11.2图形的旋转 同步练习2024-2025学年青岛版数学八年级下册

11.2图形的旋转 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．如图,将置于平面直角坐标系中的三角板AOB绕O点顺时针旋转90°得△A'OB'.已知∠AOB=30°,∠B=90°,AB=1,则B'点的坐标为 (      ) A． B． C． D． 2．如图的四个图形中，由基础图形通过平移、旋转或轴对称这三种变换都能得到的是（　　） A． B． C． D． 3．以正方形ABCD的对角线AC、BD所在的直线为坐标轴，建立平面直角坐标系，如图所示，已知点A的坐标是(－,0)，现将正方形ABCD绕原点O顺时针旋转45o，则旋转后点C的对应点坐标是(  ) A．(,) B．( ,－) C．(－1,1) D．(1,－1) 4．如图,P是正方形ABCD内一点，∠APB=135   ， BP=1，AP=，求PC的值（　　） A． B．3 C． D．2 5．如图，中，，，，将绕点B逆时针旋转得，若点在上，连接，则的长为（    ） A． B． C． D． 6．若一个的角绕顶点旋转，则重叠部分的角的大小是（　　） A． B． C． D． 7．第一次：将点绕原点逆时针旋转得到； 第二次：作点关于轴的对称点； 第三次：将点绕点逆时针旋转得到； 第四次：作点关于轴的对称点…， 按照这样的规律，点的坐标是（    ） A． B． C． D． 8．如图，三角形ABC绕点O顺时针旋转后得到三角形，则下列说法中错误的是（    ） A． B． C． D． 9．如图，在平面直角坐标系xOy中，△由△绕点P旋转得到，则点P的坐标为（    ） A．（0， 1） B．（1， -1） C．（0， -1） D．（1， 0） 10．在图中，将方格纸中的图形绕O点顺时针旋转90°得到的图形是（      ） A． B． C． D． 11．经过旋转，下列说法中错误的是(  ) A．图形上的每一点到旋转中心的距离相等 B．图形的形状与大小都没有发生变化 C．图形上可能存在不动点 D．图形上任意两点的连线与其对应两点的连线长度相等 12．O是等边△ABC内的一点，OB=1，OA=2，∠AOB=150°，则OC的长为（　　） A． B． C． D．3 二、填空题 13．两个长为2，宽为1的矩形ABCD和矩形EFGH如图1所示摆放在直线l上，DE=2，将矩形ABCD绕点D顺时针旋转α角（0°＜α＜90°），将矩形EFGH绕点E逆时针旋转相同的角度．在旋转的过程中，利用图2思考：当矩形ABCD和矩形EFGH重合部分为正方形时，α= °． 14．如图，在平面直角坐标系中，第1次将边长为1的正方形 OABC绕点O逆时针旋转45°后，得到正方形OA1B1C1；第2次将正方形OA1B1C1绕点O逆时针旋转45°后，得到正方形OA2B2C2…按此规律，绕点O 旋转得到正方形 OA2020B2020C2020，则点 B2021的坐标为 ． 15．如图，在中，，点在边上，将点绕点顺时针旋转得到点，连接．当是等腰三角形时，的长为 ． 16．如图，在正方形ABCD中，E为DC边上的点，连接BE，将△BCE绕点C顺时针方向旋转90°得到△DCF，连接EF，若∠BEC=60°，则∠EFD的度数为 度． 17．如图，在四边形ABCD中，，，，，，将线段绕点D逆时针旋转得到，连接，则的面积为 ． 三、解答题 18．如图，逆时针旋转一定角度后与重合，且点C在上． (1)指出旋转中心； (2)若，求出旋转的角度； (3)若，则的长是多少？为什么？ 19．如图，点E是正方形ABCD的边DC上一点，把△ADE绕点A顺时针旋转到△ABF的位置，接EF． （1）求证：△AEF是等腰直角三角形； （2）若四边形AECF的面积为25，DE=2，求AE的长．    20．如图所示，的顶点在的网格中的格点上．    (1)画出绕点逆时针旋转得到的； (2)画出绕点顺时针旋转得到的． 21．