浙江省宁波外国语学校2024-2025学年八年级上学期期末考试数学试卷

2024-2025学年浙江省宁波外国语学校八年级（上）期末数学试卷 一、选择题（每题3分，共30分） 1．（3分）志愿服务，传递爱心，传递文明，下列志愿服务标志为中心对称图形的是（　　） A． B． C． D． 2．（3分）下列计算正确的是（　　） A． B． C． D． 3．（3分）一组数据：2、0、2、4，若添加一个数据2，则发生变化的统计量是（　　） A．平均数 B．中位数 C．众数 D．方差 4．（3分）用反证法证明“四边形中至少有一个角是钝角或直角”，可先假设（　　） A．四边形的四个角都是直角 B．四边形的四个角都是锐角 C．四边形的四个角都是钝角 D．四边形的四个角都是钝角或直角 5．（3分）关于x的一次函数y1＝ax+b和y2＝bx+a的图象可能是（　　） A． B． C． D． 6．（3分）在四边形ABCD中，对角线AC＝BD，那么顺次连接四边形ABCD各边的中点所得的四边形一定是（　　） A．平行四边形 B．矩形 C．正方形 D．菱形 7．（3分）如图，在平面直角坐标系中，C（6，6），点B，A分别在x轴正半轴和y轴正半轴上，∠ACB＝90°，则OA+OB等于（　　） A．10 B．11 C．12 D．13 8．（3分）已知α，β是方程x2+2023x+1＝0的两个根，则代数式（1+2024α+α2）（1+2025β+β2）的值是（　　） A．4 B．3 C．2 D．1 9．（3分）如图，正方形ABCD，AB＝2，E为CD的中点，将△BCE沿BE折叠到△BFE，延长EF交AD于点G．连接BG，则下列结论错误的是（　　） A．△EDG的周长为4 B．△BEG的周长为 C．△EDG的面积为 D．△BEG的面积为 10．（3分）如图，在矩形ABCD中，点E在BC的延长线上，AE与CD交于点G，点F是DG的中点，若要知道△AEF的面积，则需要知道（　　） A．CE的长 B．矩形ABCD的面积 C．梯形ABCG的面积 D．∠EAF的度数 二、填空题（每题3分，共18分） 11．（3分）若有意义，则实数a的取值范围是 　 　． 12．（3分）若n边形的每一个外角都是40°，则n的值为 　 　． 13．（3分）如图，在菱形ABCD中，DE⊥AB，DF⊥BC，垂足分别为点E，F．若∠ADE+∠CDF＝80°，则∠EDF等于 　 　度． 14．（3分）如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝3x﹣3的图象分别交x，y轴于点A，B，将直线AB绕点B按顺时针方向旋转45°，交x轴于点C，则直线BC的函数表达式为 　 　． 15．（3分）在函数的学习中，认识了函数图象的画法，并能结合图象研究函数的性质．已知函数y＝|x+2|﹣3，分析得到了下列四个结论： ①它的图象由直线y＝x+2向下平移3个单位所得． ②y随着x的增大而增大． ③当x＜﹣2时，y随着x的增大而减小． ④函数有最小值﹣3，其中正确结论的序号是 　 　． 16．（3分）如图，在▱ABCD中，AD＝4，AB＝5，∠DAB＝60°，E为边AB上的动点，EF平分∠DEB，交CD于F，过D作DG⊥EF于G，连接GC，则DG+GC的最小值为 　 　． 三、解答题（共8小题，共72分） 17．（8分）计算： （1）； （2）． 18．（8分）解方程： （1）4x2＝（x+2）2； （2）2x2+4x﹣5＝0． 19．（10分）冬至是二十四节气中第22个节气，也是中国民间的传统节日，古人称冬至为“亚岁”．为弘扬中国传统节日，某校初二年级组织了一次“包饺子迎冬至”的劳动技能比赛，比赛成绩分为以下五个等级：A．100分，B.90分，C.80分，D.70分，E.60分．比赛结束后，随机抽取了部分选手的成绩，整理并绘制了不完整的统计图． 请根据统计图解答下列问题： （1）本次共抽取了 　 　名选手的成绩，扇形统计图中B所对圆心角的度数为 　 　； （2）抽取的选手成绩中，众数是 　 　分，中位数是 　 　分； （3）若本次比赛共有120人参加，请估计有多少人的成绩高于80分？ 20．