专题3 微重点6 数列的递推关系-【步步高】2024年高考数学大二轮专题复习与增分策略（新高考基础版）

微重点6　数列的递推关系 数列的递推关系是高考重点考查内容，作为两类特殊数列——等差数列、等比数列，可直接根据它们的通项公式求解，但也有一些数列要通过构造转化为等差数列或等比数列，再利用公式求解，体现化归思想在数列中的应用． 考点一　构造辅助数列 例1　(1)(多选)已知数列{an}，下列结论正确的是(　　) A．若a1＝2，an＋1＝an＋n＋1，则a20＝211 B．若a1＝1，an＋1＝2an＋3，则an＝2n－1－3 C．若a1＝1，an＋1＝，则an＝ D．若a1＝2,2(n＋1)an－nan＋1＝0，则an＝n·2n 答案　ACD 解析　A项，an＋1－an＝n＋1， ∴a20＝(a20－a19)＋(a19－a18)＋…＋(a2－a1)＋a1 ＝20＋19＋18＋…＋2＋2＝211，故A正确； B项，∵an＋1＝2an＋3， ∴an＋1＋3＝2(an＋3)， ∴{an＋3}是以a1＋3＝4为首项，2为公比的等比数列， ∴an＋3＝4·2n－1＝2n＋1， 故an＝2n＋1－3，故B错误； C项，∵an＋1＝， ∴＝＝＋3， ∴－＝3， ∴是以＝1为首项，3为公差的等差数列， ∴＝1＋(n－1)×3＝3n－2， ∴an＝，故C正确； D项，2(n＋1)an－nan＋1＝0， ∴＝， ∴是以＝2为首项，2为公比的等比数列， ∴＝2·2n－1＝2n， ∴an＝n·2n，故D正确． (2)(2023·商洛模拟)已知Sn是数列{an}的前n项和，a1＝a2＝1，an＋an＋1＝2n＋1(n≥2)，则等于(　　) A. B. C. D. 答案　A 解析　因为an＋an＋1＝2n＋1(n≥2)， 所以an＋1－(n＋1)＝－(an－n)(n≥2)． 因为a2－2＝－1，所以{an－n}从第二项起是公比为－1的等比数列， 所以an＝n＋(－1)n－1(n≥2)， 所以an＝ 所以S2 023＝1＋2＋3＋…＋2 023＝2 023×1 012， S2 024＝1＋2＋3＋…＋2 024－1＝2 023×1 013， 所以＝. 规律方法　(1)形如an＋1－an＝f(n)的数列，利用累加法，即利用公式an＝(an－an－1)＋(an－1－an－2)＋…＋(a2－a1)＋a1(n≥2)，即可求数列{an}的通项公式． (2)形如＝f(n)的数列，常令n分别为1,2,3，…，n－1，代入＝f(n)，再把所得的(n－1)个等式相乘，利用an＝a1···…·(n≥2)即可求数列{an}的通项公式． (3)形如an＋1＝(p，q≠0)的数列，取倒数可得＝＋，即－＝，构造等差数列求通项公式． (4)若数列{an}满足an＋1＝pan＋q(p≠0,1，q≠0)，构造an＋1＋λ＝p(an＋λ)． (5)若数列{an}满足an＋1＝pan＋f(n)(p≠0,1)，构造an＋1＋g(n＋1)＝p[an＋g(n)]． 跟踪演练1　(1)已知数列{an}满足a2＝，a1＝1，且a－a＝2an－2an－1＋1(n≥2)，则a－2a2 022的值为(　　) A．2 021 B．2 022 C．2 023 D．2 024 答案　B 解析　由a－a＝2an－2an－1＋1(n≥2)得， 当n≥2时，(a－2an)－(a－2an－1)＝1， 且由a2＝，a1＝1， 得a－2a1＝1， 所以{a－2an}构成以1为首项，1为公差的等差数列， 所以a－2an＝n， 所以a－2a2 022＝2 022. (2)已知数列{an}中，a1＝4，且an＝2an－1＋2n＋1(n≥2，且n∈N*)，则数列{an}的通项公式为________________． 答案　an＝n·2n＋1 解析　当n≥2时，因为an＝2an－1＋2n＋1， 所以＝＋1，又＝＝1， 所以数列是首项为1，公差为1的等差数列， 所以＝1＋(n－1)×1＝n， 则an＝n·2n＋1. 