精品解析：上海外国语大学附属浦东外国语学校2024-2025学年高一上学期期末考试数学试题

浦东外国语2024学年第一学期高一年级数学期末 2025.1 一、填空题（共36分，每題3分） 1. 2024°角的终边在第______象限. 2. 函数的零点为______. 3. 已知，则方程的解集为__________. 4. 计算________． 5. 已知函数和其反函数的图象都过点，则________． 6. 已知扇形的面积为，弧长为，则扇形的圆心角的弧度数为______． 7. 方程的解是______. 8. 在直角坐标系中，角的顶点与坐标原点重合，始边与轴的正半轴重合．若点在角终边上，且，则________． 9. 设为常数且，在上是严格增函数，则实数的取值范围是_________ 10. 设函数关于的方程有三个不等实根，，，则的取值范围是________. 11. 若，则实数的取值范围是________． 12. 关于函数，给出下列结论： ①函数的图象关于轴对称； ②如果方程（为常数）有解，则解的个数一定是偶数. ③方程一定有实数解； 以上结论正确的是____________ 二、选择题（共12分，每题3分） 13. 已知，则“”是“”的（ ） A. 充分非必要条件 B. 必要非充分条件 C. 充要条件 D. 既非充分又非必要条件 14. 用二分法研究函数的零点时，第一次经过计算得，，则其中一个零点所在区间和第二次应计算的函数值分别为（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 15. 已知函数的定义域为，值域为，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 2 16. 定义在上的奇函数在区间上单调递减，且，则不等式的解集为( ) A. B. C. D. 三、解答题（共52分） 17. 已知函数的表达式． （1）证明：函数在其定义域上是严格减函数； （2）是否存在实数，使得函数是奇函数？并说明理由． 18. 已知． （1）化简并求； （2）若角为第二象限角，且，求的值． 19. 学校要建造一个面积为10000平方米的运动场. 如图，运动场由一个矩形和分别以、为直径的两个半圆组成. 跑道是一条宽8米的塑胶跑道，运动场除跑道外，其它地方均铺设草皮. 已知塑胶跑道每平方米造价为150元，草皮每平方米造价为30元. （1）设半圆的半径（米），试建立塑胶跑道面积与的函数关系式； （2）由于条件限制，问当取何值时，运动场造价最低?（精确到元）. 20. 已知函数. （1）若恒成立，求的最大值； （2）若在上单调，求的取值范围； （3）求在上的最小值为，求. 21. 若函数在其定义域内给定区间上存在实数满足，则称函数是区间上的“平均值函数”，是它的一个均值点． （1）已知函数的表达式是，判断函数是否是区间上的“平均值函数”，并说明理由； （2）已知函数的表达式是，若函数是区间上的“平均值函数”，求实数的取值范围： （3）已知函数的表达式是，其中为正整数，函数是区间（为正整数）上的“平均值函数”，1是函数的一个均值点，求所有满足条件实数对． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 浦东外国语2024学年第一学期高一年级数学期末 2025.1 一、填空题（共36分，每題3分） 1. 2024°角的终边在第______象限. 【答案】三 【解析】 【分析】根据终边相同的角判断即可. 【详解】且角是第三象限角， 角的终边在第三象限. 故答案为：三. 2. 函数的零点为______. 【答案】 【解析】 【分析】先求出函数的定义域，通过解方程，再检验可得出答案. 【详解】由定义域为 由，即，可得 解得或 又时，不满足方程 时满足条件. 故答案为： 3. 已知，则方程的解集为__________. 【答案】或， 【解析】 【分析】分类讨论去绝对值，即可求解. 【详解】当时，方程为，解得， 当时，方程为，解得， 当时，方程为，解得，不符合，舍去， 当时，方程为，解得，不符合，舍去， 综上可得解集为或， 故答案为；或， 4. 计算________． 【答案】 【解析】 【分析】利用指数运算及对数运算计算得解. 【详解】. 故答案为： 5. 已知函数和其反函数的图象都过点，则________． 【答案】 【解析】 【分析】利用互为反函数的关系，列式求出即可. 【详解】依题意，点和都在函数的图象上， 则，解得， 所以. 故答案为： 6. 已知扇形的面积为，弧长为，则扇形的圆心角的弧度数为______． 【答案】## 【解析】 【分析】根据扇形面积公式求得扇形的半径，进而求得圆心角. 【详解】设圆的半径为，扇形的圆心角的弧度数为，则， 解得，故． 故答案为： 7. 方程的解是______. 【答案】或 【解析】 【分析】根据余弦函数的性质计算可得. 【详解】因为，所以或， 即方程的解是或. 故答案为：或. 8. 在直角坐标系中，角的顶点与坐标原点重合，始边与轴的正半轴重合．若点在角终边上，且，则________． 【答案】## 【解析】 【分析】结合三角函数的定义及诱导公式求，然后即可求解. 【详解】因为，所以， 由点在角终边上，所以，即， 所以. 故答案为：. 9. 设为常数且，在上是严格增函数，则实数的取值范围是_________ 【答案】 【解析】 【分析】根据指数函数单调性和对数函数单调性相关知识计算求解即可. 【详解】因为在上是严格增函数， 所以， 因为，所以在单调递减， 所以， 又因为，所以，即实数的取值范围是. 故答案为： 10. 设函数关于的方程有三个不等实根，，，则的取值范围是________. 【答案】 【解析】 【分析】画出函数图象，数形结合求解即可； 【详解】画出函数图象，结合图形可知，仅当时，方程有三个不等实根， 分别对应直线与图象三个交点的横坐标，其中两个交点位于二次函数图象上， 不妨设，显然，关于对称，故， 另一个交点位于一次函数图象上，令，解得，显然它在和以及的交点和之间， 故，所以， 故答案为： 11. 若，则实数的取值范围是________． 【答案】 【解析】 【分析】由题意得函数的值域为，所以时，函数的最大值大于等于，分，，三种情况结合对勾函数性质求解即可. 【详解】由题意得函数的值域为， 当时，函数在处有最小值为，即时，， 要使函数的值域为， 则时，函数的最大值大于等于， 当时，因为在上均单调递增， 所以函数在上单调递增， 当时，，所以， 当时，， 即函数在区间上值域为，满足题意； 当时，在上单调递增，值域为，不满足题意； 当时，函数在区间上单调递增，在区间上单调递减， 所以函数在有最大值为， 则，解得或（舍去），所以； 综上所述：实数的取值范围是. 故答案为： 12. 关于函数，给出下列结论： ①函数的图象关于轴对称； ②如果方程（为常数）有解，则解的个数一定是偶数. ③方程一定有实数解； 以上结论正确的是____________ 【答案】①③ 【解析】 【分析】由函数解析式可推出是偶函数，在上单调递增，在上单调递减，结合图形判断各项的正误. 【详解】对①，令，解得，可知的定义域为， 定义域关于原点对称，且，则为偶函数，即其图象关于轴对称，故①正确； 对③，当时，则， 因为在上单调递增，且恒成立，所以在上单调递减， 当时，则， 因为在上单调递减，且恒成立，所以在上单调递增， 可得的函数图象如下： 方程根的个数即为函数与的交点个数， 由图象可得：当时，函数与函数的图象一定有交点， 由对称性可知，当时，函数与函数的图象也一定有交点，故③正确； 对于②：当时，方程只有1个解，故②错误； 故答案为：①③. 【点睛】关键点睛：根据函数解析式确定单调区间，奇偶性，进而结合图象判断各项的正误，注意一次函数的性质和函数对称性的应用. 二、选择题（共12分，每题3分） 13. 已知，则“”是“”的（ ） A. 充分非必要条件 B. 必要非充分条件 C. 充要条件 D. 既非充分又非必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】直接根据充分性和必要性的定义判断即可． 【详解】若，得， 若，则，解得或， 所以“”是“”的充分非必要条件． 故选：A． 14. 用二分法研究函数的零点时，第一次经过计算得，，则其中一个零点所在区间和第二次应计算的函数值分别为（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】B 【解析】 【分析】根据函数零点的存在性定理可知零点，结合对二分法的理解即可得出结果. 【详解】因为， 由零点存在性知：零点， 根据二分法，第二次应计算，即. 故选：B. 15. 已知函数的定义域为，值域为，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意画出函数图象，结合指数函数图象相关性质和对数的运算法则进行计算即可. 【详解】由题意得，， 作出函数图象如图所示， 令，解得或， 则当，时，取得最大值， 此时. 故选：B 16. 定义在上的奇函数在区间上单调递减，且，则不等式的解集为( ) A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用奇函数的性质，结合单调性，借助换元法将原不等式转化成不等式组求解. 