专题2 微重点5 平面向量数量积的最值与范围问题-【步步高】2024年高考数学大二轮专题复习与增分策略（新高考基础版）

微重点5　平面向量数量积的最值与范围问题 平面向量中的最值与范围问题，是高考的热点与难点问题，主要考查求向量的模、数量积、夹角及向量的系数等的最值、范围．解决这类问题的一般思路是建立求解目标的函数关系，通过函数的值域解决问题，同时，平面向量兼具“数”与“形”的双重身份，数形结合也是解决平面向量中的最值与范围问题的重要方法． 考点一　求参数的最值(范围) 例1　(1)(多选)(2023·成都模拟)如图，四边形ABCD中，E为AB的中点，M为线段AD上的动点，若＝λ＋μ，则λ＋μ的值可以是(　　) A. B. C．1 D．2 答案　ACD 解析　因为M在线段AD上， 设＝k，其中0≤k≤1， 则－＝k， 所以＝(1－k)＋k， 因为E为BA的中点，则＝2， 所以＝2(1－k)＋k， 又因为＝λ＋μ，且，不共线， 则 所以λ＋μ＝2(1－k)＋k＝2－k∈[1,2]． (2)设非零向量a，b的夹角为θ，若|a|＝2|b|＝2，且不等式|2a＋b|≥|a＋λb|对任意的θ恒成立，则实数λ的取值范围为(　　) A．[－1,3] B．[－1,5] C．[－7,3] D．[5,7] 答案　A 解析　∵非零向量a，b的夹角为θ，若|a|＝2|b|＝2， ∴|a|＝2，|b|＝1， a·b＝2×1×cos θ＝2cos θ， ∵不等式|2a＋b|≥|a＋λb|对任意的θ恒成立， ∴(2a＋b)2≥(a＋λb)2， ∴4a2＋4a·b＋b2≥a2＋2λa·b＋λ2b2， 整理可得(13－λ2)＋(8－4λ)cos θ≥0恒成立， ∵cos θ∈[－1,1]， ∴解得－1≤λ≤3. 规律方法　利用共线向量定理及推论 (1)a∥b⇔a＝λb(b≠0)． (2)＝λ＋μ(λ，μ为实数)，则A，B，C三点共线⇔λ＋μ＝1. 跟踪演练1　(1)(2023·深圳模拟)过△ABC的重心G的直线l分别交线段AB，AC于点E，F，若＝λ，＝μ，则λ＋μ的最小值为(　　) A.＋ B. C. D．1 答案　C 解析　如图，若D为BC的中点，又G为△ABC的重心，则A，G，D三点共线，且＝， 因为＝＋＝＋，所以＝＋，即＝＋， 又E，G，F三点共线，所以＋＝1， 故λ＋μ＝(λ＋μ) ＝＋ ≥＋×2＝， 当且仅当λ＝μ＝时，等号成立． (2)(2023·宁德模拟)在平面直角坐标系中，点P为圆O：x2＋y2＝1上的任一点，A(2,0)，B(－1,1)．若＝λ＋μ，则2λ＋μ的最大值为(　　) A. B．2 C. D. 答案　C 解析　由已知可设P(cos θ，sin θ)， 则＝(cos θ，sin θ)， 又λ＋μ＝(2λ－μ，μ)， 因为＝λ＋μ， 所以 即 所以2λ＋μ＝2sin θ＋cos θ＝sin(θ＋φ)， 其中tan φ＝， 所以当sin(θ＋φ)＝1时，2λ＋μ有最大值. 考点二　求向量模、夹角的最值(范围) 例2　(1)已知e为单位向量，向量a满足(a－e)·(a－5e)＝0，则|a＋e|的最大值为(　　) A．4 B．5 C．6 D．7 答案　C 解析　可设e＝(1,0)，a＝(x，y)， 则(a－e)·(a－5e)＝(x－1，y)·(x－5，y) ＝x2－6x＋5＋y2＝0， 即(x－3)2＋y2＝4， 则1≤x≤5，－2≤y≤2， |a＋e|＝＝， 当x＝5时，取得最大值6， 即|a＋e|的最大值为6. (2)平面向量a，b满足|a|＝3|b|，且＝4，则a与a－b夹角的余弦值的最小值为________． 答案　 解析　如图所示，设a＝，b＝， 则a－b＝， 设|b|＝m，|a|＝3m， 又|a－b|＝4，则1<m<2， cos∠OAB＝ ＝＝＋≥2＝， 当且仅当＝，即m＝时，等号成立． 易错提醒　找两向量的夹角时，要注意“共起点”以及向量夹角的取值范围是[0，π]．若向量a，b的夹角为锐角，包括a·b>0和a，b不共线；若向量a，b的夹角为钝角，包括a·b<0和a，b不共线． 跟踪演练2　(1)(2023·杭州模拟)已知a＝(1,2)，b＝(1,1)，且a与a＋λb的夹角为锐角，则实数λ的取值范围为____________． 