专题2 第2讲 三角恒等变换与解三角形-【步步高】2024年高考数学大二轮专题复习与增分策略（新高考基础版）

第2讲　三角恒等变换与解三角形 [考情分析]　1.三角恒等变换主要考查化简、求值，解三角形主要考查求边长、角度、面积等，三角恒等变换作为工具，将三角函数与三角形相结合考查求解最值、范围问题.2.三角恒等变换以选择题、填空题为主，解三角形以解答题为主，中等难度． 考点一　三角恒等变换 核心提炼 1．两角和与差的正弦、余弦、正切公式 (1)sin(α±β)＝sin αcos β±cos αsin β； (2)cos(α±β)＝cos αcos β∓sin αsin β； (3)tan(α±β)＝. 2．二倍角的正弦、余弦、正切公式 (1)sin 2α＝2sin αcos α； (2)cos 2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α； (3)tan 2α＝. 例1　(1)(2023·南宁模拟)已知α∈(0，π)，且3cos 2α－4cos α＋1＝0，则sin 2α等于(　　) A．－ B．－ C．－ D．－ 答案　B 解析　由3cos 2α－4cos α＋1＝0得3(2cos2α－1)－4cos α＋1＝0， 化简得3cos2α－2cos α－1＝0， 解得cos α＝1或cos α＝－， 因为α∈(0，π)，所以cos α＝－. 所以sin α＝＝. 所以sin 2α＝2sin αcos α＝－. (2)(2023·新高考全国Ⅰ)已知sin(α－β)＝，cos αsin β＝，则cos(2α＋2β)等于(　　) A. B. C．－ D．－ 答案　B 解析　因为sin(α－β)＝sin αcos β－cos αsin β＝， 而cos αsin β＝， 因此sin αcos β＝， 则sin(α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β＝， 所以cos(2α＋2β)＝cos 2(α＋β)＝1－2sin2(α＋β)＝1－2×2＝. 规律方法　三角恒等变换的“4大策略” (1)常值代换：特别是“1”的代换，1＝sin2θ＋cos2θ＝tan 45°等． (2)项的拆分与角的配凑：如sin2α＋2cos2α＝(sin2α＋cos2α)＋cos2α，α＝(α－β)＋β等． (3)降幂与升幂：正用二倍角公式升幂，逆用二倍角公式降幂． (4)弦、切互化：一般是切化弦． 跟踪演练1　(1)(2023·济宁模拟)已知cos＝，则sin等于(　　) A．－ B. C．－ D. 答案　D 解析　sin＝sin ＝－cos 2＝1－2cos2 ＝1－2×＝. (2)若方程sin x－3cos x＝a有解，则实数a的取值范围是____________． 答案　[－，] 解析　sin x－3cos x＝sin(x－φ)(其中tan φ＝3)，则y＝sin(x－φ)∈[－，]， 要使方程sin x－3cos x＝a有解， 则a∈[－，]． 考点二　正弦定理、余弦定理及综合应用 核心提炼 1．正弦定理：在△ABC中，＝＝＝2R(R为△ABC的外接圆半径)． 变形：a＝2Rsin A，b＝2Rsin B，c＝2Rsin C，sin A＝，sin B＝，sin C＝，a∶b∶c＝sin A∶sin B∶sin C等． 2．余弦定理：在△ABC中，a2＝b2＋c2－2bccos A. 变形：b2＋c2－a2＝2bccos A，cos A＝. 3．三角形的面积公式：S＝absin C＝acsin B＝bcsin A. 考向1　正弦定理、余弦定理 例2　(1)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，cos B＝，b＝2，sin C＝2sin A，则△ABC的面积等于(　　) A. B. C. D. 答案　D 解析　由sin C＝2sin A可得c＝2a， 又cos B＝＝＝， 解得a＝1，c＝2， 又由cos B＝可得sin B＝， 所以△ABC的面积为acsin B ＝×1×2×＝. (2)(2023·全国甲卷)在△ABC中，∠BAC＝60°，AB＝2，BC＝，∠BAC的角平分线交BC于D，则AD＝________. 答案　2 解析　如图所示，记AB＝c＝2，AC＝b，BC＝a＝. 方法一　在△ABC中，由余弦定理可得， a2＝b2＋c2－2bccos∠BAC， 即6＝b2＋22－2×b×2×cos 60°， 解得b＝1＋(负值舍去)， 由S△ABC＝S△ABD＋S△ACD可得， ×2×(1＋)×sin 60°＝×2×AD×sin 30°＋×(1＋)×AD×sin 30°， 解得AD＝2. 方法二　在△ABC中，由余弦定理可得，a2＝b2＋c2－2bccos∠BAC， 即6＝b2＋22－2×b×2×cos 60°， 解得b＝1＋(负值舍去)， 由正弦定理可得＝＝， 解得sin B＝，sin C＝， 因为1＋>>2， 所以C＝45°，B＝180°－60°－45°＝75°， 又∠BAD＝30°， 所以∠ADB＝75°，即AD＝AB＝2. 考向2　解三角形中的最值与范围问题 例3　在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且2cos Asin＝cos C. (1)求角A的大小； (2)若a＝2，求△ABC的周长的取值范围． 解　(1)因为2cos Asin＝cos C， 所以2cos A ＝－cos(A＋B)， 所以cos Asin B－cos Acos B ＝－cos Acos B＋sin Asin B， 即cos Asin B＝sin Asin B， 因为B∈(0，π)，所以sin B≠0， 所以cos A＝sin A， 因此tan A＝. 又因为A∈(0，π)，所以A＝. (2)由a＝2，A＝及余弦定理得 4＝c2＋b2－2bccos A＝(b＋c)2－3bc ≥(b＋c)2－(b＋c)2＝， 所以b＋c≤4，当且仅当b＝c＝2时取等号． 又因为b＋c>a＝2，所以4<a＋b＋c≤6，故△ABC的周长的取值范围为(4,6]． 规律方法　解三角形中常见的求最值与范围问题的解题策略 (1)利用余弦定理，找三角形三边之间的关系，利用基本不等式将a＋b与ab相互转化求最值范围． (2)利用正弦定理，将边化成角的正弦，利用三角恒等变换进行化简；利用三角函数的性质求最值、范围． 跟踪演练2　(1)(2023·宝鸡模拟)在△ABC中，AB＝5，AC＝7，D为BC的中点，AD＝5，则BC等于(　　) A．2 B．4 C．2 D．4 答案　B 解析　方法一　设BC＝2x，则BD＝CD＝x. 在△ACD中，由余弦定理的推论可得， cos∠ADC＝＝. 在△ABD中，由余弦定理的推论可得， cos∠ADB＝＝. 又∠ADC＋∠ADB＝π，所以cos∠ADC＝－cos∠ADB， 所以有＝－， 整理可得x2＝12， 解得x＝2， 所以BC＝4. 方法二　＝(＋)， 则2＝(2＋2＋2·)， 即25＝(25＋49＋2×5×7×cos∠BAC)， 解得cos∠BAC＝， 所以BC2＝AB2＋AC2－2AB·AC·cos∠BAC ＝25＋49－2×5×7×＝48， 所以BC＝4. (2)(2023·淄博模拟)如图所示，BD为平面四边形ABCD的对角线，设AB＝1，sin∠ABD＝sin∠ADB，△BCD为等边三角形，记∠BAD＝θ(0<θ<π)． ①当BD＝时，求θ的值； ②设S为四边形ABCD的面积，用含有θ的关系式表示S，并求S的最大值． 解　①在△ABD中， 因为sin∠ABD＝sin∠ADB， 由正弦定理得AD＝AB＝， 由余弦定理得cos θ＝＝－， 因为0<θ<π，故θ＝. ②在△ABD中，AB＝1，AD＝，∠BAD＝θ， 由余弦定理可得BD2＝4－2cos θ， 因为△BCD为等边三角形， 所以S△BCD＝BD2＝(4－2cos θ) ＝－cos θ， 因为S△ABD＝sin θ， 所以四边形ABCD的面积为S＝S△ABD＋S△BCD＝sin θ＋－cos θ＝sin＋， 因为0<θ<π，所以－<θ－<， 故当θ＝时，sin取得最大值1， 即S的最大值为2. 考点三　解三角形的实际应用 核心提炼 解三角形应用题的常考类型 (1)实际问题经抽象概括后，已知量与未知量全部集中在一个三角形中，可用正弦定理或余弦定理求解． (2)实际问题经抽象概括后，已知量与未知量涉及两个或两个以上的三角形，这时需作出这些三角形，先解够条件的三角形，然后逐步求解其他三角形，有时需设出未知量，从几个三角形中列出方程(组)，解方程(组)得出所要求的解． 例4　(1)(2023·南充模拟)一艘海轮从A处出发，以每小时40海里的速度沿南偏东40°方向直线航行，30分钟后到达B处．在C处有一座灯塔，海轮在A处观察灯塔，其方向是南偏东70°，在B处观察灯塔，其方向是北偏东65°，那么B，C两点间的距离是(　　) A．10 海里 B．10 海里 C．20 海里 D．20 海里 答案　A 解析　依题意，如图，在△ABC中， ∠BAC＝70°－40°＝30°，∠ABC＝40°＋65°＝105°， 则∠ACB＝45°， AB＝40×＝20(海里)， 由正弦定理得 ＝， 即＝， 因此BC＝＝10(海里)， 所以B，C两点间的距离是10 海里． (2)(2023·苏州模拟)我国油纸伞的制作工艺巧妙．如图(1)，伞不管是张开还是收拢，伞柄AP始终平分同一平面内两条伞骨所成的角∠BAC，且AB＝AC，从而保证伞圈D能够沿着伞柄滑动．如图(2)，伞完全收拢时，伞圈D已滑到D′的位置，且A，B，D′三点共线，AD′＝40 cm，B为AD′的中点，当伞从完全张开到完全收拢，伞圈D沿着伞柄向下滑动的距离为24 cm，则当伞完全张开时，∠BAC的余弦值是(　　) A．－ B．－ C．－ D．－ 答案　A 解析　依题意分析可知，当伞完全张开时， AD＝40－24＝16(cm)， 因为B为AD′的中点， 所以AB＝AC＝AD′＝20(cm)， 当伞完全收拢时，AB＋BD＝AD′＝40(cm)， 所以BD＝20(cm)， 在△ABD中，cos∠BAD＝ ＝＝， 所以cos∠BAC＝cos 2∠BAD＝2cos2∠BAD－1＝2×－1＝－. 规律方法　解三角形实际问题的步骤 跟踪演练3　(1)(2023·湖州、衢州、丽水质检)喜来登月亮酒店是浙江省湖州市地标性建筑，某学生为测量其高度，在远处选取了与该建筑物的底端B在同一水平面内的两个测量基点C与D，现测得∠BCD＝45°，∠BDC＝105°，CD＝100米，在点C处测得酒店顶端A的仰角∠ACB＝28°，则酒店的高度约是(　　) (参考数据：≈1.4，≈2.4，tan 28°≈0.53) A．91米 B．101米 C．111米 D．121米 答案　B 解析　由题设∠CBD＝30°， 在△BCD中，＝， 又sin∠BDC＝sin 105°＝sin(60°＋45°)＝sin 60°cos 45°＋cos 60°sin 45°＝， 所以BC＝＝ ＝50(＋)米， 所以AB＝BCtan∠ACB＝50(＋)×tan 28°≈101(米)． (2)(2023·广州模拟)海洋蓝洞是地球罕见的自然地理现象，被喻为“地球留给人类保留宇宙秘密的最后遗产”，我国拥有世界上最深的海洋蓝洞，若要测量如图所示的蓝洞的口径A，B两点间的距离，现在珊瑚群岛上取两点C，D，测得CD＝35 m，∠ADB＝135°，∠BDC＝∠DCA＝15°，∠ACB＝120°，则A，B两点间的距离为________ m. 答案　35 解析　因为∠ADB＝135°，∠BDC＝∠DCA＝15°，所以∠ADC＝150°， 所以∠DAC＝15°，所以AD＝CD＝35， 又因为∠ACB＝120°， 所以∠BCD＝135°，∠CBD＝30°， 在△BCD中，由正弦定理得 ＝， 即＝，解得BD＝35， 在△ABD中，由余弦定理得 AB2＝AD2＋BD2－2AD·BD·cos∠ADB ＝352＋(35)2－2×35×35×， 解得AB＝35， 所以A，B两点间的距离为35 m. 专题强化练 一、单项选择题 1．(2023·汕头模拟)在△ABC中，已知C＝45°，b＝，c＝2，则角B为(　　) A．30° B．60° C．30°或150° D．60°或120° 答案　A 解析　在△ABC中，由正弦定理可得sin B＝＝＝，又因为c>b，可得C>B，即0°<B<45°，所以B＝30°. 2．(2023·广西联考)在△ABC中，若sin C＝3sin A，b2＝2ac，则cos B等于(　　) A. B. C. D. 答案　C 解析　因为sin C＝3sin A，由正弦定理可得c＝3a，且b2＝2ac，由余弦定理的推论可得cos B＝＝＝. 3．(2023·新高考全国Ⅱ)已知α为锐角，cos α＝，则sin 等于(　　) A. B. C. D. 答案　D 解析　因为α为锐角， 所以sin ＝＝ ＝＝. 4．(2023·全国乙卷)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，若acos B－bcos A＝c，且C＝，则B等于(　　) A. B. C. D. 答案　C 解析　由题意结合正弦定理可得 sin Acos B－sin Bcos A＝sin C， 即sin Acos B－sin Bcos A＝sin(A＋B) ＝sin Acos B＋sin Bcos A， 整理可得sin Bcos A＝0， 由于B∈(0，π)，故sin B>0， 据此可得cos A＝0，A＝， 则B＝π－A－C＝π－－＝. 5．(2023·芜湖模拟)记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若acos A＋bcos(A＋C)＝0，则△ABC为(　　) A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等腰或直角三角形 答案　D 解析　由acos A＋bcos(A＋C)＝0， 得acos A－bcos B＝0， 由正弦定理得sin Acos A－sin Bcos B＝0， 所以sin 2A＝sin 2B， 因为0<2A<2π，0<2B<2π， 所以2A＝2B或2A＋2B＝π， 所以A＝B或A＋B＝. 即△ABC是等腰或直角三角形． 6.(2023·上饶模拟)如图，在△ABC中，∠BAC＝，点D在线段BC上，AD⊥AC，＝，则cos C等于(　　) A. B. C. D. 答案　B 解析　在Rt△ACD中， AD＝CD·sin C＝4BD·sin C， 在△ABD中，∠BAD＝，B＝－C， 由正弦定理可得 ＝＝， 即cos C－sin C＝2sin C，所以tan C＝， 又 且C∈，所以cos C＝. 二、多项选择题 7．(2023·衡阳模拟)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知(a＋b)∶(b＋c)∶(c＋a)＝5∶6∶7，则下列结论正确的是(　　) A．sin A∶sin B∶sin C＝2∶3∶4 B．△ABC为钝角三角形 C．若a＝6，则△ABC的面积是6 D．若△ABC外接圆半径是R，内切圆半径是r，则＝ 答案　BD 解析　设a＋b＝5t，b＋c＝6t，c＋a＝7t，t>0， 则a＝3t，b＝2t，c＝4t， 对于A，sin A∶sin B∶sin C＝3∶2∶4， 故A不正确； 对于B，c最大，所以C最大， cos C＝＝－<0，故B正确； 对于C，若a＝6，则t＝2，b＝4，c＝8， 由cos C＝－，得sin C＝， 所以△ABC的面积S＝absin C＝×6×4×＝3，故C不正确； 对于D，由正弦定理的推论得 R＝＝＝t， △ABC的周长l＝9t， 面积S＝absin C＝t2， 所以内切圆半径r＝＝t， 所以＝，故D正确． 8．函数f(x)＝sin x(sin x＋cos x)－，若f(x0)＝，x0∈，下列结论正确的是(　　) A．f(x)＝sin B．直线x＝是f(x)图象的一条对称轴 C．f(x)在上的最小值为－ D．cos 2x0＝ 答案　AD 解析　f(x)＝sin2x＋sin xcos x－ ＝＋sin 2x－ ＝(sin 2x－cos 2x) ＝sin，故A正确； f ＝sin＝， ∴直线x＝不是f(x)图象的一条对称轴， 故B错误； 当x∈时， 2x－∈， ∴f(x)在上单调递增， ∴f(x)在上无最小值，故C错误； ∵f(x0)＝，∴sin＝， 又2x0－∈， ∴cos＝， ∴cos 2x0＝cos ＝＝， 故D正确． 三、填空题 9．(2023·开封模拟)在△ABC中，AB＝7，BC＝3，C＝，则△ABC的面积为________． 答案　 解析　在△ABC中，因为AB＝7，BC＝3，C＝， 由余弦定理可得， AB2＝CA2＋CB2－2CA·CB·cos C， 即49＝CA2＋9－6CA×， 所以CA2＋3CA－40＝0， 解得CA＝5或CA＝－8(舍去)， 所以S△ABC＝CA·CB·sin C ＝×5×3×＝. 10．(2023·沧州调研)已知tan θ＝，则＝___________________________. 答案　 解析　sin 3θ＝sin(θ＋2θ)＝sin θcos 2θ＋cos θsin 2θ ＝sin θ(1－2sin2θ)＋2sin θcos2θ ＝3sin θ－4sin3θ， 因为tan θ＝， 所以＝3－4sin2θ＝3－ ＝3－＝3－＝. 11．(2023·泉州统考)2022年11月30日，神舟十五号载人飞船成功与天和核心舱对接形成组合体，并于2023年6月4日成功返回地面．本次任务的完成见证了货运飞船与空间站交会对接最快世界纪录等众多历史性时刻．如图，神舟十五号返回舱接近地面时，伞面是表面积约为392π m2的半球面(不含底面圆)，伞顶B与返回舱底端C的距离为半球半径的5倍，直线BC在水平地面上的投影为D，D和观测点A在同一水平线上．在遥控观测点A处测得点B的仰角为45°，线段BC的视角(即∠BAC)的正弦值为，则此时返回舱底端离地面的高度约为__________m. 答案　50 解析　设半球的半径为R m，则·4πR2＝392π， 则R＝14，所以BC＝5R＝70， 因为仰角∠BAD＝45°， 则∠ABD＝45°，又sin∠BAC＝， 所以在△ABC中，＝， 所以AC＝·sin∠ABC ＝×＝130， 因为cos∠BAC＝＝， 则sin∠CAD＝sin(45°－∠BAC) ＝cos∠BAC－sin∠BAC＝， 所以在Rt△ACD中，CD＝AC·sin∠CAD＝130×＝50.故返回舱底端离地面的高度约为50 m. 12．(2023·南宁模拟)已知在锐角三角形ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a＝c－2acos B，则角A的取值范围是________． 答案　 解析　∵a＝c－2acos B， ∴正弦定理可得sin A＝sin C－2sin Acos B， 则sin A＝sin(A＋B)－2sin Acos B ＝cos Asin B－sin Acos B＝sin(B－A)， ∵在锐角三角形ABC中，A，B，C∈， 则B－A∈，∴A＝B－A，即B＝2A， 可得 解得A∈. 四、解答题 13．(2023·全国甲卷)记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知＝2. (1)求bc； (2)若－＝1，求△ABC面积． 解　(1)由余弦定理知a2＝b2＋c2－2bccos A， 所以＝＝2bc＝2， 解得bc＝1. (2)由正弦定理可得－ ＝－ ＝－ ＝＝1， 变形可得sin(A－B)－sin(A＋B)＝sin B， 即－2cos Asin B＝sin B， 而0<sin B≤1， 所以cos A＝－， 又0<A<π， 所以sin A＝， 故△ABC的面积为 S△ABC＝bcsin A＝×1×＝. 14．(2023·北京101中学模拟)记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，sin＝－cos. (1)求B的值； (2)给出以下三个条件：①a2－b2＋c2＋3c＝0；②a＝，b＝1；③S△ABC＝.若这三个条件中仅有两个正确，请选出正确的条件并回答下面问题： (ⅰ)求sin A的值； (ⅱ)求∠ABC的角平分线BD的长． 解　(1)由题意得sin＋cos ＝2sin＝0，而<B＋<， 所以B＋＝π，故B＝. (2)若①②正确，则c2＋3c＋2＝0， 得c＝－1或c＝－2， 所以①②有一个错误条件，则③是正确条件； 若②③正确，则S△ABC＝absin C＝， 可得sin C＝>1，即②为错误条件， 综上，正确条件为①③. (ⅰ)由2accos B＝a2＋c2－b2， 得c(3＋2acos B)＝0， 由(1)知cos B＝－，则c(3－a)＝0，即a＝3， 又S△ABC＝acsin B＝， 可得c＝5， 所以9－b2＋25＋15＝0，可得b＝7， 则＝＝， 故sin A＝. (ⅱ)因为sin A＝且A∈， 得cos A＝＝， 由BD平分∠ABC得∠ABD＝， 在△ABD中，sin∠ADB＝sin(∠ABD＋A) ＝×＋×＝， 在△ABD中，由＝， 得BD＝＝＝. 学科网（北京）股份有限公司 $$