精品解析：福建省莆田市第十五中学2024-2025学年高二上学期期末考试数学试题

2024~2025学年上学期高二数学期末考试卷 （考试范围：选择性必修一 考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡指定位置上； 2．选择题答案用2B铅笔在答题卡对应题号上填涂，非选择题答案用黑色水笔填在答题卡指定位置上. 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求. 1. 在等差数列中，，则（ ） A. 70 B. 60 C. 50 D. 40 2. 若O为坐标原点，P是直线上的动点，则的最小值为 A. B. C. D. 2 3. 已知三点，，在同一条直线上，则的值为（ ） A. B. C. D. 4. 某同学有同样的画册2本，同样的集邮册3本，从中取出4本赠送给4位朋友，每位朋友1本，则不同的赠送方法共有（ ） A. 4种 B. 10种 C. 18种 D. 20种 5. 已知圆与圆，若圆与圆有且仅有一个公共点，则实数等于（ ） A. B. C. 或 D. 或 6. 的展开式中的系数为（ ） A. 9 B. 15 C. 21 D. 24 7. 已知椭圆的中心在原点，两焦点为，，过作轴的垂线交椭圆于点．若直线的斜率为，则该椭圆的标准方程为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，已知分别是双曲线的左、右焦点，现以为圆心作一个通过双曲线中心的圆并且交双曲线于两点．若直线是圆的切线，则该双曲线的离心率为（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 现有4名男生和3名女生并坐一排，下列说法正确的是（ ） A. 男生必须排在一起的坐法有576种 B. 女生互不相邻的坐法有1440种 C. 男女生相间的坐法有72种 D. 男生相邻、女生也相邻的坐法有288种 10. 已知数列满足，则下列说法正确的有（ ） A. 若，则 B. 数列为等比数列 C. 若，则数列的前n项和为 D. 若，则数列单调递减 11. 设拋物线的焦点为F，M为上一动点，为定点，则下列结论正确的是（ ） A. 准线的方程是 B. 的最小值为4 C. 的最大值为5 D. 以线段MF为直径的圆与轴相切 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知甲袋子中装有个红球和个白球，乙袋子中装有个红球和个白球，若从甲、乙两个袋子中各取出个球，则取出的个球中恰有个红球的不同取法共有__________种. 13. 若点为圆上的一个动点，则点到直线距离的最大值为________． 14. 已知双曲线(a＞0，b0)的离心率为2，则该双曲线的渐近线方程为__________． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知等差数列的前项和为，且. （1）求数列的通项公式； （2）设数列满足，求的前项和. 16. （1）求 的展开式中常数项； （2）求的展开式中，二项式系数最大的项; （3）已知，求的值. 17. 设是等差数列，，且，，成等比数列． （1）求数列的通项公式； （2）记的前项和为，求当为何值时，取得最小值. （3）求数列的前项和的值. 18. 已知半径为5的圆的圆心在x轴上，圆心的横坐标是整数，且与直线相切． （1）求圆的方程； （2）设直线与该圆相交于两点，求实数a的取值范围； （3）在（2）的条件下，是否存在实数a，使得过点的直线l垂直平分弦？若存在，求出实数a的值；若不存在，请说明理由． 19. 已知椭圆的左、右焦点分别为、，上顶点为，长轴长为，若为正三角形． （1）求椭圆的标准方程； （2）过点，斜率为的直线与椭圆相交，两点，求的长； （3）过点的直线与椭圆相交于，两点，，直线的方程． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024~2025学年上学期高二数学期末考试卷 （考试范围：选择性必修一 考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡指定位置上； 2．选择题答案用2B铅笔在答题卡对应题号上填涂，非选择题答案用黑色水笔填在答题卡指定位置上. 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求. 1. 在等差数列中，，则（ ） A. 70 B. 60 C. 50 D. 40 【答案】D 【解析】 【分析】 根据等差数列的性质，得到，即可求解． 【详解】根据等差数列的性质，可得， 因为，即，可得． 故选：D. 2. 若O为坐标原点，P是直线上的动点，则的最小值为 A. B. C. D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意，求的最小值，只需与直线垂直，再由点到直线距离公式，即可求出结果. 【详解】由题意，为使取最小值，只需与直线垂直； 由点到直线距离公式可得：. 故选：B. 【点睛】本题主要考查求直线上的动点到定点距离的最值问题，熟记点到直线距离公式即可，属于基础题型. 3. 已知三点，，在同一条直线上，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据给定的条件，利用列式计算即得. 