答案　∪(0，＋∞) 解析　因为a＝(1,2)，b＝(1,1)， 所以a＋λb＝(1＋λ，2＋λ)， 因为a与a＋λb的夹角为锐角， 所以a·(a＋λb)>0，且a与a＋λb不共线， 所以 解得λ>－且λ≠0， 所以λ的取值范围为∪(0，＋∞)． (2)(2023·南通模拟)平面向量a，b满足a2－a·b－4＝0，|b|＝3，则|a|的最大值是(　　) A．3 B．4 C．5 D．6 答案　B 解析　设向量a，b的夹角为θ， ∵a2－a·b－4＝0，|b|＝3， ∴a2－4＝a·b＝3|a|cos θ， ∴3cos θ＝＝|a|－，且a≠0， ∵0≤θ≤π， ∴－1≤cos θ≤1，即－3≤|a|－≤3， ∵|a|>0，∴解得1≤|a|≤4，即|a|的最大值是4. 考点三　求向量数量积的最值(范围) 例3　(1)(2023·天津模拟)已知菱形ABCD的边长为2，∠BAD＝120°，点E在边BC上，BC＝3BE，若G为线段DC上的动点，则·的最大值为(　　) A．2 B. C. D．4 答案　B 解析　依题意△ACD为等边三角形，边长为2，以A为原点，AB所在直线为x轴，过点A作AB的垂线所在直线为y轴，建立如图所示的平面直角坐标系， 则A(0,0)，D(－1，)，C(1，)，B(2,0)， ＝(－1，)，又＝3，可得E， 设G(x，)，－1≤x≤1， ∴·＝x＋1，－1≤x≤1， ∴当x＝1时，(·)max＝. (2)(2023·绍兴模拟)已知点A(－2,0)，B，C分别为直线y＝mx，y＝n(m，n∈R，mn≠0)上的动点，若·＝0，则·的最小值为(　　) A．n2 B．mn C. D. 答案　C 解析　因为·＝0，所以· ＝·＝2＋· ＝||2， 又点A(－2,0)，B为直线y＝mx上的动点， 所以||min即为点A到直线y＝mx的距离， 所以||min＝＝， 所以||＝. 规律方法　向量数量积最值(范围)问题的解题策略 (1)形化：利用平面向量的几何意义将问题转化为平面几何中的最值或范围问题，然后根据平面图形的特征直接进行判断． (2)数化：利用平面向量的坐标运算，把问题转化为代数中的函数最值与值域、不等式的解集或方程有解等问题，然后利用函数、不等式或方程的有关知识来解决． 跟踪演练3　(1)在△ABC中，AC＝3，BC＝4，∠C＝90°.P为△ABC所在平面内的动点，且PC＝1，则·的取值范围是(　　) A．[－5,3] B．[－3,5] C．[－6,4] D．[－4,6] 答案　D 解析　依题意，如图，建立平面直角坐标系， 则C(0,0)，A(3,0)，B(0,4)， 因为PC＝1，所以P在以C为圆心，1为半径的圆上运动， 设P(cos θ，sin θ)，θ∈[0,2π]， 所以＝(3－cos θ，－sin θ)， ＝(－cos θ，4－sin θ)， 所以·＝ (－cos θ)×(3－cos θ)＋(4－sin θ)×(－sin θ) ＝cos2θ－3cos θ－4sin θ＋sin2θ ＝1－3cos θ－4sin θ＝1－5sin(θ＋φ)， 其中sin φ＝，cos φ＝， 因为－1≤sin(θ＋φ)≤1， 所以－4≤1－5sin(θ＋φ)≤6， 即·∈[－4,6]． (2)(2023·邵阳模拟)已知四边形ABCD是边长为1的正方形，P为对角线AC上一点，则·(＋)的最小值是(　　) A．0 B．－ C．－ D．－2 答案　B 解析　作出如图所示的图形， ·(＋)＝·2. 令＝λ，则λ∈[0,1]， ＝－＝－λ＝， ∵·2＝－λ·2 ＝(2λ2－λ)·2＝4λ2－2λ，λ∈[0,1]， ∴当λ＝时，(·2)min＝－. 专题强化练 1．在矩形ABCD中，AB＝2，AD＝4，E是CD上一点，则·的最小值为(　　) A．13 B．15 C．17 D．19 答案　B 解析　如图，以AB，AD为x，y轴，建立平面直角坐标系，则B(2,0)， 设E(x,4)，0≤x≤2， 则＝(x,4)，＝(x－2,4)， ·＝x(x－2)＋16 ＝(x－1)2＋15， ∴当x＝1时，·的最小值为15. 2．(2023·咸阳模拟)已知向量a，b，且|a|＝|b|＝5，|a＋b|＝6，则|ta＋b|(t∈R)的最小值为(　　) A. B．4 C. D. 答案　A 解析　由题意，∵|a＋b|＝6， ∴a2＋b2＋2a·b＝36， ∵|a|＝|b|＝5， ∴a·b＝－7， ∴|ta＋b|2＝t2a2＋2ta·b＋b2 ＝25t2＋2t×(－7)＋25 ＝25t2－14t＋25 ＝252＋， 当t＝时，|ta＋b|2取得最小值， ∴|ta＋b|的最小值为. 