奥数：方阵问题（讲义）-2024-2025学年三年级上册数学全国通用

方阵问题 第1 节|方法点拨 在生活中我们会遇到很多有关排列的问题，遇到比较多的 是排成一个整齐的阵列，比如正方形阵列、长方形阵列、三角 形阵列、六边形阵列等，今天我们要学习其中的正方形阵列， 简称方阵。 一、方阵分类 ： 方阵分为实心方阵和空心方阵： 这是一个6×6的实心方阵 第3 关|方阵问题 学科网（北京）股份有限公司 二、认识方阵中的层： 这是一个6×6的三层实心方阵 三、方阵中蕴含的数量关系： 外面一层有20个点，每边 有6个点；中间一层有12个点，每边 有 4 个 点 ； 里面一层有4个点，每边有2个点。 ●●●●●● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● 这是一个6×6的两层空心 方阵 外面一层有20个点，每边 有6个点；里面一层有12个点，每边有4个点。 你也可以画一画其他数量的方阵，验证以下规律： 一般来说，方阵里，相邻的两层之间每条边上的数量相差 2,每层的数量相差8。 第2节|举一反三 经典例题1 运动会快到了，思思和同学们在操场上排练队列表演，原来排队形时她和同学们站成一个实心方阵，现在又加入了15名同学，方阵正好增加了一行一列。原来的实心方阵共由多少名学生组成? 点拨 要想求实心方阵原来共由多少名同学组成，就要知道原来 方阵每边有多少名学生。新加入的15名学生正好增加了一行一 列，是怎样排列的呢?如下图所示： 学科网（北京）股份有限公司 第3 关|方阵问题 把15名学生拆成和原来最外层每边人数一样的一行和一列，可以发现两条边的夹角多出了1人。因此，原来方阵最外面一层每边人数就可以用(15-1)÷2得到了。最后用边×边，得到原来方阵的总人数。 过程 (15-1)÷2=7(名) 7×7=49(名) 答：原来的实心方阵共由49名学生组成。 举一反三1 阿初用棋子在棋盘上摆了一个6×6的实心方阵，如果去掉一行一列，要去掉多少枚棋子? 经典例题2 小乐参加学校的队列表演，他和同学们站成了一个空心方阵，最外面的一层每边都站了10名学生，共站成了3层。这个方阵一共有多少名学生? 点 拨 这是一个空心方阵，空心方阵与实心方阵规律相似，相邻两层的数量相差8,相邻两层每边的数量相差2。 可以分别求出每层的数量，再求和。 学科网（北京）股份有限公司 过程 10×4-4=36(名)最外面一层人数 36-8=28(名) 从外向内数，第二层比最外面一层少8人 28-8=20(名) 外向内数，第三层比第二层少8人 36+28+20=84(名) 答：这个方阵一共有84名学生。 点拨 还可以这样想：学生们组成了一个三层的空心方阵，把中间一层的学生数当成标准，最外面一层的学生数比中间层多8,最里面一层的学生数比中间层少8,如果把最外面一层多的8人分给最里面一层，那外面、中间、里面的三层学生数就一样多了，因此三层的总数就是中间一层学生人数的3倍。 过 程 10-2=8(名)中间一层每边有8名学生 8×4-4=28(名)中间一层有28名学生 28×3=84(名)学生总数是中间一层学生人数的3倍 答：这个方阵一共有84名学生。 小区门口的花坛布置得很漂亮，用120盆蝴蝶兰摆成了一个3层的空心方阵，这个空心方阵最外面一层有多少盆蝴蝶兰?最外面一层每边有多少盆蝴蝶兰? 第3关|方阵问题 经 典 例 题 3 阿初参加学校组织的“小小设计师”活动，在设计花坛项目中，她想用粉色和紫色两种颜色的郁金香摆成一个空心方阵，外面一层摆放粉色郁金香，里面一层摆放紫色郁金香，共摆放了72束郁金香，问：粉色和紫色的郁金香各需要多少束?如果想在外面增加一层双色郁金香，需要增加多少束双色郁金香? 点拨 阿初设计的是一个两层空心方阵，根据相邻两层数量相差8,外面一层比里面一层多8,72束郁金香去掉8束，那么这个数量就是里面一层数量的2倍了。也可以把72束郁金香再增加8束，这时的这个数量就是外面一层郁金香数量的2倍了。两种方法都可以顺利计算出粉色和紫色郁金香的具体数量。最外面一层的双色郁金香又比粉色郁金香多8束。 解题 (72-8)÷2=32(束)最里面一层紫色郁金香的数量 32+8=40(束) 外面一层的粉色郁金香比紫色多8束 或72-32=40(束) 40+8=48(束) 最外面一层的双色郁金香比粉色多8束 答：需要紫色郁金香32束，需要粉色郁金香40束。需要 学科网（北京）股份有限公司 增加48束双色郁金香 思思用棋子摆成了一个空心方阵，最外面一层共有52枚棋子，最里面一层共有20枚棋子，围成这个空心方阵，思思共用了多少枚棋子? 经典例题4 小乐用棋子围成了一个每边有12枚棋子的空心方阵，摆完后他发现剩下的棋子数不够在外围再增加一层了。如果保持原来的棋子位置不动的情况下，想要变成一个更大的两层空心方阵，至少还需要多少枚棋子? 点拨 每边有12枚棋子，这是一个12×12的一层空心方阵，如果外围能够正好增加一层，每边的棋子数是12+2=14(枚),就变成14×14的两层空心方阵。由于剩下的棋子数不够，想要变成一个更大的两层空心方阵，就只能变成13×13的两层空心方阵了。可以在原来的基础上，外面增加一行一列，在里面的对角处增加一行一列，也就是外面增加半层的棋子，里面也增加半层的棋子。如图所示： 学科网（北京）股份有限公司 第3 关|方阵问题 学科网（北京）股份有限公司 外面增加的半层是每边有13枚棋子，里面增加的半层是每 边有10枚棋子。 过 程 13×2-1=25(枚) 10×2-1=19(枚) 25+19=44(枚) 答：想要变成一个更大的两层空心方阵，至少还需要44枚 棋子。 点 拨 还可以这样想：如上图所示，外面增加的半层与里面增加 的半层，正好和原来小乐围成的那个12×12的一层空心方阵棋 子数是一样多的，计算出原来的棋子数，也就知道还需要多少 枚棋子数了。 过程 12×4-4=44(枚) 答：想要变成一个更大的两层空心方阵，至少还需要44枚 棋子。 用黑白两种颜色共196枚棋子摆成一个实心方阵，最外面 一层是白色，从外向内数第二层是黑色，第三层是白色，第四 层是黑色……按照这样的规律，白色棋子共有多少枚? 第3节|练一练 1. 思思用棋子在棋盘上摆出了一个实心方阵，阿初又添加了 19枚棋子，使得原来的方阵又横竖各增加了一排。问：原来的实 心方阵共有多少枚棋子?现在的实心方阵一共有多少枚棋子? 2.共有200人排成了一个5层的空心方阵，这个方阵最外 面一层有多少人?要想在里面增加一层，需要增加多少人? 3. 小明用棋子围成了一个每边有10枚棋子的空心方阵，摆 完后他发现剩下的棋子数不够在外围再增加一层了。如果保持 原来的棋子位置不动，想要变成一个更大的两层空心方阵，至少还需要多少枚棋子? 学科网（北京）股份有限公司 第3关|方阵问题 4.春天来了，小明和小伙伴们到植物园参观。他们看到粉 红色和金黄色两种颜色的月季花摆成了一个正方形实心方阵， 共100盆月季花，最外面一层是粉红色的，从外向内数第二层 是金黄色的，第三层是粉红色的，第四层是金黄色的……按照 这样的规律摆放，粉红色和金黄色的月季花各有多少盆?谁的 数量更多?多多少盆? $$