【详解】由，，三点共线，得，即，解得． 故选：B 4. 某同学有同样的画册2本，同样的集邮册3本，从中取出4本赠送给4位朋友，每位朋友1本，则不同的赠送方法共有（ ） A. 4种 B. 10种 C. 18种 D. 20种 【答案】B 【解析】 【详解】分两种情况：①选2本画册，2本集邮册送给4位朋友，有C42＝6种方法；②选1本画册，3本集邮册送给4位朋友，有C41＝4种方法．所以不同的赠送方法共有6＋4＝10(种)． 5. 已知圆与圆，若圆与圆有且仅有一个公共点，则实数等于（ ） A. B. C. 或 D. 或 【答案】C 【解析】 【分析】根据的方程求出的取值范围，再将两圆方程化为标准式，得到圆心坐标与半径，分两圆外切或内切两种情况讨论，分别计算可得. 【详解】由圆得，解得． 圆的标准方程为，圆心，半径； 圆的标准方程为，圆心，半径． 因为圆与圆有且仅有一个公共点，所以两圆外切或内切． ①若两圆内切，则，解得，符合， ②若两圆外切，则，解得，符合． 综合①②得实数或． 故选：C． 6. 的展开式中的系数为（ ） A. 9 B. 15 C. 21 D. 24 【答案】A 【解析】 【分析】由的展开式中求出包含和的项，然后由多项式乘法可得． 【详解】二项式的展开式的通项公式为. 所以含的项为． 故选：A． 7. 已知椭圆的中心在原点，两焦点为，，过作轴的垂线交椭圆于点．若直线的斜率为，则该椭圆的标准方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据椭圆的定义及椭圆中的含义确定的值，可得椭圆标准方程. 【详解】设椭圆的方程为，其中． 依题意，有，所以，． 又，所以， 所以，所以椭圆的标准方程为． 故选：B 8. 如图，已知分别是双曲线的左、右焦点，现以为圆心作一个通过双曲线中心的圆并且交双曲线于两点．若直线是圆的切线，则该双曲线的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由切线性质可得，再结合双曲线定义即可得解. 【详解】因为直线是圆的切线，所以， 由双曲线定义可得， 所以双曲线的离心率. 故选：A 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 现有4名男生和3名女生并坐一排，下列说法正确的是（ ） A. 男生必须排在一起的坐法有576种 B. 女生互不相邻的坐法有1440种 C. 男女生相间的坐法有72种 D. 男生相邻、女生也相邻的坐法有288种 【答案】ABD 【解析】 【分析】相邻问题利用捆绑法，即可判断A、D；不相邻问题利用插空法，即可判断B；确定男、女的顺序，按照分步乘法计数原理判断C. 【详解】对于A：由题意，可以把四名男生作为一个元素，和3名女生共有四个元素全排列， 再排4个男生的内部顺序，共有种结果，故A正确； 对于B：由题意，可以先将男生全排列，再用插空法排女生， 共有种结果，故B正确； 对于C：男女生相间，则必定为男、女、男、女、男、女、男的顺序，故共有种排法，故C错误； 对于D：由题意，可以将四名男生作为一个元素，三名女生作为一个元素，两个元素的排列共有种， 再排他们内部的顺序，有种结果， 根据分步计数原理，共有种结果，故D正确． 故选：ABD 10. 已知数列满足，则下列说法正确的有（ ） A. 若，则 B. 数列为等比数列 C. 若，则数列的前n项和为 D. 若，则数列单调递减 【答案】ACD 【解析】 【分析】由题知时，数列为等比数列，再根据等比数列的知识依次讨论各选项即可. 【详解】解：对于A选项，当时，由得，所以数列为等比数列，，故A选项正确； 对于B选项，当时，，此时数列不是等比数列，故B选项错误； 对于C选项，当时，由得，所以数列为等比数列， 所以，数列的前n项和为，故C选项正确； 对于D选项，当时，由得，所以数列为等比数列， 所以，，所以数列单调递减，故D选项正确． 故选：ACD 11. 设拋物线的焦点为F，M为上一动点，为定点，则下列结论正确的是（ ） A. 准线的方程是 B. 的最小值为4 C. 的最大值为5 D. 以线段MF为直径的圆与轴相切 【答案】BD 【解析】 【分析】根据抛物线方程写出准线判断A，根据抛物线定义及三角形三边长关系判断B、C，写出中点坐标，根据其横坐标与关系即可判断D. 【详解】由抛物线，则其焦点为，准线为，A错，如下图示， 其中准线于，则，故， 当且仅当共线时最小，为到准线距离4，B对； 由， 当且仅当共线时取等号，其最大值为，C错； 由，则中点坐标为， 而，故， 所以，以线段MF为直径的圆与轴相切，D对. 故选：BD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知甲袋子中装有个红球和个白球，乙袋子中装有个红球和个白球，若从甲、乙两个袋子中各取出个球，则取出的个球中恰有个红球的不同取法共有__________种. 【答案】27 【解析】 【分析】分甲袋子中取个红球和1个白球同时乙袋子中取1个红球和1个白球；甲袋子中取2个白球同时乙袋子中取2个红球两种情况计算可得答案. 【详解】取出的个球中恰有个红球，则 甲袋子中取个红球和1个白球，同时乙袋子中取1个红球和1个白球， 其取法有种； 甲袋子中取2个白球，同时乙袋子中取2个红球， 其取法有种， 所以一共有种. 故答案为：27. 13. 若点为圆上的一个动点，则点到直线距离的最大值为________． 【答案】7 【解析】 【分析】根据给定条件求出圆C的圆心C到直线l的距离即可计算作答. 【详解】圆的圆心，半径， 点C到直线的距离， 所以圆C上点P到直线l距离的最大值为. 故答案为：7 14. 已知双曲线(a＞0，b0)的离心率为2，则该双曲线的渐近线方程为__________． 【答案】 【解析】 【分析】根据离心率求得，即可求得渐近线方程. 【详解】因为双曲线的离心率为2，则，解得， 故双曲线的渐近线方程为. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知等差数列的前项和为，且. （1）求数列的通项公式； （2）设数列满足，求的前项和. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据等差数列定义由前项和公式计算可得； （2）易知是公比为4的等比数列，代入等比数列前项和公式可得结果. 【小问1详解】 设的公差为， 由可得， 解得， 所以. 【小问2详解】 由（1）可知， 易知是公比为4的等比数列， 所以可得. 16. （1）求 的展开式中常数项； （2）求的展开式中，二项式系数最大的项; （3）已知，求的值. 【答案】（1）240；（2）第3项；（3） 【解析】 【分析】（1）求出的展开式的通项公式可得答案； . （2）根据二项式系数的性质，当为偶数时只有中间一项的二项式系数最大，利用展开式的通项可得答案； （3）分别令、可得答案. 【详解】（1）的展开式的通项为， 令，得. 故常数项为； . （2）根据二项式系数的性质，当为偶数时，只有中间一项的二项式系数最大， 故的展开式中，二项式系数最大的项为第3项，； （3）在中， 令，得; 令，得， 所以. 17. 设是等差数列，，且，，成等比数列． （1）求数列的通项公式； （2）记的前项和为，求当为何值时，取得最小值. （3）求数列的前项和的值. 【答案】（1） （2）或 （3） 【解析】 【分析】（1）根据等比数列定义，结合等差数列通项公式可构造方程求得的公差，进而可求得； （2）利用等差数列求和公式可表示出，根据的二次函数性可确定取得最小值时的取值； （3）由等差数列定义可证得数列是以为首项，为公差的等差数列，由等差数列求和公式可求得结果. 【小问1详解】 ，，成等比数列，， 设等差数列的公差为，则，解得：， . 【小问2详解】 由（1）得：， 当或时，取得最小值. 【小问3详解】 ，， 是以为首项，为公差的等差数列，. 18. 已知半径为5的圆的圆心在x轴上，圆心的横坐标是整数，且与直线相切． （1）求圆的方程； （2）设直线与该圆相交于两点，求实数a的取值范围； （3）在（2）的条件下，是否存在实数a，使得过点的直线l垂直平分弦？若存在，求出实数a的值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）； （2）； （3）存在，实数. 【解析】 【分析】（1）设圆心为M（m，0），根据相切得到，计算得到答案. （2）把直线ax﹣y+5＝0，代入圆的方程，计算△＝4（5a﹣1）2﹣4（a2+1）＞0得到答案. （3）l的方程为，即x+ay+2﹣4a＝0，过点M（1，0），计算得到答案. 【小问1详解】 设圆心为M（m，0）（m∈Z）．由于圆与直线4x+3y﹣29＝0相切，且半径为5， 所以 ，即|4m﹣29|＝25．因为m为整数，故m＝1． 故所求圆的方程为（x﹣1）2+y2＝25． 【小问2详解】 把直线ax﹣y+5＝0，即y＝ax+5，代入圆的方程，消去y， 整理得（a2+1）x2+2（5a﹣1）x+1＝0， 由于直线ax﹣y+5＝0交圆于A，B两点，故△＝4（5a﹣1）2﹣4（a2+1）＞0， 即12a2﹣5a＞0，由于a＞0，解得a，所以实数a的取值范围是（）． 【小问3详解】 设符合条件的实数a存在，则直线l的斜率为， l的方程为，即x+ay+2﹣4a＝0， 由于l垂直平分弦AB，故圆心M（1，0）必在l上， 所以1+0+2﹣4a＝0，解得．由于， 故存在实数，使得过点P（﹣2，4）的直线l垂直平分弦AB. 【点睛】本题考查了直线和圆的位置关系，意在考查学生的计算能力和转化能力. 19. 已知椭圆的左、右焦点分别为、，上顶点为，长轴长为，若为正三角形． （1）求椭圆的标准方程； （2）过点，斜率为的直线与椭圆相交，两点，求的长； （3）过点的直线与椭圆相交于，两点，，直线的方程． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）依题意可得，即可求出，从而求出，即可得到椭圆方程； （2）依题意可得直线为，联立直线和椭圆方程，消元，求出交点的横坐标，直接利用弦长公式进行求解； （3）设，，直线为，联立直线和椭圆方程，结合韦达定理，列方程组求解. 【小问1详解】 依题意可得，解得，所以， 所以椭圆的标准方程为. 【小问2详解】 由（1）知，，故该直线为， 由，消去可得， 故，所以. 【小问3详解】 显然的斜率存在（否则轴，根据对称性，，与题设矛盾）， 设，，直线为， 由，消去得，显然， 由韦达定理可得：①，， 又，则，故②， 由①②得，，故， 即，化简可得，解得. 故直线为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $