精品解析：江西省萍乡市2024-2025学年九年级上学期1月期末数学试题

萍乡市2024—2025学年度第一学期教学质量监测 九年级数学试卷 说明： 1．本卷共六大题，23小题，全卷满分120分，考试时间120分钟． 2．本卷所有题均在答题卡上作答，解答题应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分，每小题只有一个正确选项） 1. 下列方程中是关于x的一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据一元二次方程的定义逐项判断解答即可． 【详解】A、将方程整理，得，是一元二次方程，故正确； B、不是整式方程，故错误； C、若，则就不是一元二次方程，故错误； D、将方程整理，得，是一元一次方程，故错误． 故选：A． 【点睛】本题主要考查了一元二次方程的判断，掌握定义是解题的关键．即一元二次方程有3个特点：（1）只含有一个未知数；（2）未知数的最高次数是2；（3）是整式方程． 2. 如图所示的几何体的俯视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据从上面看到的图形是俯视图，即可求解． 【详解】解：该几何体的俯视图是 3. 在一个不透明的袋中装着2个红球和1个白球，它们只有颜色上的区别，随机从袋中摸出一个小球，记下颜色后放回，再随机的取出一个球，两次恰好是一个红球和一个白球的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与两球恰好是一个红球和一个白球的情况，再利用概率公式即可求得答案． 【详解】画树状图得： ∵共有9种等可能的结果，两球恰好是一个红球和一个白球的有4种情况， ∴两球恰好是一个红球和一个白球的概率为：． 故选：B． 【点睛】本题考查了列表法或树状图法求概率．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比． 4. 如图是一把折叠椅子及其侧面的示意图，把一个简易刻度尺与地面垂直放置，其中与“0”刻度线重合，点落在“3”刻度线上，与“5”刻度线重合，若测得，则的长是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质．证明，根据相似三角形的性质“相似三角形对应高的比等于相似比”列式计算即可求解． 【详解】解：根据题意得， ∴， ∴， ∵， ∴， 故选：B． 5. 如图，在菱形中，，的垂直平分线交于点，点为垂足，连接，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据菱形的性质，垂直平分线的性质可得，再证，得到，由，即可求解． 【详解】解：∵四边形是菱形，是对角线，， ∴，， 如图所示，连接， ∵是的垂直平分线， ∴， ∴是的角平分线， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故选：B ． 【点睛】本题考查了菱形的性质，垂直平分线的性质，三线合一，全等三角形的判定和性质，掌握菱形的性质，全等三角形的性质是解题的关键． 6. 如图，四边形为平行四边形，和平行于x轴，点A在函数上，点B、D在函数上，点C在y轴上，则四边形的面积为（　　） A. 13 B. 18 C. 21 D. 26 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了反比例函数与几何综合，平行四边形的性质，熟知反比例函数比例系数的几何意义是解题的关键． 作轴于E，轴于F，轴于H，由平行四边形的性质可得，再根据反比例函数比例系数的几何意义进行求解即可． 【详解】解：作轴于E，轴于F，轴于H，设与轴交于点，与轴交于点，与轴交于点，如图所示： ∵四边形为平行四边形，和平行于x轴， ∴ 即四边形为平行四边形， ∴ ． 故选：C． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分，请把答案填在答题卡上） 7. 一元二次方程的一次项系数、二次项系数、常数项的和是______． 【答案】2 【解析】 【分析】先确定一次项系数是4，二次项系数是1，常数项是-3，计算它们的和即可． 【详解】因为一元二次方程的一次项系数是4，二次项系数是1，常数项是-3， 所以， 故答案为：2． 【点睛】本题考查了一元二次方程的基本概念，熟练掌握中二次项系数为a，一次项系数是b，常数项是c是解题的关键． 8. 如图，已知，那么线段的长度等于____________ 【答案】 【解析】 【分析】根据平行线分线段成比例定理列出比例式，代入数值进行计算即可. 【详解】解：∵AB∥CD∥EF ∴ , ∵AD=6，DF=3，BC=7， ∴, ∴CE=. 故答案为：. 【点睛】本题考查平行线分线段成比例定理，找准对应关系是解答此题的关键. 9. x1，x2是方程x2+2x﹣3＝0的两个根，则代数式x12+3x1+x2＝_____． 【答案】1 【解析】 【分析】先根据根与系数的关系得到x1+x2=-2，再利用x1是方程x2+2x-3=0的根得到x12+2x1-3=0，即x12+2x1=3，则x12+3x1+x2=x12+2x1+x1+x2，然后利用整体代入的方法计算． 【详解】∵x1，x2是方程x2+2x-3=0的两个根， ∴x12+2x1-3=0，即x12+2x1=3，x1+x2=-2， 则x12+3x1+x2 =x12+2x1+x1+x2 =3-2 =1. 故答案是：1． 【点睛】考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两根时，x1+x2=-，x1x2=．也考查了一元二次方程解的定义． 10. 如图，在平面直角坐标系中，已知A（1，0），D（3，0），△ABC与△DEF位似，原点O是位似中心．若AB=1.5，则DE=_____． 【答案】4.5 【解析】 【详解】解：已知A（1，0），D（3，0），可得OA=1，OD=3， 又△ABC与△DEF位似，AB=1.5， ， DE=4.5. 11. 如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，与轴交于点，过点作轴，垂足为，若，，则的值为__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一次函数与反比例函数的综合，勾股定理，掌握一次函数与坐标轴的交点，几何图形面积的计算得到是解题的关键． 根据一次函数与坐标轴的交点的计算可得，由此勾股定理可得，根据三角形面积的计算可得，代入一次函数即可求解． 【详解】解：一次函数的图象与轴交于点， ∴令，则， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵过点作轴， ∴点的纵坐标为， ∵， ∴， ∴， ∵一次函数的图象与反比例函数的图象交于点， ∴在一次函数中， 解得，， 故答案为： ． 12. 如图，在直角梯形ABCD中，，，，，，动点P从点A出发，以每秒2个单位的速度向点B运动，运动到B点停止，若以点P，A，D为顶点的三角形与相似时，运动时间______． 【答案】或1或6 【解析】 【分析】当与相似，根据相似三角形的对应边的比相等可求出，但应分两种情况讨论． 【详解】解：依题意得：，则， ∵，， ∴. 当时 ∴， ∴， ∴ 当时 ∴， ∴， ∴或． ∴，1或6． 故答案为：或1或6． 【点睛】本题考查了对相似三角形性质的理解，掌握相似三角形的对应边的比相等是解题的关键． 三、解答题（本大题共5小题，每小题6分，共30分） 13. （1）解方程：； （2）已知，且，求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查解一元二次方程，比的性质，掌握因式分解法，由比的性质得到，是解题的关键． （1）运用因式分解法求一元二次方程即可； （2）运用比的性质设，则，代入计算可得，则，由此即可求解． 【详解】解：（1）， 等式右边提取公式得，， 移项得，， 因式分解得，， ∴或， 解得，； （2）∵， ∴设， ∴， ∴，整理得， 解得，， ∴， ∴． 14. 如图，已知菱形．请按要求在图中仅用无刻度的直尺画图． （1）在图1中，点E是的中点，画出线段的中点M； （2）在图2中，，垂足为E，过点C画出边上的高． 【答案】（1） 点M即为所求： ． （2） 即为所求： ． 【解析】 【分析】（1）如图，连接，则，的交点为三条中线的交点，连接并延长交于即可； （2）如图，连接交于，连接并延长交于，连接即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【点睛】本题考查的是三角形的中线的性质，菱形的性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，矩形的判定与性质，熟练的利用基本几何图形的性质进行作图是解本题的关键． 15. 如图：正方形中，点分别在边上，，连接交于点，点为中点，连接，求证：． 【答案】 证明：∵四边形是正方形， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，即是直角三角形， ∵点为中点， ∴， ∵， ∴． 【解析】 【分析】本题主要考查正方形的性质，全等三角形的性质，直角三角形斜边中线等于斜边的一半，掌握正方形的性质得到三角形全等是解题的关键． 根据正方形的性质可证，得到，则有，即是直角三角形，根据直角三角形斜边中线等于斜边的一半即可求解． 【详解】略 16. “养鱼大王”老张为了与销售商签订购销合同，需要对自己池塘中鱼的总重量进行估计．为此，他先从鱼池中捞出条鱼，将每条鱼做上记号放入水中；当它们完全混合于鱼群后，又捞出条称得重量为千克，且带有记号的鱼为条．问： （1）老张的鱼塘中估计有多少条鱼？ （2）池塘中的鱼约共重多少千克？ 