精品解析：江苏省盐城市康居路初中教育集团2024-2025学年八年级上学期期末考试数学试卷

盐城市康居路初中教育集团2024—2025学年度第一学期期末考试 初二年级数学试卷（2025.01） （卷面总分：100分 考试时间：100分钟） 一、选择题：（本大题共8小题，每小题2分，共16分） 1. 下面的图形是用数学家名字命名的，其中是轴对称图形的是（ ） A. 赵爽弦图 B. 费马螺线 C. 科克曲线 D. 斐波那契螺旋线 【答案】C 【解析】 【分析】根据轴对称图形的概念，对各选项分析判断即可得解． 【详解】解：A．不是轴对称图形，故本选项不合题意； B．不是轴对称图形，故本选项不符合题意； C．是轴对称图形，故本选项符合题意； D．不是轴对称图形，故本选项不合题意． 故选：C． 【点睛】本题考查了轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合． 2. 下列四个实数中，属于无理数的是（ ） A. 0 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】此题考查了无理数，无限不循环小数是无理数．计算算术平方根后，根据无理数的定义进行解答即可． 【详解】解：在0，，，中，属于无理数的是， 故选：D 3. 在平面直角坐标系中，点（2，1）在（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】A 【解析】 【分析】根据各象限内点的坐标特征解答即可． 【详解】解：在平面直角坐标系中，点（2，1）的横坐标和纵坐标都大于0，所以点（2，1）在第一象限． 故选：A． 【点睛】本题考查了各象限内点的坐标的符号特征，记住各象限内点的坐标的符号是解决的关键，四个象限的符号特点分别是：第一象限（+，+）；第二象限（-，+）；第三象限（-，-）；第四象限（+，-）． 4. 将分式中的、的值同时扩大为原来的2倍，则分式的值（ ） A. 缩小为原来一半 B. 扩大为原来的2倍 C. 无法确定 D. 保持不变 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了分式的基本性质．把分式中的、分别用、代替，求出所得分式与原分式相比较即可． 【详解】解：由题意得：， 即分式的值保持不变， 故选：D． 5. 下列四组线段中，可以构成直角三角形的是（ ） A. 2，3，4 B. 3，4，5 C. 3，4，7 D. 4，5，6 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了勾股定理的逆定理，如果三角形三边满足：两条较短边的平方之和等于最长边的平方，则这个三角形是直角三角形，据此进行解答即可． 【详解】解：A、，不可以构成三角形，故选项不符合题意； B、，可以构成直角三角形，故选项符合题意； C、，不可以构成直角三角形，故选项不符合题意； D、，不可以构成直角三角形，故选项不符合题意． 故选：B． 6. 下列函数中，是一次函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了一次函数的定义，一次函数的定义条件是：k、b为常数，，自变量次数为1． 根据一次函数的定义分别进行判断即可． 【详解】解：A.自变量x的次数为，不是一次函数，不符合题意； B. 是一次函数，符合题意； C. ，自变量次数为2，不是一次函数，不符合题意； D.当时，（k、b是常数）是常函数，不符合题意． 故选：B． 7. 已知轴，且点的坐标为，点的坐标为，则点的纵坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查坐标与图形性质，解答本题的关键是明确平行于轴的直线上任意一点的横坐标都相等．在平面直角坐标系中与轴平行，则点的横坐标相同，可求得点横坐标，从而可以得到点的坐标． 【详解】解：∵轴，点的坐标为，点B的坐标为， ∴点横坐标与点横坐标相同， ∴， ∴， ∴点的坐标为， 故选：A． 8. 如图是一次函数图象，则关于的不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了一次函数与一元一次不等式，熟练掌握函数图象法是解题关键．