2.2.2 等差数列前n项和的性质及最值 课件-2024-2025学年高二下学期数学北师大版（2019）选择性必修第二册

2.2.2 等差数列前n项和的性质及最值 学习目标 1.掌握an与Sn的关系并会应用； 2.掌握等差数列前n项和的性质及应用； 3.会求等差数列前n项和的最值. 情境导入 在等差数列，已知首项为公差为前n项和为 问1：从函数角度分析， n的什么函数？ 问4：在项数为2n或2n+1项的等差数列中，其奇数项的和与偶数项的和有怎样关系？ 问2：等差数列通项与其前2n-1项的和关系？ 问3：数列什么数列？ 问5：对首项与公差分论讨论，求等差数列的前n项和的最值？ 新知探索 等差数列前n项和的性质 ＋ 当， n的一次函数（正比例）； 当， n的二次函数. ∴= ； ∴数列以首项为公差为等差数列. （2） 中间项 ②在等差数列{an}中，a1＋a2，a2＋a3，a3＋a4，······成等差数列； a1＋a2＋a3，a2＋a3＋a4，a3＋a4＋a5，······成等差数列． ③其中 证明： （ ） （ ） ∴ ））= ） = = (4)①若等差数列{an}的项数为2n(n∈N*)， S偶＝a2＋a4＋…＋a2n，S奇＝a1＋a3＋…＋a2n－1， 则S偶－S奇＝，＝. 证明：S偶－S奇＝(a2－a1)＋(a4－a3)＋…＋(a2n－a2n－1)＝d＋d＋…＋d＝nd； ＝＝=== ②若等差数列{an}的项数为2n－1(n∈N*)， S奇＝a1＋a3＋…＋a2n－1，S偶＝a2＋a4＋…＋a2n－2， 则S奇－S偶＝an， ＝. 证明：S奇－S偶＝a1＋(a3－a2)＋ (a4－a3)＋ …＋(a2n-1－a2n－2) ＝； ＝＝== 中间项 ③设两个等差数列{an}，{bn}的前n项和分别为Sn，Tn，则＝. 证明： ＝ ＝ 等差数列前n项和的最值 (1)在公差为d的等差数列{an}中， ①当a1≤0，d＜0时，Sn有最大值，为S1； 当a1>0，d<0时，Sn有最____值，使Sn取得最值的n可由不等式组___________确定. ②当a1≥0，d＞0时，Sn有最小值，为S1； 当a1<0，d>0时，Sn有最____值，使Sn取得最值的n可由不等式组___________确定. (2)Sn＝，若d≠0，则从二次函数的角度看： 当d>0时，Sn有最_____值； 当d<0时，Sn有最_____值. 当n取最接近对称轴的正整数时，Sn取到最值. 大 大 小 小 典例讲解 1.设等差数列{an} 的前n 项和为Sn,若S3=16,S6=8,则S12=(　　). A. -50 B. -60 C. -70 D. -80 解：由等差数列的性质可知,S3,S6-S3,S9-S6,S12-S9 成等差数列, 且该数列的公差为(S6-S3)-S3=-8-16=-24,则S9-S6=(S6-S3)-24=-32, 所以S12-S9=(S9-S6)-24=-56,因此S12=S3+(S6-S3)+(S9-S6)+(S12-S9)=-80. D 2.(1)在项数为2n＋1的等差数列中，所有奇数项的和为165，所 有偶数项的和为150，则n等于(　　) A．9　　 　B．10　 　 C．11　　　 　D．12 解：由题可得： ∴解得n=10. B (2)项数为奇数的等差数列，奇数项之和为44，偶数项之和为33，求此数列的项数与中间项. 解：设项数为n，中间项为a，则 3.两个等差数列{an}，{bn}的前n项和分别为Sn，Tn，且 求得值. 解：∵＝＝ ∴= 4.在等差数列中,已知,则为何值时,数列 的前项和取最大值.  解：依题可得： ∴最大值为， ∴ 巩固练习 1.在等差数列{an}中，S10＝100，S100＝10.求S110. 解：法一：设等差数列的首项为a1，公差为d，前n项和为Sn， 则 故S110＝110a1＋d＝－110. 法二：∵S10＝100，S100＝10， ∴S100－S10＝a11＋a12＋…＋a100＝＝－90， ∴a11＋a100＝－2. 又∵a1＋a110＝a11＋a100＝－2， ∴S110＝ ＝－110. 法三：∵S10，S20－S10，S30－S20，…，S100－S90，S110－S100，…成等差数列， ∴设该数列公差为d， 则数列前100项和为： +(10×100＋d＝10，解得d＝－22. ∴前110项和为： S110＝11×100＋d＝11×100＋×(－22)＝－110. 法四：令Sn＝An2＋Bn. 由S10＝100，S100＝10， ∴ ∴S110＝1102A＋110B＝－110. 法五：设数列{an}的公差为d，由于Sn＝na1＋d， 则＝a1＋(n－1)． ∴数列是等差数列，其公差为. ∴－＝(100－10)× ， 且－＝(110－100)× . 代入已知数值，消去d，可得S110＝－110. 2.等差数列{an}的公差d＝，且S100＝145，分别求出奇数项 与 偶数项的和. 解：令M=a1＋a3＋a5＋…＋a99 N=a2＋a4＋a6＋…＋a100. ∴ 3.在等差数列{an}中，若|a3|＝|a9|，公差d<0，则前n项和Sn取得最大值时正整数n为(　　) A.4或5 B.5或6 C.6或7 D.7或8 解：因为d<0，|a3|＝|a9|，所以a3＋a9＝0. 而a3＋a9＝2a6，所以a6＝0，所以S5＝S6. 故S5，S6均为Sn的最大值. 4.设等差数列的前n项和为Sn，已知a3＝12，S12>0，S13<0. ①求公差d的取值范围； ②指出S1，S2，…，S12中哪一个值最大，并说明理由. 解： ① ∵S12＝6(a6＋a7)>0，S13＝13a7<0，可得>0，a7<0， 而a3＝12， ∴ ②值最大. 5.数列{an}，{bn}均为等差数列，前n项和分别为Sn，Tn， 若，则的值. 解：∵＝＝ ∴= 变式1：在本例条件不变的情况下，求的值． 解∵b3＋b18＝b6＋b15＝b10＋b11， ∴ = ＝ 变式2：在本例中条件不变时，的值． 解：由题可得，令Sn＝kn(3n＋2)，Tn＝2kn2. ∴ ∴ ＝＝. 课堂小结 1.等差数列前n项和的性质 2.等差数列前n项和的最值 例.数列{an}的前n项和Sn＝33n－n2， (1)求{an}的通项公式； (2)则{an}的前多少项和最大？ 解：（1）由题可知：当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝34－2n， 又当n＝1时，a1＝S1＝32＝34－2×1，满足an＝34－2n. 故{an}的通项公式为：an＝34－2n. （2）由 故数列{an}的前16项或前17项的和最大． 变式：本例中条件不变，令bn＝|an|，求数列{bn}的前n项和Tn. 解：由数列{an}的通项公式an＝34－2n知，当n≤17时，an≥0； 当n≥18时，an<0. 所以当n≤17时，Tn＝b1＋b2＋…＋bn ＝|a1|＋|a2|＋…＋|an| ＝a1＋a2＋…＋an＝Sn＝33n－n2. 当n≥18时， Tn＝|a1|＋|a2|＋…＋|a17|＋|a18|＋…＋|an| ＝a1＋a2＋…＋a17－(a18＋a19＋…＋an) ＝S17－(Sn－S17)＝2S17－Sn ＝n2－33n＋544. 故Tn＝ eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(an≥0，,an＋1≤0)) eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(an≤0，,an＋1≥0)) $$