3．已知|a|＝2|b|，|b|≠0，且关于x的方程x2＋|a|x＋a·b＝0有实数根，则a与b的夹角θ的取值范围是(　　) A. B. C. D. 答案　B 解析　因为关于x的方程x2＋|a|x＋a·b＝0有实数根， 所以Δ＝|a|2－4ab＝|a|2－4|a||b|·cos θ＝4|b|2－8|b|2·cos θ≥0，所以cos θ≤， 又θ∈[0，π]，所以≤θ≤π， 即a与b的夹角θ的取值范围是. 4．(2023·北京模拟)已知e为单位向量，向量a满足a·e＝2，|a－λe|＝1，则|a|的最大值为(　　) A．1 B．2 C. D．4 答案　C 解析　依题意设e＝(1,0)，a＝(x，y)， 因为a·e＝2，所以x＝2， 则a＝(2，y)， 又a－λe＝(2，y)－(λ，0)＝(2－λ，y)， 且|a－λe|＝1， 所以＝1， 即y2＝1－(2－λ)2， 所以|a|＝＝≤， 当且仅当λ＝2时等号成立， 即|a|的最大值为. 5．(2023·深圳模拟)已知△ABC是单位圆O的内接三角形，若A＝，则·的最大值为(　　) A. B. C．1 D. 答案　C 解析　如图所示，圆O是△ABC的外接圆，且A＝， 所以OB⊥OC，又＝－，所以·＝·－· ＝－· ＝－cos〈，〉， 故当，反向共线时，·最大， 所以(·)max＝1. 6．(2023·北京模拟)已知正方形ABCD的边长为2，P为正方形ABCD内部(不含边界)的动点，且满足·＝0，则·的取值范围是(　　) A．(0,8] B．[0,8) C．(0,4] D．[0,4) 答案　D 解析　由题意得·＝0，则点P在以AB为直径的半圆上， 如图所示， 则P(cos α，sin α)，0<α<π， C(1,2)，D(－1,2)， ∴＝(cos α－1，sin α－2)， ＝(cos α＋1，sin α－2)， 则·＝(cos α－1)(cos α＋1)＋(sin α－2)2 ＝cos2α－1＋sin2α－4sin α＋4＝4－4sin α， 又α∈(0，π)，∴sin α∈(0,1]， ∴·∈[0,4)． 7．(多选)(2023·重庆模拟)在正方形ABCD中，动点E从点B出发，经过C，D，到达点A，＝λ＋μ，则λ＋μ的取值可能是(　　) A．0 B．1 C. D．2 答案　AB 解析　以B为坐标原点，AB，BC所在直线分别为x轴，y轴，建立平面直角坐标系，如图所示， 设AB＝1，则B(0,0)，A(1,0)，C(0,1)，D(1,1)， 当点E在BC上时，设E(0，m)，m∈[0,1]， 则(－1，m)＝λ(－1,0)＋μ(－1,1)， 即故λ＋μ＝1； 当点E在CD上时，设E(t,1)，t∈[0,1]， 则(t－1,1)＝λ(－1,0)＋μ(－1,1)， 即解得 故λ＋μ＝1－t∈[0,1]； 当点E在AD上时，设E(1，u)，u∈[0,1]， 则(0，u)＝λ(－1,0)＋μ(－1,1)， 即故λ＋μ＝0， 综上，λ＋μ的取值范围是[0,1]． 8．(2023·安庆模拟)已知非零向量a，b的夹角为θ，|a＋b|＝2，且|a||b|≥，则夹角θ的最小值为(　　) A. B. C. D. 答案　B 解析　由|a＋b|2＝4， 得|a|2＋|b|2＋2|a|·|b|cos θ＝4， 即4≥2|a|·|b|(1＋cos θ)≥(1＋cos θ)， 当且仅当|a|＝|b|时，等号成立， 解得cos θ≤.又θ∈[0，π]， 所以≤θ≤π，所以夹角θ的最小值为. 9．已知||＝2，||＝5，则||的取值范围是________． 答案　[3,7] 解析　∵＝－，∴||＝|－|， ∴|||－|||≤|－|≤||＋|| ∴3≤|－|≤7， 当且仅当与同向时左边等号成立，与反向时右边等号成立，故3≤||≤7. 10．已知平面向量a，b满足|a|＝4，|b|≤1，且|a－3b|≤，则向量a在向量b方向上的投影向量的模的最小值为_________． 答案　 解析　因为|a－3b|≤，所以a2－6a·b＋9b2≤13，所以6a·b≥a2＋9b2－13，又|a|＝4， 所以6a·b≥3＋9b2， 因为向量a在向量b方向上的投影向量的模为cos〈a，b〉＝≥＝＋ ≥2×＝， 当且仅当|a|＝4，＝，cos〈a，b〉＝时等号成立，故向量a在向量b方向上的投影向量的模的最小值为. 学科网（北京）股份有限公司 $$