专题1 第1讲 函数的图象与性质-【步步高】2024年高考数学大二轮专题复习与增分策略（新高考基础版）

第1讲　函数的图象与性质 [考情分析]　1.函数的图象与性质是高考考查的重点和热点，主要考查函数的定义域与值域、分段函数、函数图象的识别与应用以及函数性质(单调性、奇偶性、周期性、对称性)的综合应用，难度属于中等及以上.2.此部分内容多以选择题、填空题的形式出现，有时在压轴题的位置，多与导数、不等式、创新性问题相结合命题． 考点一　函数的概念与表示 核心提炼 1．复合函数的定义域 (1)若f(x)的定义域为[m，n]，则在f(g(x))中，由m≤g(x)≤n解得x的范围即为f(g(x))的定义域． (2)若f(g(x))的定义域为[m，n]，则由m≤x≤n得到g(x)的范围，即为f(x)的定义域． 2．分段函数 分段函数的定义域等于各段函数的定义域的并集，值域等于各段函数值域的并集． 例1　(1)(2023·南昌模拟)已知函数f(x)的定义域为(1，＋∞)，则函数F(x)＝f(2x－3)＋的定义域为(　　) A．(2,3] B．(－2,3] C．[－2,3] D．(0,3] 答案　A 解析　由题可知，⇒⇒2<x≤3，故函数F(x)的定义域为(2,3]． (2)(2023·重庆模拟)设a>0且a≠1，若函数f(x)＝的值域是[5，＋∞)，则a的取值范围是(　　) A．[，＋∞) B．(1，) C．(1，] D．(，＋∞) 答案　C 解析　由于函数f(x)＝(a>0且a≠1)的值域是[5，＋∞)， 故当x≤2时，满足f(x)＝7－x≥5. 若a>1，f(x)＝3＋logax在它的定义域上为增函数， 当x>2时，由f(x)＝3＋logax≥5， 得logax≥2，∴loga2≥2， ∴1<a≤. 若0<a<1，f(x)＝3＋logax在它的定义域上为减函数，f(x)＝3＋logax<3＋loga2<3，不满足f(x)的值域是[5，＋∞)． 综上可得1<a≤. 规律方法　(1)形如f(g(x))的函数求值时，应遵循先内后外的原则． (2)对于分段函数的求值(解不等式)问题，必须依据条件准确地找出利用哪一段求解． 跟踪演练1　(1)(2023·内江模拟)已知函数f(x)＝则 f(f(－4))等于(　　) A．－6 B．0 C．4 D．6 答案　A 解析　由分段函数知，当x≤0时，周期T＝1， 所以f(－4)＝f(－4＋5)＝f(1)＝1－3－4＝－6， 所以f(f(－4))＝f(－6)＝f(－6＋7)＝f(1)＝－6. (2)(2023·山西统考)十九世纪德国数学家狄利克雷提出了“狄利克雷函数”D(x)＝它在现代数学的发展过程中有着重要意义，若函数f(x)＝x2－D(x)，则下列实数不属于函数f(x)值域的是(　　) A．3 B．2 C．1 D．0 答案　C 解析　由题意可知f(x)＝x2－D(x)＝ 所以f(1)＝12－1＝0，f()＝()2＝2， f()＝()2＝3，而f(x)＝1无解． 考点二　函数的图象 核心提炼 1．作函数图象有两种基本方法：一是描点法；二是图象变换法，其中图象变换有平移变换、伸缩变换、对称变换． 2．利用函数图象可以判断函数的单调性、奇偶性，作图时要准确画出图象的特点． 例2　(1)(2023·宁波十校联考)函数f(x)＝ln |x|cos的图象可能为(　　) 答案　A 解析　因为函数f(x)＝ln |x|cos ＝－ln |x|sin 2x，定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)， 且f(－x)＝－ln |－x|sin(－2x)＝ln |x|sin 2x＝－f(x)， 所以函数f(x)为奇函数，图象关于原点对称，故排除选项B，D； 当x∈(0,1)时，ln |x|<0，sin 2x>0， 所以f(x)＝－ln |x|sin 2x>0，故排除选项C. (2)已知函数f(x)＝若存在x1，x2，x3(x1<x2<x3)，使f(x1)＝f(x2)＝f(x3)，则f(x1＋x2＋x3)的取值范围是(　　) A．