【答案】（1）老张的鱼塘中估计有条鱼 （2）池塘中的鱼约共重千克 【解析】 【分析】本题主要根据样本百分比估算总体数量，分式方程的运用，理解数量关系，正确列式求解是解题的关键． （1）根据样本估算总体数量的方法列分式方程求解即可； （2）根据捞出条称得重量为千克，结合池塘鱼的数量即可求解． 【小问1详解】 解：从鱼池中捞出条鱼，将每条鱼做上记号放入水中，当它们完全混合于鱼群后，又捞出条带有记号的鱼为条， 设老张的鱼塘中有条鱼， ∴， 解得，， 检验，当时，原分式方程有意义， ∴老张的鱼塘中估计有条鱼； 【小问2详解】 解：捞出条称得重量为千克， ∴（千克）， ∴池塘中的鱼约共重千克． 17. 关于x的一元二次方程． （1）求证：方程总有两个实数根； （2）若方程有一个根小于1，求k的取值范围． 【答案】（1） 证明：在方程中， ， 方程总有两个实数根． （2） 【解析】 【分析】本题考查了根的判别式、因式分解法解一元二次方程以及解一元一次不等式，解题的关键是掌握根的判别式； （1）根据方程的系数结合根的判别式，可得，由此可证出方程总有两个实数根； （2）利用分解因式法解一元二次方程，可得出、，根据方程有一根小于1，即可得出关于的一元一次不等式，即可得出的取值范围． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：， ，． 方程有一根小于1， ，解得：， 的取值范围为． 四、解答题（本大题共3小题，每小题8分，共24分） 18. 生产某款零部件的一间工厂，因为实施技术升级改造，生产效率提升，月份生产个，同年月份则生产个．该零部件成本为元/个，某批发商销售一段时间后发现，当零件售价为元时，月销售量为个，若在此基础上售价每上涨元，则月销售量将减少个． （1）求该工厂月份到月份生产数量的平均增长率； （2）批发商为使月销售利润达到元，而且尽可能让消费者得到实惠，则该零部件的实际售价应定为多少元？ 【答案】（1）该工厂月份到月份生产数量的平均增长率为 （2）该零部件的实际售价应定为元 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解决本题的关键． （1）设该工厂月份到月份生产数量的平均增长率为，根据题意列方程，解方程即可； （2）设该零件的售价元/个，根据题意列出方程，解方程，再结合要尽可能让购买方得到实惠，确定的值，即可． 【小问1详解】 解：设该工厂月份到月份生产数量的平均增长率为， 由题意得， 解得或（舍去）， 故该工厂月份到月份生产数量的平均增长率为． 【小问2详解】 解：设该零部件的实际售价元/个，则每个的销售利润为元，此时月销售量将减少个，则月销售量为个， 由题意得， 解得，， ∵要尽可能让消费者得到实惠， ∴， 故该零部件的实际售价应定为元． 19. 如图，在矩形ABCD中，E是边AB的中点，连接DE交对角线AC于点F， （Ⅰ）求证：△AFE∽△CFD； （Ⅱ）若AB＝4，AD＝3，求CF的长． 【答案】 （Ⅰ）证明：∵四边形ABCD是矩形， ∴AE∥DC， ∴∠FAE＝∠FCD，∠FEA＝∠FDC， ∴△AFE∽△CFD， （Ⅱ） 【解析】 【分析】（Ⅰ）根据矩形对边平行，有AE∥DC，可知△AFE∽△CFD； （Ⅱ）根据相似三角形的性质可得，再利用已知线段的长代入即可求出CF的长． 【详解】（Ⅰ）略 （Ⅱ）由（1）知△AFE∽△CFD， ∴， 而E是边AB的中点，且AB＝4，AD＝3， ∴AE＝2，AC＝5， ∴， 而AC＝5， ∴AF＝，CF＝， 故CF的长为：． 【点睛】本题考查的是相似三角形的判定与性质，根据对应边成比例即可利用已知线段求出未知线段的长度． 20. 如图，在安装路灯AB的路面CD比种植树木的地面PQ高，身高的红英MN站在距离C点15米的路面上．在路灯的照射下，路基CP留在地面上的影长EP为0.4米， （1）画出红英MN在地面的影子NF； （2）若红英留在路面上的影长NF为3m，求路灯AB的高度． 【答案】（1） 解：如图所示： （2）9米 【解析】 【分析】（1）根据相似即可画出影子NF； （2）如图，设AB=x m，CB=y m．构建方程组解决问题即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：设， ∵， ， ∴ ∴解得， 经检验是分式方程的解， ∴， 答：灯AB的高度为米． 【点睛】本题考查中心投影，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会利用参数，构建方程组解决问题． 五、解答题（本大题共2小题，每小题9分，共18分） 21. 如图，菱形中，与交于点O，． （1）求证：四边形是矩形； （2）连接，交于点F，连接，若，求长． 【答案】（1） 证明：四边形为菱形， ，， ， ， ， 又， 四边形为平行四边形， 又， 四边形是矩形； （2） 【解析】 【分析】（1）根据菱形的性质得到，，根据矩形的判定定理即可得到结论； （2）根据直角三角形的性质得到，得出，根据勾股定理即可得到答案． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：由（1）得：四边形是矩形， ，， ，， ， ， ， ， ， 为中点， ， ， ． 【点睛】本题考查了矩形的判定和性质，菱形的性质，直角三角形的性质，勾股定理等知识；熟练掌握矩形的判定和性质是解题的关键． 22. 如图，一次函数y＝x+b的图象与y轴交于点A，与反比例函数y＝（x＞0）的图象交于点B(2，6)． （1）求一次函数与反比例函数的关系式； （2）C为线段AB延长线上一点，作CDOA与反比例函数y＝（x＞0）交于点D，连接OD，当四边形ACDO为平行四边形时，求点C的坐标． 【答案】（1）y＝x+4，y＝；（2）(2，2+4) 【解析】 【分析】（1）将点B的坐标代入一次函数和反比例函数解析式中，解方程即可得出结论； （2）先求出OA，再判断出CD＝4，设出点C坐标，表示出点D坐标，进而用CD建立方程求解，即可得出结论． 【详解】解：（1）∵点B（2，6）在直线y＝x+b上， ∴2+b＝6， ∴b＝4， ∴一次函数的解析式为y＝x+4； ∵点B（2，6）在反比例函数y＝（x＞0）的图象上， ∴k＝2×6＝12， ∴反比例函数的解析式为y＝； （2）由（1）知，一次函数的解析式为y＝x+4， ∴A（0，4）， ∴OA＝4， ∵四边形ACDO为平行四边形， ∴CD＝OA＝4， 设点C的坐标为（m，m+4）（m＞2）， ∵CD∥OA， ∴D（m，）， ∴CD＝m+4﹣， ∴m+4﹣＝4， ∴m＝2或m＝﹣2（舍）， ∴C（2，2+4）． 【点睛】此题是反比例函数综合题，主要考查了待定系数法，平行四边形的性质，用方程的思想解决问题是解本题的关键． 六、解答题（本大题共12分） 23. 【问题发现】某课外数学兴趣小组对如下问题进行探究发现． （1）若四边形是菱形，，点是射线上一动点，以为边向右侧作等边，如图1，当点在菱形内部或边上时，连接，则与有怎样的数量关系？并说明理由； 【类比探究】 （2）若四边形是正方形，点是射线上一动点，以为直角边在边的右侧作等腰直角，其中，如图2．当点在对角线上，点恰好在边所在直线上时，则与有怎样的数量关系？并说明理由； 【拓展延伸】 （3）在（2）的条件下，如图3，在正方形中，，当是对角线的延长线上一动点时，连接，若，求的面积． 【答案】 [问题发现]（1），理由如下： ∵四边形是菱形， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∵是等边三角形， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； [类比探究]（2），理由如下： 如图所示，连接， ∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∴， ∵是正方形的对角线， ∴， ∴， ∵是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； [拓展延伸]（3）的面积为 【解析】 【分析】[问题发现]（1）根据菱形的性质可得是等边三角形，根据等边三角形的性质可证，即可求解； [类比探究]（2）根据正方形的性质，勾股定理定理可得，由等腰直角三角形的性质可证，得到，即可求解； [拓展延伸]（3）如图所示，连接交于点，过点作延长线于点，根据正方形的性质，勾股定理可得，则，由直角三角形的性质，等腰直角三角形的性质可证，得到，由题意设，则，在中，由勾股定理可得，则，由即可求解． 【详解】解：[问题发现] （1）略 [类比探究] （2）略 [拓展延伸] （3）如图所示，连接交于点，过点作延长线于点， ∵四边形是正方形， ∴， ∵是对角线， ∴，， ∴，， 在中，， ∵是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴设，则， 在中，， ∴，即， 整理得，， ∵， ∴， 解得，（舍去），， ∴， ∴， ∴， ∴的面积为． 【点睛】本题主要考查菱形的性质，等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，正方形的性质，勾股定理，等腰直角三角形的性质等知识的综合运用，掌握菱形的性质，正方形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质是解题关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 萍乡市2024—2025学年度第一学期教学质量监测 九年级数学试卷 说明： 1．本卷共六大题，23小题，全卷满分120分，考试时间120分钟． 2．本卷所有题均在答题卡上作答，解答题应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分，每小题只有一个正确选项） 1. 下列方程中是关于x的一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 2. 如图所示的几何体的俯视图是（ ） A. B. C. D. 3. 在一个不透明的袋中装着2个红球和1个白球，它们只有颜色上的区别，随机从袋中摸出一个小球，记下颜色后放回，再随机的取出一个球，两次恰好是一个红球和一个白球的概率为（ ） A. B. C. D. 4. 如图是一把折叠椅子及其侧面的示意图，把一个简易刻度尺与地面垂直放置，其中与“0”刻度线重合，点落在“3”刻度线上，与“5”刻度线重合，若测得，则的长是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，在菱形中，，的垂直平分线交于点，点为垂足，连接，则（ ） A. B. C. D. 6. 如图，四边形为平行四边形，和平行于x轴，点A在函数上，点B、D在函数上，点C在y轴上，则四边形的面积为（　　） A. 13 B. 18 C. 21 D. 26 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分，请把答案填在答题卡上） 7. 一元二次方程的一次项系数、二次项系数、常数项的和是______． 8. 如图，已知，那么线段的长度等于____________ 9. x1，x2是方程x2+2x﹣3＝0的两个根，则代数式x12+3x1+x2＝_____． 10. 如图，在平面直角坐标系中，已知A（1，0），D（3，0），△ABC与△DEF位似，原点O是位似中心．若AB=1.5，则DE=_____． 11. 如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，与轴交于点，过点作轴，垂足为，若，，则的值为__________． 12. 如图，在直角梯形ABCD中，，，，，，动点P从点A出发，以每秒2个单位的速度向点B运动，运动到B点停止，若以点P，A，D为顶点的三角形与相似时，运动时间______． 三、解答题（本大题共5小题，每小题6分，共30分） 13. （1）解方程：； （2）已知，且，求的值． 14. 如图，已知菱形．请按要求在图中仅用无刻度的直尺画图． （1）在图1中，点E是的中点，画出线段的中点M； （2）在图2中，，垂足为E，过点C画出边上的高． 15. 如图：正方形中，点分别在边上，，连接交于点，点为中点，连接，求证：． 16. “养鱼大王”老张为了与销售商签订购销合同，需要对自己池塘中鱼的总重量进行估计．为此，他先从鱼池中捞出条鱼，将每条鱼做上记号放入水中；当它们完全混合于鱼群后，又捞出条称得重量为千克，且带有记号的鱼为条．问： （1）老张的鱼塘中估计有多少条鱼？ （2）池塘中的鱼约共重多少千克？ 17. 关于x的一元二次方程． （1）求证：方程总有两个实数根； （2）若方程有一个根小于1，求k的取值范围． 四、解答题（本大题共3小题，每小题8分，共24分） 18. 生产某款零部件的一间工厂，因为实施技术升级改造，生产效率提升，月份生产个，同年月份则生产个．该零部件成本为元/个，某批发商销售一段时间后发现，当零件售价为元时，月销售量为个，若在此基础上售价每上涨元，则月销售量将减少个． （1）求该工厂月份到月份生产数量的平均增长率； （2）批发商为使月销售利润达到元，而且尽可能让消费者得到实惠，则该零部件的实际售价应定为多少元？ 19. 如图，在矩形ABCD中，E是边AB的中点，连接DE交对角线AC于点F， （Ⅰ）求证：△AFE∽△CFD； （Ⅱ）若AB＝4，AD＝3，求CF的长． 20. 如图，在安装路灯AB的路面CD比种植树木的地面PQ高，身高的红英MN站在距离C点15米的路面上．在路灯的照射下，路基CP留在地面上的影长EP为0.4米， （1）画出红英MN在地面的影子NF； （2）若红英留在路面上的影长NF为3m，求路灯AB的高度． 五、解答题（本大题共2小题，每小题9分，共18分） 21. 如图，菱形中，与交于点O，． （1）求证：四边形是矩形； （2）连接，交于点F，连接，若，求长． 22. 如图，一次函数y＝x+b的图象与y轴交于点A，与反比例函数y＝（x＞0）的图象交于点B(2，6)． （1）求一次函数与反比例函数的关系式； （2）C为线段AB延长线上一点，作CDOA与反比例函数y＝（x＞0）交于点D，连接OD，当四边形ACDO为平行四边形时，求点C的坐标． 六、解答题（本大题共12分） 23. 【问题发现】某课外数学兴趣小组对如下问题进行探究发现． （1）若四边形是菱形，，点是射线上一动点，以为边向右侧作等边，如图1，当点在菱形内部或边上时，连接，则与有怎样的数量关系？并说明理由； 【类比探究】 （2）若四边形是正方形，点是射线上一动点，以为直角边在边的右侧作等腰直角，其中，如图2．当点在对角线上，点恰好在边所在直线上时，则与有怎样的数量关系？并说明理由； 【拓展延伸】 （3）在（2）的条件下，如图3，在正方形中，，当是对角线的延长线上一动点时，连接，若，求的面积． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $