广东省领航高中联盟2025届高三下学期开学考试数学试题

绝密★启用前 高三数学试 广东省领航高中联盟2025届高三下学期开学考 卷 试卷共4页，19小题， 满分150分。 考试用时120分钟。 注意事项： 1.答卷前、考生务必将自己的姓名 、准考证号等填写在答题卡指定位置上 。 2.回答选择题时 ，选出每小题答案后， 用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。 如 需改动 ， 用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。 回答非选择题时，将答案写在答题卡上。 写在本试卷上无效。 3.考生必须保持答题卡的整洁。 考试结束后，请将答题卡交回。 一、 选择题： 本题共8小题. 每小题5分， 共40分 .在每小题给出的四个选项中. 只有一项是符合题目要求的. 1.已知集合A={-5,0,1,4,7},B={xly=In(x-2)},则A∩B= A.(0,1} B.(4,7} C.(0.1.4} D.(7} 2.双曲线(√5n+y)(√5n-3)=5的渐近线方程为： C.y= ± V5rB.y=±xA.y=±5x 3.已知z=1-3i.则 c.√13 D.√17B.3A.2 4.已知平面向量a.b满足a:b=-3.且|a+b|=1,|b|=√3则cos (a.b) = A.√22 C.√32 1.则言士专的最小值为 B. 5.已知a>b>0且 6 C.2+V3 D.4+2√3A.4 的展开式中含xy的项满足m+n=2,则这些项的系数和为6.若 B.20 C.30A.10 D.40 7.已知函数f(×)=sin(ox=φ)(w>0,π<φ<2π)的一个零点为一号，且直线a=号为曲线y=[(x)的一系对 称轴， 若f(x)的最小正周 期 ),则op= c.B. D.A.⁹π/₄ 广东 ·高三数学 第1页(共4页) 广东省领航高中联盟2025届高三下学期开学考 高三数学参考答案及评分细则 1.【答米】B 【解折]因为A=1-5.0.1,4,71,B=1xly=n(￥-2)}=xlx>2i,放AnB=14.7:.故选B. 2.【答案】C 【解析1将题十所给曲俊方程化为标准方程为”-亏1，品得该双曲线的潇近线方醒为了=±5x故选C 3.【答案】C 【解折1由题意知：=1-3，所以件.243,23-21，放-V月(-2可瓜，放选C 4.【各案】D 【解折】山la+b|=√(a+b了=/a+2a·b+6=√Ta+2×(-3)+3=1,∴1a=2,co6(a,b)= 5.【各案】C 【解折由题意可得>6>0受+费=1，所以片+合=（仕+岩川受+韵-2+碧+号2+2密苏- 2+h,当H仅当尝-元，即a=6时等号成立枝选汇 6.【答案】A 【解折1二项式(-开式的通项为T=G(-1)y=(-1rC5y,所以(-2)（任-列的展 开式中的项为(-1)'C5xy和-2×(-1)'Cgy',以为r-4+r=r-5+r+1=2r-4,且m+n=2,所以 2r-4=2,解得r=3,所以这些项的系数和为-C+2C=C=10.枚选A. 7.【答案】C 【m折1山三角函数的图象'与性质可铅号-(-引-受-号+号，4e乙，解T=3年2西4e乙，又树为 8 T(停2小，所以哈<<晨放仅有k=1时满足题意，此时T=巴=号解得u=是此时)=m告+ 代人=-号，可得p-3经=m,ke乙.解利p=3经+m,ke乙，又树为<p<2m,故k=1时，e=红，成闻= 器故选c 8.【答案】A 【解标1易得r)一2+-3汕-.设满数g因)=2油x+s-3汕-1测到=2nx+3-是，易加 g'(x)是单周递增函数，几g(1)=0.故g(x)在区间(0,1)上单调递诚，是g(x)>g(1)=0.故(x)>0,即 在区间（O,)上单现递0，联，有++4=0，站知西数(=)+x+1在(0,1)上单调 ly=-x-1, 递增，故(x)的零点个数最多为1，即函数八x)的图象与直线的交点个数的最大值为1.故选A 广东·高三数学第1真（共6负） 9.【答案】AB(每选对1个得3分)》 【氟折肖a=1时由点=周品4解得=2或0=0，又，>0，衡以4=2，枚人正确所以及： 2(a.-1),当≥2时51=2(a,,-1),两式作差得a,=24.-2a。,即当n≥2时，4=2a。,所以1a是以2 为首项2为公比的等比数列，放a.=2×2'=2,易知f(x)=2单调递增枚n正确：因为%.=2，所以号= 石，闪为片-受-2，所以11不地单到滤地数列.故C82》.2-2.放D说故选。 1-2 10.【容案】ABD(每选对1个2分) 【解析】因为正三棱柱ABC-A,B,C,的侧面为正方形，所以正三校柱ABC-A,B,C,的所有校长均柑等.因为点 M,N分刑为BB,AB的中点，所以MN∥AB,因为Nd平面AB,C.AB,C平面AB,C,.所以N∥平面AB,, 故A正确：设三枚住ABC-A8,G的被长为a,则G,到半丽N的E离为h=号.放二校维-BC的 体积为v-宁5mk=宁x宁×宁·0身。=号解得。=2，义球0的球心一定在三彼柱上，下底面中 心连线的中点上，则球0的米径为r= +P:牙，故球0的表面积为42：4×子-，故B正 确：取4月上黎近月的阿等分点P,则异面直线，*与G初的夹角等价于LPC,计算得Pm=要，心，= 2,故C错识：计算得W=2,C,=万，C,M=5,故 2号×的 △CN是以∠C,MN为直角的直角二角形，故C,到直线的距离即为C,M=S,故D正确.故选ABD, 1I.【答案】ACD(选对I个得2分) 【解惭】将(1,1)代入C的方程，等式成立，故A正确：对于C在x轴上方的部分，可知函数x)=V-2x+2, 则()=之(-2x+2)(32-2)(1)=号0.故n错误：过点(1,1)作C的划线，由B选项知其斜率为 2,故共方程为y=宁+宁将共C的方程联立 (-1)x+)=0,赦切级与G的交点 =2-2x+2, 的坐标为-子，一）极，纵坐标均为有理数.放C正确：设()，名<0，则其到坐标原点0的距离为 √+=√属+后-2。+2，要使该距离大于迈，只需要名+后-2出>0，整理得（场+-2）=(+2)· (-1),当=-2时，6不7在，可知6>-2→x+2>0,义因为(-1)>0.故(+2)(-1)>0，赦 哈+号-2>0成立，故D正确.故选ACD 广东·高三数学第2页（共6项） 12.【答案】5 【解析】易得1,0》，曲点M在线段性的垂直平分线上可得点N的俄坐标为之2,3，代入C的方视可得 广=12.所以圳3,2万).故直线Mm的斜*是5：96 13.【答案0 【解析】令x=y=0,得0)=0，令y=-x,得八0)=八x)+八-x)=0.所以八x)m-八-x),义八-x)= f尺x),所以f八x=0,所以f代2025)=0. 14.【答案】17 【解折1从数列：a.1的崩2贴项中任取3项，样木点总数为C22-2-2】.2弘2k-k-】其中取 3×2×1 到的3个数能构成等差数列的收达共有2×(1+2+…+素-1)=(k-1)个，所以所求挪米为P= (k-1】 3 3 2(2k--立2(2k-1令2(2-万"五解得k=7. 15.（1)明：h正兹定理可得ak=3e,所以a=3e,(2分)】 由0sB=名及余弦定现铅cmB业=名4分) 代Aa,02=名，5分】 化简得b=3c,(6分) 枚a=4.(7分) (2)解：因为a=b,所以A=B,放c0sA=c0B=右.(9分) 在△ABD中，山余弦定理可程BD=BA'+A-2BA·AD·cosA, 甲11=2+(-2·登mA.(2分 解得c=2.(13分) 【评分细则】 第二问也可以用两次余弦定理解得答案，只要答案正确均给满分： 151 151 151 16解：1r60s-5x24x56x元2x8Q.96>096.4 故该工作小组木次统计数招异常.(5分) (2)将本季度创造的营销收人最少，即营销收人为75千元的员数据别除，(6分) 阶数g后的x=25.25,y'=82.5.(7分) 代入计算得=名x-19×7方=8446.（保分） 4x.=4×25.25×82.5=8332.5,(9分) -192=2665,(10分) 4x2=4×25.25×25.25=2550.25,(11s分) 所烈=燃贤亮=亮1.分剂 广东·尚三数学第3页（共6项） 放a=了-6￥=82.5-25.25m57.(14分) 放线性回归方程为y=x+57.(15分) 【评分细则】 第二问若保科位数不满足题干要求，每个数扣1分. 17.(1)证明：连接BD,l山已知孙AB=DC=PD,PC=2PD. 所以PC2=PD+DC,所以PD⊥DC,(1分) 因为矩形ABCD中，AD=2AB, 所以am∠ABn=兴=反，en∠ASR=也=2. AB 丙为tam/ABD=an/AEB,所以/ABD=/AEB, 所以∠AEB+∠EBD=∠ABD+∠EBD=90°，所以E⊥BD.(3分) 义PB⊥AE,PBOBD=B,且PB,BDC平面PBD,所以AE⊥平面PBD,(4分) 为PDC平面PBD,所以AE⊥PD 义PD1DC,AB∥DC.所以PD⊥AB,(5分) 又AEOAB=A,且AE,ARC平而ABCD,故PD⊥平面ABCD.(6分) (2)解：当F为PB的中点时，平面AEF与半面BF的夹角为45，证明如下： 由(1)知PD⊥平血AB(CD,AD⊥DC,所以以D为坐标原点，DA,DC,DP所在直线分别为x,y,z轴，建立如图所示 的空向（角坐标系.(？分） 令A8=2,则A(2E,0.0),C(0,2,0),P0,0,2).(222.0),E(E.2,0). 元=(0.2.-2)，C=(2E.0.0),正=(-5,2,0，i=(2万，2.-2)，=(-22,0,2)， 设P所=A0<A<1),A亦=+P7=币+APi=(22A-22,2A,2-2A).(8分) 设平面AEF的法向量为m=(xy:) 石86aa2a-2n 令，则=1，头 所以平面A心的个出向量m=(反.1.产法》(0分) 设平面BEF的法向量为n=(a,b,c), 广东·高二数学第4页（共6其） m·元=0，n26-2c=0. 则成=0,2ha0 令b=1,则a=0,c=1, 所以平血BEF的个法向量n=(0,1,1).(12分) 因为cw(m,l=m: 2 2+1+ ×1+1 解科A=子，(4分) 所以当F为PB的中点时，平面AEF与平面BEF的夹角为45°，(15分) 【评分细则】 木恩用几何法作答只要过程合理均的情给分，第二向电可以只书写-个求解法向量的过程，只要最终究案正确 均给分 18)解：依题家÷=竖且2b=6h.2分) 联立d=+,解得6 (3分) 63=3. 所以E的方程为后号=4分列剂 (2)让明：容易验证，当A,C,B,D在坐标轴上时.命题成立.(5分】 当A.C,B,D均不在坐标轴上时， 设直线AC的方程为1：y=缸+m(k0).A《,,y,),C(),AC的中点为T\). 2+2y-6=0, 联立 y=战+m, 得(22+1)x2+4kx+2m2-6=0. 则x空=+m分》 2 所以直线0的方程为y2正”+)睡y一太2亚 -22 所以BD中点的横坐标为x”= -2kn 2-1 (2张+)K+2万(9分) 因为x=x”且k*0,所以m=0.即点T(0,0),和坐标原点0重合.(10分) (3)解：容易验证，当A,C,B,D在坐标轴.上时，菱形ABCD的周长为12.(11分) 当A,C,B.D均不在坐标轴上时，由(1)知联立所得的方程为(2k2+1)2-6=0, 所以0A=+=(2+1)=+ 20+,(12分) 限om-g 2(-+1 K+2 所以8P=6+1x+-221++2y*动-中+0号+器28.(4分剂 广东·高三数学第5贞（共6页） 当且仅当2=1时取等片.(15分) 南：苏号合斗测Pc2x2+2+9, 所以AB|∈[22,3).即菱形A8CD的岗长的取值范围为[82,12).(16分) 综上所述，芝形ABCD周长的取作范图见[8反，12].(17分) 【评分细则】 第三问求取值范围时.用其他方法只要最终芥案正确，均给分： 19.解：(1)①是：(1分)】 ②不是：(2分) ③是.(4分) (2)取或a西吗时，=0所以PX0)忌=6分 取a或0%或44或a吗4戒4，时，=1所以P(X=)=忌：子《6分 取a,4,a或a,a6或4，a,4s或u4,ay或a4,a,ae或a4,4,a6或a,4,4s或，，6时.X=2,所 取44，或从a,4,中作取3个时X=3,所以(X=3)=C安 所以X的分布列为 0 2 (9分) 0=0x0+1x+2x号+3x名-号(00分剂) (3)若数列1，，…，.4。，1量1阶逆序数列”， 从中取出最大的数4，剩下的按原来的预序构成数列，|， 若|c,是“1阶逆序数列”，月“相邻逆序”为e>,1, 那么，在a,4,,。,4中，4只能在4或最后：(12分) 若1G,}不是“1阶逆序数列”，则|©中的“相邻逆序"的个数不为1，显然c,1中“相邻逆序"的个数不能大丁1， 杏测.a1,4,…,@,4,1不是“1阶逆序数列”，理由是：因为u是最大的数，所以出a,“,4,4,巾“相邻逆序” 的个数·定不少于！6中“相邻逆序”的个数，从：，}中“相邻递序”的个数为0，矛所，所以的位置不能在 最后，即有种可能的位普。 综上可得6.，=2h.+,(15分) p6,1+n+2=2(h,+n+1),又b+3+1=8， 所以b。+n+1=2°，b.=2"--1,(16分) 所以6=含2-含任+1)=2-a3-3.(1n分) 2 【评分细则】 其他解法的情给分 广东·高数学第6页（共6贞）