【详解】由上的奇函数在上单调递减，得在上单调递减，， 由，得，令，则不等式， 于是或，由，得，则，解得， 由，得或，则或，解得 或， 因此或或，解得或或， 所以原不等式的解集为. 故选：D 三、解答题（共52分） 17. 已知函数的表达式． （1）证明：函数在其定义域上是严格减函数； （2）是否存在实数，使得函数是奇函数？并说明理由． 【答案】（1） 函数的定义域为，而对任意，，有 . 所以函数在其定义域上是严格减函数. （2） 当时，有，即函数是奇函数. 所以存在，使得函数是奇函数. 【解析】 【分析】（1）利用减函数的定义即可证明结论. （2）证明当时是奇函数即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 18. 已知． （1）化简并求； （2）若角为第二象限角，且，求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用诱导公式及倒数关系化简，再利用特殊角的三角函数值求解. （2）利用同角公式计算即得. 【小问1详解】 依题意，， 所以. 【小问2详解】 由角为第二象限角，且，得， 所以. 19. 学校要建造一个面积为10000平方米的运动场. 如图，运动场由一个矩形和分别以、为直径的两个半圆组成. 跑道是一条宽8米的塑胶跑道，运动场除跑道外，其它地方均铺设草皮. 已知塑胶跑道每平方米造价为150元，草皮每平方米造价为30元. （1）设半圆的半径（米），试建立塑胶跑道面积与的函数关系式； （2）由于条件限制，问当取何值时，运动场造价最低?（精确到元）. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据已知条件，求出塑胶跑道面积表达式，并确定定义域； （2）根据已知条件写出运动场造价的表达式，判断函数的单调性，求最小值即可. 【小问1详解】 塑胶跑道面积 因为所以，故定义域为 【小问2详解】 设运动场造价为元； ，令， ，当时，解得， 所以在上恒成立，所以在上为减函数， 所以函数在上为减函数，因为， 所以当时，运动场造价最低为626510元. 20. 已知函数. （1）若恒成立，求的最大值； （2）若在上单调，求的取值范围； （3）求在上的最小值为，求. 【答案】（1） （2） （3）或5 【解析】 【分析】（1）由一元二次不等式恒成立，结合图象推得，解之即得； （2）先求函数的单调区间，依题使为其单调区间的子集，解不等式即得； （3）由函数的单调性，根据给定区间与其对称轴的关系，分类考虑分别求解即得. 【小问1详解】 由题意得恒成立，则， 解得， 所以a的最大值为. 【小问2详解】 由题意得图象的对称轴为直线， 所以在上单调递减，在上单调递增. 因为在上单调，所以或， 解得或，即a的取值范围为. 【小问3详解】 当，即时，在上单调递减，， 解得，舍去； 当，即时，在上单调递增，， 解得，符合题意； 当，即时，在上单调递减，在上单调递增， ，解得或0（，舍去）. 故或5. 21. 若函数在其定义域内给定区间上存在实数满足，则称函数是区间上的“平均值函数”，是它的一个均值点． （1）已知函数的表达式是，判断函数是否是区间上的“平均值函数”，并说明理由； （2）已知函数的表达式是，若函数是区间上的“平均值函数”，求实数的取值范围： （3）已知函数的表达式是，其中为正整数，函数是区间（为正整数）上的“平均值函数”，1是函数的一个均值点，求所有满足条件实数对． 【答案】（1）是，理由如下： 依题意，，存在成立， 所以是区间上的“平均值函数”. （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用“平均值函数”的定义判断即可. （2）利用“平均值函数”的定义列式，求出在有解的范围即可. （3）利用“平均值函数”的定义及均值点列式，推理求出即可. 【小问1详解】 是区间上的“平均值函数”，理由略； 【小问2详解】 依题意，存在，知， 即，则， 由，得，则在有解， 不妨令，得， 于是，解得， 所以实数的取值范围是. 【小问3详解】 依题意，，则，且， 则， 即，于是，而，则， 解得，又，且，则当时，成立， 所以是满足条件的实数对. 【点睛】关键点点睛：求解本题的关键在于理解题中所给“平均值函数”的定义，为使函数为平均值函数，必存在实数，满足，注意此处不取端点值，根据所给函数解析式，列出等式，化为常见函数，进行求解即可. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $