7.2椭圆(一)学案-2025届高三数学一轮复习

椭圆（一） 【课程标准】 1.了解椭圆的实际背景，感受椭圆在刻画现实世界和解决实际问题中的作用. 2.掌握椭圆的定义、标准方程及简单几何性质. 3.通过椭圆的学习，进一步体会数形结合的思想． 【基础知识梳理】 1．椭圆的定义 把平面内与两个定点F1，F2的距离的和等于________(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆．这两个定点叫做椭圆的________，两焦点间的距离叫做椭圆的________． 注意：(1)当动点M满足|MF1|＋|MF2|＝常数>|F1F2|时，动点M的轨迹为椭圆； (2)当动点M满足|MF1|＋|MF2|＝常数＝|F1F2|时，动点M的轨迹为以F1，F2为两端点的线段； (3)当动点M满足|MF1|＋|MF2|＝常数<|F1F2|时，动点M的轨迹不存在． 2．椭圆的简单几何性质 焦点 的位置 焦点在x轴上 焦点在y轴上 图形 标准方程 ＋＝1 (a>b>0) ＋＝1 (a>b>0) 范围 顶点 轴长 短轴长为________，长轴长为________ 焦点 焦距 |F1F2|＝________ 对称性 对称轴：____________，对称中心：________ 离心率 a，b，c 的关系 常用结论 椭圆的焦点三角形 椭圆上的点P(x0，y0)与两焦点构成的△PF1F2叫做焦点三角形．如图所示，设∠F1PF2＝θ. (1)当P为短轴端点时，θ最大，最大． (2)|PF1|max＝a＋c，|PF1|min＝a－c. (3)|PF1|·|PF2|≤2＝a2. (4)4c2＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1||PF2|cos θ. (5)焦点三角形的周长为2(a＋c)． 【考点突破】 考点一 椭圆的定义及其应用 例1.（1）如图，圆O的半径为定长r，A是圆O内一个定点，P是圆上任意一点，线段AP的垂直平分线l和半径OP相交于点Q，当点P在圆上运动时，点Q的轨迹是(　　 ) A．椭圆 B．双曲线 C．抛物线 D．圆 (2)(2023·全国甲卷)设F1，F2为椭圆C：＋y2＝1的两个焦点，点P在C上，若·＝0，则|PF1|·|PF2|＝ 对点练1.（1）已知F1，F2是椭圆＋＝1的两个焦点，点P是椭圆上一点，3|PF1|＝4|PF2|，则S△PF 1F 2＝(　　) A．24 B．26 C．22 D．24 (2)已知椭圆＋＝1上的一点P到焦点F1的距离为6，点M是PF1的中点，O为坐标原点，则|OM|＝(　　) A．2 B．4 C．7 D．14 考点二 椭圆的标准方程 角度1　定义法 例2.已知两圆C1：(x－4)2＋y2＝169，C2：(x＋4)2＋y2＝9，动圆在圆C1内部且和圆C1相内切，和圆C2相外切，则动圆圆心M的轨迹方程为 角度2　待定系数法 例3.已知椭圆的中心在原点，以坐标轴为对称轴，且经过两点P1(，1)，P2(－，－)，则该椭圆的方程为________________． 【当堂检测】 1．[多选题]下列说法正确的是(　　) A．平面内与两个定点F1，F2的距离之和等于常数的点的轨迹是椭圆 B．椭圆是轴对称图形，也是中心对称图形 C．＋＝1(m≠n)表示焦点在y轴上的椭圆 D．＋＝1(a>b>0)与＋＝1(a>b>0)的焦距相等 2.如果点M(x，y)在运动过程中，总满足关系式＋＝4，则点M的轨迹是(　　) A．不存在 B．椭圆 C．线段 D．双曲线 3.已知圆C1：(x＋1)2＋y2＝25，圆C2：(x－1)2＋y2＝1，动圆M与圆C2外切，同时与圆C1内切，则动圆圆心M的轨迹方程为(　　) A.＋y2＝1 B.＋＝1 C.＋y2＝1 D.＋＝1 4.若F1，F2分别为椭圆C：＋＝1的左、右焦点，A，B为C上两动点，且A，B，F1三点共线，则△ABF2的周长为(　　) A．4 B．8 C．10 D．20 5.过点(3,2)且与椭圆3x2＋8y2＝24有相同焦点的椭圆方程为(　　) A.＋＝1 B.＋＝1 C.＋＝1 D.＋＝1 6.过点(3,2)且与椭圆3x2＋8y2＝24有相同焦点的椭圆方程为 学科网（北京）股份有限公司 $$