（8分）如图①、图②、图③均是4×4的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点，△ABC的顶点均在格点上，只用无刻度的直尺，在给定的网格中分别按下列要求画图，保留作图痕迹． （1）在图①中画一个△BCD，使△BCD与△ABC面积相等，且点D为格点（不与点A重合）． （2）在图②中画一个▱BCEF（非矩形），使得▱BCEF的面积与△ABC的面积相等． （3）在图③中画一个▱BCGH（非矩形），使得▱BCGH的面积与△ABC的面积比为3：2． 21．（8分）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AB＝BC，对角线AC、BD交于点O，BD平分∠ABC． （1）求证：四边形ABCD是菱形； （2）过点D作DE⊥BC，交BC的延长线于点E，连接OE，若DC＝2，AC＝4，求OE的长． 22．（8分）2023年杭州亚运会吉祥物一开售，就深受大家的喜爱．某商店以每件35元的价格购进某款亚运会吉祥物，以每件58元的价格出售．经统计，4月份的销售量为256件，6月份的销售量为400件． （1）求该款吉祥物4月份到6月份销售量的月平均增长率； （2）从7月份起，商场决定采用降价促销的方式回馈顾客，经试验，发现该吉祥物每降价1元，月销售量就会增加20件．当该吉祥物售价为多少元时，月销售利润达8400元？ 23．（10分）根据以下素材，完成探索任务： 如何裁剪出符合要求的长方形彩纸？ 素材1 如图1是一张等腰直角三角形彩纸，AC＝BC＝30cm，甲、乙、丙三名同学分别用这样的彩纸试图裁剪出不一样的长方形，并使长方形的四个顶点都在△ABC的边上． 素材2 甲同学按图2的方式裁剪，想裁出面积为250cm2的矩形；乙同学按图3的方式裁剪，想裁出两边长之比为1：2的矩形；丙同学想裁出面积最大的正方形． 问题解决 任务1 请帮助甲同学判断此裁剪方案能否实现？并说明理由． 任务2 请求出符合乙同学裁剪方案的矩形彩纸的面积． 任务3 请帮助丙同学在图4和图5中各画出一种裁剪方案，并通过计算说明哪种方案裁得的正方形面积最大． 24．（12分）如图，平面直角坐标系中，直线与坐标轴交于点A，B，点C在y轴的正半轴上，且AB：AC＝1：2． （1）求B，C两点的坐标； （2）若点M从点C出发，以每秒1个单位的速度沿射线CB运动，连接AM，设△ABM的面积为S，点M的运动时间为t，写出S关于t的函数关系式，并写出自变量的取值范围； （3）点P是x轴上的点，在坐标平面内是否存在点Q，使以A，B，P，Q为顶点的四边形是菱形，若存在，请直接写出Q的坐标；若不存在；请说明理由． 2024-2025学年浙江省宁波外国语学校八年级（上）期末数学试卷 参考答案与试题解析 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 D C D B B D C C B B 一、选择题（每题3分，共30分） 1．（3分）志愿服务，传递爱心，传递文明，下列志愿服务标志为中心对称图形的是（　　） A． B． C． D． 【分析】根据中心对称图形的概念判断．把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形． 【解答】解：选项A、B、C的图形都不能找到某一个点，使图形绕某一点旋转180°后与原来的图形重合，所以不是中心对称图形； 选项D的图形能找到一个点，使图形绕某一点旋转180°后与原来的图形重合，所以是中心对称图形； 故选：D． 【点评】本题考查的是中心对称图形，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与自身重合． 2．（3分）下列计算正确的是（　　） A． B． C． D． 【分析】根据二次根式的化简及同类二次欧根式的合并分别计算各选项，然后对比选项即可． 【解答】解：A、和不是同类二次根式，不能直接合并，故本选项错误； B、和不是同类二次根式，不能直接合并，故本选项错误； C、3﹣＝3﹣2＝，故本选项正确； D、3和不能合并，故本选项错误． 故选：C． 【点评】此题考查了二次根式的加减运算，解答本题需要我们掌握二次根式的化简及同类二次根式的合并． 3．（3分）一组数据：2、0、2、4，若添加一个数据2，则发生变化的统计量是（　　） A．平均数 B．中位数 C．众数 D．方差 【分析】依据平均数、中位数、众数、方差的定义和公式求解即可． 【解答】解：A、原来数据的平均数是2，添加数字2后平均数仍为2，故A不符合题意； B、原来数据的中位数是2，添加数字2后中位数仍为2，故B不符合题意； C、原来数据的众数是2，添加数字2后众数仍为2，故C与不符合题意； D、原来数据的方差S]＝2， 添加数字2后的方差S]＝，故方差发生了变化，故D符合题意． 故选：D． 【点评】本题主要考查的是统计量的选择，众数、中位数、方差、平均数，熟练掌握相关概念和公式是解题的关键． 4．（3分）用反证法证明“四边形中至少有一个角是钝角或直角”，可先假设（　　） A．四边形的四个角都是直角 B．四边形的四个角都是锐角 C．四边形的四个角都是钝角 D．四边形的四个角都是钝角或直角 【分析】根据四边形中至少有一个角是钝角或直角的反面是四边形的四个角都是锐角解答即可． 【解答】解：用反证法证明“四边形中至少有一个角是钝角或直角”， 可先假设四边形的四个角都是锐角， 故选：B． 【点评】本题考查的是反证法的应用，反证法的一般步骤是：①假设命题的结论不成立；②从这个假设出发，经过推理论证，得出矛盾；③由矛盾判定假设不正确，从而肯定原命题的结论正确． 5．（3分）关于x的一次函数y1＝ax+b和y2＝bx+a的图象可能是（　　） A． B． C． D． 【分析】先由一次函数y1＝ax+b图象得到字母系数的符号，再与一次函数y2＝bx+a的图象相比较看是否一致． 【解答】解：A、∵一次函数y1＝ax+b的图象经过一、二、三象限， ∴a＞0，b＞0； 由一次函数y2＝bx+a图象可知，b＜0，a＞0，两结论矛盾，故不符合题意； B、∵一次函数y1＝ax+b的图象经过一、三、四象限， ∴a＞0，b＜0； 由y2的图象可知，a＞0，b＜0，两结论一致，故符合题意； C、∵一次函数y1＝ax+b的图象经过一、二、四象限， ∴a＜0，b＞0； 由y2的图象可知，a＞0，b＜0，两结论矛盾，故不符合题意； D、∵一次函数y1＝ax+b的图象经过一、二、三象限， ∴a＞0，b＞0； 由y2的图象可知，a＜0，b＞0，两结论相矛盾，故不符合题意． 故选：B． 【点评】此题主要考查了一次函数的图象性质，要掌握它的性质才能灵活解题．一次函数y＝kx+b的图象有四种情况： ①当k＞0，b＞0，函数y＝kx+b的图象经过第一、二、三象限； ②当k＞0，b＜0，函数y＝kx+b的图象经过第一、三、四象限； ③当k＜0，b＞0时，函数y＝kx+b的图象经过第一、二、四象限； ④当k＜0，b＜0时，函数y＝kx+b的图象经过第二、三、四象限． 6．（3分）在四边形ABCD中，对角线AC＝BD，那么顺次连接四边形ABCD各边的中点所得的四边形一定是（　　） A．平行四边形 B．矩形 C．正方形 D．菱形 【分析】根据中位线定理和菱形的判定，可推出四边形为菱形． 【解答】解：如图，已知：AB＝CD，E、F、G、H分别是各边的中点， 求证：四边形EFGH是菱形． 证明：连接AC、BD． ∵E、F分别是AB、BC的中点， ∴EF＝AC． 同理FG＝BD，GH＝AC，EH＝BD， 又∵AC＝BD， ∴EF＝FG＝GH＝HE， ∴四边形EFGH是菱形． 故选：D． 【点评】此题主要考查了三角形的中位线定理和菱形的判定．用到的知识点：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半；四边相等的四边形是菱形． 7．（3分）如图，在平面直角坐标系中，C（6，6），点B，A分别在x轴正半轴和y轴正半轴上，∠ACB＝90°，则OA+OB等于（　　） A．10 B．11 C．12 D．13 【分析】过点C作CM⊥y轴于点M，CN⊥x轴于点N，则CN＝CM＝6，再证明△ACM≌△BCN（ASA），得AM＝BN，即可解决问题． 【解答】解：过点C作CM⊥y轴于点M，CN⊥x轴于点N， 则∠CMA＝∠CNB＝90°， ∵C（6，6）， ∴CN＝CM＝6， ∵∠MON＝∠CNO＝∠CMO＝90°， ∴∠MCN＝360°﹣90°﹣90°﹣90°＝90°， ∵∠ACB＝90°， ∴∠ACB＝∠MCN， ∴∠ACM＝∠BCN， 在△ACM和△BCN中， ， ∴△ACM≌△BCN（ASA）， ∴AM＝BN， ∴OA+OB＝OA+ON+BN＝OA+ON+AM＝ON+OM＝6+6＝12， 故选：C． 【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质以及坐标与图形性质等知识，正确作出辅助线构造全等三角形是解题的关键． 8．（3分）已知α，β是方程x2+2023x+1＝0的两个根，则代数式（1+2024α+α2）（1+2025β+β2）的值是（　　） A．4 B．3 C．2 D．1 【分析】根据根与系数的关系得到αβ＝1，通过根的定义得到α2+2023α+1＝0，β2+2023β+1＝0，即可得到1+2024α+α2＝α，1+2025β+β2＝2β，进一步即可求出答案． 【解答】解：∵α，β是方程x2+2023x+1＝0的两个根， ∴αβ＝1，α2+2023α+1＝0，β2+2023β+1＝0， （1+2024α+α2）（1+2025β+β2） ＝a•2β ＝2αβ ＝2×1 ＝2． 故选：C． 【点评】本题考查了根与系数的关系，属于基础题，关键是把所求代数式合理变形后再利用根与系数的关系解题． 9．（3分）如图，正方形ABCD，AB＝2，E为CD的中点，将△BCE沿BE折叠到△BFE，延长EF交AD于点G．连接BG，则下列结论错误的是（　　） A．△EDG的周长为4 B．△BEG的周长为 C．△EDG的面积为 D．△BEG的面积为 【分析】首先证明GA＝GF，设GA＝GF＝x，在Rt△DEG中，利用勾股定理构建方程求出x，再利用勾股定理求出BG，BE可得结论． 【解答】解：∵四边形ABCD是正方形， ∴∠A＝∠C＝∠D＝90°，AB＝BC＝CD＝AD＝2， ∵E是CD的中点， ∴ED＝EC＝1， 由翻折变换的性质可知BC＝BF，EC＝EF＝1，∠C＝∠BFE＝90°， ∴BA＝BF，∠A＝∠BFG＝90°， ∴Rt△BAG≌Rt△BFG（HL）， ∴GA＝GF， ∴△DEG的周长＝DG+GE+DE＝DG+GA+EC+DE＝AD+DC＝4，故选项A正确， 设GA＝GF＝x， 在Rt△DEG中，（x+1）2＝（2﹣x）2+12， 解得x＝， ∴EG＝GF+EF＝1+＝， ∴BG＝＝＝，BE＝＝， ∴△BEG的周长＝++，故选项B错误， ∵△DEG的面积＝•DE•DG＝×1×＝，△BEG的面积＝•EG•BF＝××2＝，故选项C，D正确． 故选：B． 【点评】本题考查翻折变换，正方形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，学会利用参数构建方程解决问题． 10．（3分）如图，在矩形ABCD中，点E在BC的延长线上，AE与CD交于点G，点F是DG的中点，若要知道△AEF的面积，则需要知道（　　） A．CE的长 B．矩形ABCD的面积 C．梯形ABCG的面积 D．∠EAF的度数 【分析】连接DE，由矩形的性质，三角形的面积公式推出S△AEF＝S△EAD＝S矩形ABCD，即可得到答案． 【解答】解：连接DE， ∵四边形ABCD是矩形， ∴AD∥BC，CD⊥AD， ∴S△EAD＝AD•DC＝S矩形ABCD， ∵F是DG中点， ∴S△AFG＝S△ADG，S△EFG＝S△EDG， ∴S△AFG+SEFG＝（SADG+S△EDG）， ∴S△AEF＝S△EAD＝S矩形ABCD， ∴要知道△AEF的面积，则需要知道矩形ABCD的面积． 故选：B． 【点评】本题考查矩形的性质，三角形的面积，关键是由矩形的性质、三角形的面积公式推出S△AEF＝S矩形ABCD． 二、填空题（每题3分，共18分） 11．（3分）若有意义，则实数a的取值范围是 　a≥2024　． 【分析】根据二次根式有意义的条件进行解答即可． 【解答】解：由于负数没有平方根，所以有意义时，有a﹣2024≥0， 所以a≥2024， 即实数a的取值范围是a≥2024， 故答案为：a≥2024． 【点评】本题考查二次根式有意义的条件，掌握负数没有平方根是正确解答的关键． 12．（3分）若n边形的每一个外角都是40°，则n的值为 　9　． 【分析】因为多边形的外角相等，所以多边形的边数等于360°除以每一个外角的度数计算即可得解． 【解答】解：∵n边形的每一个外角都是40°， ∴n＝360°÷40°＝9， 故答案为：9． 【点评】本题考查了多边形的内角与外角，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 13．（3分）如图，在菱形ABCD中，DE⊥AB，DF⊥BC，垂足分别为点E，F．若∠ADE+∠CDF＝80°，则∠EDF等于 　50　度． 【分析】根据垂直的定义得到∠AED＝∠DFC＝90°，根据三角形的内角和定理得到∠A+∠C＝180°﹣80°＝100°，根据菱形的性质得到∠A＝∠C＝50°，于是得到结论． 【解答】解：∵DE⊥AB，DF⊥BC， ∴∠AED＝∠DFC＝90°， ∵∠ADE+∠CDF＝80°， ∴∠A+∠C＝180°﹣80°＝100°， ∵四边形ABCD是菱形， ∴∠A＝∠C＝50°， ∴∠ADC＝130°， ∴∠EDF＝∠ADC﹣（∠ADE+∠CDF）＝50°， 故答案为：50． 【点评】本题考查了菱形的性质，垂直的定义，三角形的内角和定理，熟练掌握菱形的性质是解题的关键． 14．（3分）如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝3x﹣3的图象分别交x，y轴于点A，B，将直线AB绕点B按顺时针方向旋转45°，交x轴于点C，则直线BC的函数表达式为 　y＝x﹣3　． 【分析】根据已知条件得到A（1，0），B（0，﹣3），求得OA＝1，OB＝3，过A作AF⊥AB交BC于F，过F作FE⊥x轴于E，得到AB＝AF，根据全等三角形的性质得到AE＝OB＝3，EF＝OA＝1，求得F（4，﹣1），设直线BC的函数表达式为：y＝kx+b，解方程组于是得到结论． 【解答】解：∵一次函数y＝3x﹣3的图象分别交x、y轴于点A、B， ∴令x＝0，得y＝﹣3，令y＝0，则x＝1， ∴A（1，0），B（0，﹣3）， ∴OA＝1，OB＝3， 过A作AF⊥AB交BC于F，过F作FE⊥x轴于E， ∵∠ABC＝45°， ∴△ABF是等腰直角三角形， ∴AB＝AF， ∵∠OAB+∠ABO＝∠OAB+∠EAF＝ 90°， ∴∠ABO＝∠EAF， 在△ABO和△FAE中 ， ∴△ABO≌△FAE（AAS）， ∴AE＝OB＝3，EF＝OA＝1， ∴F（4，﹣1）， 设直线BC的函数表达式为：y＝kx+b， ∴ 解得，， ∴直线BC的函数表达式为：y＝x﹣3， 故答案为：y＝x﹣3． 【点评】本题考查了一次函数图象与几何变换，待定系数法求函数的解析式，全等三角形的判定和性质，正确的作出辅助线是解题的关键． 15．（3分）在函数的学习中，认识了函数图象的画法，并能结合图象研究函数的性质．已知函数y＝|x+2|﹣3，分析得到了下列四个结论： ①它的图象由直线y＝x+2向下平移3个单位所得． ②y随着x的增大而增大． ③当x＜﹣2时，y随着x的增大而减小． ④函数有最小值﹣3，其中正确结论的序号是 　③④　． 【分析】先做函数的图象，再根据图象求解． 【解答】解：函数的图象如图所示： 根据函数的图象得：①②是错误的，③④是正确的， 故答案为：③④． 【点评】本题考查了一次函数的图象与几何变换，掌握数形结合思想是解题的关键． 16．（3分）如图，在▱ABCD中，AD＝4，AB＝5，∠DAB＝60°，E为边AB上的动点，EF平分∠DEB，交CD于F，过D作DG⊥EF于G，连接GC，则DG+GC的最小值为 　　． 【分析】如图，过点D作DJ⊥AB于点J连接GJ，CJ，过点G作GH⊥DJ于点H．利用直角三角形30度角的性质求出AJ，再利用勾股定理求出DJ，CJ，证明GD＝GJ，推出GD+GC＝GJ+GC≥GJ可得结论． 【解答】解：如图，过点D作DJ⊥AB于点J连接GJ，CJ，过点G作GH⊥DJ于点H． 在Rt△ADJ中，AD＝4，∠A＝60°， ∴∠ADJ＝30°， ∴AJ＝AD＝2， ∴DJ＝＝2， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴CD＝AB＝5，CD∥AB， ∵DJ⊥AB， ∴DJ⊥CD， ∴CJ＝＝＝， ∵EF平分∠DEB， ∴∠DEF＝∠BEF， ∵CD∥AB， ∴∠DFE＝∠BEF， ∴∠DEF＝∠DFE， ∵DG⊥EF， ∴GE＝FG， ∵GH⊥DJ， ∴GH∥EJ∥DF， ∴DH＝HJ， ∵GH⊥DJ， ∴GD＝GJ， ∴GD+GC＝GJ+GC≥CJ＝， ∴GD+GC的最小值为． 故答案为：． 【点评】本题考查轴对称最短问题，平行四边形的性质，勾股定理，直角三角形30度角的性质等知识，解题的关键是理解题意，学会添加常用辅助线解决问题． 三、解答题（共8小题，共72分） 17．（8分）计算： （1）； （2）． 【分析】（1）根据二次根式的乘法法则运算； （2）先利用积的乘法与幂的乘方的运算法则计算，然后利用平方差公式计算． 【解答】解：（1）原式＝×× ＝2； （2）原式＝[（2+）（2﹣）]2024×（2﹣） ＝（4﹣3）2024×（2﹣） ＝1×（2﹣） ＝2﹣． 【点评】本题考查了二次根式的混合运算：熟练掌握二次根式的性质、二次根式的乘法法则、积的乘法与幂的乘方是解决问题的关键． 18．（8分）解方程： （1）4x2＝（x+2）2； （2）2x2+4x﹣5＝0． 【分析】（1）先移项，再利用因式分解法把方程转化为2x+x+2＝0或2x﹣x﹣2＝0，然后解两个一次方程即可； （2）利用配方法得到（x+1）2＝，然后利用直接开平方法解方程． 【解答】解：（1）4x2＝（x+2）2， 4x2﹣（x+2）2＝0， （2x+x+2）（2x﹣x﹣2）＝0， 2x+x+2＝0或2x﹣x﹣2＝0， 所以x1＝﹣，x2＝2； （2）2x2+4x﹣5＝0， x2+2x＝， x2+2x+1＝+1， （x+1）2＝， x+1＝±， 所以x1＝﹣1+，x2＝﹣1﹣． 【点评】本题考查了解一元二次方程﹣因式分解法：因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法．也考查配方法解方程． 19．（10分）冬至是二十四节气中第22个节气，也是中国民间的传统节日，古人称冬至为“亚岁”．为弘扬中国传统节日，某校初二年级组织了一次“包饺子迎冬至”的劳动技能比赛，比赛成绩分为以下五个等级：A．100分，B.90分，C.80分，D.70分，E.60分．比赛结束后，随机抽取了部分选手的成绩，整理并绘制了不完整的统计图． 请根据统计图解答下列问题： （1）本次共抽取了 　40　名选手的成绩，扇形统计图中B所对圆心角的度数为 　144°　； （2）抽取的选手成绩中，众数是 　90　分，中位数是 　90　分； （3）若本次比赛共有120人参加，请估计有多少人的成绩高于80分？ 【分析】（1）用C等级的人数除以它所对应的百分数即可求出抽取的总人数；用360°乘以B所占的百分比即可求出圆心角度数； （2）根据中位数、众数的定义进行计算即可； （3）求出样本中A、B等级的人数占调查人数的几分之几，再进行计算即可． 【解答】解：（1）8÷20%＝40（名）， 即本次共抽取了40名选手的成绩， 扇形统计图中B所对圆心角的度数为360°×＝144°． 故答案为：40，144°； （2）∵成绩为90分的有16人，人数最多， ∴抽取的选手成绩中，众数是90分； 将这是40个数据排序，中间的两个数均为90，所以中位数为90分， 故答案为：90，90； （3）抽取的40人中，成绩高于80分的有5+16＝21人， ∴120×＝63（人）， 答：本次比赛共有120人参加，估计有63人的成绩高于80分． 【点评】本题考查条形统计图，扇形统计图，掌握中位数、众数的定义和用样本估计总体的计算方法是解决问题的前提． 20．（8分）如图①、图②、图③均是4×4的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点，△ABC的顶点均在格点上，只用无刻度的直尺，在给定的网格中分别按下列要求画图，保留作图痕迹． （1）在图①中画一个△BCD，使△BCD与△ABC面积相等，且点D为格点（不与点A重合）． （2）在图②中画一个▱BCEF（非矩形），使得▱BCEF的面积与△ABC的面积相等． （3）在图③中画一个▱BCGH（非矩形），使得▱BCGH的面积与△ABC的面积比为3：2． 【分析】（1）利用网格的特点画出BC为底，高为2的△BCD即可； （2）利用网格的特点画出BC为底，高为1的▱BCEF即可； （3）利用网格的特点画出BC为底，高为的▱BCGH即可． 【解答】解：（1）如图1，△BCD即为所求； （2）如图2，▱BCEF即为所求； （3）如图3，▱BCGH即为所求． 【点评】本题考查作图﹣应用与设计作图，平行四边形的判定与性质，解题的关键是熟练掌握平行四边形的性质． 21．