考点二　利用an与Sn的关系 例2　(2023·连云港模拟)已知数列{an}的前n项和为Sn，且Sn＝＋. (1)证明：数列{S}是等差数列； (2)设数列{bn}的前n项积为Tn，若Tn＝S，求数列{bn}的通项公式． (1)证明　当n＝1时，a1＝＋，a＝2， 当n≥2时，Sn＝＋， 所以＝， 所以S－S＝2(常数)，故数列{S}是以S＝2为首项，2为公差的等差数列． (2)解　由(1)知，S＝2＋(n－1)×2＝2n， 得Tn＝2n， 当n≥2时，bn＝＝＝， 当n＝1时，b1＝T1＝2，不符合上式， 故bn＝ 规律方法　在处理Sn，an的式子时，一般情况下，如果要证明f(an)为等差(等比)数列，就消去Sn，如果要证明f(Sn)为等差(等比)数列，就消去an；但有些题目要求求{an}的通项公式，表面上看应该消去Sn，但这会导致解题陷入死胡同，这时需要反其道而行之，先消去an，求出Sn，然后利用an＝Sn－Sn－1(n≥2)求出an(n≥2)． 跟踪演练2　(1)已知数列{an}的前n项和为Sn，且a1＝2，an＋1＝Sn(n∈N*)，则an＝__________________. 答案　(n＋1)·2n－1 解析　因为an＋1＝Sn， 则Sn＝， 当n≥2时，Sn－1＝， 因此an＝－， 化简整理得＝2·， 而a1＝2，a2＝3S1＝3a1＝6， 有＝2·， 即当n∈N*时，＝2·， 因此数列是以＝1为首项，2为公比的等比数列，则＝2n－1，即an＝(n＋1)·2n－1. (2)(多选)已知数列{an}满足a1＋3a2＋…＋(2n－1)an＝2n(n∈N*)，Sn为数列{an}的前n项和．则下列四个结论中正确的是(　　) A．a1＝2 B．数列{an}的通项公式为an＝ C．S3＝ D．数列{an}为递减数列 答案　ACD 解析　对于A，令n＝1，则a1＝2×1＝2， 所以A正确； 对于B，当n≥2时，由a1＋3a2＋…＋(2n－1)an＝2n， 得a1＋3a2＋…＋(2n－3)an－1＝2n－2， 两式相减得(2n－1)an＝2， 所以an＝，a1＝2满足此式， 所以an＝，所以B错误； 对于C，因为an＝， 所以S3＝a1＋a2＋a3＝2＋＋＝， 所以C正确； 对于D，因为an＋1－an＝－ ＝2 ＝<0(n∈N*)， 所以an＋1<an，所以数列{an}为递减数列， 所以D正确． 专题强化练 1．(2023·北京统考)在数列{an}中，若a1＝－1，an＝(n≥2，n∈N*)，则a100等于(　　) A．－1 B．1 C. D．2 答案　A 解析　因为a1＝－1，an＝(n≥2，n∈N*)， 所以a2＝＝＝， a3＝＝＝2， a4＝＝＝－1＝a1， a5＝＝＝＝a2， 所以数列{an}是以3为周期的周期数列， 所以a100＝a3×33＋1＝a1＝－1. 2．(2023·漳州模拟)若正项数列{an}满足a1＝1，a＋an＋1an－6a＝0，则a＋a＋a＋…＋a等于(　　) A．4n－1 B.(4n－1) C．2n－1 D.(2n－1) 答案　B 解析　由a＋an＋1an－6a＝0， 得(an＋1－2an)(an＋1＋3an)＝0， 又{an}是正项数列， 所以an＋1－2an＝0，＝2， 则数列{an}是以1为首项，2为公比的等比数列， an＝2n－1，a＝(2n－1)2＝22(n－1)＝4n－1， a＝1，＝＝4， 可得数列{a}是以1为首项，4为公比的等比数列， 所以a＋a＋a＋…＋a＝＝(4n－1)． 3．(2023·洛阳模拟)若数列{an}和{bn}满足a1＝2，b1＝0,2an＋1＝3an＋bn＋2,2bn＋1＝an＋3bn－2，则a2 023＋b2 023等于(　　) A．1 B．3 C.2 023 D．22 023 答案　D 解析　因为2an＋1＝3an＋bn＋2,2bn＋1＝an＋3bn－2， 所以2an＋1＋2bn＋1＝3an＋bn＋2＋an＋3bn－2＝4(an＋bn)，即an＋1＋bn＋1＝2(an＋bn)， 又a1＋b1＝2， 所以{an＋bn}是以2为首项，2为公比的等比数列， 所以an＋bn＝2n， 所以a2 023＋b2 023＝22 023. 4．(2023·郑州模拟)已知数列{an}满足＝2n，a1＝1，则a2 023等于(　　) A．2 023 B．