如图所示，在中，，，，点为内一点，连接、、，且． （1）以点为旋转中心，将绕点顺时针方向旋转60°，得到（得到、的对应点分别为点、），按要求画图（保留作图痕迹）． （2）在（1）的条件下，求的度数及的值． 22．按要求画图： (1)画出图的另一半，使它成为一个轴对称图形． (2)把图向右平移5格． (3)把图绕点顺时针旋转． 23．如图，点在射线上，．如果绕点按逆时针方向旋转到，那么点的位置可以用表示． (1)按上述表示方法，若，，则点的位置可以表示为______； (2)在（1）的条件下，已知点的位置用表示，连接、．求证：． 24．已知的三个顶点的坐标分别为、、． (1)画出关于坐标原点成中心对称的； (2)将绕坐标原点顺时针旋转，画出对应的； (3)若以、、、为顶点的四边形为平行四边形，请直接写出的坐标　　． 第1页 共4页 ◎ 第2页 共4页 第1页 共4页 ◎ 第2页 共4页 学科网（北京）股份有限公司 《11.2图形的旋转》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 A B D B C C B A B B 题号 11 12 答案 A B 1．A 【分析】利用含30度的直角三角形和勾股定理求出BC和OC，再用旋转的性质得出OC',B'C'，即可解决问题． 【详解】 解： 在Rt△AOB中，∠AOB=30°，AB=1， ∴OA=2（30°角所对的直角边是斜边的一半） 根据勾股定理得，OB==， 过点B作BC⊥OA于C， 在Rt△BOC中，BC=OB=，根据勾股定理得，OC==， 过点B'作B'C'⊥OA'于C'， 由旋转知，B'C'=BC=，OC'=OC=，， ∴B′点的坐标为（，）． 故选A． 【点睛】此题主要考查了含30°的直角三角形的性质，勾股定理，旋转的性质，解本题的关键是求出OC和BC． 2．B 【分析】根据几何变换的几个类型的特征分别对各选项进行判断． 【详解】解：A、图形只能通过旋转变换得到，所以A选项错误； B、图形通过平移、旋转或轴对称变换都能得到，所以B选项正确； C、图形不能通过平移、旋转或轴对称变换得到，所以C选项错误； D、图形只能通过平移变换得到，所以D选项错误． 故选B． 【点睛】本题考查了几何变换的类型：平移变换；轴对称变换；旋转变换． 3．D 【分析】利用旋转的性质结合正方形的性质得出EO=FO=1，进而得出旋转后点C的对应点坐标． 【详解】如图所示： 将正方形ABCD绕原点O顺时针旋转45°，得到如图所示图形， ∵点A的坐标是（-，0）， ∴AO=CO=， 则OC′=，EO=FO， 故EO=FO=1， 则旋转后点C的对应点坐标是：（1，-1）． 故选D． 【点睛】此题主要考查了坐标与图形的性质以及正方形的性质，得出EO=FO的长是解题关键． 4．B 【分析】把△PBC绕点B逆时针旋转90°得到△ABP′，根据旋转的性质可得AP′=PC，BP′=BP，△PBP′是等腰直角三角形，利用勾股定理求出PP′，然后求出∠APP′=90°，再利用勾股定理列式计算求出P′A，从而得解． 【详解】如图，把△PBC绕点B逆时针旋转90°得到△ABP′（点C的对应点C′与点A重合）， 所以，AP′=PC，BP′=BP=1， 所以，△PBP′是等腰直角三角形， 所以，∠P′PB=45°，PP′=， ∵∠APB=135°， ∴∠APP′=∠APB-∠P′PB=135°-45°=90°， 在Rt△APP′中，AP′=， ∴PC=AP′=3， 故选B． 【点睛】本题考查了旋转的性质，勾股定理的应用，正方形的性质，作出辅助线构造出直角三角形是解题的关键，也是本题的难点． 5．C 【分析】作，根据等面积法，可求CD，再由勾股定理即可求解. 【详解】解：如图，作， ∴ ∵ 故选：C 【点睛】本题主要考查图形的旋转、勾股定理，正确画出辅助线是解题的关键． 6．C 【分析】本题考查旋转的性质，利用旋转性质即可解题． 【详解】解：如图： ，， ， 故选：C． 【点睛】 7．B 【分析】先根据旋转变换和轴对称变换得出、、、、，从而可知每4个点的坐标为一周期循环，据此可得． 【详解】由题意可知，、、、、， ∴每4个点的坐标为一周期循环， ∵余1， ∴点的坐标与点的坐标一致，为， 故选：B． 【点睛】本题考查了作图-轴对称、旋转变换、找规律等知识，解题的关键是掌握旋转变换和轴对称变换的定义和性质，并找出规律． 8．A 【分析】根据点O没有条件限定，不一定在AB的垂直平分线上，可判断A，根据性质性质可判断B、C、D． 【详解】解：A．当点O在AB的垂直平分线上时，满足OA=OB，由点O没有限制条件，为此点O为任意的，不一定在AB的垂直平分线上，故选项A不正确，符合题意； B．由旋转可知OC与OC′是对应线段，由旋转性质可得OC=OC′，故选项B正确，不符合题意； C．因为、都是旋转角，由旋转性质可得，故选项C正确，不符合题意； D．由旋转可知与是对应角，由性质性质可得，故选项D正确，不符合题意． 故选择A． 【点睛】本题考查线段垂直平分线性质，图形旋转及其性质，掌握线段垂直平分线性质，图形旋转及其性质是解题关键． 9．B 【分析】根据网格结构，找出对应点连线的垂直平分线的交点即为旋转中心． 【详解】解：由图形可知， 对应点的连线CC′、AA′的垂直平分线过点（0，-1），根据旋转变换的性质，点（1，-1）即为旋转中心． 故旋转中心坐标是P（1，-1） 故选B． 10．B 【分析】根据旋转的性质，找出图中三角形的关键处（旋转中心）按顺时针方向旋转90°后的形状即可选择答案． 【详解】根据旋转的性质可知，绕O点顺时针旋转90°得到的图形是 故选B． 【点睛】本题考查了旋转的性质．旋转变化前后，对应线段、对应角分别相等，图形的大小、形状都不改变． 11．A 【详解】根据旋转的性质，得B、C、D正确，A改为每对对应点到旋转中心的距离相等.关系A. 12．B 【详解】如图，将△AOB绕B点顺时针旋转60°到△BO′C的位置， 由旋转的性质，得BO=BO′，， ∴△BO′O为等边三角形， 由旋转的性质可知∠BO′C=∠AOB=150°， ∴∠CO′O=150°-60°=90°， 又∵OO′=OB=1，CO′=AO=2， ∴在Rt△COO′中，由勾股定理，得OC= ． 故选B． 13．45． 【分析】由四边形MFNC为正方形，而矩形ABCD绕点D顺时针旋转和矩形EFGH绕点E逆时针旋转相同的角度．得到NF=NC，∠FNC=90°，则∠DNE=90°，ND=NE，得到∠NDE=∠NED=45°，所以∠ =180°-90°-45°=45°，可得答案. 【详解】∵四边形MFNC为正方形，而矩形ABCD绕点D顺时针旋转和矩形EFGH绕点E逆时针旋转相同的角度， ∴NF=NC，∠FNC=90°， ∴∠DNE=90°，ND=NE， ∴∠NDE=∠NED=45°， ∴∠ =180°-90°-45°=45°， ∴α=45°． 故答案是：45 【点睛】本题考查了旋转的性质：旋转前后两个图形全等，对应点到旋转中心的距离相等，对应点与旋转中心的连线段的夹角等于旋转角．熟练掌握旋转的性质是解题关键. 14． 【分析】根据图形可知：点B在以O为圆心，以OB为半径的圆上运动，由旋转可知：将正方形OABC绕点O逆时针旋转45°后得到正方形O ABC，相当于将线段OB绕点O逆时针旋转45°，可得对应点B的坐标，根据规律发现是8次一循环，可得结论． 【详解】解：∵四边形OABC是正方形，且OA=1， ∴B（1，1）； 连接OB，由勾股定理得：OB=，由旋转得：OB= OB= OB=OB=…=； ∵将正方形OABC绕点O逆时针旋转45°后得到正方形OA1B1C1，相当于将线段OB绕点O逆时针旋转45°，依次得到∠AOB=∠BO B=∠BO B=…=45°， ∴B（0，），B（-1，1），B（-，0），B（-1，-1），B（0，-），B（1，-1），B（，0），B（1，1），…，发现是8次一循环， ∵2021÷8=252…余5， ∴点B的坐标与点B的坐标相同， ∴点B的坐标为． 故答案为：． 【点睛】本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角．也考查了坐标与图形的变化、规律型，点的坐标等知识，解题的关键是学会从特殊到一般的探究规律的方法，属于中考常考题型． 15．或 【详解】解：设，则，当时，如图①，由题意得，在中，，即，解得，即；当时，如图②，作交延长线于点，由旋转的性质知，又，，，，，在中，，即，整理得，解得，则．综上所述，的长为或． 解题通法 图形形状不确定时，需分类讨论 （1）遇“等腰三角形的底边和腰不确定时”，要分类讨论：①，②，③． （2）遇“的直角顶点不确定时”，要分类讨论：①点为直角顶点，②点为直角顶点，③点为直角顶点． （3）遇“以为顶点的四边形为平行四边形”时，要分类讨论：①为对角线，②为对角线，③为对角线． 16．15 【分析】根据旋转的性质知∠DFC=60°，再根据EF=CF，EC⊥CF知∠EFC=45°，故∠EFD=∠DFC-∠EFC=15°. 【详解】∵△DCF是△BCE旋转以后得到的图形， ∴∠BEC=∠DFC=60°，∠ECF=∠BCE=90°，CF=CE． 又∵∠ECF=90°， ∴∠EFC=∠FEC=（180°﹣∠ECF）=（180°﹣90°）=45°， 故∠EFD=∠DFC﹣∠EFC=60°﹣45°=15°． 【点睛】此题主要考查正方形的性质，解题的关键是熟知等腰直角三角形与正方形的性质. 17． 【分析】过点E作交的延长线于点F，过点C作于点G，结合题意可得四边形是矩形，，从而可求得的长，再结合旋转的性质可证，从而可得的长，即可求得的面积． 【详解】解：如图，过点E作交的延长线于点F，过点C作于点G． ，， ，， 四边形是矩形， ， ． 是由绕点D逆时针旋转得到的， ，， ， 又， ， ， ． ， ． 【点睛】本题考查了平行线的性质，矩形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，旋转的性质，熟记性质并作辅助线构造出全等三角形是解题的关键． 18．(1)旋转中心为点A (2)旋转的角度为 (3)．理由见解析 【分析】本题考查了旋转的性质． （1）结合图形找到旋转中心即可； （2）根据题意求得的度数即可求得旋转角； （3）利用旋转的性质得到即可求得答案． 【详解】（1）解：旋转中心为点A； （2）解：∵， ∴， ∴旋转的度数为； （3）解：； 理由：由旋转性质知：， ∴． 19．（1）见解析；（2）AE的长为． 【分析】（1）由旋转的性质可得AE=AF，∠EAF=90°，可得结论； （2）由题意可得四边形AECF的面积等于正方形ABCD的面积等于25，可求正方形的边长，由勾股定理可求解． 【详解】（1）∵把△ADE绕点A顺时针旋转90°到△ABF的位置， ∴△ADE≌△ABF，∠EAF=90°， ∴AE=AF， ∴△AEF是等腰直角三角形； （2）∵△ADE绕点A顺时针旋转90°到△ABF的位置． ∴四边形AECF的面积等于正方形ABCD的面积等于25， ∴AD=DC=5， ∵DE=2， ∴Rt△ADE中，AE=． 【点睛】本题主要考查了旋转的性质以及正方形的性质，等腰直角三角形的判定，勾股定理，正确利用旋转的性质得出对应边关系是解题关键． 20．(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）利用网格特点和旋转的性质画出点A、B的对应点、得到； （2）利用网格特点和旋转的性质画出点B、C的对应点、得到． 【详解】（1）解∶如图， 即为所求，   ； （2）解∶如图， 即为所求，   ． 【点睛】本题考查了作图﹣旋转变换：根据旋转的性质可知，对应角都相等都等于旋转角，对应线段也相等，由此可以通过作相等的角，在角的边上截取相等的线段的方法，找到对应点，顺次连接得出旋转后的图形． 21．（1）见解析；（2）∠A'BC=90°，． 【分析】（1）在Rt△ABC中，易得∠ABC=30°，由于旋转角为60°，易得旋转后的A'B⊥CB．故过点B作BC的垂线，截取A'B=AB，再以点A'为圆心，以AO为半径画弧，以点B为圆心，以BO为半径画弧，两弧相交于点O'，连接A'O'、BO'，即可得到△A'O'B； （2）根据旋转的性质求出A'B的长以及△BOO'是等边三角形，根据等边三角形的三条边都相等可得BO=OO'，等边三角形三个角都是60°求出∠BOO'=∠BO'O=60°，然后求出C、O、A'、O'四点共线，再利用勾股定理列式求出A'C，从而得到OA+OB+OC=A'C． 【详解】（1）∵∠C=90°，AC=1，BC， ∴AB=， ∴AB=2AC， ∴∠ABC=30°． ∵△AOB绕点B顺时针方向旋转60°， ∠A'BC=∠ABC+60°=30°+60°=90°， ∴A'B⊥CB． 过点B作BC的垂线，截取A'B=AB， 再以点A'为圆心，以AO为半径画弧， 以点B为圆心，以BO为半径画弧， 两弧相交于点O'，连接A'O'、BO'， 即△A'O'B如图所示； （2））∵∠C=90°，AC=1，BC， ∴AB=， ∴AB=2AC， ∴∠ABC=30°． ∵△AOB绕点B顺时针方向旋转60°，得到△A'O'B， ∴A'B=AB=2，BO=BO'，A'O'=AO，∠ABA′=60°， ∴△BOO'是等边三角形，∠A'BC=∠ABC+∠ABA′=30°+60°=90°， ∴BO=OO'，∠BOO'=∠BO'O=60°． ∵∠AOC=∠COB=∠BOA=120°=∠A'O'B， ∴∠COB+∠BOO'=∠BO'A'+∠BO'O=120°+60°=180°， ∴C、O、A'、O'四点共线． 在Rt△A'BC中，A'C， ∴OA+OB+OC=A'O'+OO'+OC=A'C． 【点睛】本题考查了利用旋转变换作图，旋转变换的性质，直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半的性质，勾股定理，等边三角形的判定与性质，综合性较强，最后一问求出C、O、A'、O'四点共线是解答本题的关键． 22．(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 【分析】本题考查了作轴对称图形、作平移之后的图形，作旋转一定角度后的图形，作图的关键是找到各对应顶点． （1）根据作轴对称图形的方法找到对应点，再依次连接即可； （2）先找到平移后的各点，再依次连接即可； （3）以为旋转中心，把图顺时针旋转，找到对应点，再依次连接即可． 【详解】（1）解：作图如下： ； （2）解：平移后的图形如图所示： ； （3）解：旋转后的图形如图所示： ． 23．(1)(3,37°) (2)见解析 【分析】（1）根据点的位置定义，即可得出答案； （2）画出图形，证明△AOA′≌△BOA′（SAS），即可由全等三角形的性质，得出结论． 【详解】（1）解：由题意，得A′(a,n°)， ∵a=3,n=37， ∴A′(3,37°)， 故答案为：(3,37°)； （2）证明：如图， ∵，B(3,74°)， ∴∠AOA′=37°，∠AOB=74°，OA= OB=3， ∴∠A′OB=∠AOB-∠AOA′=74°-37°=37°， ∵OA′=OA′， ∴△AOA′≌△BOA′（SAS）， ∴A′A=A′B． 【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质，新定义，旋转的性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键． 24．(1)见解析 (2)见解析 (3)、、 【分析】（1）根据关于原点对称的点的横坐标与纵坐标都互为相反数解答； （2）根据网格结构找出点A、B、C关于原点对称的点、、的坐标，然后顺次连接即可，再根据平面直角坐标系写出点的坐标； （3）根据平行四边形的对边平行且相等解答． 【详解】（1）解：如图所示，△即为所求； （2）解：如图所示，即为所求； （3）解：的坐标、、． 故答案为：、、． 【点睛】本题考查了利用旋转变换作图，平行四边形的性质，熟练掌握网格结构准确找出对应点的位置是解题的关键． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $$