11.2图形的旋转（2题型基础+能力+创新+易错）-【上好课】2024-2025学年八年级数学下册同步精品课堂（青岛版）

11.2图形的旋转 题型一 旋转现象的判断 1．数学来源于生活，下列生活中的运动属于旋转的是（   ） A．国旗上升的过程 B．在笔直的公路上行驶的汽车 C．工作中的风力发电机叶片 D．传输带运输的东西 2．电影《哪吒之魔童闹海》的热映，推动了我国国产动画电影发展，提升了中国文化影响力．对下列哪吒图片的变换顺序描述正确的是（   ） A．轴对称，平移，旋转 B．旋转，轴对称，平移 C．轴对称，旋转，平移 D．平移，旋转，轴对称 3．有下列现象：①地下水位逐年下降；②传送带上物品的移动；③方向盘的转动；④水龙头开关的转动；⑤钟摆的运动．其中，属于旋转的有（   ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 4．下列现象属于旋转的是（   ） A．摩托车在急刹车时向前滑动 B．火箭冲向空中的时候 C．笔直的铁轨上飞驰而过的复兴号 D．幸运大转盘转动的过程 5．下列物体的运动不是旋转的是（   ） A．坐在摩天轮里的小朋友 B．正在走动的时针 C．骑自行车的人 D．正在转动的风车叶片  题型二 旋转性质的应用 1．如图，将绕点逆时针旋转得到，若于点，则的度数为（   ） A． B． C． D． 2．如图，已知中，，，将绕点逆时针旋转得到，以下结论：①，②∥，③，④，正确的有（ ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 3．在平面直角坐标系中，点绕原点顺时针旋转后得到点，则的坐标为（   ） A． B． C． D． 4．如图，在中，，，点D在上，且，连接，将线段绕点C逆时针方向旋转至，连接． (1)求证：； (2)求线段的长． 5．如图，在中，，，为边上一点，连接，将绕点逆时针旋转到，连接． (1)求证：； (2)若，求四边形的面积． 1．如图，在平面直角坐标系中，，由绕点A顺时针旋转而得，则所在直线的解析式是 ． 2．如图，已知为等边三角形．P为内一点，，将绕点B逆时针旋转后得到． (1)求点P与点之间的距离； (2)求的度数． 3．（1）问题发现：如图1，在中，，为边上一点（不与点、重合）将线段绕点A逆时针旋转得到，连接，则线段与的数量关系是____________，位置关系是____________． （2）探究证明：如图2，在与中，，将绕点A旋转，使点落在的延长线上时，连接，写出此时线段之间的数量关系，并证明． （3）拓展延伸：如图3，在四边形中，．若，求的长． 4．综合与探究：在数学活动课上，老师给出如下问题： 【问题发现】 如图①，中，，，点在上，连接，探究，，之间的数量关系．小红思考片刻后，给出了解题思路：如图②，以为边作，使得，，连接，易证，得到，，在中，易得，由，进一步可以得到，，之间的数量关系． （1）请根据小红的思路，直接写出，，之间的数量关系________； 【类比探究】 （2）如图③，当点在的延长线上，连接，（1）中的结论是否仍然成立？请说明理由； 【拓展延伸】 （3）若点在射线上，且，，求的长． 1．如图，已知的三个顶点坐标为，，． (1)将绕坐标原点旋转，画出图形； (2)将绕坐标原点逆时针旋转，并直接写出点的对应点的坐标___________； (3)请直接写出：以为顶点的平行四边形的第四个顶点的坐标___________． 2．【问题背景】 同学们，我们一起观察小猪的猪蹄，你会发现一个我们熟悉的几何图形（如图1），我们就把这个图形形象的称为“猪蹄模型”，猪蹄模型中蕴含着角的数量关系． （1）如图（1），，为、之间一点，连接、，得到，试探究与，之间的数量关系，并说明理由． 【实际运用】 （2）消防云梯的示意图如图（2）所示，其由救援台、延展臂（在的左侧）、伸展主臂、支撑臂构成，在作业过程中，救援台、车身及地面三者始终保持水平平行．为了参与一项高空救援工作，需要进行作业调整，如图（3）．使得延展臂与支撑臂所在直线互相垂直，且，这时展角______°． 【深入探索】 （3）今年元宵节小美江边观赏灯光秀时，发现两岸灯光在有规律的旋转．如图（4），射线从开始，绕点以10°每秒的速度逆时针旋转，同时射线从开始，绕点以25°每秒的速度逆时针旋转，直线与直线交于，若直线与直线相交所夹的锐角为45°，请求出运动时间秒（）的值． 1．如图，与都是等边三角形，，，连接，，若将绕点逆时针旋转，当点，，在同一条直线上时，线段的长为（   ） A． B． C．或 D．或 2．如图，在中，，，，将绕点顺时针旋转得到，下列结论错误的是（   ） A． B． C．，两点之间的距离为 D．，，三点共线 1 / 24 学科网（北京）股份有限公司 $$ 11.2图形的旋转 题型一 旋转现象的判断 1．数学来源于生活，下列生活中的运动属于旋转的是（   ） A．国旗上升的过程 B．在笔直的公路上行驶的汽车 C．工作中的风力发电机叶片 D．传输带运输的东西 【答案】C 【分析】根据旋转变换的概念，对选项进行一一分析，排除错误答案．本题考查生活中的旋转现象．旋转变换：一个图形围绕一个定点旋转一定的角度，得到另一个图形，这种变换称为旋转变换．要注意旋转的三要素：①定点−旋转中心；②旋转方向；③旋转角度． 【详解】解：A、国旗上升的过程是平移，不属于旋转，不符合题意； B、在笔直的公路上行驶的汽车属于平移，不是绕着某一个固定的点转动，不属于旋转，不符合题意； C、工作中的风力发电机叶片，符合旋转变换的定义，属于旋转，符合题意； D、传输带运输的东西是平移，不属于旋转，不符合题意． 故选：C． 2．电影《哪吒之魔童闹海》的热映，推动了我国国产动画电影发展，提升了中国文化影响力．对下列哪吒图片的变换顺序描述正确的是（   ） A．轴对称，平移，旋转 B．旋转，轴对称，平移 C．轴对称，旋转，平移 D．平移，旋转，轴对称 【答案】A 【分析】本题考查几何变换的类型，解题的关键是读懂图象信息． 根据平移变换，旋转变换，轴对称变换的定义判断即可． 【详解】解：哪吒图片的变换顺序是轴对称平移旋转． 故选：A． 3．有下列现象：①地下水位逐年下降；②传送带上物品的移动；③方向盘的转动；④水龙头开关的转动；⑤钟摆的运动．其中，属于旋转的有（   ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】B 【分析】本题考查了旋转的判断，旋转的概念：在平面内，将一个图形沿某一个定点转动一个角度，这样的图形运动称为旋转．根据旋转的概念解答即可． 【详解】解：①地下水位逐年下降，不是旋转现象； ②传送带上物品的移动，不是旋转现象； ③方向盘的转动，是旋转现象； ④水龙头的转动，是旋转现象； ⑤钟摆的运动，是旋转现象． 综上，③④⑤是旋转现象． 故选：B． 4．下列现象属于旋转的是（   ） A．摩托车在急刹车时向前滑动 B．火箭冲向空中的时候 C．笔直的铁轨上飞驰而过的复兴号 D．幸运大转盘转动的过程 【答案】D 【分析】本题考查了生活的旋转现象，关键是掌握旋转的定义．根据旋转的定义：在平面内，把一个图形绕着某一个点旋转一个角度的图形变换叫做旋转可得答案． 【详解】解：A、摩托车在急刹车时向前滑动不是旋转，故此选项错误； B、火箭冲向空中的时候不是旋转，故此选项错误； C、笔直的铁轨上飞驰而过的复兴号不是旋转，故此选项错误； D、幸运大转盘转动的过程属于旋转，故此选项正确． 故选：D． 5．下列物体的运动不是旋转的是（   ） A．坐在摩天轮里的小朋友 B．正在走动的时针 C．骑自行车的人 D．正在转动的风车叶片 【答案】C 【分析】本题考查了生活中的旋转现象；旋转是围绕一点旋转一定的角度的图形变换，因而旋转一定有旋转中心和旋转角，且旋转前后图形能够重合，这时判断旋转的关键，根据旋转的定义解答即可． 【详解】解：A．坐在摩天轮里的小朋友，属于旋转，故不符合题意； B．正在走动的时针，属于旋转，故不符合题意； C．骑自行车的人，属于平移，故符合题意； D．正在转动的风车叶片，属于旋转，故不符合题意； 故选：C．  题型二 旋转性质的应用 1．如图，将绕点逆时针旋转得到，若于点，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了旋转的性质，垂直的定义，三角形的内角和定理，掌握相关知识是解题的关键．由旋转可得：，由垂直可得，最后根据三角形的内角和定理即可求解． 【详解】解：由旋转可得：， 于点， ， ， 故选：C． 2．如图，已知中，，，将绕点逆时针旋转得到，以下结论：①，②∥，③，④，正确的有（ ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】B 【分析】本题考查了旋转性质的应用，图形的旋转只改变图形的位置，不改变图形的形状与大小．根据旋转的性质可得，，，，再根据旋转角的度数为，通过推理证明对①②③④四个结论进行判断即可． 【详解】解：①绕点逆时针旋转得到， ，故①正确； ②绕点逆时针旋转， ． ， ． ， ． ，故②正确； ③在中， ， ． ． 与不垂直，故③不正确； ④在中， ， ． ，故④正确． ①②④这三个结论正确． 故选：B 3．在平面直角坐标系中，点绕原点顺时针旋转后得到点，则的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了点的坐标与旋转变换的关系．关键是根据旋转的性质和角之间的关系确定全等三角形．如图，过点A、分别作x轴的垂线，垂足为H、P，则，由旋转的性质和角之间的关系可证，求出，的长，即可得到点的坐标． 【详解】 过点A、分别作x轴的垂线，垂足为H、P， ∵点， ∴， ∵线段绕点O顺时针旋转， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∴点． 故选：A． 4．如图，在中，，，点D在上，且，连接，将线段绕点C逆时针方向旋转至，连接． (1)求证：； (2)求线段的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．也考查了全等三角形的判定与性质，勾股定理等知识． （1）先根据旋转的性质，由线段绕点C逆时针旋转至位置得到，，加上，于是可得，然后根据即可得到； （2）根据旋转的性质得到，然后在中利用勾股定理即可求出的长度． 【详解】（1）证明：将线段绕点逆时针方向旋转至， ． ． ． 又， ． （2）解：， ． 又， ． ． 在中，由勾股定理，得， 即的长为． 5．如图，在中，，，为边上一点，连接，将绕点逆时针旋转到，连接． (1)求证：； (2)若，求四边形的面积． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】本题考查旋转性质、全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的性质是解答的关键． （1）证明，利用全等三角形的对应边相等即可求解； （2）根据全等三角形的面积相等，将所求面积转化为等腰直角的面积，进而利用直角三角形的面积公式求解即可． 【详解】（1）证明：由旋转性质得，，又， ∴， 在和中， ∴， ∴； ∵， ∴； （2）解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴四边形的面积为． 1．如图，在平面直角坐标系中，，由绕点A顺时针旋转而得，则所在直线的解析式是 ． 【答案】 【分析】本题是几何图形旋转的性质与待定系数法求一次函数解析式的综合题，利用全等三角形求得C的坐标是解题的关键． 过点C作轴于点D，易知，从而求得点C坐标，待定系数法即可求得直线的解析式． 【详解】解：由旋转得，， ∵， ∴， 过点C作轴于点D， 则， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， 设直线的解析式为，将点A，点C坐标代入得： ， 解得：， ∴直线的解析式为， 故答案为：． 2．如图，已知为等边三角形．P为内一点，，将绕点B逆时针旋转后得到． (1)求点P与点之间的距离； (2)求的度数． 【答案】(1)9 (2) 【分析】本题主要考查了等边三角形的性质与判定，旋转的性质，勾股定理的逆定理，熟知相关知识是解题的关键． （1）连接．由题意可知，证明．则可证明为等边三角形，即可得到． （2）证明，得到，由等边三角形的性质得到，则． 【详解】（1）解：如图，连接． 由题意可知， 为等边三角形， ， ∴ ． 为等边三角形， ． （2）解：∵， ∴ ∴， 为直角三角形，且， ∵为等边三角形， ∴， ． 3．（1）问题发现：如图1，在中，，为边上一点（不与点、重合）将线段绕点A逆时针旋转得到，连接，则线段与的数量关系是____________，位置关系是____________． （2）探究证明：如图2，在与中，，将绕点A旋转，使点落在的延长线上时，连接，写出此时线段之间的数量关系，并证明． （3）拓展延伸：如图3，在四边形中，．若，求的长． 【答案】（1），；（2），理由见解析；（3） 【分析】本题是三角形全等的综合题，考查的是全等三角形的判定和性质、勾股定理、以及旋转变换的性质，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键． （1）证明，根据全等三角形的性质解答； （2）证明，得到，根据勾股定理计算即可； （3）如图3，作辅助线，构建全等三角形，证明，得到，证明是直角三角形，根据勾股定理计算即可． 【详解】（1）∵在中，， ∴， 由旋转可知：， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， 答案为：，； （2）， 理由：如图2，∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴； （3）如图3，将绕点A逆时针旋转至，连接、， 则是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， 同理得：， ∴ ∵中，，， ∴， ∵是等腰直角三角形， ∴ ∴， ∴． 4．综合与探究：在数学活动课上，老师给出如下问题： 【问题发现】 如图①，中，，，点在上，连接，探究，，之间的数量关系．小红思考片刻后，给出了解题思路：如图②，以为边作，使得，，连接，易证，得到，，在中，易得，由，进一步可以得到，，之间的数量关系． （1）请根据小红的思路，直接写出，，之间的数量关系________； 【类比探究】 （2）如图③，当点在的延长线上，连接，（1）中的结论是否仍然成立？请说明理由； 【拓展延伸】 （3）若点在射线上，且，，求的长． 【答案】（1）；见解析；（2）成立，见解析；（3）或 【分析】（1）根据，得出，证明，得出，，根据，，得出，即可得，勾股定理得出，，即可得． （2）如解图①，将线段绕点逆时针旋转得到线段，连接，，根据，，得出，由旋转性质可知，，勾股定理得出，证明，得出，，从而得出，在中，勾股定理得出，即可证明； （3）分为当点在线段上时，当点在延长线上时，分别画图求解即可． 【详解】解：（1）； 证明：如题图②，∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴． （2）（1）中的结论仍然成立，理由如下： 如解图①，将线段绕点逆时针旋转得到线段，连接，， ∵，， ∴， 由旋转性质可知，， ∴，， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴； （3）当点在线段上时， ∵，， ∴， 由（1）知， ∴， ∴（负值已舍去）； 当点在延长线上时，如解图②，将线段顺时针旋转得到线段，连接，， ∵，， ∴， 由旋转性质可知，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∴（负值已舍去）． 综上所述，的长为或． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理，旋转的性质，解题的关键是灵活运用这些性质，并正确作出辅助线． 1．如图，已知的三个顶点坐标为，，． (1)将绕坐标原点旋转，画出图形； (2)将绕坐标原点逆时针旋转，并直接写出点的对应点的坐标___________； (3)请直接写出：以为顶点的平行四边形的第四个顶点的坐标___________． 【答案】(1)画图见解析； (2)画图见解析，； (3)或或． 【分析】此题主要考查了旋转变换以及中心对称图形的性质，平行四边形的性质，掌握知识点的应用是解题的关键． （）利用关于原点对称点的性质得出对应点位置进而得出答案； （）直接利用旋转的性质得出对应点坐标即可； （）利用平行四边形的性质得出对应点位置即可． 【详解】（1）解：如图，即为所求； （2）解：如图，即为所求，； （3）解：如图， ∵，，， ∴当是对角线时，； 当是对角线时，； 当是对角线时，， 故答案为：或或． 2．【问题背景】 同学们，我们一起观察小猪的猪蹄，你会发现一个我们熟悉的几何图形（如图1），我们就把这个图形形象的称为“猪蹄模型”，猪蹄模型中蕴含着角的数量关系． （1）如图（1），，为、之间一点，连接、，得到，试探究与，之间的数量关系，并说明理由． 【实际运用】 （2）消防云梯的示意图如图（2）所示，其由救援台、延展臂（在的左侧）、伸展主臂、支撑臂构成，在作业过程中，救援台、车身及地面三者始终保持水平平行．为了参与一项高空救援工作，需要进行作业调整，如图（3）．使得延展臂与支撑臂所在直线互相垂直，且，这时展角______°． 【深入探索】 （3）今年元宵节小美江边观赏灯光秀时，发现两岸灯光在有规律的旋转．如图（4），射线从开始，绕点以10°每秒的速度逆时针旋转，同时射线从开始，绕点以25°每秒的速度逆时针旋转，直线与直线交于，若直线与直线相交所夹的锐角为45°，请求出运动时间秒（）的值． 【答案】（1），理由见解析；（2）；（3）3秒或9秒 【分析】本题主要考查了旋转的定义、平行线的性质、三角形外角的性质、垂直的定义等知识点，灵活运用相关性质定理是解题的关键． （1）如图，过E点作，根据平行线的性质、角的和差以及等量代换即可解答； （2）如图：延长相交于点P，过P作，易得则、，由垂直的定义可得，然后根据角的和差以及平行线的性质即可解答； （3）将直线的点M平移与直线的N点重合，然后根据题意分情况画出图形，根据旋转的性质列出关于t的方程求解即可． 【详解】解：（1），理由如下： 如图，过E点作， ∵， ∴， ∴， ∴． （2）如图：延长相交于点P，过P作， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴； （3）将直线的点M平移与直线的N点重合， 根据题意得，， ∴， 由题意可得：， ∴，解得：； 根据题意得，， 由题意可得：， ∴， ∴，解得：； 根据题意得，， 由题意可得：， ∴， ∴，解得：（不符合题意）； 综上所述，运动时间秒为3或9． 1．如图，与都是等边三角形，，，连接，，若将绕点逆时针旋转，当点，，在同一条直线上时，线段的长为（   ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】本题考查了旋转的性质，等边三角形的性质，含30度角的直角三角形，勾股定理，根据△是等边三角形，可得，由点、、在同一条直线上，需要分2种情况①当点在延长线上时；②当点在延长线上时，分别画出对应的图形，然后过点作边的垂线（或，利用含角的（或）求得垂线（或的长，最后利用勾股定理即可求解的长．熟练掌握以上知识点，学会分类讨论多种情况的图形，能够结合图形作垂线构造直角三角形是解题的关键． 【详解】解：与都是等边三角形， ，，， ①当点在延长线上时，作交于，连接，如图1， ，是等边三角形， ，， ，， 在中，， ； ②当点在延长线上时，作交于，如图2， 同理①可得，，， ，， 在中，由勾股定理得：； 综上所述，线段的长为或． 故选：C． 2．如图，在中，，，，将绕点顺时针旋转得到，下列结论错误的是（   ） A． B． C．，两点之间的距离为 D．，，三点共线 【答案】B 【分析】本题考查了旋转的性质，等边三角形的判定与性质，根据旋转的性质，等边三角形的判定与性质逐一判断即可，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：、由旋转性质可知，，原选项正确，不符合题意； 、由旋转性质可知，， ∵， ∴， 由于题中没有说明， ∴不能说明，原选项错误，符合题意； 、连接， 由旋转性质可知，，， ∴是等边三角形， ∴， ∴，两点之间的距离为，原选项正确，不符合题意； 、由旋转性质可知，， ∵， ∴， ∴，，三点共线，原选项正确，不符合题意； 故选：． 1 / 24 学科网（北京）股份有限公司 $$