精品解析：河南省名校联盟2024-2025学年高三上学期期末检测数学试题

河南省名校天一大联考2025届高三上学期1月期末检测数学试题❖ 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知，为相互垂直的单位向量，则（ ） A. 2 B. C. D. 4 3. 已知点到抛物线的准线的距离为3，则C的焦点坐标为（ ） A. B. C. D. 4. 函数的图象在点处的切线方程为（ ） A B. C. D. 5. 已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，，，则（ ） A. B. C. 2 D. 6. 已知与分别是等差数列与等差数列的前n项和，且，则（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 7. “牟合方盖”是指由两个相同的圆柱成直角相交而得到的公共部分对应的几何体，如图，若圆柱的底面半径为r，则组成的牟合方盖的表面积为现有底面半径为1，高为3的两个圆柱成直角相交形成一个“十字”几何体，如图，则该几何体的表面积为（ ） A B. C. D. 8. 现有5个正整数，，，，，若这组数据的和为10，方差为，则从这组数据中随机取1个数，该数超过众数的概率为（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得2分，有选错的得0分. 9. 已知复数，是方程的两个不同的根，且在复平面内所对应的点位于第二象限，则（ ） A B. C. D. 10. 设函数，则下列说法正确的是（ ） A. 存在a，使得曲线轴对称图形 B. 点是曲线的对称中心 C. 当时，是的极小值点 D. 若有极大值，则的极大值大于0 11. 如图，正四棱锥的棱长均为1，且，记平面与直线的交点为，与直线的交点为，则（ ） A. B. C. 当时， D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 在的展开式中，的系数为__________. 13. 已知正项等比数列的前n项和为，若，，成等差数列，且，则__________. 14. 已知双曲线的左、右焦点分别为，，经过点的直线与C的右支交于点G，H，若的内切圆半径为2，则的内切圆半径为__________. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 习近平总书记指出：要完整、准确、全面贯彻新发展理念，加快构建新发展格局，着力推动高质量发展.某部门在对新发展理念组织了全面学习后，对同一组的5名员工采取如下考核制度：在本季度末，由部门其他人对这5名员工进行投票，并统计5名员工本季度创造的营业收入.现将这5名员工所得票数x与本季度创造的营业收入单位：千元用数对表示：，，，， （1）求x与y的相关系数 （2）若将本季度创造的营业收入最少的员工移除出组，请根据该小组剩余人员的数据求y关于x的线性回归方程. 参考公式：①相关系数②在利用最小二乘法求得的线性回归方程的中，， 参考数据：，，，， 16. 已知函数 （1）判断在定义域内是否单调，并说明理由； （2）证明： 17. 已知椭圆的左、右焦点分别为，，点P在C上，且，直线的斜率为，过点的直线l与C交于A，B两点，当轴时，四边形的面积为 （1）求C的方程; （2）若以AB为直径的圆与直线相切，求l的斜率. 18. 如图，在四面体中，为棱上一点，，，，且，，二面角的大小为. （1）证明：平面； （2）求四面体的外接球的体积； （3）求的长. 19. 设的三个内角分别为A，B，C，函数 （1）若，证明： （2）证明：当且仅当，，中至少有两个大于 （3）求出所有大于3n的值，满足：对任意锐角三角形 ABC，都恒大于0或恒小于 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 河南省名校天一大联考2025届高三上学期1月期末检测数学试题❖ 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】化简集合A，B，根据交集的定义写出即可． 【详解】由，即，即，解得， 所以集合， 又集合， 所以， 即 故选：B 2. 已知，为相互垂直的单位向量，则（ ） A. 2 B. C. D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】由知，，的模都等于1，先计算的平方，再开方即得模长. 【详解】解：因为向量，满足，，， 所以， 则 故选：C 3. 已知点到抛物线的准线的距离为3，则C的焦点坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】写出准线方程，由题意建立等式，求得p的值，从而得到焦点坐标． 【详解】解：抛物线C：的准线方程为， 由点到抛物线C：的准线的距离为3， 可知，解得， 所以C的焦点坐标为. 故选：B. 4. 函数的图象在点处的切线方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】求导，代入得切线斜率，利用点斜式，写出切线方程. 【详解】依题意，， 因为， 所以，所以切线方程为， 即， 故选：D. 5. 已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，，，则（ ） A. B. C. 2 D. 【答案】D 【解析】 【分析】应用正弦定理得出，再应用两角和正弦公式结合二倍角公式得出  ，最后运用余弦定理求解. 【详解】 ， 由正弦定理得  ，即  ，  ，   ，    ，   ，  ， 由余弦定理得：  ； 故选： 6. 已知与分别是等差数列与等差数列的前n项和，且，则（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】利用等差数列的性质，即可求解. 【详解】由等差数列的性质可知， 所以 故选：C 7. “牟合方盖”是指由两个相同的圆柱成直角相交而得到的公共部分对应的几何体，如图，若圆柱的底面半径为r，则组成的牟合方盖的表面积为现有底面半径为1，高为3的两个圆柱成直角相交形成一个“十字”几何体，如图，则该几何体的表面积为（ ） A B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】运用圆柱表面积公式，即可求解. 【详解】解：由题可知该几何体的表面积等于两个圆柱表面积的和减去“牟合方盖”的表面积， 即 故选：A. 8. 现有5个正整数，，，，，若这组数据的和为10，方差为，则从这组数据中随机取1个数，该数超过众数的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意可得，，由此得这5个数只可能是3，2，2，2，1，其众数为2，再结合古典概型即可求解. 【详解】由题意可知，设平均数为，方差为， 则，则， 即， 整理得：， 显然最大的数不可能为5，若最大的数为4，剩余的四个数均为1， 此时，不合要求； 若最大的数为4，剩余的四个数分别为1，1，1，2， 此时，不合要求； 故该组数据中最大的数不可能大于等于4，且这5个数也不可能都是2， 则这5个数只可能是3，2，2，2，1，其众数为， 所以从这组数据中随机取1个数，该数超过众数的概率为. 故选：A 二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得2分，有选错的得0分. 9. 已知复数，是方程的两个不同的根，且在复平面内所对应的点位于第二象限，则（ ） A. B. C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】求出，，然后对选项逐个判断即可. 【详解】方程可化为，解得， 因为在复平面内所对应的点位于第二象限， 则， 对于A、，故A正确； 对于B、，故B正确； 对于C、，故C错误； 对于D、，，故D正确. 故选：ABD 10. 设函数，则下列说法正确的是（ ） A. 存在a，使得曲线为轴对称图形 B. 点是曲线的对称中心 C. 当时，是的极小值点 D. 若有极大值，则的极大值大于0 【答案】BC 【解析】 【分析】根据可以判断B；利用导数可以判断CD；分三种情况，得到函数单调性，画出函数的图像可以判断A 【详解】对于B， ， 又， ，所以点是曲线的对称中心，B成立； 对于C，当时，，解得或， 显然或时，，时，， 所以是函数的极小值点，C正确； 对于D，令，解得或， 当时，或时，，时，， 所以为极大值点，为极小值点，而，所以D错误； 对于A，若，则，故函数为奇函数，不为轴对称图形， 若，由D选项知，在上单调递增， 在上单调递减，且，画出图象如下， 函数不为轴对称函数， 同理可得时，在上单调递增， 在上单调递减，画出图象如下： 函数不为轴对称函数， 综上，的图像不可能有对称轴，所以A错误. 故选：BC 11. 如图，正四棱锥棱长均为1，且，记平面与直线的交点为，与直线的交点为，则（ ） A. B. C. 当时， D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】综合平面几何知识及空间立体几何知识分析各选项即可得. 【详解】对于A，由题可知，∽，所以，因此，故A正确； 对于B，由A可知，所以，又，，所以，故B错误； 对于C，如图，在中，在线段CD上截取，连接HM，则是等边三角形， 所以∽， 则，所以， 解得另一个根大于1，舍去，故C正确； 对于D，设， 在中，由余弦定理可得， 在中，由余弦定理可得， 两式作差，得 ，容易发现，，，所以，所以，故D正确. 故选：ACD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 在的展开式中，的系数为__________. 【答案】24 【解析】 【分析】利用展开式的通项即可求解. 【详解】的展开式的通项为，， 令，得，故的系数为 故答案为：. 13. 已知正项等比数列的前n项和为，若，，成等差数列，且，则__________. 【答案】45 【解析】 【分析】利用等比数列以及，，成等差数列，求出公比即可进行求解． 【详解】设的公比为，因为，，成等差数列， 所以，所以， 解得负值舍去， 则， 故 故答案为：45. 14. 已知双曲线的左、右焦点分别为，，经过点的直线与C的右支交于点G，H，若的内切圆半径为2，则的内切圆半径为__________. 【答案】 【解析】 【详解】分别求得和内切圆的横坐标，再结合勾股定理与双曲线性质，即可得解. 【解答】设与的内切圆半径分别为，，不妨设直线GH的斜率为正. 如图， 点S，E，，均为切点. 由切线长定理知，，， 则， 又，可得， 则，即的内切圆圆心的横坐标为a， 同理可得的内切圆圆心的横坐标也为 所以轴，且， 作于R， 则， 在中，有，即， 整理得，故当时， 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 习近平总书记指出：要完整、准确、全面贯彻新发展理念，加快构建新发展格局，着力推动高质量发展.某部门在对新发展理念组织了全面学习后，对同一组的5名员工采取如下考核制度：在本季度末，由部门其他人对这5名员工进行投票，并统计5名员工本季度创造的营业收入.现将这5名员工所得票数x与本季度创造的营业收入单位：千元用数对表示：，，，， （1）求x与y的相关系数 （2）若将本季度创造的营业收入最少的员工移除出组，请根据该小组剩余人员的数据求y关于x的线性回归方程. 参考公式：①相关系数②在利用最小二乘法求得的线性回归方程的中，， 参考数据：，，，， 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用题中数据，根据相关系数公式即可求解; （2）由题中数据，求出和，即可得回归直线方程. 【小问1详解】 由题可知，， 所以 【小问2详解】 由题可知，需将营业收入为60千元的员工移除出组，剔除数据后的， ，， ，， 所以， 故 故y关于x的线性回归方程为 16. 已知函数 （1）判断在定义域内是否单调，并说明理由； （2）证明： 【答案】（1）在定义域内不单调，理由见解析 （2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）先求出的定义域，求导利用导数来判断函数的单调性； （2）由（1）得，再结合函数的单调性求解即可证明. 【小问1详解】 在定义域内不单调，理由如下： 由题可知的定义域为，， 令，则，故在上单调递减， 又，， 故存在，使得，即， 则当时，，单调递增， 当时，，单调递减， 故在定义域内不单调. 【小问2详解】 由（1）可得， 因为在区间上单调递增， 故当时，， 故 【点睛】导函数中常用的两种常用的转化方法：一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题，注意分类讨论与数形结合思想的应用，二是函数的零点，不等式证明常转化为函数的单调性、极（最）值问题处理. 17. 已知椭圆的左、右焦点分别为，，点P在C上，且，直线的斜率为，过点的直线l与C交于A，B两点，当轴时，四边形的面积为 （1）求C的方程; （2）若以AB为直径的圆与直线相切，求l的斜率. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据条件求出a，b，即可得椭圆方程; （2）由题易知直线l的斜率存在且不等于0，设其方程为，联立椭圆方程，利用韦达定理和弦长公式求出圆的半径，利用直线与圆相切求出t即可得斜率. 【小问1详解】 设，，， 在椭圆方程中令，得， 由题可设， 则，① 当轴时，， 故四边形为矩形，其面积为，② 由①②及，可得，，， 故C的方程为 【小问2详解】 由题易知直线l的斜率存在且不等于0，设其方程为 联立可得， 则 设，，则，， 所以， 则圆的半径 设圆心坐标为，其中，则， 因为以AB为直径的圆与直线相切，所以， 即，解得， 故直线l的斜率为 18. 如图，在四面体中，为棱上一点，，，，且，，二面角的大小为. （1）证明：平面； （2）求四面体的外接球的体积； （3）求的长. 【答案】（1）证明见解析 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用勾股定理可证得，再结合以及线面垂直的判定定理可证得结论成立； （2）推导出平面，，将四面体补成长方体，计算出长方体外接球的半径，再结合球体体积公式可求得结果； （3）以点为坐标原点，、、的方向分别为、、轴的正方向建立空间直角坐标系，设，，利用空间向量法求出的值，即可求出线段的长. 【小问1详解】 因为，，， 所以，即. 又因，，、平面， 所以平面 【小问2详解】 因为平面，平面，所以， 由题可知， 将四面体补成长方体，如下图所示： 所以四面体的外接球即为长方体的外接球， 该球的直径为， 即，所以四面体ACDE的外接球的体积为. 【小问3详解】 因平面，， 以点为坐标原点，、、的方向分别为、、轴的正方向建立如下图所示的空间直角坐标系， 设，，则、、、， 则，， ， 设平面法向量为， 则，取，可得， 设平面的法向量为， 则，取，则， 因为，解得， 于是. 19. 设的三个内角分别为A，B，C，函数 （1）若，证明： （2）证明：当且仅当，，中至少有两个大于 （3）求出所有大于3的n的值，满足：对任意锐角三角形 ABC，都恒大于0或恒小于 【答案】（1）证明见解析 （2）证明见解析 （3）4 【解析】 【分析】（1）根据题意，由三角函数恒等变换和正弦函数的性质代入计算，即可得结果； （2）先证当时，成立，然后分情况讨论即可得证； （3）根据题意，分和两种情况讨论即可. 【小问1详解】 当时， ， 当且仅当为等边三角形时取等号. 【小问2详解】 先证明：当时，有 因为 ， 第一个等号当且仅当与同号时成立， 第二个等号当且仅当时成立， 所以成立. ①若，，都小于或等于0，则 ②若，，中有两个小于或等于0， 不妨设，，， 则 ③若，，中有两个大于0，不妨设，，，则，，所以； ④若，，都大于0，则 综上，原命题得证. 【小问3详解】 当时，不妨设，由于为锐角三角形，故， 所以有，即， 由（2）得 当时，令，则x在区间内变化的过程中， 由于区间满足， 而函数在每一个周期内，函数取正值时自变量对应的区间长度为， 所以，，使得， 故对于，有， 对于，有 所以当时，不存在n，使得对所有的锐角三角形ABC都取值同号. 综上所述 【点睛】关键点睛：关键在于先证当时，成立，然后分类讨论即可. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$