专题2 第1讲 三角函数的图象与性质-【步步高】2024年高考数学大二轮专题复习与增分策略（新高考基础版）

第1讲　三角函数的图象与性质 [考情分析]　1.高考对此部分的命题主要集中于三角函数的定义、图象与性质，主要考查图象的变换、函数的单调性、奇偶性、周期性、对称性，常与三角恒等变换交汇命题.2.主要以选择题、填空题的形式考查，难度为中等或偏下． 考点一　三角函数的运算 核心提炼 1．同角关系：sin2α＋cos2α＝1，＝tan α. 2．诱导公式：在＋α，k∈Z的诱导公式中“奇变偶不变，符号看象限”． 例1　(1)(2023·日照校际联考)已知角α的顶点在原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边过点(－3，－4)，将角α的终边绕原点逆时针方向旋转后与角β的终边重合，则cos β＝____. 答案　 解析　由三角函数的定义知，sin α＝－， 则cos β＝cos＝－sin α＝. (2)(2023·通化模拟)若α∈，cos 2α＝，则sin α＋cos α等于(　　) A．1 B. C. D. 答案　C 解析　因为α∈， 所以2α∈(0，π)，sin α>0，cos α>0， 又cos 2α＝， 所以sin 2α＝＝， 即2sin αcos α＝， 所以sin α＋cos α＝ ＝ ＝ ＝. 二级结论　(1)若α∈，则sin α<α<tan α. (2)由(sin α±cos α)2＝1±2sin αcos α知， sin α＋cos α，sin α－cos α，sin αcos α三者知一可求二． 跟踪演练1　(1)(2023·鹰潭模拟)设sin 23°＝m，则tan 67°等于(　　) A．－ B. C. D. 答案　D 解析　∵sin 23°＝m， ∴cos 67°＝m，∴sin 67°＝， ∴tan 67°＝， ∵sin 23°＝m>0， ∴tan 67°＝＝. (2)已知2cos＝cos(α－π)，则sin 2α＋cos 2α＝________. 答案　－ 解析　∵2cos＝cos(α－π)， ∴2sin α＝－cos α， ∴tan α＝－， ∴sin 2α＋cos 2α＝ ＝＝－. 考点二　三角函数的图象 核心提炼 由函数y＝sin x的图象变换得到y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)图象的步骤 例2　(1)(2023·海东模拟)为了得到函数f(x)＝sin的图象，只需将函数g(x)＝cos 2x的图象(　　) A．向左平移个单位长度 B．向右平移个单位长度 C．向左平移个单位长度 D．向右平移个单位长度 答案　B 解析　因为sin＝sin＝cos，所以f(x)＝cos， 故为了得到f(x)的图象，只需将g(x)的图象向右平移个单位长度． (2)(多选)如图是函数y＝sin(ωx＋φ)的部分图象，则sin(ωx＋φ)等于(　　) A．sin B．sin C．cos D．cos 答案　BC 解析　由函数图象可知，＝－＝， 则|ω|＝＝＝2，所以排除A； 不妨令ω＝2， 当x＝＝时，y＝－1， ∴2×＋φ＝＋2kπ(k∈Z)， 解得φ＝2kπ＋(k∈Z)， 即函数的解析式为 y＝sin＝sin ＝cos＝sin. 而cos＝－cos. 所以排除D，选BC. 规律方法　由三角函数的图象求解析式y＝Asin(ωx＋φ)＋B(A>0，ω>0)中参数的值 (1)最值定A，B：根据给定的函数图象确定最值，设最大值为M，最小值为m，则M＝A＋B，m＝－A＋B，解得B＝，A＝. (2)T定ω：由周期的求解公式T＝，可得ω＝. (3)特殊点定φ：代入特殊点求φ，一般代入最高点或最低点，代入中心点时应注意是上升趋势还是下降趋势． 跟踪演练2　(1)把函数y＝f(x)图象上所有点的横坐标缩短为原来的，纵坐标不变，再把所得曲线向右平移个单位长度，得到函数y＝sin的图象，则f(x)等于(　　) A．sin B．sin C．sin D．sin 答案　B 解析　方法一　函数y＝f(x)图象上所有点的横坐标缩短为原来的，纵坐标不变，得到y＝f(2x)的图象，再把所得曲线向右平移个单位长度，应当得到y＝f 的图象， 根据已知得到了函数y＝sin的图象，所以f ＝sin，令t＝2， 则x＝＋，x－＝＋， 所以f(t)＝sin， 所以f(x)＝sin. 方法二　由已知的函数y＝sin逆向变换， 第一步，向左平移个单位长度，得到y＝sin＝sin的图象； 第二步，图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，得到y＝sin的图象， 即为y＝f(x)的图象，所以f(x)＝sin. (2)(2023·乌鲁木齐模拟)已知函数f(x)＝2cos(ωx＋φ)的部分图象如图所示，将函数f(x)图象上所有点的横坐标向左平移个单位长度得到函数g(x)的图象，则g的值为__________． 答案　－1 解析　由图象可知f(x)的周期为＝2，解得ω＝4， 代入点可得cos＝1， 则φ＝－＋2kπ，k∈Z， 又|φ|<，所以φ＝－， 故f(x)＝2cos， 其图象向左平移个单位长度得 g(x)＝2cos＝2cos的图象， 故g＝2cos＝－1. 考点三　三角函数的性质 核心提炼 函数y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的性质 (1)单调性：由－＋2kπ≤ωx＋φ≤＋2kπ(k∈Z)可得单调递增区间，由＋2kπ≤ωx＋φ≤＋2kπ(k∈Z)可得单调递减区间． (2)对称性：由ωx＋φ＝kπ(k∈Z)可得对称中心；由ωx＋φ＝kπ＋(k∈Z)可得对称轴． (3)奇偶性：当φ＝kπ(k∈Z)时，函数y＝Asin(ωx＋φ)为奇函数；当φ＝kπ＋(k∈Z)时，函数y＝Asin(ωx＋φ)为偶函数． 例3　(1)(2023·全国乙卷)已知函数f(x)＝sin(ωx＋φ)在区间单调递增，直线x＝和x＝为函数y＝f(x)的图象的两条相邻对称轴，则f 等于(　　) A．－ B．－ C. D. 答案　D 解析　因为直线x＝和x＝为函数y＝f(x)的图象的两条相邻对称轴， 所以＝－＝，不妨取ω>0，则T＝π，ω＝＝2， 由题意知，当x＝时，f(x)取得最小值，则2×＋φ＝2kπ－，k∈Z， 则φ＝2kπ－，k∈Z，不妨取k＝0， 则f(x)＝sin， 则f ＝sin＝. (2)(多选)(2023·北京朝阳区模拟)关于函数f(x)＝sin＋1(x∈R)，下列说法正确的是(　　) A．函数f(x)的图象关于直线x＝－对称 B．函数f(x)的图象关于点对称 C．函数f(x)在上单调递增 D．函数f(x)的最小正周期为π 答案　ABD 解析　对于A，当x＝－时，sin＝－1， 则函数f(x)的图象关于直线x＝－对称， A正确； 对于B，因为f ＝sin＋1＝1， 则函数f(x)的图象关于点对称，B正确； 对于C，当x∈时，2x－∈， 函数y＝sin x在上不单调， 则函数f(x)在上不单调，C错误； 对于D，函数f(x)的最小正周期T＝＝π， D正确． 规律方法　研究三角函数的性质，首先化函数为f(x)＝Asin(ωx＋φ)＋h的形式，然后结合正弦函数y＝sin x的性质求f(x)的性质，此时有两种思路：一种是根据y＝sin x的性质求出f(x)的性质，然后判断各选项；另一种是由x的值或范围求得t＝ωx＋φ的范围，然后由y＝sin t的性质判断各选项． 跟踪演练3　(1)(2023·连云港调研)若函数f(x)＝sin 2x＋2cos2x＋m在区间上的最大值为6，则常数m的值为(　　) A．1 B．2 C．3 D．4 答案　C 解析　f(x)＝sin 2x＋2cos2x＋m＝sin 2x＋cos 2x＋m＋1＝2sin＋m＋1， 当0≤x≤时，≤2x＋≤，则函数f(x)的最大值为2sin＋m＋1＝m＋3＝6，解得m＝3. (2)已知函数f(x)＝tan－1，则(　　) A．f(x)的最小正周期为π B．f(x)的定义域为 C．f(x)的图象关于点对称 D．f(x)在上单调递增 答案　D 解析　对于A，由正切函数性质知，f(x)的最小正周期T＝，A错误； 对于B，由2x＋≠＋kπ(k∈Z)得， x≠＋(k∈Z)， ∴f(x)的定义域为，B错误； 对于C，令2x＋＝(k∈Z)， 解得x＝－＋(k∈Z)， 又f(x)＝tan－1， ∴f(x)的图象关于点对称，C错误； 对于D，当x∈时，2x＋∈，此时f(x)单调递增，D正确． 专题强化练 一、单项选择题 1．下列函数中，在上单调递增且为偶函数的是(　　) A．y＝sin  B．y＝tan(－x) C．y＝cos 2x D．y＝|sin x| 答案　D 解析　对于A，y＝sin 为奇函数，故A错误； 对于B，y＝tan(－x)为奇函数，故B错误； 对于C，y＝cos 2x为偶函数，但是函数y＝cos 2x在上单调递减，故C错误； 对于D，f(x)的定义域为R，f(－x)＝|sin(－x)|＝|－sin x|＝f(x)，故y＝|sin x|为偶函数， 且当x∈时y＝|sin x|＝sin x， 函数y＝sin x在上单调递增，故D正确． 2．(2023·扬州模拟)与函数y＝tan的图象不相交的一条直线是(　　) A．x＝ B．x＝ C．x＝ D．x＝ 答案　B 解析　由2x＋≠＋kπ，k∈Z， 解得x≠＋，k∈Z，当k＝0时，x≠， ∴与函数y＝tan的图象不相交的一条直线是x＝. 3．(2023·深圳模拟)已知sin＝，则cos的值为(　　) A．－ B. C．－ D. 答案　C 解析　cos＝cos ＝－sin＝－. 4．已知直线x＝x1，x＝x2是函数f(x)＝sin(ω>0)图象的任意两条对称轴，且|x1－x2|的最小值为，则f(x)的单调递增区间是(　　) A.，k∈Z B.，k∈Z C.，k∈Z D.，k∈Z 答案　B 解析　∵直线x＝x1，x＝x2是函数f(x)＝sin图象的任意两条对称轴， 且|x1－x2|的最小值为， ∴＝，即T＝π＝， 解得ω＝2，即f(x)＝sin， 令2x＋∈，k∈Z， 解得x∈，k∈Z， ∴f(x)的单调递增区间是，k∈Z. 5．将函数y＝sin(2x＋φ)的图象沿x轴向左平移个单位长度后，得到的图象关于y轴对称，则φ的可能取值为(　　) A．－ B. C. D. 答案　B 解析　将函数y＝sin(2x＋φ)的图象沿x轴向左平移个单位长度后， 得到函数y＝sin ＝sin的图象， 其关于y轴对称，则＋φ＝kπ＋，k∈Z， 解得φ＝kπ＋，k∈Z， 当k≥1时，φ≥； 当k＝0时，φ＝； 当k≤－1时，φ≤－. 结合选项可知B正确；A，C，D错误． 6．(2023·全国甲卷)设甲：sin2α＋sin2β＝1，乙：sin α＋cos β＝0，则(　　) A．甲是乙的充分条件但不是必要条件 B．甲是乙的必要条件但不是充分条件 C．甲是乙的充要条件 D．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件 答案　B 解析　甲等价于sin2α＝1－sin2β＝cos2β， 等价于sin α＝±cos β， 所以由甲不能推导出sin α＋cos β＝0， 所以甲不是乙的充分条件； 由sin α＋cos β＝0，得sin α＝－cos β， 平方可得sin2α＝cos2β＝1－sin2β， 即sin2α＋sin2β＝1， 所以由乙可以推导出甲，则甲是乙的必要条件． 7．(2023·怀化模拟)设ω>0，若函数y＝2cos的图象向右平移个单位长度后与函数y＝2sin的图象重合，则ω的最小值是(　　) A. B. C. D. 答案　C 解析　函数y＝2cos的图象向右平移个单位长度后，得到y＝2cos的图象， 与函数y＝2sin＝2sin＝2cos图象重合， 则－＋＝－＋2kπ，k∈Z， 解得ω＝－10k，k∈Z， ∵ω>0，∴当k＝0时，ω取到最小值，此时ω＝. 8．已知函数f(x)＝cos，若f(x)在[0，a]上的值域是，则实数a的取值范围为(　　) A. B. C. D. 答案　B 解析　由题意可得f(x)＝cos， 令t＝x＋，y＝cos t的图象如图所示， ∵0≤x≤a， ∴≤x＋≤＋a， 即≤t≤＋a， 又f(x)的值域是， ∴由图可知π≤＋a≤， 解得≤a≤， ∴实数a的取值范围为. 二、多项选择题 9．为了得到函数f(x)＝sin的图象，只需将函数g(x)＝sin x的图象(　　) A．所有点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，再将所得图象向右平移个单位长度 B．所有点的横坐标伸长到原来的3倍，纵坐标不变，再将所得图象向右平移个单位长度 C．向右平移个单位长度，再将所得图象所有点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变 D．向右平移个单位长度，再将所得图象所有点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变 答案　AC 解析　将函数g(x)＝sin x的图象所有点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，再将所得图象向右平移个单位长度， 可以得到函数f(x)＝sin的图象，A正确； 将函数g(x)＝sin x的图象所有点的横坐标伸长到原来的3倍，纵坐标不变，再将所得图象向右平移个单位长度，可以得到函数f(x)＝sin的图象，B不正确； 将函数g(x)＝sin x的图象向右平移个单位长度，再将所得图象所有点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变， 可以得到函数f(x)＝sin的图象，C正确； 将函数g(x)＝sin x的图象向右平移个单位长度，再将所得图象所有点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变， 可以得到函数f(x)＝sin的图象，D不正确． 10．(2023·烟台模拟)已知函数f(x)＝sin x－cos x，则(　　) A．f(x)的最小正周期为π B．f(x)在上单调递增 C．直线x＝－是f(x)图象的一条对称轴 D．f(x)的图象可由y＝sin x的图象向左平移个单位长度得到 答案　BC 解析　f(x)＝sin x－cos x可化为 f(x)＝sin， 则函数f(x)＝sin的最小正周期为2π，A错误； 当0≤x≤时，－≤x－≤， 因为函数y＝sin x在上单调递增， 所以函数f(x)在上单调递增，B正确； 当x＝－时，x－＝－， 所以直线x＝－是f(x)图象的一条对称轴， C正确； 函数y＝sin x的图象向左平移个单位长度得到函数g(x)＝sin的图象，D错误． 11．(2023·枣庄统考)已知θ∈(－π，0)，sin θ＋cos θ＝，则下列结论正确的是(　　) A．θ∈ B．cos θ＝ C．tan θ＝ D．sin θ－cos θ＝－ 答案　BD 解析　对于A，因为sin θ＋cos θ＝， 则(sin θ＋cos θ)2＝1＋2sin θcos θ＝， 所以2sin θcos θ＝－， 又因为θ∈(－π，0)，则sin θ<0，cos θ>0， 所以θ∈，故A错误； 对于D，(sin θ－cos θ)2＝1－2sin θcos θ＝， 且sin θ－cos θ<0， 所以sin θ－cos θ＝－，故D正确； 对于B，联立可得sin θ＝－，cos θ＝，故B正确； 对于C，tan θ＝＝－，故C错误． 12．(2023·黄山模拟)若＝－，则tan(k∈Z)的值可能是(　　) A. B. C．2 D．3 答案　CD 解析　由余弦的二倍角公式知， ＝sin θ·(cos θ－sin θ) ＝＝＝－， 得5tan θ－5tan2θ＝－3－3tan2θ， 即2tan2θ－5tan θ－3＝0， 解得tan θ＝－或tan θ＝3， 当k＝2m(m∈Z)时， tan＝tan＝tan θ， 当k＝2m－1(m∈Z)时，tan ＝tan＝tan＝－， 所以当tan θ＝－时， tan＝－或tan＝2(k∈Z)， 当tan θ＝3时， tan＝3或tan＝－(k∈Z)． 三、填空题 13．(2023·西安模拟)已知sin2(π－θ)＝cos，0<|θ|<，则θ＝________. 答案　 解析　由题知sin2θ＝sin θ， 所以sin θ＝或sin θ＝0， 又因为0<|θ|<，所以θ＝. 14．(2023·全国乙卷)若θ∈，tan θ＝，则sin θ－cos θ＝________. 答案　－ 解析　因为θ∈， 则sin θ>0，cos θ>0， 又因为tan θ＝＝， 则cos θ＝2sin θ， 且cos2θ＋sin2θ＝4sin2θ＋sin2θ＝5sin2θ＝1， 解得sin θ＝或sin θ＝－(舍去)， 所以sin θ－cos θ＝sin θ－2sin θ＝－sin θ＝－. 15．(2023·山西联考)已知sin(π－α)－sin＝，α∈，则＝________. 答案　 解析　因为sin(π－α)－sin＝， 所以sin α－cos α＝， 则(sin α－cos α)2＝1－2sin αcos α＝， 整理得sin αcos α＝>0， 又α∈， 所以α∈， 即sin α>0，cos α>0，可得sin α＋cos α>0， 因为(sin α＋cos α)2＝1＋2sin αcos α＝， 可得sin α＋cos α＝， 所以＝＝. 16．(2023·新高考全国Ⅱ)已知函数f(x)＝sin(ωx＋φ)，如图，A，B是直线y＝与曲线y＝f(x)的两个交点，若|AB|＝，则f(π)＝________. 答案　－ 解析　设A，B， 由|AB|＝可得x2－x1＝， 由sin x＝可知， x＝＋2kπ，k∈Z或x＝＋2kπ，k∈Z， 由图可知， ωx2＋φ－(ωx1＋φ)＝－＝， 即ω(x2－x1)＝，所以ω＝4. 因为f ＝sin＝0， 所以＋φ＝kπ，k∈Z， 即φ＝－＋kπ，k∈Z. 所以f(x)＝sin，k∈Z， 所以f(x)＝sin或 f(x)＝－sin， 又因为f(0)<0， 所以f(x)＝sin， 所以f(π)＝sin＝－. 学科网（北京）股份有限公司 $$