1.3.1 平方差公式的认识 课件 2024—2025学年北师大版七年级数学下册

第一章 整数的乘除 七下（北师大版） 1.3.1 平方差公式的认识 1.经历平方差公式的探索及推导过程，掌握平方差公式的结构特征. 2.灵活应用平方差公式进行简单的计算. 学习目标 从前，有一个狡猾的地主，把一块边长为20米的正方形土地租给张老汉种植．第二年，他对张老汉说：“我把这块地的一边减少5米，相邻的另一边增加5米，继续租给你，租金不变，你也没有吃亏，你看如何?” 张老汉一听，觉得好像没有吃亏，就答应道：“好吧.” 回到家中，他把这事和邻居们一讲，大家都说：“张老汉，你吃亏了!” 他非常吃惊． 新课引入 除了多项式乘多项式的方法，你还有更简单的方法验证吗? （1）(x＋2)(x－2)= ； （2）(1＋3a)(1－3a)= ； （3）(x＋5y)(x－5y)= ； （4）(2y＋z)(2y－z)= . 计算下列各式： x2－22 12－9a2 x2－25y2 4y2－z2 新知学习 思考: 观察以上算式及其运算结果，你有什么发现? 两数和×两数差 平方差 猜想: (a+b)(a-b)=a2-b2 你能再举一些类似的例子吗? 与同伴进行交流. (a+b)(a-b) = a2-ab+ab-b2 (多项式乘多项式) = a2-b2 (合并同类项) 猜想: (a+b)(a-b)=a2-b2，如何验证猜想是否正确? (a+b) (a-b) =a2-b2 两数和与这两数差的积，等于这两数的平方差. 平方差公式： 归纳总结 ( a + b) (a – b )= a2 - b2 1. 结构特点: 左边: 两项乘两项，a符号相同，b符号相反; 右边: 相同项a的平方减去相反项b的平方. 2. 核心要点: 找到乘式中的相同项和相反项. (相同项)2-(相反项)2 相同项 相反项 例1 填一填: (a+b)(a-b) a b a2-b2 (n+2)(n-2) (5+2a)(5-2a) (3x+y)(3x-y) (4a+6b)(4a-6b) n 2 5 2a 52-(2a)2 3x y (3x)2-y2 n2-42 4a 6b (4a)2-(6b)2 例2 利用平方差公式计算： (1) ( 5+ 6x) ( 5-6x)； (2) ( x-2y) ( x+2y)； (3) (-m+n) (-m-n) 解：(1) ( 5 + 6 x) ( 5- 6 x) = 52 - ( 6 x )2 (2) ( x - 2y ) ( x + 2 y ) = x2 - ( 2 y )2 (3) ( -m+n ) ( -m-n ) = ( - m )2 - n2 = 25- 36x2； = x2 - 4y2； = m2 -n2． 例3 利用平方差公式计算： (1) ； (2) ( ab + 8 ) ( ab - 8 )． 解： (1) (2) ( ab + 8 ) ( ab - 8 )= (ab)2- 82 = a2b2- 64 ． 问题解决 从前，有一个狡猾的地主，把一块边长为20米的正方形土地租给张老汉种植．第二年，他对张老汉说：“我把这块地的一边减少5米，相邻的另一边增加5米，继续租给你，租金不变，你也没有吃亏，你看如何?” 张老汉一听，觉得好像没有吃亏，就答应道：“好吧.” 回到家中，他把这事和邻居们一讲，大家都说：“张老汉，你吃亏了!” 他非常吃惊． 解：正方形土地的面积为：20×20=400 (m2) 变化后的土地面积为：(20-5)×(20+5)=(20)2 - (5)2 =400-25=375(m2) 因为400 ＞375，所以张老汉吃亏了. 归纳总结 1.左边是两个二项式相乘，并且这两个二项式中有一项完全相同，另一项互为相反数； 2.右边是相同项的平方减去相反项的平方； 3.公式中的 a 和 b 可以是具体数，也可以是单项式或多项式． 应用平方差公式计算时，应注意以下几个问题： 尝试·思考 如何计算(a-b)(-a-b)? 你是怎样做的? 解：(a-b)(-a-b) = (-1)(a-b)(a+b) = -(a2-b2) = b2-a2 平方差公式的常见变形 位置变化 (b+a)(-b+a)=a2-b2 符号变化 (-a-b)(a-b)=b2-a2 系数变化 (2a+3b)(2a-3b)=4a2-9b2 指数变化 (a2+b2)(a2-b2)=a4-b4 增项变化 (a+b+c)(a-b-c)=a2-(b+c)2 1.下列运算中，可用平方差公式计算的是(　　) A．(x＋y)(x＋y) B．(－x＋y)(x－y) C．(－x－y)(y－x) D．(x＋y)(－x－y) C 随堂练习 2. (2024逐宁)下列运算结果正确的是( ) A. 3a-2a=1 B. a2·a3=a6 C. (-a)4=-a4 D. (a+3)(a-3)=a2-9 D 3. (2024凉山州)已知a2-b2=12，且a-b=-2，则a+b= . -6 (1)(a+3b)(a- 3b)； =4a2－9； =4x4－y2. 解：原式=(2a+3)(2a-3) =a2－9b2 ； =(2a)2－32 解：原式=(－2x2 )2－y2 解：原式=a2－(3b)2 (2)(3+2a)(－3+2a)； (3)(－2x2－y)(－2x2+y). 4. 利用平方差公式计算： (4)(-x+2y)(-x-2y). 解：原式＝ (-x)2 - (2y)2 ＝x2 - 4y2. 解：原式=(3x)2-42-(6x2+5x-6) = 9x2-16-6x2-5x+6 = 3x2-5x-10 不符合平方差公式运算条件的乘法，按乘法法则进行运算. (5)(3x+4)(3x-4)-(2x+3)(3x-2) . (6)(3x-y)(3x+y)+y(x+y) . 解：原式=(3x)2-y2+xy+y2 = 9x2+xy 5. 已知a－b＝2，b－c＝2，a＋c＝14，求a2－b2的值． 解：把b－c＝2，a＋c＝14相加，得a＋b＝16， 所以a2－b2 ＝(a－b)(a＋b) ＝2×16 ＝32. 分析：a2－b2 ＝(a＋b)(a－b)，所以要将已知条件转化出a＋b的形式. 6. 观察：(2+3)²-2²=7×3；(4+3)²-4²=11×3. 嘉嘉发现规律：比任意一个偶数大3的数与此偶数的平方差能被3整除. 验证： (1)(6+3)²-6²的结果是3的 倍； (2)设偶数为2n，试说明比2n大3的数与2n的平方差能被3整除. 15 解：由题意得偶数为2n，比偶数大3的数为(2n+3)， 所以(2n+3)2-(2n)2=(2n+3+2n)(2n+3-2n)=3(4n+3). 因为4n+3为整数， 所以3(4n+3)能被3整除. 注意 内容 平方差公式 1. a和b可以是单项式或多项式; 2. “a”或“b”中带系数或指数，应连同系数和指数一起平方. 两个数的和与这两个数的差的积,等于这两个数的平方差. (a+b)(a-b)=a2-b2 课堂小结 基础题 知识点　平方差公式 1. 下列各式中，能用平方差公式进行计算的是(　D　) A. (5＋a)(5＋a) B. (－a＋b)(a－b) C. (5－a)(5－a) D. (a＋b)(a－b) 2. (教材随堂练习第1题改编)计算(2x＋y)(2x－y)的结果为(　B　) A. 2x2－y2 B. 4x2－y2 C. 4x2－4xy＋y2 D. 4x2＋2xy＋y2 D B 课后练习 4. (教材例题改编)已知a2－2＝0，则(a－1)(a＋1)＝ ⁠. 5. (教材习题第1题改编)计算： 1 3. 计算：(1)(x＋3)(x－3)＝ ⁠； (2)(－x＋y)(－x－y)＝ ⁠； (3)(－6a－b)(－6a＋b)＝ ⁠. x2－9 x2－y2 36a2－b2 (1)(m＋0.3)(m－0.3)； 解：原式＝m2－0.32 ＝m2－0.09； (2)(xy＋2)(－xy＋2)； 解：原式＝(2＋xy)(2－xy) 　 ＝22－(xy)2 　 ＝4－x2y2； (3)(－m－2n)(－m＋2n). 解：原式＝(－m)2－(2n)2 ＝m2－4n2. 综合题 6. 为了运用平方差公式计算(a－2b＋c)(a＋2b－c)，下列变形中，正确的 是(　D　) A. [(a＋c)－2b][(a－c)＋2b] B. [(a－2b)＋c][(a＋2b)－c] C. [a－(2b＋c)][a＋(2b－c)] D. [a－(2b－c)][a＋(2b－c)] D 7. 已知(x－my)(x＋my)＝x2－16y2，则m的值为 ⁠. ±4 8. (教材习题第5题改编) 8.1　改为求未知字母的值 已知(2a＋1)(2a－1)(4a2＋1)＝man－1，则m＋n的值为(　B　) A. 16 B. 20 C. 24 D. 30 B 8.2　改为求代数式的值 已知m2－2n＝3，m2＋2n＝5，则m4－4n2＝ ⁠. 15 解：原式＝(－xy3)2－52 ＝x2y6－25； (2)(x－y)·(x＋y)·(x2＋y2). 解：原式＝(x2－y2)(x2＋y2) ＝x4－y4. 9. 计算：(1)(－xy3＋5)(－xy3－5)； $$