关于的不等式表示的是一次函数的图象位于轴的下方，结合函数图象求解即可得． 【详解】解：关于的不等式表示的是一次函数的图象位于轴的下方， 则由函数图象可知，关于的不等式的解集为， 故选：A． 二、填空题：（本大题共8小题，每小题2分，共16分） 9. 8的立方根是______． 【答案】2 【解析】 【分析】本题考查了立方根，熟练掌握立方根的定义是解题的关键．根据立方根的定义即可求解． 【详解】解：， 8的立方根是2． 故答案为：2． 10. 若式子有意义，则实数x的取值范围是________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了分式有意义的条件，分式有意义的条件是分母不等于零．根据分式有意义的条件列不等式解答即可． 【详解】解：∵式子有意义 ∴，解得：． 故答案为：． 11. 若正比例函数的图象经过点，则的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了求正比例函数的解析式，熟练掌握待定系数法是解题关键．将点代入计算即可得． 【详解】解：∵正比例函数的图象经过点， ∴， ∴， 故答案为：． 12. 如图，P是的平分线上一点，，，垂足分别为D，E，若，则PE的长是______． 【答案】2 【解析】 【分析】根据角平分线的性质解答即可． 【详解】解：∵点是的平分线上一点，，，， ∴． 故答案为： 【点睛】本题主要考查了角平分线的性质，角平分线的性质主要有角的平分线上的点到角的两边的距离相等． 13. 已知、是一次函数的图象上的两点，则______．（填“”或“”或“”） 【答案】 【解析】 【分析】本题考查一次函数的性质，根据k值得到一次函数的增减性是解题的关键． 先根据一次函数的解析式判断出函数的增减性，再根据两点横坐标的值即可得出结论． 【详解】解：∵一次函数中，， ∴y随x的增大而增大． ∵， ∴． 故答案为：． 14. 如图，已知函数和的图象交于点，则根据图象可知，关于，的二元一次方程组的解是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一次函数与二元一次方程组的解之间的关系，熟练掌握把一次函数交点坐标为二元一次方程组的解是解题的关键． 根据两直线的交点坐标是对应方程组的解即可解答． 【详解】解：∵函数和的图象交于点， ∴关于，的二元一次方程组的解是， 故答案为：． 15. 如图，的边的垂直平分线交于点，连接．若，，则________． 【答案】3 【解析】 【分析】本题考查线段垂直平分线的性质，关键是由线段垂直平分线的性质推出． 求出，由线段垂直平分线的性质推出． 【详解】解：，， ， 在的垂直平分线上， ． 故答案为：3． 16. 如图1，中，，是边上的动点．设、两点之间的距离为，、两点之间的距离为，表示与的函数关系的图象如图2所示，则线段的长为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了从函数图象中获取信息、等腰三角形的三线合一、勾股定理、二次根式的应用，从函数图象中正确获取信息是解题关键．先根据函数图象可得，，当时，，再当，时，过点作于点，根据等腰三角形的三线合一可得，然后根据线段和差、勾股定理可得，，最后在中，利用勾股定理求解即可得． 【详解】解：由函数图象可知，当时，， ∴，， 由函数图象可知，当时，， ∴当时，， 如图，当，时，过点作于点， ∵，， ∴， ∴，， ∴在中，， 故答案为：． 三、解答题：（本大题共有10小题，其中第17题～23题每题6分，第24题—25题每题8分，第26题10分，共68分．解答需写出必要的文字说明、演算步骤．） 17. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1）1 （2）2 【解析】 【分析】本题考查了实数的运算，熟练掌握实数的运算法则是解题关键． （1）先根据平方根的性质化简，再计算减法即可得； （2）先计算算术平方根与立方根，再计算减法即可得． 【小问1详解】 解： ． 【小问2详解】 解： ． 18. 解方程： （1）； （2）． 【答案】（1） （2）方程无解 【解析】 【分析】本题考查了解分式方程，熟练掌握解分式方程的步骤是解题关键．需注意的是，解分式方程一定要进行检验． （1）方程两边同乘以化成整式方程，再解一元一次方程求出的值，然后进行检验即可得； （2）方程两边同乘以化成整式方程，再解一元一次方程求出的值，然后进行检验即可得． 【小问1详解】 解：， 方程两边同乘以，得， 移项，得， 合并同类项，得， 系数化为1，得， 经检验，是分式方程的解， 所以方程的解为． 【小问2详解】 解：， 方程两边同乘以，得， 移项，得， 合并同类项，得， 经检验，不是分式方程的解， 所以方程无解． 19. 先化简，再代入求值：，其中． 【答案】， 【解析】 【分析】此题考查了分式的化简求值，先计算括号内的分式加法，再计算分式的除法，得到化简结果，再把字母的值代入计算即可． 【详解】解： 当时，原式． 20. 如图，在平面直角坐标系中，在坐标系中，，． （1）请在图中画出关于轴对称的； （2）请在轴上找一点，使的周长最小． 【答案】（1）见解析 （2）图见解析 【解析】 【分析】本题考查作图﹣轴对称变换、轴对称﹣最短路线问题，熟练掌握轴对称的性质是解答本题的关键． （1）根据轴对称的性质作图即可． （2）取点A关于y轴的对称点，连接，交y轴于点P，连接，此时，为最小值，最小，即的周长最小，则点P即为所求． 【小问1详解】 如图，即为所求． 【小问2详解】 如图，取点A关于y轴的对称点，连接，交y轴于点P，连接， 此时，为最小值， ∴最小， 即的周长最小， 则点P即为所求． 21. 如图，已知中，，于，平分交于，交于． 求证：． 【答案】见解析 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的判定、直角三角形的性质、角平分线定义等知识，先由角的互余关系得，再由角平分线定义得，则，然后由对顶角相等得，则，即可得出结论，熟练掌握等腰三角形的判定和角的互余关系是解题的关键． 【详解】证明：，， ， 平分， ， ， 又， ， ． 22. 如图，在平面直角坐标系中，直线与轴、轴分别交于点、点，直线（是常数）与轴交于点且经过点． （1）求的值及点的坐标； （2）求的面积． 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】此题考查了一次函数图象和坐标轴的交点问题，坐标与图形等知识， （1）分别令和，代入，即可求出点、点的坐标，根据直线（是常数）与轴交于点且经过点．即可求出求的值及点的坐标； （2）求出和，即可求出面积． 【小问1详解】 解：当时，， 当时，，解得 ∴点、点的坐标分别为， 把代入得到， 解得，， ∴， 当时，，解得 ∴点B的坐标是 【小问2详解】 ∵点B的坐标是，点的坐标分别为， ∴ ∵点的坐标分别为， ∴， ∴的面积． 23. 如图，在中，，，，点是外一点，连接，，且，． （1）求的长； （2）求四边形的面积． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）在中，利用勾股定理可求出的值，进而可求出的长； （2）由，，的长，可得出，进而可证出是直角三角形且，利用三角形的面积公式可求出及的值，将其代入中即可求出四边形的面积． 【小问1详解】 解：在中，，，， 所以． 所以． 小问2详解】 因为，，所以． 由（1）知， 所以． 所以是直角三角形，且． 所以． 由（1）知在中，，，， 所以． 所以． 【点睛】本题考查了勾股定理、勾股定理逆定理以及三角形的面积，解题的关键是：（1）利用勾股定理，求出的长；（2）利用三角形的面积计算公式，求出和的值． 24. 某同学用甲、乙两种具有恒温功能的热水壶同时加热相同质量的水，甲壶比乙壶加热速度快，当水加热后，开始维持恒温．在一段时间内，水温与加热时间之间近似满足一次函数关系，根据记录的数据，画函数图象如下： （1）加热前水温是______； （2）求乙壶中水温关于加热时间的函数表达式； （3）当甲壶中水温刚达到时，求乙壶中的水温． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的实际应用，读懂函数图象，并熟练掌握待定系数法是解题关键． （1）根据时，即可得； （2）先判断出乙壶对应的函数图象经过点，再利用待定系数法即可得； （3）先利用待定系数法求出甲壶中与的函数解析式，再求出时，的值，然后将的值代入乙壶中与的函数解析式即可得． 【小问1详解】 解：由函数图象可知，当时，， 则加热前水温是， 故答案为：． 【小问2详解】 解：设乙壶中水温关于加热时间的函数表达式为， 将点代入得：， 解得， 则乙壶中水温关于加热时间的函数表达式为， 自变量x的取值范围是． 【小问3详解】 解：设甲壶中水温关于加热时间的函数解析式为， 将点代入得：， 解得， 则甲壶中水温关于加热时间的函数解析式为， 当时，，解得， 将代入得：， 即当甲壶中水温刚达到时，乙壶中水温是． 25. 对于形如（、为常数）的分式方程，若，，容易验证，是分式方程的解． 例如：可化为，所以，是方程的解；又如可化为，所以，是方程的解． 根据上面材料解答下列问题： 【材料理解】 （1）方程的两个解分别为______，______（）； 【类比引申】 （2）若，分别是方程的两个解，求的值； 【拓展提升】 （3）若关于的方程的两个解分别为（），求的值． 【答案】（1），；（2）；（3） 【解析】 【分析】本题属于材料分析题，考查分式方程的解、代数式求值． （1）可以化为，根据题意即可求解； （2）根据，分别是方程的两个解得到 代入即可求解； （3）设，方程可化为，根据题意求出方程的解，代入即可求解． 【详解】解：（1）∵可以化为， ∴方程的两个解分别为，； 故答案为：，； （2）∵，分别是方程的两个解， ∴ ∴ （3）解：由题意得可化为， 设，方程可化为， 易知k和是这个方程的解， ∵k为自然数， ∴， ∴必有，， ∴，， ∴． 26. 阅读材料：美国总统伽菲尔德利用图验证了勾股定理，过等腰的直角顶点作直线，过点作于点，过点作于点，研究图形，不难发现：． 问题解决：如图2，已知直线与轴交于点，与轴交于点，点坐标为， （1）求直线的表达式； （2）以为直角边作等腰直角（、、三点按照顺时针顺序排列），且，，求点的坐标，并判断点是否在直线上； （3）在（2）的条件下，点是线段上一个动点，以为直角边作等腰直角（、、三点按照顺时针顺序排列），且，． ①在点运动的过程中，的面积是否变化，若不变，请求出它的面积，若发生变化，请说明理由； ②在点从点运动到点的过程中，点的运动路径长为______． 【答案】（1） （2），点在直线上； （3）①，理由见解析；② 【解析】 【分析】本题为一次函数综合题，涉及到三角形全等、一次函数的图象和性质、定点的轨迹等，数形结合是解题的关键． （1）将点的坐标待定系数法求解析式，即可求解； （2）由题干知：（AAS），得到点，即可求解； （3）证明（AAS），得到点，则点在直线，即可求解； 当点在点时，即，则点，当点在点时，即，则点，即可求解． 【小问1详解】 解：将点和代入直线方程， 解得，， 直线表达式为； 【小问2详解】 解：在直线上，理由： 如图所示，过点作轴的平行线，交过点和轴的平行线于点，交过点和轴的平行线于点， 为等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴ ∴， 则， ， 则点， 当时，，即点在上； 【小问3详解】 解：面积不变为，理由： 设点， 如下图，过点作轴的平行线，交过点和轴的平行线于点，交过点和轴的平行线于点， ∵为等腰直角三角形， 同理可得：（AAS）， 则， ， 则点， 则点在直线上， 该直线和轴的交点为， 由点、的坐标得，直线的表达式为： ， 故上述两条直线平行，设交轴于点， 则的面积； 当点在点时，即，则点，当点在点时，即，则点， 则的运动路径长为， 故答案为：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 盐城市康居路初中教育集团2024—2025学年度第一学期期末考试 初二年级数学试卷（2025.01） （卷面总分：100分 考试时间：100分钟） 一、选择题：（本大题共8小题，每小题2分，共16分） 1. 下面的图形是用数学家名字命名的，其中是轴对称图形的是（ ） A. 赵爽弦图 B. 费马螺线 C. 科克曲线 D. 斐波那契螺旋线 2. 下列四个实数中，属于无理数是（ ） A. 0 B. C. D. 3. 在平面直角坐标系中，点（2，1）在（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 4. 将分式中的、的值同时扩大为原来的2倍，则分式的值（ ） A. 缩小为原来一半 B. 扩大为原来的2倍 C. 无法确定 D. 保持不变 5. 下列四组线段中，可以构成直角三角形的是（ ） A. 2，3，4 B. 3，4，5 C. 3，4，7 D. 4，5，6 6. 下列函数中，是一次函数的是（ ） A. B. C. D. 7. 已知轴，且点坐标为，点的坐标为，则点的纵坐标为（ ） A. B. C. D. 8. 如图是一次函数的图象，则关于的不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 二、填空题：（本大题共8小题，每小题2分，共16分） 9. 8的立方根是______． 10. 若式子有意义，则实数x的取值范围是________． 11. 若正比例函数的图象经过点，则的值为______． 12. 如图，P是的平分线上一点，，，垂足分别为D，E，若，则PE的长是______． 13. 已知、是一次函数的图象上的两点，则______．（填“”或“”或“”） 14. 如图，已知函数和的图象交于点，则根据图象可知，关于，的二元一次方程组的解是______． 15. 如图，的边的垂直平分线交于点，连接．若，，则________． 16. 如图1，中，，是边上的动点．设、两点之间的距离为，、两点之间的距离为，表示与的函数关系的图象如图2所示，则线段的长为______． 三、解答题：（本大题共有10小题，其中第17题～23题每题6分，第24题—25题每题8分，第26题10分，共68分．解答需写出必要的文字说明、演算步骤．） 17. 计算： （1）； （2）． 18. 解方程： （1）； （2）． 19. 先化简，再代入求值：，其中． 20. 如图，在平面直角坐标系中，在坐标系中，，． （1）请在图中画出关于轴对称； （2）请在轴上找一点，使的周长最小． 21. 如图，已知中，，于，平分交于，交于． 求证：． 22. 如图，在平面直角坐标系中，直线与轴、轴分别交于点、点，直线（是常数）与轴交于点且经过点． （1）求的值及点的坐标； （2）求面积． 23. 如图，在中，，，，点是外一点，连接，，且，． （1）求的长； （2）求四边形的面积． 24. 某同学用甲、乙两种具有恒温功能的热水壶同时加热相同质量的水，甲壶比乙壶加热速度快，当水加热后，开始维持恒温．在一段时间内，水温与加热时间之间近似满足一次函数关系，根据记录的数据，画函数图象如下： （1）加热前水温是______； （2）求乙壶中水温关于加热时间的函数表达式； （3）当甲壶中水温刚达到时，求乙壶中的水温． 25. 对于形如（、为常数）的分式方程，若，，容易验证，是分式方程的解． 例如：可化为，所以，是方程的解；又如可化为，所以，是方程的解． 根据上面材料解答下列问题： 材料理解】 （1）方程的两个解分别为______，______（）； 【类比引申】 （2）若，分别是方程的两个解，求的值； 【拓展提升】 （3）若关于的方程的两个解分别为（），求的值． 26. 阅读材料：美国总统伽菲尔德利用图验证了勾股定理，过等腰的直角顶点作直线，过点作于点，过点作于点，研究图形，不难发现：． 问题解决：如图2，已知直线与轴交于点，与轴交于点，点坐标为， （1）求直线的表达式； （2）以为直角边作等腰直角（、、三点按照顺时针顺序排列），且，，求点的坐标，并判断点是否在直线上； （3）在（2）的条件下，点是线段上一个动点，以为直角边作等腰直角（、、三点按照顺时针顺序排列），且，． ①在点运动的过程中，的面积是否变化，若不变，请求出它的面积，若发生变化，请说明理由； ②在点从点运动到点的过程中，点的运动路径长为______． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$