(0,1] B．[0,1] C．(－∞，1] D．(－∞，1) 答案　B 解析　作出f(x)的大致图象如图，交点横坐标为x1，x2，x3，自左向右依次排列， 由图可知，x1，x2关于直线x＝－1对称， 即x1＋x2＝－2， 又x3>0，∴x1＋x2＋x3>－2. 由图象知，当x>－2时，f(x)∈[0,1]， ∴f(x1＋x2＋x3)∈[0,1]． 规律方法　(1)确定函数图象的主要方法是利用函数的性质，如定义域、奇偶性、单调性等，特别是利用一些特殊点排除不符合要求的图象． (2)函数图象的应用主要体现为数形结合思想，借助于函数图象的特点和变化规律，求解有关不等式恒成立、最值、交点、方程的根等问题． 跟踪演练2　(1)(2022·全国乙卷)如图是下列四个函数中的某个函数在区间[－3,3]的大致图象，则该函数是(　　) A．y＝ B．y＝ C．y＝ D．y＝ 答案　A 解析　对于选项B，当x＝1时，y＝0，与图象不符，故排除B；对于选项D，当x＝3时，y＝sin 3＞0，与图象不符，故排除D；对于选项C，当0＜x＜时，0＜cos x＜1，故y＝＜≤1，与图象不符，所以排除C.故选A. (2)已知函数f(x)＝则下列图象错误的是(　　) 答案　D 解析　当－1≤x≤0时，f(x)＝－2x，表示一条线段，且线段经过(－1,2)和(0,0)两点． 当0<x≤1时，f(x)＝，表示一段曲线．函数f(x)的图象如图所示． f(x－1)的图象可由f(x)的图象向右平移一个单位长度得到，故A正确；f(－x)的图象可由f(x)的图象关于y轴对称后得到，故B正确；由于f(x)的值域为[0,2]，故f(x)＝|f(x)|，故|f(x)|的图象与f(x)的图象完全相同，故C正确；很明显D中f(|x|)的图象不正确． 考点三　函数的性质 核心提炼 1．函数的奇偶性 (1)定义：若函数的定义域关于原点对称，则有 f(x)是偶函数⇔f(－x)＝f(x)＝f(|x|)； f(x)是奇函数⇔f(－x)＝－f(x)． (2)判断方法：定义法、图象法、奇偶函数性质法(如奇函数×奇函数是偶函数)． 2．函数单调性判断方法：定义法、图象法、导数法． 3．函数的周期性 若函数f(x)满足f(x＋a)＝f(x－a)或f(x＋2a)＝f(x)，则函数y＝f(x)的周期为2|a|. 4．函数图象的对称中心和对称轴 (1)若函数f(x)满足关系式f(a＋x)＋f(a－x)＝2b，则函数y＝f(x)的图象关于点(a，b)对称． (2)若函数f(x)满足关系式f(a＋x)＝f(b－x)，则函数y＝f(x)的图象关于直线x＝对称． 考向1　单调性与奇偶性 例3　(2023·武汉模拟)已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，对任意x1，x2∈[0，＋∞)，且x1≠x2，有>0，若f(1)＝0，则不等式(x－1)f(x)>0的解集是(　　) A．(－1,1)∪(1，＋∞) B．(－1,1) C．(－∞，－1)∪(1，＋∞) D．(－∞，－1)∪(0,1) 答案　A 解析　已知f(x)是定义在R上的偶函数， 则f(x)＝f(－x)， 又对任意x1，x2∈[0，＋∞)，且x1≠x2， 都有>0， 所以函数f(x)在[0，＋∞)上单调递增， 则函数f(x)在(－∞，0)上单调递减， 又f(1)＝0，所以f(－1)＝f(1)＝0， 根据函数f(x)的单调性可知，(x－1)f(x)>0等价为或 即或 解得x>1或－1<x<1， 即不等式的解集为(－1,1)∪(1，＋∞)． 考向2　奇偶性、周期性与对称性 例4　(多选)(2023·肇庆模拟)已知定义在R上的函数f(x)满足f(x＋2)＋f(2－x)＝0，f(x)＋f(－x)＝0，且在区间[2,3]上单调递增．下列结论正确的是(　　) A．f(－1)是函数f(x)的最小值 B．函数f(x)图象的一个对称中心是点(6,0) C．f(x＋16)＝f(x－12) D．函数f(x)图象的一条对称轴是直线x＝1 答案　BC 解析　由函数的定义域为R，且f(x)＋f(－x)＝0，可得函数f(x)为奇函数． 由f(x＋2)＋f(2－x)＝0，知函数f(x)的图象关于点(2,0)对称． 无法判断函数的对称轴，故选项D错误； ∵f(x)在区间[2,3]上单调递增， ∴f(x)在区间[1,2]上单调递增． 又由f(x)是奇函数， ∴f(x)在区间[－2，－1]上单调递增， 故f(－1)不是函数f(x)的最小值， 故选项A错误； 由f(x＋2)＋f(2－x)＝0可得f(x＋2＋2)＋f(2－(x＋2))＝f(x＋4)＋f(－x)＝0， 则f(x＋4)＝－f(－x)＝f(x)， ∴f(x)是以4为周期的函数． ∴f(x＋12)＝f(x)＝－f(－x)， ∴f(x＋6)＝－f(6－x)， f(x＋6)＋f(6－x)＝0， ∴f(x)图象的一个对称中心是点(6,0)， 选项B正确； 由f(x＋4)＝f(x)可得f(x＋16)＝f(x)， f(x－12)＝f(x)， ∴f(x＋16)＝f(x－12)，选项C正确． 二级结论　(1)若f(x＋a)＝－f(x)，其中f(x)≠0，则f(x)的周期为2|a|. (2)若f(x)的图象关于直线x＝a和x＝b对称，则f(x)的周期为2|a－b|. (3)若f(x)的图象关于点(a,0)和直线x＝b对称，则f(x)的周期为4|a－b|. 跟踪演练3　(1)(2023·天津滨海新区模拟)已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，且在(0，＋∞)上单调递减，若a＝f(log20.2)，b＝f(20.2)，c＝f(0.20.3)，则a，b，c大小关系为(　　) A．a<b<c B．c<a<b C．a<c<b D．b<a<c 答案　A 解析　log20.2＝log2＝－log25， 因为f(x)是定义在R上的偶函数， 所以a＝f(log20.2)＝f(－log25)＝f(log25)， 因为log25>log24＝2,1＝20<20.2<21＝2， 0<0.20.3<0.20＝1， 且f(x)在(0，＋∞)上单调递减， 所以f(log25)<f(20.2)<f(0.20.3)， 即a<b<c. (2)(2023·开封模拟)已知函数f(x)的定义域为R，f(x)为奇函数，f(x＋1)为偶函数，且(k)＝1，则f(1)等于(　　) A．－1 B．0 C．1 D．2 答案　C 解析　因为函数f(x)的定义域为R，f(x)为奇函数，所以f(0)＝0，又因为f(x＋1)为偶函数， 所以f(x)的对称轴为x＝1， 则f(x)是以4为周期的函数． 则有(k)＝5(f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4))＋(f(1)＋f(2))， 设f(1)＝m，根据对称性得f(3)＝－m， 且f(0)＝f(2)＝f(4)＝0， 所以f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＝0， 所以(k)＝5(f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4))＋(f(1)＋f(2))＝f(1)＋f(2)， 即f(1)＋f(2)＝m＋0＝m， 因为(k)＝1，所以m＝1，即f(1)＝m＝1. 专题强化练 一、单项选择题 1．(2023·台州质检)已知函数f(x)同时满足性质：①f(－x)＝f(x)；②当∀x1，x2∈(0,1)时，<0，则函数f(x)可能为(　　) A．f(x)＝x2 B．f(x)＝x C．f(x)＝cos 4x D．f(x)＝ln(1－|x|) 答案　D 解析　①f(－x)＝f(x)说明f(x)为偶函数，②∀x1，x2∈(0,1)，<0说明函数在(0,1)上单调递减．A不满足②；B不满足①；因为f(x)＝cos 4x在上单调递减，在上单调递增，所以C不满足②；D满足①，当x∈(0,1)时，f(x)＝ln(1－x)单调递减，也满足②. 2．(2023·成都模拟)要得到函数y＝2x－1的图象，只需将指数函数y＝x的图象(　　) A．向左平移1个单位长度 B．向右平移1个单位长度 C．向左平移个单位长度 D．向右平移个单位长度 答案　D 解析　由y＝x＝2x向右平移个单位长度，得y＝＝2x－1. 3．(2023·南宁模拟)函数f(x)＝的图象大致是(　　) 答案　C 解析　f(x)＝， 函数定义域为(－∞，－1)∪(－1,1)∪(1，＋∞)， f(－x)＝＝－＝－f(x)， 函数为奇函数，排除B，D； f(3)＝＝－， f(4)＝＝－， 故f(3)>f(4)，排除A. 4．(2023·天津)函数f(x)的图象如图所示，则f(x)的解析式可能为(　　) A．f(x)＝ B．f(x)＝ C．f(x)＝ D．f(x)＝ 答案　D 解析　由题图知，函数图象关于y轴对称，其为偶函数，且f(－2)＝f(2)<0， A，B为奇函数，排除； 当x>0时，>0，即C中的函数图象在(0，＋∞)上函数值为正，排除，故选D. 5．函数f(x)＝已知f(a)>3，则实数a的取值范围是(　　) A．(－1,2) B．(－∞，－1)∪(2，＋∞) C．(2，＋∞) D．(－∞，－2)∪(1，＋∞) 答案　B 解析　f(a)>3可化为或 解得a<－1或a>2. 6．(2023·新高考全国Ⅰ)设函数f(x)＝2x(x－a)在区间(0,1)上单调递减，则a的取值范围是(　　) A．(－∞，－2] B．[－2,0) C．(0,2] D．[2，＋∞) 答案　D 解析　函数y＝2x在R上是增函数，而函数f(x)＝2x(x－a)在区间(0,1)上单调递减， 则函数y＝x(x－a)＝2－在区间(0,1)上单调递减， 因此≥1，解得a≥2， 所以a的取值范围是[2，＋∞)． 7．设定义在R上的函数f(x)满足f(x)f(x＋2)＝13，若f(1)＝2，则f(99)等于(　　) A．1 B．2 C．0 D. 答案　D 解析　依题意f(x)f(x＋2)＝13， f(x＋2)＝， 所以f(x＋4)＝f(x＋2＋2) ＝＝＝f(x)， 所以f(x)是周期为4的周期函数， 所以f(99)＝f(25×4－1)＝f(－1) ＝＝＝. 8．(2023·大连模拟)已知对于每一对正实数x，y，函数f(x)都满足：f(x)＋f(y)＝f(x＋y)－xy－1，若f(1)＝1，则满足f(n)＝n(n∈N*)的n的个数是(　　) A．1 B．2 C．3 D．4 答案　A 解析　令y＝1得f(x)＋f(1)＝f(x＋1)－x－1， 即f(x＋1)－f(x)＝x＋2， 故当x∈N*时，f(x＋1)－f(x)>0， 又f(1)＝1，f(2)＝4，故f(x)>0在x∈N*上恒成立，且f(x)在x∈N*上单调递增，所以满足f(n)＝n(n∈N*)仅有f(1)＝1，即n仅有1个． 二、多项选择题 9．已知f(x)＝x3g(x)为定义在R上的偶函数，则函数g(x)的解析式可以为(　　) A．g(x)＝lg  B．g(x)＝3x－3－x C．g(x)＝＋ D．g(x)＝ln(＋x) 答案　BD 解析　因为f(x)＝x3g(x)是偶函数，所以f(－x)＝f(x)，即g(－x)＝－g(x)，所以g(x)是奇函数． 对于A，定义域为(－1,1)，所以不符合题意； 对于B，定义域为R，g(－x)＝3－x－3x＝－g(x)，符合题意； 对于C，定义域为R， g(－x)＝＋＝＋＝－≠－g(x)，不符合题意； 对于D，定义域为R，g(－x)＝ln(－x)， 而g(－x)＋g(x)＝ln(－x)＋ln(＋x)＝0，符合题意． 10．已知函数f(x)＝关于函数f(x)的结论正确的是(　　) A．f(x)的定义域为R B．f(x)的值域为(－∞，4] C．若f(x)＝2，则x的值是－ D．f(x)<1的解集为(－1,1) 答案　BC 解析　函数f(x)＝的定义域是[－2，＋∞)，故A错误； 当－2≤x<1时，f(x)＝x2的值域为[0,4]， 当x≥1时，f(x)＝－x＋2的值域为(－∞，1]， 故f(x)的值域为(－∞，4]，故B正确； 当x≥1时，令f(x)＝－x＋2＝2，无解，当－2≤x<1时，令f(x)＝x2＝2，得到x＝－，故C正确； 当－2≤x<1时，令f(x)＝x2<1，解得－1<x<1，当x≥1时，令f(x)＝－x＋2<1，解得x>1，故f(x)<1的解集为(－1,1)∪(1，＋∞)，故D错误． 11．(2023·深圳模拟)已知符号函数sgn(x)＝下列说法正确的是(　　) A．y＝sgn(x)的值域为(－1,1) B．y＝sgn(x)为奇函数 C．∀x>1，sgn(ln x)＝1 D．∀x∈R，|x|＝x·sgn(x) 答案　BCD 解析　画出函数y＝sgn(x)的图象如图所示， 由图可知A错误，B正确； 对于C，对任意的x>1，ln x>0， 可得sgn(ln x)＝1，故正确； 对于D，x·sgn(x)＝ 即可得|x|＝x·sgn(x)，故正确． 12．(2023·上饶模拟)关于函数f(x)＝2sin x＋sin x的说法正确的是(　　) A．函数f(x)的图象关于y轴对称 B．函数f(x)的图象关于直线x＝对称 C．函数f(x)的最小正周期为2π D．函数f(x)的最小值为2 答案　ABD 解析　对于A，f(x)的定义域为R， 因为f(－x)＝2sin(－x)＋sin(－x) ＝sin x＋2sin x＝f(x)， 所以f(x)是R上的偶函数， 所以函数f(x)的图象关于y轴对称，故A正确； 对于B，对于任意的x∈R，f(π－x)＝2sin(π－x)＋sin(π－x)＝2sin x＋sin x＝f(x)， 所以函数f(x)的图象关于直线x＝对称， 故B正确； 对于C，因为f(π＋x)＝2sin(π＋x)＋sin(π＋x) ＝2－sin x＋－sin x ＝2sin x＋sin x＝f(x)， 所以π为函数f(x)的一个周期，故2π不是函数f(x)的最小正周期，故C错误； 对于D，设t＝2sin x∈， 则f(t)＝t＋，因为t＋≥2，当且仅当t＝， 即t＝1时等号成立， 所以函数f(x)的最小值为2，故D正确． 三、填空题 13．(2023·泸州模拟)若函数f(x)具有性质①②③，请写出符合条件的一个函数的解析式________．①定义域为R；②函数f(x)是奇函数；③f(x＋π)＝f(x)． 答案　f(x)＝sin 2x(答案不唯一) 14．(2023·全国甲卷)若f(x)＝(x－1)2＋ax＋sin为偶函数，则a＝________. 答案　2 解析　∵f(x)＝(x－1)2＋ax＋sin ＝(x－1)2＋ax＋cos x＝x2＋(a－2)x＋1＋cos x， 且函数为偶函数， ∴a－2＝0，解得a＝2. 经验证，当a＝2时满足题意． 15．(2023·深圳模拟)已知函数f(x)的定义域为R，若f(1＋x)＝－f(1－x)，且f(1－x)＝f(3＋x)，则f(2 023)＝________. 答案　0 解析　f(1＋x)＝－f(1－x)， 令x＝0得f(1)＝－f(1)， ∴f(1)＝0， 又f(1－x)＝f(x＋3)， ∴f(x＋3)＝－f(1＋x)， 把x换成x－1得f(x＋2)＝－f(x)， ∴f(x＋4)＝－f(x＋2)＝－(－f(x))＝f(x)， ∴f(x)的周期为4， ∴f(2 023)＝f(4×505＋3)＝f(3)， 又f(1－x)＝f(x＋3)，令x＝0， ∴f(3)＝f(1)＝0，故f(2 023)＝0. 16．(2023·江苏省八市模拟)已知函数f(x)的定义域为R，y＝f(x)＋ex是偶函数，y＝f(x)－3ex是奇函数，则f(x)的最小值为________． 答案　2 解析　因为函数y＝f(x)＋ex为偶函数， 所以f(－x)＋e－x＝f(x)＋ex， 即f(x)－f(－x)＝e－x－ex，① 又因为函数y＝f(x)－3ex为奇函数， 所以f(－x)－3e－x＝－f(x)＋3ex， 即f(x)＋f(－x)＝3ex＋3e－x，② 联立①②可得f(x)＝ex＋2e－x， 由基本不等式可得 f(x)＝ex＋2e－x≥2＝2， 当且仅当ex＝2e－x，即x＝ln 2时，等号成立， 故函数f(x)的最小值为2. 学科网（北京）股份有限公司 $$