专题1 第5讲 母题突破3 零点问题-【步步高】2024年高考数学大二轮专题复习与增分策略（新高考基础版）

母题突破3　零点问题 母题　(2023·商洛模拟)已知函数f(x)＝ex－4sin x，其中e为自然对数的底数． 证明：f(x)在[0，＋∞)上有两个零点． 思路分析 ❶判断f′x的单调性 ❷判断f′x的零点x0的范围 ❸fx的单调性 ❹由零点存在定理判断零点个数 证明　设g(x)＝f′(x)＝ex－4cos x， 则g′(x)＝ex＋4sin x. 显然当x∈[0，π]时，g′(x)>0， 当x∈[π，＋∞)时，g′(x)>eπ－4>0， 所以f′(x)在[0，＋∞)上单调递增， 又f′(0)＝－3<0，f′＝－2>0， 所以存在唯一x0∈，使f′(x0)＝0. 则当x∈[0，x0)时，f′(x)<0， 当x∈(x0，＋∞)时，f′(x)>0. 故f(x)在[0，x0)上单调递减， 在(x0，＋∞)上单调递增． 因为f(0)＝1>0，f ＝－2<e－2<0， f(π)＝eπ>0， 所以f(x)在[0，＋∞)上有两个零点． [子题1]　(2023·连云港调研)已知函数f(x)＝x2＋xln x．若关于x的方程f(x)＝ax3有两个不相等的实数根，求实数a的取值范围． 解　函数f(x)＝x2＋xln x的定义域为(0，＋∞)， 由f(x)＝ax3可得a＝， 令g(x)＝，x>0， 则g′(x)＝， 令h(x)＝1－x－2ln x，其中x>0， 则h′(x)＝－1－<0， 所以函数h(x)在定义域(0，＋∞)上为减函数， 且h(1)＝0， 当0<x<1时，h(x)>0，则g′(x)>0， 所以函数g(x)在(0,1)上单调递增， 当x>1时，h(x)<0，则g′(x)<0， 所以函数g(x)在(1，＋∞)上单调递减， 所以g(x)极大值＝g(1)＝1， 当x→＋∞时，g(x)→0，且g(x)>0， 当x→0时，g(x)→－∞， 由题意可知，直线y＝a与函数g(x)的图象有两个交点，如图所示． 由图可知，0<a<1， 故实数a的取值范围是0<a<1. [子题2]　(2023·重庆模拟)函数f(x)＝ex－2ax－a.当a>0时，求函数f(x)的零点个数． 解　由题意得f′(x)＝ex－2a，a>0， 令f′(x)＝0，解得x＝ln 2a， ∴当x∈(－∞，ln 2a)时，f′(x)<0； 当x∈(ln 2a，＋∞)时，f′(x)>0， ∴f(x)在(－∞，ln 2a)上单调递减，在(ln 2a，＋∞)上单调递增， ∴f(x)min＝f(ln 2a)＝a－2aln 2a＝a(1－2ln 2a)， 当1－2ln 2a>0，即0<a<时， f(ln 2a)＝a－2aln 2a>0， ∴f(x)>0恒成立，f(x)无零点； 当1－2ln 2a＝0，即a＝时， f(ln 2a)＝a－2aln 2a＝0， f(x)有唯一零点x＝ln 2a； 当1－2ln 2a<0，即a>时， f(ln 2a)＝a－2aln 2a<0， ∴f(x)在(－∞，ln 2a)和(ln 2a，＋∞)上各存在一个零点，即f(x)有两个零点． 综上所述，当0<a<时，f(x)无零点； 当a＝时，f(x)有且仅有一个零点； 当a>时，f(x)有两个零点． 规律方法　(1)求解函数零点(方程根)个数问题的步骤 ①将问题转化为函数的零点问题，进而转化为函数的图象与x轴(或直线y＝k)在该区间上的交点问题． ②利用导数研究该函数在该区间上的单调性、极值(最值)、端点值等性质． ③结合图象求解． (2)已知零点求参数的取值范围 ①结合图象与单调性，分析函数的极值点． ②依据零点确定极值的范围． ③对于参数选择恰当的分类标准进行讨论． 1．(2023·西安模拟)已知函数f(x)＝2e－x＋1ln x＋(e为自然对数的底数)，证明：函数f(x)在区间内有唯一零点． 证明　f(x)＝2e－x＋1ln x＋ ＝e－x， ∵e－x>0总成立， ∴f(x)在区间内零点的个数等价于g(x)＝2eln x＋在区间内零点的个数． ∵g＝2eln ＋＝－2e＋e＝－e<0， g(e)＝2eln e＋＝2e＋>0. ∴g(x)在内有零点． 又∵g′(x)＝－＝， 当<x<e时，g′(x)>0，g(x)单调递增． ∴g(x)在内有唯一零点，即函数f(x)在区间内有唯一零点． 2．(2023·广州模拟)已知函数f(x)＝ex－1＋e－x＋1，g(x)＝a(x2－2x)(a<0)． (1)求函数f(x)的单调区间； (2)讨论函数h(x)＝f(x)－g(x)的零点个数． 解　(1)由f(x)＝ex－1＋e－x＋1， 可得f′(x)＝ex－1－e－x＋1＝， 令f′(x)＝0，解得x＝1， 当x<1时，x－1<0，可得f′(x)<0， f(x)在(－∞，1)上单调递减； 当x>1时，x－1>0， 可得f′(x)>0，f(x)在(1，＋∞)上单调递增， 故函数f(x)的单调递减区间是(－∞，1)，单调递增区间是(1，＋∞)． (2)由h(x)＝0，得f(x)＝g(x)， 因此函数h(x)的零点个数等价于函数f(x)与g(x)的图象的交点个数， 因为g(x)＝a(x2－2x)(a<0)，所以g(x)的单调递增区间是(－∞，1)，单调递减区间是(1，＋∞)， 所以当x＝1时，g(x)取最大值g(1)＝－a， 由(1)可知，当x＝1时，f(x)取最小值f(1)＝2， 当－a<2，即－2<a<0时，函数f(x)与g(x)的图象没有交点，即函数h(x)没有零点； 当－a＝2，即a＝－2时，函数f(x)与g(x)的图象只有一个交点，即函数h(x)有一个零点； 当－a>2，即a<－2时，函数h(x)有两个零点， 理由如下： 因为h(x)＝f(x)－g(x) ＝ex－1＋e－x＋1－a(x2－2x)， 所以h(1)＝2＋a<0，h(2)＝e＋e－1>0， 由函数零点存在定理，知h(x)在(1,2)内有零点． 又f(x)在(1，＋∞)上单调递增，g(x)在(1，＋∞)上单调递减， 所以h(x)＝f(x)－g(x)在(1，＋∞)上单调递增， 所以h(x)＝f(x)－g(x)在(1，＋∞)上只有一个零点． 又因为f(2－x)＝e(2－x)－1＋e－(2－x)＋1 ＝e1－x＋ex－1＝f(x)， 所以f(x)的图象关于直线x＝1对称， 因为g(x)的图象关于直线x＝1对称， 所以f(x)与g(x)的图象都关于直线x＝1对称， 所以h(x)＝f(x)－g(x)在(－∞，1)上只有一个零点．所以当a<－2时，h(x)＝f(x)－g(x)有两个零点． 综上，当－2<a<0时，函数h(x)没有零点；当a＝－2时，函数h(x)有且只有一个零点；当a<－2时，函数h(x)有两个零点． 专题强化练 1．已知x＝3是函数f(x)＝aln(1＋x)＋x2－7x的一个极值点． (1)求a的值； (2)曲线y＝－12ln(1＋x)＋3x＋b与y＝f(x)的图象有三个不同的公共点，求实数b的取值范围． 解　(1)∵f(x)＝aln(1＋x)＋x2－7x，该函数的定义域为(－1，＋∞)，f′(x)＝＋2x－7， 由x＝3是函数f(x)＝aln(1＋x)＋x2－7x的一个极值点，有f′(3)＝＋6－7＝0，得a＝4， 经检验当a＝4时，x＝3为函数f(x)的极值点，所以a＝4. (2)曲线y＝－12ln(1＋x)＋3x＋b与y＝f(x)的图象有三个不同的公共点， 等价于方程4ln(1＋x)＋x2－7x ＝－12ln(1＋x)＋3x＋b， 即16ln(1＋x)＋x2－10x＝b有三个不同的解， 设g(x)＝16ln(1＋x)＋x2－10x，该函数的定义域为(－1，＋∞)， 则g′(x)＝＋2x－10＝， 由g′(x)>0得－1<x<1或x>3； 由g′(x)<0得1<x<3. 所以函数y＝g(x)的单调递增区间为(－1,1)，(3，＋∞)，单调递减区间为(1,3)． 函数y＝g(x)的极大值为g(1)＝16ln 2－9，极小值为g(3)＝32ln 2－21. 当x→－1时，g(x)→－∞； 当x→＋∞时，g(x)→＋∞. 如图所示，由图象可知，当32ln 2－21<b<16ln 2－9时，直线y＝b与函数y＝g(x)的图象有三个交点， 即曲线y＝－12ln(1＋x)＋3x＋b与y＝f(x)的图象有三个不同的公共点． 综上所述，实数b的取值范围是(32ln 2－21,16ln 2－9)． 2．(2023·洛阳模拟)已知函数f(x)＝x2－asin x－1，a∈R. (1)设函数g(x)＝f′(x)，若y＝g(x)在区间上单调递增，求a的取值范围； (2)当a＝2时，证明函数f(x)在区间(0，π)上有且仅有一个零点． (1)解　f′(x)＝2x－acos x. 则g(x)＝2x－acos x，g′(x)＝2＋asin x. ∵函数g(x)在区间上单调递增， ∴g′(x)＝2＋asin x≥0在区间上恒成立， 若x＝0，则g′(x)＝2≥0恒成立，此时a∈R； 若x∈，此时0<sin x≤1， ∴g′(x)＝2＋asin x≥0恒成立， 即a≥－恒成立，∴a≥－2. 综上，a的取值范围是[－2，＋∞)． (2)证明　当a＝2时，f(x)＝x2－2sin x－1， 则f′(x)＝2x－2cos x，设h(x)＝2x－2cos x， 则h′(x)＝2＋2sin x>0,0<x<π， ∴f′(x)在区间(0，π)上单调递增． ∵f′(0)＝－2<0，f′＝2>0， ∴存在x0∈，使得f′(x0)＝0. 当x∈(0，x0)时，f′(x)<0，f(x)单调递减； 当x∈(x0，π)时，f′(x)>0，f(x)单调递增． 又f(0)＝－1<0，f(π)＝π2－1>0， ∴函数f(x)在区间(0，π)上有且仅有一个零点． 学科网（北京）股份有限公司 $$