精品解析：广东省深圳市致理中学等校2024-2025学年高二上学期1月期末考试数学试题

2024~2025学年度高二上学期期末考试 数学 考生注意： 1．本试卷满分150分，考试时间120分钟． 2．答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚． 3．考生作答时，请将答案答在答题卡上．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效． 4．本卷命题范围：选择性必修一全册，选择性必修二数列． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 直线的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】求出直线的斜率，利用斜率与倾斜角的关系可得出该直线的倾斜角. 【详解】因为直线的斜率为， 因此，直线的倾斜角为. 故选：A. 2. 已知等差数列的公差为，若，则（ ） A. 1 B. 6 C. D. -2 【答案】C 【解析】 【分析】根据等差数列的通项公式计算求解即可. 【详解】因为等差数列的公差为，又因为，则. 故选：C. 3. 若双曲线的离心率为4，则（ ） A. 3 B. C. 4 D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据双曲线的性质，代入离心率表达式，求得参数m. 【详解】因为，，所以，又，所以. 故选：B. 4. 在等比数列中，若，则（ ） A. B. C. D. 1 【答案】C 【解析】 【分析】根据等比数列项的性质计算求解即可. 【详解】因为等比数列中，若，则. 故选：C. 5. 已知直线的一个方向向量为，直线的一个方向向量为，若直线、所成的角等于，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用空间向量法可得出关于的等式，解之即可. 【详解】由题意可得，解得. 故选：B. 6. 圆与圆的公切线条数是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】分析圆心距和两圆半径的关系，可知两圆外切，即可得到两圆公切线条数. 【详解】圆的圆心，半径，圆的圆心，半径. 因为，所以两圆外切，所以圆与圆的公切线有3条. 故选：C. 7. 设为抛物线的焦点，过上一点作其准线的垂线，垂足为，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用抛物线的定义求出的坐标，结合直角三角形可求答案. 【详解】设，由抛物线的定义可得，所以，； 不妨设，则,所以. 故选：B 8. 已知等差数列的前n项和为，若，则使得成立的正整数n的最大值为（ ） A. 20 B. 21 C. 22 D. 23 【答案】B 【解析】 【分析】设等差数列的公差为，由条件推得，，则得，推出数列为递增数列，推出即可求得. 【详解】设等差数列的公差为，由可得：，则，， 故数列为递增数列，又，， 故使得成立的正整数n的最大值为21. 故选：B. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知向量分别为两个不同的平面的法向量，为直线的方向向量，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】AB 【解析】 【分析】根据判断选项A，D；根据判断选项B；根据判断选项C. 【详解】因为，所以，所以，A正确，D错误； 因为，且，所以，B正确； 因为，所以或者错误. 故选：AB 10. 已知等比数列的公比为，，则（ ） A. B. C. D. 数列是公比为的等比数列 【答案】ACD 【解析】 【分析】由求出的值，可判断A选项；根据、的值可求出的值，可判断B选项；利用等比数列的求和公式可判断C选项；利用等比数列的定义可判断D选项. 【详解】因为等比数列的公比为，， 对于A选项，，A对； 对于B选项，，B错； 对于C选项，，C对； 对于D选项，由题意可知，， 则对任意的，，所以，， 因此，数列是公比为的等比数列，D对. 故选：ACD. 11. 如图，曲线可以看作“蝴蝶结”的一部分，已知曲线上除原点外的所有点均满足其到原点的距离的立方与该点横纵坐标之积的绝对值的商恒为定值（），则（ ） A. 曲线关于直线对称 B. 曲线经过点，其方程为 C. 曲线围成的图形面积小于 D. 存在，使得曲线上有5个整点（即横、纵坐标均为整数的点） 【答案】ACD 【解析】 【分析】首先根据已知条件求出曲线方程，再运用曲线的对称性、放缩解决曲线所围图形面积以及整点的概念，分别分析每个选项. 【详解】对于A，先求曲线方程，设曲线上一点（）， 由已知，即. 若点在曲线上，则也满足曲线方程， 所以曲线关于直线对称，A选项正确. 对于B，将代入曲线方程，得，即，，此时方程为，B选项错误. 对于C，，则， 所以C在以圆心为O，半径为的圆内，结合图形知道，C选项正确. 对于D，由于，所以， 由曲线的对称性可知，要使曲线上有5个整点， 则曲线在第一象限内有两个整点，当整点为时，， 此时整点都在曲线上，其有3个整点，不满足题意; 当整点为时，，此时整点均在曲线上， 且均不在曲线上，其有5个整点，满足题意，D正确. 故选：ACD. 【点睛】关键点点睛：本题关键是找准图形的信息，求出曲线方程，后运用性质，如对称性，整点，面积借助放缩成半圆即可求解. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 12. 已知，直线，若，则实数的值为______. 【答案】 【解析】 【分析】根据直线垂直的充要条件计算即可. 【详解】因为， 所以，即，解得（舍去）或. 故答案为：. 13. 已知点在平面内，点在外，且的一个法向量，则点到平面的距离为___________． 【答案】## 【解析】 【分析】先求平面内点与点连线的方向向量，根据点到面的距离公式求解即可. 【详解】，又平面的一个法向量， 所以点到平面的距离为. 故答案为： 14. 已知，是双曲线：（，）的左、右顶点，，是双曲线上第二象限内的点，设直线的斜率为，直线的斜率为，且，则双曲线的离心率为_________；当取得最大值时，则点的纵坐标为_________． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】由已知可得，设出点的坐标，利用斜率坐标公式列式计算出，进而求出离心率；利用基本不等式求出取得最大值的条件，再求出点的纵坐标. 【详解】依题意，，，双曲线：， 设， 则，，， 所以双曲线的离心率； 显然，则，当且仅当时取等号， 由，解得，而，则， 所以点的纵坐标为. 故答案为：2； 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知等比数列满足． （1）求数列的通项公式； （2）记，为数列的前项和，若，求正整数的值． 【答案】（1） （2）10 【解析】 【分析】（1）设出等比数列的公比，结合已知列出方程组，即可求出通项公式. （2）由（1）的结论求出，再利用裂项相消法求和即可得解. 【小问1详解】 设数列的公比为，则，解得，则， 所以数列的通项公式为． 【小问2详解】 由（1）知， 所以． 由，得，解得， 所以满足的正整数的值为10． 16. 如图，在四棱锥中，平面，，，且，，M是AD的中点，N是AB的中点． （1）求证：平面ADE； （2）求直线CM与平面DEN所成角的正弦值． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）由已知线面关系，证明平面，有，又可证，可证得平面； （2）以C为坐标原点建立空间直角坐标系，利用向量法求线面角的正弦值. 【小问1详解】 证明：因为平面，平面，所以， 由，知，， 又，平面，所以平面， 因为平面，所以， 因为，是的中点，所以， 又，平面， 所以平面． 【小问2详解】 平面，，以为坐标原点， 以，，所在直线分别为，，轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，，，，， 故，，， 设平面的法向量， 则，令，则， 设直线与平面所成角为， 则， 即直线与平面所成角的正弦值． 17. 已知等差数列满足成等比数列． （1）求数列的通项公式； （2）若，求数列的前项和． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据等差、等比中项可得，，结合题意解方程可得，进而可得公差和通项； （2）由（1）可得：，利用裂项相消法运算求解即可. 【小问1详解】 因为数列为等差数列，则，即， 又因为成等比数列，则， 联立方程，解得或， 且，则，可知公差， 所以数列的通项公式. 【小问2详解】 由（1）可得：， 所以. 18. 已知圆，圆的圆心在直线上，且过点． （1）求圆的标准方程； （2）已知第二象限内的点在圆上，过点作圆的切线恰好与圆相切，求的斜率； （3）判断是否存在斜率为1的直线与圆交于点P，Q，与圆交于点M，N，且，若存在，求出；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2） （3）不存在，理由见解析 【解析】 【分析】（1）设出圆心，由得到方程，求出，得到圆心，进而求出半径，得到圆的标准方程； （2）设，则，设出切线方程，由到切线的距离为1得到方程，又，化简得到，解得，代入切线方程，化简得到，根据到的距离得到或，联立，求出，舍去不合要求的解，求出，故的斜率为； （3）设的方程为，由直线与两圆的位置关系得到不等式，求出，由垂径定理和，解得或，均不满足要求，故不存在斜率为1的直线与圆交于点P，Q，与圆交于点M，N，且. 【小问1详解】 设圆的圆心为，由得 ，解得， 故圆心为，半径为， 故圆的标准方程为； 【小问2详解】 设，则， 显然过点的切线斜率存在， 过点的切线方程设为， 圆心到切线的距离为1，即， 即， 又，故，即，解得， 故，即，即， 圆心到的距离为2，即， 故或，解得或， 若，联立，解得，与矛盾，舍去， 若，联立，解得或0（舍去）， 故，所以， 故的斜率为； 【小问3详解】 不存在斜率为1的直线与圆交于点P，Q，与圆交于点M，N，且，理由如下： 设的方程为， 由题意得，圆心到的距离，解得， 圆心到的距离，解得， 故， 由垂径定理得， 解得或，均不满足要求， 故不存在斜率为1的直线与圆交于点P，Q，与圆交于点M，N，且. 【点睛】过圆上一点的切线方程为：， 过圆外一点的切点弦方程为：. 19. 定义：若椭圆上的两个点满足，则称 为该椭圆的一个“共轭点对”，记作.已知椭圆 的离心率为，且椭圆 过点. （1）求椭圆 的方程； （2）求“共轭点对”中点 所在直线的方程； （3）设 为坐标原点，点在椭圆 上， ，（2）中的直线与椭圆 交于两点，且点的纵坐标大于，设四点在椭圆 上逆时针排列.证明：四边形的面积小于 . 【答案】（1） （2）. （3）证明：由（2）知，直线， 联立，解得或，则， 设点，则，两式相减得， 又 ，于是，所以，所以， 所以线段 的中点在上，故线段 被直线平分， 设点到直线的距离为，则四边形的面积， 而，故， 设过点且与直线平行的直线的方程为，则当与 相切时，最大， 由，消去 得， 令，解得， 当时，此时方程为，即，解得， 则此时点或点必有一个和点重合，不符合条件 ，从而直线与 不可能相切， 即小于平行直线和（或）的距离， 所以，得证. 【解析】 【分析】（1）根据条件列出的方程组，由此求解出的值，则椭圆方程可知； （2）代入 坐标于，得到点 坐标的关系式，由此可知点 所在直线的方程； （3）根据条件先分析出 与的位置关系，然后将四边形的面积通过点到直线的距离以及弦长表示出来，根据点的临界位置分析出面积的临界值，从而完成证明. 【小问1详解】 依题意，，解得 所以椭圆 的方程为. 【小问2详解】 因为，所以，所以， 所以点 所在的直线的方程为. 【小问3详解】 略 【点睛】关键点点睛：解答本题第三小问的关键点有两个，一方面是点差法的使用，通过点差法结合斜率公式判断出 被平分，简化后续四边形的面积表示；另一方面是确定点的临界位置，通过平行于的直线与椭圆相切确定出高的临界值即可确定面积临界值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024~2025学年度高二上学期期末考试 数学 考生注意： 1．本试卷满分150分，考试时间120分钟． 2．答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚． 3．考生作答时，请将答案答在答题卡上．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效． 4．本卷命题范围：选择性必修一全册，选择性必修二数列． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 直线的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 2. 已知等差数列的公差为，若，则（ ） A. 1 B. 6 C. D. -2 3. 若双曲线的离心率为4，则（ ） A. 3 B. C. 4 D. 4. 在等比数列中，若，则（ ） A. B. C. D. 1 5. 已知直线的一个方向向量为，直线的一个方向向量为，若直线、所成的角等于，则（ ） A. B. C. D. 6. 圆与圆的公切线条数是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 7. 设为抛物线的焦点，过上一点作其准线的垂线，垂足为，若，则（ ） A. B. C. D. 8. 已知等差数列的前n项和为，若，则使得成立的正整数n的最大值为（ ） A. 20 B. 21 C. 22 D. 23 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知向量分别为两个不同的平面的法向量，为直线的方向向量，且，则（ ） A. B. C. D. 10. 已知等比数列的公比为，，则（ ） A. B. C. D. 数列是公比为的等比数列 11. 如图，曲线可以看作“蝴蝶结”的一部分，已知曲线上除原点外的所有点均满足其到原点的距离的立方与该点横纵坐标之积的绝对值的商恒为定值（），则（ ） A. 曲线关于直线对称 B. 曲线经过点，其方程为 C. 曲线围成的图形面积小于 D. 存在，使得曲线上有5个整点（即横、纵坐标均为整数的点） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 12. 已知，直线，若，则实数的值为______. 13. 已知点在平面内，点在外，且的一个法向量，则点到平面的距离为___________． 14. 已知，是双曲线：（，）的左、右顶点，，是双曲线上第二象限内的点，设直线的斜率为，直线的斜率为，且，则双曲线的离心率为_________；当取得最大值时，则点的纵坐标为_________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知等比数列满足． （1）求数列的通项公式； （2）记，为数列的前项和，若，求正整数的值． 16. 如图，在四棱锥中，平面，，，且，，M是AD的中点，N是AB的中点． （1）求证：平面ADE； （2）求直线CM与平面DEN所成角的正弦值． 17. 已知等差数列满足成等比数列． （1）求数列的通项公式； （2）若，求数列的前项和． 18. 已知圆，圆的圆心在直线上，且过点． （1）求圆的标准方程； （2）已知第二象限内的点在圆上，过点作圆的切线恰好与圆相切，求的斜率； （3）判断是否存在斜率为1的直线与圆交于点P，Q，与圆交于点M，N，且，若存在，求出；若不存在，请说明理由． 19. 定义：若椭圆上的两个点满足，则称 为该椭圆的一个“共轭点对”，记作.已知椭圆 的离心率为，且椭圆 过点. （1）求椭圆 的方程； （2）求“共轭点对”中点 所在直线的方程； （3）设 为坐标原点，点在椭圆 上， ，（2）中的直线与椭圆 交于两点，且点的纵坐标大于，设四点在椭圆 上逆时针排列.证明：四边形的面积小于 . 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $