2025年北师大版数学中考复习专题训练---矩形的性质与判定

2025年北师大版数学中考复习专题训练---矩形的性质与判定 一、选择题 1．如图，矩形中，对角线，相交于点，若，则（　　） A．20° B．40° C．80° D．100° 2．如图，在矩形中，点E为延长线上一点，F为的中点，以B为圆心，长为半径的圆弧过与的交点G，连接．若，，则的长为（ ） A．2.5 B．3 C．2 D．5 3．如图，已知在矩形中，M是边的中点，与垂直，交直线于点N，连接，则下列四个结论中：①；②；③；④．正确的有（　　） A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．①②③④ 4．在矩形中，点为边的中点，连结，将沿直线翻折，使得点与点重合，的延长线交线段于点，的延长线交线段于点，，若点为线段的中点，则的值为（　　） A．18 B．12 C． D． 5．如图，O是矩形的对角线的中点，E是边的中点．若，，则线段的长为（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 6．如图，在中，，，斜边上的高，矩形的边在边上，顶点G、F分别在边、上，如果恰好经过的重心，那么的长为（　　） A．1 B． C． D．2 7．如图，在矩形ABCD中，AB＝2，AD＝1，E为AB的中点，F为EC上一动点，P为DF中点，连接PB，则PB的最小值是（　　） A．2 B．4 C． D．2 8．如图，在矩形中，，分别是边，上的点，且，将矩形沿折叠，点恰好落在边上点处，再将沿折叠，点恰好落在上的点处．若，，则的长为（　　） A． B． C． D． 二、填空题 9．在矩形中，，，点M在边上，连接，将沿翻折，得到，交于点N，若点N为的中点，则的长度为　 　． 10． 如图， 的对角线 相交于点 是等边三角形， 交 于点 ． 则 的长为　 　． 11．如图，在矩形中，对角线、相交于点，于点，，则的大小是　 　． 12．把一张长方形纸片沿折叠后与的交点为G，D、C分别在M、N的位置上，若，则　 　． 13．如图，在矩形中，已知，，点，分别是边，的中点，点是边上的一个动点，连接，将四边形沿折叠，得到四边形，连接，则长度的最小值是　 　． 三、解答题 14． 在如图所示小正方形组成的网格中，四边形的四个顶点都在格点上．仅用无刻度的直尺在给定图形中画图，画图过程用虚线表示，画图结果用实线表示，按步骤完成下列问题． （1）如图1，点是上一点，是延长线上一点，在上画点，再在格线上画点，使四边形为矩形； （2）在图2中画格点，使四边形为平行四边形，再在上画点，连接，使． 15．如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，BC＝5，∠C＝30°.点D从点C出发沿CA方向以每秒2个单位的速度向点A匀速运动，同时点E从点A出发沿AB方向以每秒1个单位的速度向点B匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设点D，E运动的时间是ts（t>0）．过点D作DF⊥BC于点F，连接DE，EF. （1）求证：AE＝DF； （2）四边形AEFD能够成为菱形吗？如果能，求出相应的t值；如果不能，请说明理由； （3）当t为何值时，△DEF为直角三角形？请说明理由. 16．如图，矩形ABCD中，E，F在AD，BC上，将四边形ABFE沿EF翻折，使E的对称点P落在CD上，F的对称点为G，PG交BC于H． （1）求证：△EDP∽△PCH． （2）若P为CD中点，且AB＝2，BC＝3，求GH长． （3）连接BG，若P为CD中点，H为BC中点，探究BG与AB大小关系并说明理由． 17．阅读下面材料： 小明遇到这样一个问题：如图①，在中，，且，试求的值． （1）小明发现，过点E作，交的延长线于点F，经过推理得到，再计算就能够使问题得到（1）解决（如图②），并写出推理和计算过程． （2）参考小明思考问题的方法，请你解决如下问题： 如图③，已知和矩形，与交于点G，求的度数． 18．【课本再现】 思考：我们知道，矩形的对角线相等，反过来，对角线相等的平行四边形是矩形吗？ 可以发现并证明矩形的一个判定定理：对角线相等的平行四边形是矩形． （1）【定理证明】 为了证明该定理，小明同学画出了图形如图并写出了“已知”和“求证”，请你完成证明过程： 已知：在▱中，对角线，相交于点，且，求证：▱是矩形， （2）【知识应用】 如图在▱中对角线和相交于点，． 求证：▱是矩形； 若，，是边上不与和重合的一个动点，过点分别作和的垂线，垂足为，，求的值． 19．在数学兴趣小组活动中，老师让同学们以“矩形的折叠”为主题开展数学活动． 【初步思考】 （1）操作一：对折矩形纸片，使与重合，得到折痕，把纸片展平； 操作二：在上选一点，沿折叠，使点落在矩形内部点处，把纸片展平，连接，． 根据以上操作，当点在上时，图1中等于的角有： ．（写一个即可） 【迁移探究】 （2）小明将矩形纸片换成正方形纸片，继续探究，过程如下： 将正方形纸片按照（1）中的方式操作，并延长交于点，连接． ①如图2，当点M在上时， °； ②若点P是上的一个动点（点P不与点A、D重合），如图3，猜想与的数量关系，并说明理由． 【拓展应用】 （3）在（2）的探究中，已知正方形纸片的边长为，当时，直接写出的长． 20．已知，在矩形ABCD中． （1）若点F是矩形ABCD边上一点，点E在边AB上，连接CE，AE＝BC． ①如图1，点F在边AD上，且AF＝BE，连接EF．求∠CFE的度数； ②如图2，点F在边BC上，且BE＝CF，连接AF交CE于点G，过C作CH∥AF交AD于H．求∠AGE的度数． （2）如图3，在矩形ABCD中，若E是边DC上一动点，将△CBE沿BE折叠后得到△NBE，点N在矩形ABCD内部（不含边），射线BN分别交射线BC，射线DC于点M，F，AB＝8，AD＝6． ①当点E是DC的中点时，求线段DF的长； ②点E在运动过程中，求出△DEN的周长的最小值． 答案解析部分 1．【答案】C 2．【答案】B 3．【答案】B 4．【答案】C 5．【答案】C 6．【答案】C 7．【答案】C 8．【答案】D 9．【答案】 10．【答案】 11．【答案】 12．【答案】 13．【答案】 14．【答案】（1）解：所作图形如图所示： ∵四边形的四个顶点 ， ∴四边形是矩形. ∴AD//BC，∠HBC=∠ABC=∠BCD=∠BCF=90°.BO=DO. 易证△DEO≌△BGO， ∴DE=BG. ∵J在格点上，有BJ=FJ=CG. 易证△JBH≌△JFC， 故BH=CF，JH=JC. ∴四边形为矩形. 故点G和点H即为所求. （2）解：所作图形如图所示：点P即为所求作的点P. ​​​​​​​ ∵四边形是矩形， ∴AB=DC，AB//CD. ∵BK=CD=2. 易证四边形为平行四边形. BK=KT，∠CBK=∠AKT，BC=AK， ∴△BKC≌△KTA（SAS） ∴∠BCK=∠KAT， ∴∠BCK+∠CKB=∠KAT+∠CKB， ∴∠APK=∠CBK=90°=∠APC. 易证 ​​​​​​​. 15．【答案】（1）证明：在△DFC中，∠DFC＝90°，∠C＝30°，DC＝2t， ∴DF＝t， 又∵AE＝t， ∴AE＝DF. （2）解：能.理由如下： ∵AB⊥BC，DF⊥BC， ∴AE∥DF， 又∵AE＝DF， ∴四边形AEFD为平行四边形． ∵在Rt△ABC中，∠C＝30°， ∴AB＝AC. 由勾股定理，得AB2+ 解得AB＝5， ∴AC＝2AB＝10， ∴AD＝AC－DC＝10－2t. 若使▱AEFD为菱形，则需AE＝AD， 即t＝10－2t，解得t＝. 即当t＝时，四边形AEFD为菱形. （3）解：当t＝2.5或4时，△DEF为直角三角形。理由如下： ①当∠EDF＝90°时，四边形EBFD为矩形， 在Rt△AED中，∠ADE＝∠C＝30°， ∴AD＝2AE，即10－2t＝2t，解得t＝2.5；； ②当∠DEF＝90°时，由（2）四边形AEFD为平行四边形知EF‖AD， ∴∠ADE＝∠DEF＝90°. ∵∠A＝90°－∠C＝60°， ∴∠AED=30°， ∴AD＝AE，即10－2t＝t，解得t＝4； ③当∠EFD＝90°时，此种情况不存在， 综上所述，当t＝2.5或4时，△DEF为直角三角形. 16．【答案】（1）证明：如图， ∵四边形ABCD是矩形， ∴∠A＝∠D＝∠C＝90°， ∴∠1+∠3＝90°， ∵E，F分别在AD，BC上，将四边形ABFE沿EF翻折，使A的对称点P落在DC上， ∴∠EPH＝∠A＝90°， ∴∠1+∠2＝90°， ∴∠3＝∠2， ∴△EDP∽△PCH； （2）解：∵四边形ABCD是矩形， ∴CD＝AB＝2，AD＝BC＝3，∠A＝∠D＝∠C＝90°， ∵P为CD中点， ∴， 设EP＝AP＝x， ∴ED＝AD﹣x＝3﹣x， 在Rt△EDP中，EP2＝ED2+DP2， 即x2＝（3﹣x）2+1， 解得， ∴， ∴， ∵△EDP∽△PCH， ∴， ∴， 解得， ∵PG＝AB＝2， ∴； （3）解：如图，延长AB，PG交于一点M，连接AP， ∵E，F分别在AD，BC上，将四边形ABFE沿EF翻折，使A的对称点P落在CD上， ∴AP⊥EF，BG⊥直线EF， ∴BG∥AP， ∵AE＝EP， ∴∠EAP＝∠EPA， ∴∠BAP＝∠GPA， ∴△MAP是等腰三角形， ∴MA＝MP， ∵P为CD中点， ∴设DP＝CP＝y， ∴AB＝PG＝CD＝2y， ∵H为BC中点， ∴BH＝CH， ∵∠BHM＝∠CHP，∠CBM＝∠PCH， ∴△MBH≌△PCH（ASA）， ∴BM＝CP＝y，HM＝HP， ∴MP＝MA＝MB+AB＝3y， 在Rt△PCH中，， ∴， ∴， 在Rt△APD中，， ∵BG∥AP， ∴△BMG∽△MAP， ∴， ∴， ∴， ∴． 17．【答案】（1）解： 四边形是平行四边形， （2）解：连接． ∵四边形是平行四边形， ∴． ∵四边形是矩形， ∴． ∴． ∴四边形是平行四边形． ∴． ∵， ∴． ∴是等边三角形． ∴． ∵， ∴． 18．【答案】（1）证明：四边形是平行四边形， ，， 在与中， ， ≌， ， ， ， ， ▱是矩形； 解：证明：在▱中对角线和相交于点， ，， ， ， ， ▱是矩形； （2）解：证明：在▱中对角线和相交于点， ，， ， ， ， ▱是矩形； 解：如图，连接， 过点分别作和的垂线，垂足为，， ， 四边形是矩形，，， ，， ，， ， ， ， ． 19．【答案】解：（1）或或或（任写一个即可）； （2）①15 ②，理由如下： 四边形是正方形， ，， 由折叠可得：，， ，， 又， ， ； （3）由折叠的性质可得，， ， ， 当点在线段上时， ， ，， ， ， ， 当点在线段上时， ， ，， ， ， ， 综上所述：的长为或． 20．【答案】（1）①∵AE＝BC，∠A＝∠B，AF＝BE， ∴△FAE≌△EBC（SAS）， ∴FE＝EC，∠AFE＝∠BEC， ∵∠AFE+∠AEF＝90°， ∴∠BEC+∠AEF＝90°， ∴∠FEC＝90°， ∴△FEC是等腰直角三角形， ∴∠CFE＝45°； ②∵CH∥AF，AH∥CF， ∴四边形HAFC是平行四边形， ∴CF＝AH， ∵CF＝BE， ∴BE＝AH， ∵BE＝AH，∠EBC＝∠HAE＝90°，AE＝BC， ∴△HAE≌△EBC（SAS）， 同①△HEC是等腰直角三角形，则∠HCE＝45°， ∵AF∥HC， ∴∠AGE＝∠HCE＝45° （2）解：①如图，连接EF， ∵E是DC的中点， ∴DE＝EC， ∵△CBE沿AE折叠后得到△NBE， ∴CE＝EN， ∴DE＝EN， ∵在矩形ABCD中， ∴∠C＝90°， ∴∠ENB＝90°， ∵DE＝EN，EF＝EF， ∴Rt△DFE≌Rt△NFE（HL）， ∴DF＝FN， 设DF＝x，则BF＝6+x，FA＝6﹣x， 在Rt△AFB中，82+（6﹣x）2＝（6+x）2， 解得， ∴； ②由折叠知，∠C＝∠ENB＝90°，EC＝NE， ∴DE+EN＝DE+CE＝DC＝8， ∴当DN最小时，△DEN的周长最小， ∵∠ENB＝90°， ∴点B、N、D在同一条直线上时，DN最小， ∴DN＝BD﹣BN＝10﹣6＝4， 此时，∠DNE＝90°， ∴△DNE的周长＝DN+DE+EN＝8+4＝12． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$