（8分）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AB＝BC，对角线AC、BD交于点O，BD平分∠ABC． （1）求证：四边形ABCD是菱形； （2）过点D作DE⊥BC，交BC的延长线于点E，连接OE，若DC＝2，AC＝4，求OE的长． 【分析】（1）由平行线的性质和角平分线得出∠ADB＝∠ABD，证出AD＝AB，由AB＝BC得出AD＝BC，即可得出结论； （2）由菱形的性质得AC⊥BD，OB＝OD，OA＝OC＝AC＝2，在Rt△OCD中，由勾股定理得OD＝4，得BD＝2OD＝8，再由直角三角形斜边上的中线性质即可得出答案． 【解答】（1）证明：∵AD∥BC， ∴∠ADB＝∠CBD， ∵BD平分∠ABC， ∴∠ABD＝∠CBD， ∴∠ADB＝∠ABD， ∴AD＝AB， ∵AB＝BC， ∴AD＝BC， ∵AD∥BC， ∴四边形ABCD是平行四边形， 又∵AB＝BC， ∴四边形ABCD是菱形； （2）解：∵四边形ABCD是菱形， ∴AC⊥BD，OB＝OD，OA＝OC＝AC＝2， 在Rt△OCD中，由勾股定理得：OD＝＝＝4， ∴BD＝2OD＝8， ∵DE⊥BC， ∴∠DEB＝90°， ∵OB＝OD， ∴OE＝BD＝4． 【点评】本题考查了菱形的判定与性质、平行四边形的判定、等腰三角形的判定、平行线的性质、勾股定理、直角三角形斜边上的中线性质；熟练掌握菱形的判定与性质是解题的关键． 22．（8分）2023年杭州亚运会吉祥物一开售，就深受大家的喜爱．某商店以每件35元的价格购进某款亚运会吉祥物，以每件58元的价格出售．经统计，4月份的销售量为256件，6月份的销售量为400件． （1）求该款吉祥物4月份到6月份销售量的月平均增长率； （2）从7月份起，商场决定采用降价促销的方式回馈顾客，经试验，发现该吉祥物每降价1元，月销售量就会增加20件．当该吉祥物售价为多少元时，月销售利润达8400元？ 【分析】（1）设该款吉祥物4月份到6月份销售量的月平均增长率为x，利用6月份的销售量＝4月份的销售量×（1+该款吉祥物4月份到6月份销售量的月平均增长率）2，可列出关于x的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论； （2）设该吉祥物售价为y元，则每件的销售利润为（y﹣35）元，月销售量为400+20（58﹣y）＝（1560﹣20y）件，利用月销售利润＝每件的销售利润×月销售量，可列出关于y的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论． 【解答】解：（1）设该款吉祥物4月份到6月份销售量的月平均增长率为x， 根据题意得：256（1+x）2＝400， 解得：x1＝0.25＝25%，x2＝﹣2.25（不符合题意，舍去）． 答：该款吉祥物4月份到6月份销售量的月平均增长率为25%； （2）设该吉祥物售价为y元，则每件的销售利润为（y﹣35）元，月销售量为400+20（58﹣y）＝（1560﹣20y）件， 根据题意得：（y﹣35）（1560﹣20y）＝8400， 整理得：y2﹣113y+3150＝0， 解得：y1＝50，y2＝63（不符合题意，舍去）． 答：该款吉祥物售价为50元时，月销售利润达8400元． 【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 23．（10分）根据以下素材，完成探索任务： 如何裁剪出符合要求的长方形彩纸？ 素材1 如图1是一张等腰直角三角形彩纸，AC＝BC＝30cm，甲、乙、丙三名同学分别用这样的彩纸试图裁剪出不一样的长方形，并使长方形的四个顶点都在△ABC的边上． 素材2 甲同学按图2的方式裁剪，想裁出面积为250cm2的矩形；乙同学按图3的方式裁剪，想裁出两边长之比为1：2的矩形；丙同学想裁出面积最大的正方形． 问题解决 任务1 请帮助甲同学判断此裁剪方案能否实现？并说明理由． 任务2 请求出符合乙同学裁剪方案的矩形彩纸的面积． 任务3 请帮助丙同学在图4和图5中各画出一种裁剪方案，并通过计算说明哪种方案裁得的正方形面积最大． 【分析】任务1：由△ABC是等腰直角三角形，可知△ADF是等腰直角三角形，AF＝DF，由CF：DF＝1：2，可得DF＝2CF＝AF，故2CF+CF＝30，解得CF＝10cm，即可得长方形面积为200（cm2）； 任务2：设GH＝x cm，可知△AGH，△CGQ都是等腰直角三角形，故AG＝ cm，GQ＝CG＝（30﹣2x）cm，可得x（30﹣2x）＝125，即可解得乙同学裁剪方案的长方形的长为25cm，宽为cm或长为cm，宽为5cm； 任务3：画出图形，按图4裁剪，设PQ＝t cm，长方形CPQW面积为y cm2，求出QA＝PQ＝t m，BQ＝QW＝t m，AB＝AC＝30，可得2t＝30，t＝15，故正方形CPQW面积为225cm2；按图5裁剪，设KW＝t'cm，可得3t'＝30，正方形KWRT面积为200cm2；即可得答案． 【解答】解：任务1： ∵△ABC是等腰直角三角形， ∴∠A＝45°， ∵四边形CEDF是长方形， ∴∠AFD＝90°， ∴△ADF是等腰直角三角形， ∴AF＝DF， ∵CF：DF＝1：2， ∴DF＝2CF＝AF， ∵AC＝30cm， ∴AF+CF＝30cm，即2CF+CF＝30， 解得CF＝10cm， ∴DF＝20cm， ∴长方形面积为10×20＝200（cm2）； 任务2： 设GH＝x cm， ∵△ABC是等腰直角三角形，四边形GHPQ是长方形， ∴△AGH，△CGQ都是等腰直角三角形， ∴AG＝x cm， ∴CG＝AC﹣AG＝（30﹣x）cm， ∴GQ＝CG＝（30﹣2x）cm， ∵长方形GHPQ的面积为125cm2， ∴x（30﹣2x）＝125， 解得x＝或x＝， ∴乙同学裁剪方案的长方形的长为25cm，宽为cm或长为cm，宽为5cm； 任务3： 画图如下： 按图4裁剪，设PQ＝t cm，长方形CPQW面积为y cm2， 由△ABC是等腰直角三角形可知，△APQ，△BWQ是等腰直角三角形， ∴QA＝PQ＝t m，BQ＝QW＝t m，AB＝AC＝30， ∵AQ+BQ＝AB， ∴2t＝30， 解得t＝15， ∴正方形CPQW面积为225cm2； 按图5裁剪，设KW＝t'cm， 同理可得△AKW，△BRT是等腰直角三角形， ∴AW＝KW＝WR＝BR＝t'm， ∵AW+WR+BR＝AB， ∴3t'＝30， 解得t'＝10， ∴正方形KWRT面积为200cm2； 综上所述，按图4裁剪的正方形面积最大为225cm2． 【点评】本题考查作图﹣应用与设计作图，矩形的性质，正方形的性质，勾股定理，解题的关键是理解题意数形结合，注意分类讨论． 24．（12分）如图，平面直角坐标系中，直线与坐标轴交于点A，B，点C在y轴的正半轴上，且AB：AC＝1：2． （1）求B，C两点的坐标； （2）若点M从点C出发，以每秒1个单位的速度沿射线CB运动，连接AM，设△ABM的面积为S，点M的运动时间为t，写出S关于t的函数关系式，并写出自变量的取值范围； （3）点P是x轴上的点，在坐标平面内是否存在点Q，使以A，B，P，Q为顶点的四边形是菱形，若存在，请直接写出Q的坐标；若不存在；请说明理由． 【分析】（1）直线与坐标轴交于点A，B，则点A、B的坐标分别为：（0，﹣1）、（，0），则AB＝2，AB：AC＝1：2，则AC＝4，即可求解； （2）由△CHM∽△COB，则，即，得到HM＝t，则S＝|S△ABC﹣S△ACM|，即可求解； （3）当AB为对角线时，由中点坐标公式和AP＝AQ列出方程组即可求解；当AP或AQ为对角线时，同理可解． 【解答】解：（1）直线与坐标轴交于点A，B， 则点A、B的坐标分别为：（0，﹣1）、（，0），则AB＝2， ∵AB：AC＝1：2，则AC＝4，则点C（0，3）； （2）由点B、C的坐标得，BC＝2， 过点M作MH⊥OC于点H， 则△CHM∽△COB，则，即， 则HM＝t， 则S＝|S△ABC﹣S△ACM|＝|AC×BO﹣×AC×HM|＝|4×﹣×4×t|＝|2﹣t|， 即S＝； （3）设点P（x，0）、Q（s，t）， 由点A、B的坐标得，AB2＝4， 当AB为对角线时， 由中点坐标公式和AP＝AQ得： ，解得：， 即点Q（，﹣1）； 当AP或AQ为对角线时， 同理可得：或， 解得：或， 即点Q（2，﹣1）或（﹣2，﹣1）或（2，1）或（0，1）； 综上，Q（，﹣1）或（2，﹣1）或（﹣2，﹣1）或（2，1）或（0，1）． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $$