专题1 规范答题1 函数与导数-【步步高】2024年高考数学大二轮专题复习与增分策略（新高考基础版）

规范答题1　函数与导数 (12分)(2023·新高考全国Ⅰ)已知函数f(x)＝a(ex＋a)－x. (1)讨论f(x)的单调性；[切入点：求导，讨论a的正负] (2)证明：当a>0时，f(x)>2ln a＋. [方法一　关键点：作差法比较f(x)min与2ln a+的大小] [方法二　关键点：利用不等式ex≥x＋1把函数f(x)中的指数换成一次函数] (1)解　因为f(x)＝a(ex＋a)－x，定义域为R， 所以f′(x)＝aex－1，(1分) ❶ 所以f(x)是减函数；(2分) 当a>0时，令f′(x)＝aex－1＝0，解得x＝－ln a， ❷ 综上，当a≤0时，f(x)是减函数；(4分) 当a>0时，f(x)在(－∞，－ln a)上单调递减，在(－ln a，＋∞)上单调递增．(5分) (2)证明　方法一　由(1)得，当a>0时， ❸(7分) 要证f(x)>2ln a＋，即证1＋a2＋ln a>2ln a＋， 即证a2－－ln a>0恒成立，(8分) ❹(9分) 则g′(a)＝2a－＝， 令g′(a)<0，则0<a<；令g′(a)>0，则a>， 所以g(a)在上单调递减，在上单调递增，(11分)　 ❺ 则g(a)>0恒成立，所以当a>0时，f(x)>2ln a＋恒成立，证毕．(12分) 方法二　❻ 则h′(x)＝ex－1，由于y＝ex是增函数， 所以h′(x)＝ex－1是增函数， 又h′(0)＝e0－1＝0， 所以当x<0时，h′(x)<0； 当x>0时，h′(x)>0， 所以h(x)在(－∞，0)上单调递减， 在(0，＋∞)上单调递增， 故h(x)≥h(0)＝0， 则ex≥x＋1，当且仅当x＝0时，等号成立，(6分) ❼ 当且仅当x＋ln a＝0， 即x＝－ln a时，等号成立， 所以要证f(x)>2ln a＋， 即证x＋ln a＋1＋a2－x>2ln a＋， 即证a2－－ln a>0，(8分) ❽(9分) 则g′(a)＝2a－＝， 令g′(a)<0，则0<a<；令g′(a)>0，则a>， 所以g(a)在上单调递减， 在上单调递增，(11分) ❾ 则g(a)>0恒成立， 所以当a>0时，f(x)>2ln a＋恒成立，证毕．(12分)　 ①②处判断f′(x)的符号 ③处利用单调性求f(x)min ④处构造函数g(a)＝f(x)min－ ⑤处求g(a)min并判断其符号 ⑥处构造函数证明ex≥x＋1 ⑦处通过不等式ex≥x＋1放缩函数f(x) ⑧处构造函数g(a) ⑨处求g(a)min并判断其符号 学科网（北京）股份有限公司 $$