2 024 C．4 045 D．4 047 答案　C 解析　∵＝2n， ∴an＋1＋an＝2n(an＋1－an)， 即(1－2n)an＋1＝(－2n－1)an， 可得＝， ∴a2 023＝×××…×××a1 ＝×××…×××1＝4 045. 5．(2023·淄博模拟)已知正项数列{an}的前n项和是Sn，满足＝对n∈N*恒成立，则an等于(　　) A．an＝ B．an＝－ C．an＝－ D．an＝＋ 答案　C 解析　由＝得2Sn＝an＋， 当n≥2时，an＝Sn－Sn－1， 则2Sn＝Sn－Sn－1＋， 整理得S－S＝1， 显然＝， 则S＝1，因此数列{S}是等差数列，首项为1，公差为1，所以S＝1＋(n－1)×1＝n， 又an>0，所以Sn>0，所以Sn＝， 当n≥2时，an＝－，a1＝1满足上式， 因此an＝－. 6．(多选)(2023·宿迁模拟)设Sn是数列{an}的前n项和，且a1>0，a2＝，3an＋1＝2SnSn＋1，则(　　) A．a1＝ B．数列是公差为的等差数列 C．数列的前5项和最大 D．an＝ 答案　AC 解析　∵a1>0，a2＝，3an＋1＝2SnSn＋1， ∴3a2＝2a1(a1＋a2)， ∴a1＝或a1＝－(舍)，故选项A正确； 又3an＋1＝2SnSn＋1， ∴3(Sn＋1－Sn)＝2SnSn＋1， ∴－＝－， ∴数列是公差为－的等差数列， 故选项B错误； 由＝＝3，得＝＋(n－1)· ＝3－＝， ∴>0，<0， ∴数列的前5项和最大，故选项C正确； 当n＝1时， ＝＝，这与a1＝矛盾， 故选项D错误． 7．(2023·淮南模拟)记Sn为数列{an}的前n项和．已知＋n＝3an＋1，a1＝－，则数列{an}的通项公式是__________________． 答案　an＝n－1 解析　由题意得3Sn＋n2＝3nan＋n，① 当n≥2时， 3Sn－1＋(n－1)2＝3(n－1)an－1＋(n－1)，② ①－②化简得3(an－an－1)－3n(an－an－1) ＝－2n＋2， 即(3－3n)(an－an－1)＝－2n＋2， 则an－an－1＝＝(n≥2)， 则数列{an}是以－为首项，为公差的等差数列， 则an＝－＋(n－1)＝n－1. 8．(2023·安庆模拟)数列{an}满足a1＝2，且∀n∈N*，恒有a2n＝an－n－1，则a256＝________. 答案　－261 解析　∵a2n＝an－n－1， ∴a256＝a128－(128＋1)＝a128－(27＋1) ＝a64－(26＋1)－(27＋1) ＝a32－(25＋1)－(26＋1)－(27＋1) ＝… ＝a1－(20＋1)－(21＋1)－…－(27＋1) ＝2－(20＋1)－(21＋1)－…－(27＋1) ＝2－(20＋21＋…＋27)－8 ＝－－6 ＝－261. 9．已知Sn是数列{an}的前n项和，a1＝3，且当n≥2时，Sn，，Sn－1成等差数列． (1)求数列{an}的通项公式； (2)设数列{bn}满足bn＝1－，若b2·b3·…·bn＝，求正整数n的值． 解　(1)方法一　由题意知当n≥2时， Sn＋Sn－1＝nan， ∴Sn＋Sn－1＝n(Sn－Sn－1)， 整理得Sn＝Sn－1， 由S1＝a1＝3， ∴Sn＝××××…×××3 ＝(n2＋n)， 经检验S1＝3也符合Sn＝(n2＋n)． ∴当n≥2时，an＝Sn－Sn－1 ＝(n2＋n)－[(n－1)2＋(n－1)]＝3n. a1＝3也满足an＝3n， ∴数列{an}的通项公式为an＝3n. 方法二　由题意知当n≥2时，Sn＋Sn－1＝nan， ∴当n≥3时，Sn－1＋Sn－2＝(n－1)an－1， 两式相减得an＋an－1＝nan－(n－1)an－1(n≥3)， 即(n－1)an＝nan－1， ∴＝(n≥3)， ∴当n≥3时，为常数列， 又由S2＋S1＝2a2得a2＝6， 同理可得a3＝9， ∴＝＝＝3， ∴＝＝3，即an＝3n， ∴数列{an}的通项公式为an＝3n. (2)由(1)得bn＝1－＝1－ ＝＝×， ∴b2·b3·…·bn＝××××××…××＝. 由＝，得n＝88. 学科网（北京）股份有限公司 $$