精品解析：安徽省马鞍山市第二中学2024-2025学年高三上学期1月期末考试数学试题

马鞍山二中2024-2025学年高三上学期期末考试数学试题 考试范围：高考全部内容；时间：120分钟；满分：150分 第I卷（选择题） 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】化简集合A，B，根据交集的定义写出即可． 【详解】由，即，即，解得， 所以集合， 又集合， 所以， 即 故选：B 2. 设复数满足，则的共轭复数（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用复数的除法运算法则可求得，进而根据共轭复数的定义可求得. 【详解】由题意得，即． 故选：A. 3. 若向量，的夹角为，且，，则（ ） A. B. 2 C. 4 D. 3 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意，根据向量的模长公式即可求出结果. 【详解】 ，，两边平方得：， 即， 解得， 故选：B 4. 第届中国国际航空航天博览会于年月日至日在珠海举行．本届航展规模空前，首次打造“空、海、陆”一体的动态演示新格局，尽显逐梦长空的中国力量．航展共开辟了三处观展区，分别是珠海国际航展中心、金凤台观演区、无人系统演示区．甲、乙、丙、丁四人相约去参观，每个观展区至少有人，每人只参观一个观展区．在甲参观珠海国际航展中心的条件下，甲与乙不到同一观展区的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】记事件甲参观珠海国际航展中心，事件甲与乙不到同一观展区，求出、的值，利用条件概率公式可求得所的值，即为所求. 【详解】记事件甲参观珠海国际航展中心，事件甲与乙不到同一观展区，则， 因为每个观展区至少有人，每人只参观一个观展区， 则先将个人分为组，再将这三组分配给三个展区， 基本事件的总数为， 若事件、同时发生，若参观珠海国际航展中心有人，则另外一人为丙或丁， 此时，不同的参观情况种数为， 若参观珠海国际航展中心只有甲一人，将另外三人分成两组，再将这两组分配给另外两个展区， 此时，不同的参观情况种数为种， 因此，， 由条件概率公式可得. 故选：A. 5. 一个轴截面是边长为的正三角形的圆锥型封闭容器内放入一个半径为2的小球后，再放入一个球，则球的表面积与容器表面积之比的最大值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意求得球的半径，结合球与球、圆锥都相切时满足题意，进而求得球的半径，即可求解. 【详解】由边长为的正三角形的内切圆半径为， 即轴截面是边长为的正三角形的圆锥内切球半径为2， 所以放入一个半径为2的小球后，再放一个球， 如下图， 要使球的表面积与容器表面积之比的最大，即球的半径最大， 所以只需球与球、圆锥都相切，其轴截面如上图， 此时， 所以球的表面积为，圆锥表面积为， 所以球的表面积与容器表面积之比的最大值为 故选： A 6. 在中，已知，且满足，则的形状是（ ） A. 等腰三角形 B. 直角三角形 C. 等边三角形 D. 等腰直角三角形 【答案】C 【解析】 【分析】根据正弦定理和余弦定理得，再根据向量数量积得，则得到，即可判断三角形形状. 【详解】由题意得， 即，由正弦定理得， 即，则，因为，所以， 又， 所以, 故，因为，所以． 综上可知三角形为等边三角形． 故选：C. 7. 已知抛物线的焦点与双曲线的右焦点重合，且曲线与在第一象限相交于点，为坐标原点.若，则双曲线的离心率为（ ） A. B. 2 C. D. 4 【答案】A 【解析】 【分析】根据已知有且，，联立抛物线与双曲线求交点横坐标，结合的坐标表示得双曲线参数的齐次方程，即可求离心率. 【详解】由题设且，， 将代入，则，可得， 所以，又的第一象限，则， 由，则，则， 所以，则， 所以，则，即（负值舍）. 故选：A 8. 已知函数满足，则下列结论不正确的是（ ） A. B. 函数关于直线对称 C. D. 的周期为3 【答案】D 【解析】 【分析】解法一：令，代入判断A；令，利用奇偶性和对称性的概念判断B；令判断C；令，利用周期性的概念判断D；解法二：构造函数，依次验证各选项即可. 【详解】解法一： 令，，则，解得，A正确； 令，则， 所以，即是偶函数， 所以，所以函数关于直线对称，B正确； 令，则， 令，则，所以，C正确； 令，则①， 所以②， ①②联立得， 所以，，即的周期为，D错误； 解法二： 构造函数， 满足，且， ，A正确； ， 因为表示的图象向右平移个单位，且的图象关于轴对称， 所以关于直线对称，B正确； 由余弦函数的图象和性质可知，C正确； 的周期，D错误； 故选：D 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 从出生之日起，人的体力、情绪、智力呈周期性变化，在前30天内，它们的变化规律如图所示（均为可向右无限延伸的正弦型曲线模型）： 记智力曲线为，情绪曲线为，体力曲线为，且三条曲线的起点位于坐标系的同一点处，则（ ） A. 体力曲线的最小正周期是三个曲线中最大的 B. 第462天时，智力曲线处于上升期、情绪曲线处于下降期 C. 智力、情绪、体力三条曲线存在无数个公共点 D. 存在正整数，使得第天时，智力、情绪、体力三条曲线同时处于最高点或最低点 【答案】BC 【解析】 【分析】观察图象，结合正弦函数周期判断． 【详解】由图象，体力的最小正周期是三个曲线中最小的，A错； 由图象，智力周期为33天，情绪周期为28天，相当于的起点，，相当于的中间点，B正确； 体力周期是23，只要是的公倍数都是它们的公共点横坐标，C正确； 智力曲线处于最高点的天数为，情绪曲线处于最高点的天数为，体力曲线处于最高点的天数为，只有情绪曲线是整数天处于最高点，另外两个曲线处于最高点的天数都不是整数，同样最低点也是如此，因此D错． 故选：BC． 10. 对于数列，定义：，，，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，数列的前项和为，则 D. 若，，则 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据所给的，定义，分别对每个选项进行计算和分析可判断ABC，对D选项，先递推出，再利用错位相减法进行求和，即可得出，代入化简即可判断. 【详解】对于A，因为， 所以，故A正确； 对于B，因为， ，所以，故B正确； 对于C，因为， 所以，又时，，，故C错误； 对于D，因为， 所以，，…，， ，所以， 所以， 则 ， 所以，则，.又时也成立， 所以，， 又因， 所以，故D正确. 故选：ABD 11. 如图，在长方体中，，，为棱中点，，为线段上一动点，下列结论正确的是（ ） A. 线段长度的最小值为 B. 存在点，使 C. 存在点，使平面 D. 以为球心，为半径的球体被平面所截的截面面积为 【答案】AC 【解析】 【分析】求出腰上的高判断A，把面沿推平到平面上，通过平面的性质求解判断B，连接，设，过作交于点，证明线面垂直判断C，求出到截面的距离后再计算出截面圆半径、面积判断D． 【详解】选项A，由已知，，如图1， 是等腰三角形，，则， 所以边上高为，A正确； 选项B，把矩形沿推平到平面上，如图2 ，则 ，这是的最小值 显然，即，因此B错； 选项C，连接，设，在平面内过作交于点，如图3， 长方体中易知，由已知，， 又，且， 因此，则， 所以，所以， 又长方体中与侧面垂直，侧面，因此， 与是平面内两条相交直线，因此平面， 又平面，所以， ，且，平面，所以平面，C正确； 选项D，设，连接，作，垂足为，如图4， 由平面，平面得， 又正方形中，，，，平面， 所以平面，而平面，所以， ，，平面，所以平面， 由已知，，则， 平面截球所得截面圆半径为，则， 所以截面圆面积为，D错． 故选：AC． 【点睛】方法点睛：空间线段和的最小值问题，一般采用空间问题平面化，即通过翻折让各线段所成平面变成同一个平面，然后由平面两点间线段最短得出结论． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 展开式中的系数为_____. 【答案】30 【解析】 【分析】求出二项式的展开式的项和项即可得解. 【详解】二项式的展开式中，项为，项为， 因此展开式中项为， 所以所求系数为30. 故答案为：30 13. 点为平面直角坐标系的原点，，点满足，点为圆上一动点，则的最小值为__________. 【答案】## 【解析】 【分析】先求出的轨迹方程，再根据两圆相离可求线段和的最小值. 【详解】设，则，整理得到， 设该圆的圆心为，则，半径为， 而，圆的半径为，， 故圆与圆相离，故的最小值为， 当且仅当共线时且在之间时取最小值. 而的最小值为，当且仅当共线且在之间时取最小值， 故的最小值为， 故答案为： 14. 设函数，若曲线在点处的切线与抛物线有且仅有一个公共点，则的值为_____. 【答案】1 【解析】 【分析】应用导数几何意义求切线方程，联立抛物线得，结合交点个数有，即有，令并应用导数研究的零点，即可求. 【详解】由题设，则，且， 所以曲线在点处的切线为， 联立抛物线，得，则， 由切线与抛物线有一个公共点，则， 所以且，则， 令，则，即， 若且，则， 若，则在上恒成立， 所以在上单调递增，且， 在上，单调递减，在上，单调递增，且， 综上，. 故答案为：1 【点睛】关键点点睛：首先求出切线方程并联立抛物线，根据得到为关键. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知函数． （1）当时，求在处的切线方程； （2）已知为整数，若在上单调递减，且在上单调递增，求． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由导数的几何意义即可求解； （2）由单调性与导数符号的关系列出不等式即可求解； 【小问1详解】 的定义域为． 当时 所以 在处的切线方程为． 【小问2详解】 令． 由题意，当时 当时 只需 即 解得： 因为为整数，所以． 16. 甲、乙两位同学参加知识答题比赛，得分高者获胜．已知共20道试题，甲能答对其中的15道题，乙答对每道题的概率为，每答对一题得5分，答错不扣分．两人商议后约定：甲随机选择其中的3道题作答；乙依次作答，且每答对一题继续答下一题，题目答错或者答完则结束答题．设甲答题总得分为，乙答题总得分为． （1）求甲答题总得分的概率； （2）求乙答题总得分的期望，并从期望角度说明甲、乙谁胜出？ （参考数据：） 【答案】（1） （2），因为，所以乙胜出． 【解析】 【分析】（1）由已知，甲答题总得分，即甲答对2道题，答错1道题，由概率公式计算即可. （2）由已知，求得，由乙答题得分的取值范围为，求出对应概率，进而由期望公式求出，即可得到答案. 【小问1详解】 因为共20道试题，甲能答对其中的15道题， 甲答题总得分，即甲答对2道题，答错1道题， 所以甲答题总得分的概率为 . 【小问2详解】 设甲答对题目的个数为，则， 则， 所以； 由题意可知，乙答题得分的取值范围为， ，，，， ， ， 记， ， 得 ， 所以， ， 因为，所以， 则，所以乙胜出． 17. 如图， 中，分别为的中点，将沿着翻折到某个位置得到. （1）线段上是否存在点，使得平面，并说明理由； （2）当时，求平面与平面所成角的余弦值. 【答案】（1）存在，且为中点，证明如下： 取 中点 ，连接， 因为为中点，所以，， 又平面，平面，平面，平面， 所以平面，平面， 又，平面， 所以平面平面， 因为平面，所以平面. （2） 【解析】 【分析】（1）根据题意，取 中点 ，连接，由面面平行的判定定理可得平面平面，即可证明线面平行； （2）根据题意，由线面垂直的判定定理可得平面，然后以 为原点建立空间直角坐标系，结合空间向量的坐标运算以及二面角的公式代入计算，即可得到结果. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 连接 ，则，又， 所以，即， 又因为，，平面， 所以平面，又平面，所以， 所以两两垂直， 以 为原点，分别为轴正半轴建立如图所示空间直角坐标系， 则， 所以， 设平面的一个法向量为， 则，不妨令，则，所以， 设平面的一个法向量为， 则，不妨令，则，所以， 设平面与平面所成角大小为，则 ， 所以，平面与平面所成角的余弦值为. 18. 已知双曲线，其左顶点，离心率. （1）求双曲线方程及渐近线方程； （2）过右焦点的直线与双曲线右支交于两点，与渐近线分别交于点，直线分别与直线交于. （i）求的取值范围； （ii）求证：以为直径的圆过定点，并求出该定点. 【答案】（1）； （2）（i）； （ii）证明如下： 因，则直线方程为：，令，则得，即； 同理直线方程为：,令，则得,即. 根据图象的对称性可知以为直径的圆必经过轴上的一定点，设为， 则,代入坐标，可得（*）， 因， ， 则， 代入（*），可得，解得或. 即以为直径的圆过定点和. 【解析】 【分析】（1）根据题意列出方程组，求得的值，即得双曲线方程和渐近线方程； （2）（i）依题设直线方程为，与双曲线方程联立，写出韦达定理，利用弦长公式求得,再由两渐近线方程与直线联立，求得点坐标，求得，写出，利用判别式求得的的范围和字母本身范围即可求得的取值范围； （ii）先写出直线的方程，求出点的坐标，由图形的对称性，判断所求圆经过轴上的某定点，由和韦达定理代入化简即可求得定点的坐标. 【小问1详解】 依题意，，则得， 则双曲线方程为，其渐近线方程为：，即； 【小问2详解】 （i）显然当过点的直线斜率不能为0，故可设其方程为为， 代入双曲线方程，消元整理得：， 则由,解得：. 设点，则， 于是，， 又由解得，即图中； 由解得，即图中. 则， 于是， 因，则， 即的取值范围为； （ii）略 【点睛】关键点睛：本题主要考查直线与双曲线相交形成的线段比的范围和定点问题，属于较难题. 解题的关键是根据圆的对称性可判断定点在坐标轴上，结合向量垂直的坐标运算化简求解就可，对计算能力要求较高. 19. 已知点集．将中的元素按照一定顺序排成一列，可得到数对序列．定义：，，其中表示，中最大的数． （1）对于数对序列，，求，的值； （2）有序实数对，可排成两个序列，和，，在，，，四个数中最小的数分别为和两种情况下，比较和的大小； （3）若为奇数且，，，，证明：集合中存在两个非空子集，，满足，，中所有点的横坐标之和，中所有点的纵坐标之和． 【答案】（1）， （2） （3） 不妨设， ①若， 因为中任意， 所以存在为单元素集合，为的补集即可； ②若， 因为，，所以一定存在正整数， 使得， 可得， 又因为 ． 设，，则 ， 当且仅当时取等号， 所以，时， ，； 综上所述，存在两个非空子集，，满足题意． 【解析】 【分析】（1）根据定义直接计算即可； （2）根据定义，分别讨论当和为最小值时和，比较大小即可； （3）不妨设①若， 因为中任意，存在；②若，由，，所以一定存在正整数，使得，可得，即可得，设，，由基本不等式可得，当且仅当时取等号，所以，时，满足题意． 【小问1详解】 由定义可知，； 【小问2详解】 ， ， 当为最小时，，因为，， 所以， 当为最小时，， 因为，， 所以， 所以两种情况下均有； 【小问3详解】 略 【点睛】方法点睛： 在实际解决“新定义”问题时，关键是正确提取新定义中的新概念、新公式、新性质、新模式等信息，确定新定义的名称或符号、概念、法则等，并进行信息再加工，寻求相近知识点，明确它们的共同点和不同点，探求解决方法，在此基础上进行知识转换，有效输出，合理归纳，结合相关的数学技巧与方法来分析与解决! 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 马鞍山二中2024-2025学年高三上学期期末考试数学试题 考试范围：高考全部内容；时间：120分钟；满分：150分 第I卷（选择题） 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 设复数满足，则的共轭复数（ ） A. B. C. D. 3. 若向量，的夹角为，且，，则（ ） A. B. 2 C. 4 D. 3 4. 第届中国国际航空航天博览会于年月日至日在珠海举行．本届航展规模空前，首次打造“空、海、陆”一体的动态演示新格局，尽显逐梦长空的中国力量．航展共开辟了三处观展区，分别是珠海国际航展中心、金凤台观演区、无人系统演示区．甲、乙、丙、丁四人相约去参观，每个观展区至少有人，每人只参观一个观展区．在甲参观珠海国际航展中心的条件下，甲与乙不到同一观展区的概率为（ ） A. B. C. D. 5. 一个轴截面是边长为的正三角形的圆锥型封闭容器内放入一个半径为2的小球后，再放入一个球，则球的表面积与容器表面积之比的最大值为（ ） A. B. C. D. 6. 在中，已知，且满足，则的形状是（ ） A. 等腰三角形 B. 直角三角形 C. 等边三角形 D. 等腰直角三角形 7. 已知抛物线的焦点与双曲线的右焦点重合，且曲线与在第一象限相交于点，为坐标原点.若，则双曲线的离心率为（ ） A. B. 2 C. D. 4 8. 已知函数满足，则下列结论不正确的是（ ） A. B. 函数关于直线对称 C. D. 的周期为3 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 从出生之日起，人的体力、情绪、智力呈周期性变化，在前30天内，它们的变化规律如图所示（均为可向右无限延伸的正弦型曲线模型）： 记智力曲线为，情绪曲线为，体力曲线为，且三条曲线的起点位于坐标系的同一点处，则（ ） A. 体力曲线的最小正周期是三个曲线中最大的 B. 第462天时，智力曲线处于上升期、情绪曲线处于下降期 C. 智力、情绪、体力三条曲线存在无数个公共点 D. 存在正整数，使得第天时，智力、情绪、体力三条曲线同时处于最高点或最低点 10. 对于数列，定义：，，，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，数列的前项和为，则 D. 若，，则 11. 如图，在长方体中，，，为棱中点，，为线段上一动点，下列结论正确的是（ ） A. 线段长度的最小值为 B. 存在点，使 C. 存在点，使平面 D. 以为球心，为半径的球体被平面所截的截面面积为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 展开式中的系数为_____. 13. 点为平面直角坐标系的原点，，点满足，点为圆上一动点，则的最小值为__________. 14. 设函数，若曲线在点处的切线与抛物线有且仅有一个公共点，则的值为_____. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知函数． （1）当时，求在处的切线方程； （2）已知为整数，若在上单调递减，且在上单调递增，求． 16. 甲、乙两位同学参加知识答题比赛，得分高者获胜．已知共20道试题，甲能答对其中的15道题，乙答对每道题的概率为，每答对一题得5分，答错不扣分．两人商议后约定：甲随机选择其中的3道题作答；乙依次作答，且每答对一题继续答下一题，题目答错或者答完则结束答题．设甲答题总得分为，乙答题总得分为． （1）求甲答题总得分的概率； （2）求乙答题总得分的期望，并从期望角度说明甲、乙谁胜出？ （参考数据：） 17. 如图， 中，分别为的中点，将沿着翻折到某个位置得到. （1）线段上是否存在点，使得平面，并说明理由； （2）当时，求平面与平面所成角的余弦值. 18. 已知双曲线，其左顶点，离心率. （1）求双曲线方程及渐近线方程； （2）过右焦点的直线与双曲线右支交于两点，与渐近线分别交于点，直线分别与直线交于. （i）求的取值范围； （ii）求证：以为直径的圆过定点，并求出该定点. 19. 已知点集．将中的元素按照一定顺序排成一列，可得到数对序列．定义：，，其中表示，中最大的数． （1）对于数对序列，，求，的值； （2）有序实数对，可排成两个序列，和，，在，，，四个数中最小的数分别为和两种情况下，比较和的大小； （3）若为奇数且，，，，证明：集合中存在两个非空子集，，满足，，中所有点的横坐标之和，中所有点的纵坐标之和． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $