋x)＝1， 可得g(2＋x)＝g(2－x)， 所以函数g(x)的图象关于直线x＝2对称，A错误； 对于B选项，因为g(x)－f(x－4)＝3， 则g(2－x)－f(－2－x)＝3， 又因为f(x)＋g(2－x)＝1， 可得f(x)＋f(－2－x)＝－2， 所以函数f(x)的图象关于点(－1，－1)对称，B正确； 对于C选项，因为函数f(x)为偶函数， 且f(x)＋f(－2－x)＝－2， 则f(x)＋f(x＋2)＝－2， 从而f(x＋2)＋f(x＋4)＝－2， 则f(x＋4)＝f(x)， 所以函数f(x)是以4为周期的周期函数，C正确； 对于D选项，因为g(x)－f(x－4)＝3， 且f(x)＝f(x－4)， 所以g(x)－f(x)＝3， 又因为f(x)＋g(2－x)＝1， 所以g(x)＋g(2－x)＝4， 又因为g(2－x)＝g(2＋x)， 则g(x)＋g(x＋2)＝4， 所以g(x＋2)＋g(x＋4)＝4， 故g(x＋4)＝g(x)， 因此函数g(x)是周期为4的周期函数，D错误． 二级结论　(1)若f(x＋a)＝－f(x)，其中f(x)≠0，则f(x)的周期为2|a|. (2)若f(x)的图象关于直线x＝a和x＝b对称，则f(x)的周期为2|a－b|. (3)若f(x)的图象关于点(a,0)和直线x＝b对称，则f(x)的周期为4|a－b|. 跟踪演练3　(1)(2023·林芝模拟)已知定义在R上的函数f(x)在(－∞，2]上单调递减，且f(x＋2)为偶函数，则不等式f(x－1)>f(2x)的解集为(　　) A.∪(6，＋∞) B．(－∞，－1)∪ C. D. 答案　D 解析　∵函数f(x＋2)为偶函数， ∴f(－x＋2)＝f(x＋2)，即f(2－x)＝f(2＋x)， ∴函数f(x)的图象关于直线x＝2对称， 又∵函数f(x)的定义域为R，在区间(－∞，2]上单调递减， ∴函数f(x)在区间(2，＋∞)上单调递增， ∴由f(x－1)>f(2x)得|(x－1)－2|>|2x－2|， 解得x∈. (2)(多选)已知函数f(x)，g(x)的定义域为R，g′(x)为g(x)的导函数，g(x)为偶函数且f(x)＋g′(x)＝2，f(x)－g′(4－x)＝2，则下列结论正确的是(　　) A．g′(x)为奇函数 B．f(2)＝2 C．g′(2)＝2 D．f(2 022)＝2 答案　ABD 解析　∵g(x)为偶函数，∴g(－x)＝g(x)， ∴－g′(－x)＝g′(x)，即g′(x)为奇函数，故A正确； 又f(x)＋g′(x)＝2，f(x)－g′(4－x)＝2， 令x＝2，则 解得f(2)＝2，g′(2)＝0， 故B正确，C错误； ∵f(x)－g′(4－x)＝2，∴f(x＋4)－g′(－x)＝2， 又g′(x)为奇函数，则f(x＋4)＋g′(x)＝2， 又f(x)＋g′(x)＝2， ∴f(x＋4)＝f(x)， 故f(x)是以4为周期的周期函数， ∴f(2 022)＝f(2)＝2，故D正确． 专题强化练 一、单项选择题 1．(2023·台州质检)已知函数f(x)同时满足性质：①f(－x)＝f(x)；②当∀x1，x2∈(0,1)时，<0，则函数f(x)可能为(　　) A．f(x)＝x2 B．f(x)＝x C．f(x)＝cos 4x D．f(x)＝ln(1－|x|) 答案　D 解析　①f(－x)＝f(x)说明f(x)为偶函数，②∀x1，x2∈(0,1)，<0说明函数在(0,1)上单调递减．A不满足②；B不满足①；因为f(x)＝cos 4x在上单调递减，在上单调递增，所以C不满足②；D满足①，当x∈(0,1)时，f(x)＝ln(1－x)单调递减，也满足②. 2．(2023·成都模拟)要得到函数y＝2x－1的图象，只需将指数函数y＝x的图象(　　) A．向左平移1个单位长度 B．向右平移1个单位长度 C．向左平移个单位长度 D．向右平移个单位长度 答案　D 解析　由y＝x＝2x向右平移个单位长度，得y＝＝2x－1. 3．(2023·南宁模拟)函数f(x)＝的图象大致是(　　) 答案　C 解析　f(x)＝， 函数定义域为(－∞，－1)∪(－1,1)∪(1，＋∞)， f(－x)＝＝－＝－f(x)， 函数为奇函数，排除B，D； f(3)＝＝－， f(4)＝＝－， 故f(3)>f(4)，排除A. 4．(2023·天津)函数f(x)的图象如图所示，则f(x)的解析式可能为(　　) A．f(x)＝ B．f(x)＝ C．f(x)＝ D．f(x)＝ 答案　D 解析　由题图知，函数图象关于y轴对称，其为偶函数，且f(－2)＝f(2)<0， A，B为奇函数，排除； 当x>0时，>0，即C中的函数图象在(0，＋∞)上函数值为正，排除，故选D. 5．(2023·新高考全国Ⅰ)设函数f(x)＝2x(x－a)在区间(0,1)上单调递减，则a的取值范围是(　　) A．(－∞，－2] B．[－2,0) C．(0,2] D．[2，＋∞) 答案　D 解析　函数y＝2x在R上是增函数，而函数f(x)＝2x(x－a)在区间(0,1)上单调递减， 则函数y＝x(x－a)＝2－在区间(0,1)上单调递减， 因此≥1，解得a≥2， 所以a的取值范围是[2，＋∞)． 6．(2023·大庆模拟)已知函数f(x)＝若f(2a－1)－1≤0，则实数a的取值范围是(　　) A. B.∪ C. D. 答案　D 解析　因为f(2a－1)－1≤0⇒f(2a－1)≤1. ①当2a－1≥1时， f(2a－1)＝ln(2a－1)≤1⇒1≤a≤. ②当0≤2a－1<1，即≤a<1时， f(2a－1)≤1恒成立． ③当2a－1<0，即a<时， f(2a－1)≤1恒成立． 综上所述，a≤. 7．(2023·大连模拟)已知对于每一对正实数x，y，函数f(x)都满足：f(x)＋f(y)＝f(x＋y)－xy－1，若f(1)＝1，则满足f(n)＝n(n∈N*)的n的个数是(　　) A．1 B．2 C．3 D．4 答案　A 解析　令y＝1得f(x)＋f(1)＝f(x＋1)－x－1， 即f(x＋1)－f(x)＝x＋2， 故当x∈N*时，f(x＋1)－f(x)>0， 又f(1)＝1，f(2)＝4，故f(x)>0在x∈N*上恒成立，且f(x)在x∈N*上单调递增，所以满足f(n)＝n(n∈N*)仅有f(1)＝1，即n仅有1个． 8．(2023·西安模拟)已知函数f(x)及其导函数f′(x)定义域均为R，记函数g(x)＝f′(x)，若函数f(x)的图象关于点(3,0)中心对称，g为偶函数，且g(1)＝2，g(3)＝－3，则g(k)等于(　　) A．672 B．674 C．676 D．678 答案　D 解析　因为f(x)的图象关于点(3,0)中心对称， 所以f(x＋3)＝－f(－x＋3)，则f(x)＝－f(－x＋6)， 所以f′(x)＝f′(－x＋6)，即g(x)＝g(－x＋6)， 所以g(x＋3)＝g(－x＋3)， 所以函数g(x)的图象关于直线x＝3对称． 又g为偶函数， 所以g＝g， 则g＝g， 所以g(x)的图象关于直线x＝对称， 所以g(x＋3)＝g＝g＝g(x)， 所以g(x)的周期为T＝3. 由g＝g，得g(2)＝g(1)＝2. 又g(3)＝－3，所以g(1)＋g(2)＋g(3)＝1. 故g(k)＝[g(1)＋g(2)＋g(3)]×674＋g(1)＋g(2)＝674＋4＝678. 二、多项选择题 9．(2023·大同模拟)十九世纪德国数学家狄利克雷提出了“狄利克雷函数”D(x)＝它在现代数学的发展过程中有着重要意义，若函数f(x)＝x2－D(x)，则下列函数f(x)的函数值可能是(　　) A．3 B．2 C．1 D．0 答案　ABD 解析　由题意可知f(x)＝x2－D(x)＝ 所以f(1)＝12－1＝0，f()＝()2＝2，f()＝()2＝3，而f(x)＝1无解． 10．已知函数f(x)＝关于函数f(x)的结论正确的是(　　) A．f(x)的定义域为R B．f(x)的值域为(－∞，4] C．若f(x)＝2，则x的值是－ D．f(x)<1的解集为(－1,1) 答案　BC 解析　函数f(x)＝的定义域是[－2，＋∞)，故A错误； 当－2≤x<1时，f(x)＝x2的值域为[0,4]，当x≥1时，f(x)＝－x＋2的值域为(－∞，1]，故f(x)的值域为(－∞，4]，故B正确； 当x≥1时，令f(x)＝－x＋2＝2，无解，当－2≤x<1时，令f(x)＝x2＝2，得到x＝－，故C正确； 当－2≤x<1时，令f(x)＝x2<1，解得－1<x<1，当x≥1时，令f(x)＝－x＋2<1，解得x>1，故f(x)<1的解集为(－1,1)∪(1，＋∞)，故D错误． 11．(2023·上饶模拟)关于函数f(x)＝2sin x＋sin x的说法正确的是(　　) A．函数f(x)的图象关于y轴对称 B．函数f(x)的图象关于直线x＝对称 C．函数f(x)的最小正周期为2π D．函数f(x)的最小值为2 答案　ABD 解析　对于A，f(x)的定义域为R， 因为f(－x)＝2sin(－x)＋sin(－x) ＝sin x＋2sin x＝f(x)， 所以f(x)是R上的偶函数， 所以函数f(x)的图象关于y轴对称，故A正确； 对于B，对于任意的x∈R， f(π－x)＝2sin(π－x)＋sin(π－x)＝2sin x＋sin x＝f(x)， 所以函数f(x)的图象关于直线x＝对称， 故B正确； 对于C，因为f(π＋x)＝2sin(π＋x)＋sin(π＋x) ＝2－sin x＋－sin x ＝2sin x＋sin x＝f(x)， 所以π为函数f(x)的一个周期，故2π不是函数f(x)的最小正周期，故C错误； 对于D，设t＝2sin x∈， 则f(t)＝t＋，因为t＋≥2，当且仅当t＝，即t＝1时等号成立， 所以函数f(x)的最小值为2，故D正确． 12．(2023·嘉兴模拟)设函数f(x)的定义域为R，其导函数为f′(x)，若f′(－x)＝f′(x)，f(2x)＋f(2－2x)＝3，则下列结论一定正确的是(　　) A．f(1－x)＋f(1＋x)＝3 B．f′(2－x)＝f′(2＋x) C．f′(f(1－x))＝f′(f(1＋x)) D．f(f′(x＋2))＝f(f′(x)) 答案　ABD 解析　f(2x)＋f(2－2x)＝3， 令x＝2x，得f(x)＋f(2－x)＝3，令x＝x＋1， 得f(1－x)＋f(1＋x)＝3，故A正确； 由选项A的分析知f(x)＋f(2－x)＝3，等式两边同时求导， 得f′(x)－f′(2－x)＝0，即f′(x)＝f′(2－x)，① 又f′(x)＝f′(－x)，f′(x)为偶函数， 所以f′(2－x)＝f′(x－2)，② 由①②得f′(x)＝f′(x－2)，所以函数f′(x)的周期为2. 所以f′(2－x)＝f′(x)＝f′(2＋x)， 即f′(2－x)＝f′(2＋x)，故B正确； 由选项B的分析知f′(2－x)＝f′(2＋x)， 则函数f′(x)的图象关于直线x＝2对称． 令f(1－x)＝－Δ(x)，f(1＋x)＝＋Δ(x)， 若f′＝f′， 则函数f′(x)图象关于直线x＝对称，不符合题意，故C错误； 由选项B的分析可知函数f′(x)的周期为2，则f′(x)＝f′(x＋2)， 所以f(f′(x))＝f(f′(x＋2))，故D正确． 三、填空题 13．(2023·全国甲卷)若f(x)＝(x－1)2＋ax＋sin为偶函数，则a＝________. 答案　2 解析　∵f(x)＝(x－1)2＋ax＋sin ＝(x－1)2＋ax＋cos x＝x2＋(a－2)x＋1＋cos x， 且函数为偶函数， ∴a－2＝0，解得a＝2. 经验证，当a＝2时满足题意． 14．(2023·湖州、衢州、丽水三市模拟)定义在R上的非常数函数f(x)满足：f(－x)＝f(x)，且f(2－x)＋f(x)＝0.请写出符合条件的一个函数的解析式________． 答案　f(x)＝cos x(答案不唯一) 解析　由f(2－x)＋f(x)＝0，得出对称中心(1,0)，且由f(－x)＝f(x)得出对称轴为y轴，且周期为4，即满足上述条件的函数都可以． 15．(2023·济宁模拟)已知函数f(x)＝e|x|－cos x，则使得f(x－1)>f(2x)成立的x的取值范围是____________． 答案　 解析　显然f(x)是偶函数， 当x>0时，f(x)＝ex－cos x， f′(x)＝ex＋sin x， 当0<x≤2时，显然f′(x)>0， 当x>2时，ex>e2， －≤sin x≤， 所以f′(x)>0， 所以f(x)在(0，＋∞)上单调递增，在(－∞，0)上单调递减． 所以当f(x－1)>f(2x)时，有|x－1|>|2x|， 解得－1<x<. 16．(2023·江苏省八市模拟)已知函数f(x)的定义域为R，y＝f(x)＋ex是偶函数，y＝f(x)－3ex是奇函数，则f(x)的最小值为________． 答案　2 解析　因为函数y＝f(x)＋ex为偶函数， 所以f(－x)＋e－x＝f(x)＋ex， 即f(x)－f(－x)＝e－x－ex，① 又因为函数y＝f(x)－3ex为奇函数， 所以f(－x)－3e－x＝－f(x)＋3ex， 即f(x)＋f(－x)＝3ex＋3e－x，② 联立①②可得f(x)＝ex＋2e－x， 由基本不等式可得f(x)＝ex＋2e－x≥2＝2， 当且仅当ex＝2e－x，即x＝ln 2时，等号成立， 故函数f(x)的最小值为2. 学科网（北京）股份有限公司 $$