4.1指数（导学案）高一数学人教A版必修第一册

4.1指数（导学案） 1、理解n次方根、根式的概念与性质，掌握分数指数幂的定义和运算公式，熟练实现根式与分数指数幂的互化，能进行指数幂的简单运算。 2、经历整数指数幂拓展为分数指数幂的推导过程，体会等价转化、由特殊到一般的数学思想，提升运算求解与归纳推理能力。 3、感受指数运算体系的完整性与统一性，体会数学知识的递进规律，养成严谨细致、规范运算的良好学习习惯。 重点：理解次方根与根式概念，掌握根式性质，会根式与分数指数幂互化，熟练运用实数指数幂运算性质化简求值。 难点：理解分数指数幂的意义，偶次根式化简的符号判断，灵活处理含字母根式、指数幂的复杂化简运算。 阅读教材，完成以下问题： 【1】根式及相关概念 (1)a的n次方根定义 如果xn＝a，那么x叫做a的n次方根，其中n>1，且n∈N*. (2)根式：式子叫做根式，这里n叫做根指数，a叫做被开方数． 【2】根式的性质(n>1，且n∈N*) (1)n为奇数时，＝ a . (2)n为偶数时，＝|a|＝| (3)＝ 0 . (4)负数没有偶次方根． 【3】分数指数幂的意义 分数指数幂 正分数指数幂 规定：a＝———— (a>0，m，n∈N*，且n>1) 负分数指数幂 规定：a＝＝————(a>0，m，n∈N*，且n>1) 0的分数指数幂 0的正分数指数幂等于0， 0的负分数指数幂没有意义. 【4】有理数指数幂的运算性质 (1)aras＝ar＋s(a>0，r，s∈Q)． (2)(ar)s＝ars(a>0，r，s∈Q)． (3)(ab)r＝arbr(a>0，b>0，r∈Q)． 问题1：初中我们就已经学习过平方根，立方根。同学们是否还记得它们是怎样定义的吗？ 【知识点拨】 注意：一个非负数的平方根有两个，且它们互为相反数； 特别地，0的平方根为0，记作 例如：∵，∴4的平方根为，记作， 其中4的算术平方根为，记作 探究一、n次方根 【辨析1】填空： 4的平方根是__________； -4的平方根是___________; 8的平方根是_________； -8的平方根是_________； −27的立方根是__________; 27的立方根是________； 16的4次方根是________； −16的4次方根是_________; 64的4次方根是_______； 32的5次方根是________； −32的5次方根是_________. 思考1：从辨析1中，你能发现并总结次方根的性质吗？ 思考2：为什么负数没有偶次方根？ 【辨析2】求下列各式的值： (1) (2) ; (3); (4). 问题2：表示的次方根，那么一定成立吗？ 问题3：一定成立吗？ 探究二、分数指数幂 问题4：若，试化简，， 追问1：观察上述式子，你能发现什么吗？ 追问2：当根式的被开方数的指数不能被根指数整除时，根式是否也可以表示为分数指数幂的形式？ 问题5：与所表达的意义是否相同，你发现了什么？ 探究三、无理数指数幂 问题6：根据的不足近似值和过剩近似值(如下表)，利用计算工具计算相应的，的近似值并填入表中，观察它们的变化趋势，你有什么发现？ 【例1】求下列各式的值： (1) (2) ; (3); (4). 【例2】求值：(1) 【例3】用分数指数幂的形式表示并计算下列各式（其中） (1) 【例4】计算下列各式(式中字母均是正数)： (1)； (2)； (3)(). 【题型1：根式的化简与求值】 1、化简： (1) (2) (3). 2、设,求的值. 3、 将下列根式化成分数指数幂形式。 4、用分数指数幂表示下列各式： 【题型2：实数指数幂的运算】 1、计算下列各式（式中字母都是正数）。 . 2、化简或计算下列各式： 【题型3：整体代换法求分数指数幂】 1、已知，求下列各式的值： 一、单选题 1．（    ） A． B． C． D． 2．设，则的分数指数幂形式为（    ） A． B． C． D． 3．下列运算正确的是（     ） A． B． C． D． 4．如果那么x的取值范围是（   ） A． B． C． D．且 5．已知，则的值是（ ） A． B． C． D． 6．已知 ，则的值为（   ） A．3 B．4 C． D．7 7．已知正实数满足，则的最小值是（   ） A．6 B．8 C．12 D．16 8．某课外小组想研究某种植物在一定条件下的生长规律，根据试验数据发现，在相同条件下，这种植物每周以的增长率生长.若经过8周后，该植物的长度是原来的倍，则再经过4周，该植物的长度大约是原来的（    ） A．倍 B．倍 C．倍 D．倍 二、多选题 9．下列各式一定成立的是（    ） A． B． C． D． 10．下列各式运算正确的是（    ） A． B． C． D． 11．已知，是关于的方程的两个不相等的根.若，则（   ） A．或 B． C． D． 三、填空题 12．已知，，则的值为________． 13．计算的结果为______________. 14．已知a满足，则的值为______. 四、解答题 15．用分数指数幂表示下列各式： (1)； (2)； (3)． 16．（1）已知，求的值； （2）已知，，求的值。 17．计算下列各式： (1)； (2)； (3). 18．对于正整数和非零实数，有，求的值． 1．本节课核心知识（结合课堂知识总结）：_________________________________________________ 2．今日错题 / 不懂的内容：_______________________________________________________________ 3．出错 / 听不懂的原因：□概念不会 □审题马虎 □思路没掌握 4．我的改进小计划： _________________________________________________________________________________________ 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 4.1指数（导学案）（解析版） 1、理解n次方根、根式的概念与性质，掌握分数指数幂的定义和运算公式，熟练实现根式与分数指数幂的互化，能进行指数幂的简单运算。 2、经历整数指数幂拓展为分数指数幂的推导过程，体会等价转化、由特殊到一般的数学思想，提升运算求解与归纳推理能力。 3、感受指数运算体系的完整性与统一性，体会数学知识的递进规律，养成严谨细致、规范运算的良好学习习惯。 重点：理解次方根与根式概念，掌握根式性质，会根式与分数指数幂互化，熟练运用实数指数幂运算性质化简求值。 难点：理解分数指数幂的意义，偶次根式化简的符号判断，灵活处理含字母根式、指数幂的复杂化简运算。 阅读教材，完成以下问题： 【1】根式及相关概念 (1)a的n次方根定义 如果xn＝a，那么x叫做a的n次方根，其中n>1，且n∈N*. (2)根式：式子叫做根式，这里n叫做根指数，a叫做被开方数． 【答案】 根指数 被开方数 【2】根式的性质(n>1，且n∈N*) (1)n为奇数时，＝ a . (2)n为偶数时，＝|a|＝| (3)＝ 0 . (4)负数没有偶次方根． 【答案】 ＝ 0 偶数 【3】分数指数幂的意义 分数指数幂 正分数指数幂 规定：a＝———— (a>0，m，n∈N*，且n>1) 负分数指数幂 规定：a＝＝————(a>0，m，n∈N*，且n>1) 0的分数指数幂 0的正分数指数幂等于0， 0的负分数指数幂没有意义. 【答案】 0 不存在 【4】有理数指数幂的运算性质 (1)aras＝ar＋s(a>0，r，s∈Q)． (2)(ar)s＝ars(a>0，r，s∈Q)． (3)(ab)r＝arbr(a>0，b>0，r∈Q)． 【答案】 问题1：初中我们就已经学习过平方根，立方根。同学们是否还记得它们是怎样定义的吗？ 【答案】如果,那么就称为的平方根，记作 正的平方根叫的算术平方根，记作 如果,那么就称为的平方根，记作 如果,那么就称为的立方根，记作 【知识点拨】 注意：一个非负数的平方根有两个，且它们互为相反数； 特别地，0的平方根为0，记作 例如：∵，∴4的平方根为，记作， 其中4的算术平方根为，记作 探究一、n次方根 【辨析1】填空： 4的平方根是__________； -4的平方根是___________; 8的平方根是_________； -8的平方根是_________； −27的立方根是__________; 27的立方根是________； 16的4次方根是________； −16的4次方根是_________; 64的4次方根是_______； 32的5次方根是________； −32的5次方根是_________. 【答案】±2 ；不存在 ； ； 不存在； -3 ；3 ； ±2 ；不存在 ； ； 2 ；-2 。 思考1：从辨析1中，你能发现并总结次方根的性质吗？ 【答案】 思考2：为什么负数没有偶次方根？ 【答案】因为任意实数的偶次方都是非负数 【辨析2】求下列各式的值： (1) (2) ; (3); (4). 【答案】：(1)； (2)； (3)； (4) 问题2：表示的次方根，那么一定成立吗？ 【答案】不一定， 问题3：一定成立吗？ 【答案】一定成立 探究二、分数指数幂 问题4：若，试化简，， 【答案】① ② ③ 追问1：观察上述式子，你能发现什么吗？ 【答案】当根式的被开方数（看成幂的形式）的指数能被根指数整除时，根式可以表示为分数指数幂的形式。 追问2：当根式的被开方数的指数不能被根指数整除时，根式是否也可以表示为分数指数幂的形式？ 【答案】可以，把根式表示为分数指数幂的形式时，例如，把，等写成下列形式： 问题5：与所表达的意义是否相同，你发现了什么？ 【答案】； 无意义，分数指数不能随意约分，因为约分之后可能会改变根式有意义的条件 探究三、无理数指数幂 问题6：根据的不足近似值和过剩近似值(如下表)，利用计算工具计算相应的，的近似值并填入表中，观察它们的变化趋势，你有什么发现？ 【答案】 可以发现，当的不足近似值和过剩近似值逐渐逼近时， 和都趋向于同一个数，这个数就是. 也就是说，是一串逐渐增大的有理数指数幂 和另一串逐渐减小的有理数指数幂逐步逼近的结果，它是一个确定的实数。 这个过程可以用图 4.1-1 表示 【例1】求下列各式的值： (1) (2) ; (3); (4). 【分析】①② 解：(1)； (2)； (3)； (4) 【例2】求值：(1) 【分析】 解：(1) (2) 【例3】用分数指数幂的形式表示并计算下列各式（其中） (1) 解：(1) (2) 【例4】计算下列各式(式中字母均是正数)： (1)； (2)； (3)(). 【分析】 解：(1) (2) (3)() 【题型1：根式的化简与求值】 1、化简： (1) (2) (3). 解：(1) (2)显然，有意义，所以. 即 (3) 2、设,求的值. 解：原式, 而∴分情况讨论： 当时，原式； 当时，原式. 综上， 3、将下列根式化成分数指数幂形式。 解：(1) (2). (3) (4) 4、用分数指数幂表示下列各式： 解：(1) (2)； (3) 【题型2：实数指数幂的运算】 1、计算下列各式（式中字母都是正数）。 . 解：(1)原式 (2)原式； (3)原式 2、化简或计算下列各式： 解：(1)原式 (2)原式 【题型3：整体代换法求分数指数幂】 1、已知，求下列各式的值： 解：将两边同时平方，得：. (1) (2)将两边同时平方，得：.∴ (3) 一、单选题 1．（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】. 2．设，则的分数指数幂形式为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】根据分数指数幂的定义：（）， 逐步化简如下：化简内层根式：； 计算根号内的同底数幂乘法：同底数幂相乘，底数不变，指数相加， 因此； 化简外层三次根式：， 根据幂的乘方运算性质，底数不变，指数相乘，可得， 因此结果为. 3．下列运算正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】A选项：由题意得，故选项A错误； B选项：由题意得，故选项B错误； C选项：由题意得，故选项C错误； D选项：由题意得，故选项D正确。 4．如果那么x的取值范围是（   ） A． B． C． D．且 【答案】C 【详解】解：因为二次根式的被开方数是非负数，分式的分母不等于零，则，解得． 5．已知，则的值是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据给定条件，利用指数运算化简求解。 【详解】由，得，，则，因此， 所以. 6．已知 ，则的值为（   ） A．3 B．4 C． D．7 【答案】D 【详解】由，得，两边同时平方得， 所以，得，得，故. 7．已知正实数满足，则的最小值是（   ） A．6 B．8 C．12 D．16 【答案】B 【分析】由指数运算性质得出，然后利用“1”的代换构造基本不等式，利用基本不等式求解即可。 【详解】因为，且，所以，即， 所以， 所以， 当且仅当即时取等号， 所以的最小值是. 8．某课外小组想研究某种植物在一定条件下的生长规律，根据试验数据发现，在相同条件下，这种植物每周以的增长率生长.若经过8周后，该植物的长度是原来的倍，则再经过4周，该植物的长度大约是原来的（    ） A．倍 B．倍 C．倍 D．倍 【答案】D 【详解】设植物原来的长度为，经过周后，该植物的长度为原来的倍， 即， ∴，解得， 再过4周后该植物的长度为. 因此，再经过4周，该植物的长度大约是原来的倍. 故选：D 二、多选题 9．下列各式一定成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】利用指数和幂的运算，即可得到判断。 【详解】对于A：由，故A正确。 对于B：由，故B正确； 对于C：当为正奇数，则，当为正偶数，则， 如，故C错误； 对于D：由，故D正确。 故选：ABD 10．下列各式运算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】AB 【分析】根据根式运算法依次验证各个选项即可得到结果。 【详解】对于A，，A正确 对于B，，B正确， 对于C，，C错误， 对于D，，D错误， 故选：AB. 11．已知，是关于的方程的两个不相等的根.若，则（   ） A．或 B． C． D． 【答案】BD 【分析】利用换元法设，将关于的指数方程转化为关于的一元二次方程，再利用根与系数的关系即可求解。 【详解】令，则，且关于的方程有两个不相等的正根，所以，解得； 因为，所以，又，所以，解得或（舍去），故A错误； 由A选项知，，所以，又，所以，解得或，即或； 当时，；当时，；所以，则，故B正确； 由B选项知，，故C错误； 由B选项知，，故D正确。 故选：BD. 三、填空题 12．已知，，则的值为________． 【答案】/ 【详解】. 13．计算的结果为______________. 【答案】 /0.5 【详解】 14．已知a满足，则的值为______. 【答案】2026 【详解】由，得， 因为，所以，故. 四、解答题 15．用分数指数幂表示下列各式： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）原式． （2）原式． （3）原式. 16．（1）已知，求的值； （2）已知，，求的值。 【答案】（1）7；（2）. 【分析】（1）利用指数运算性质求出的值。 （2）逆用指数运算法则，代入计算得解。 【详解】（1）由，得. （2）由，得. 17．计算下列各式： (1)； (2)； (3). 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）原式 ； （2）原式 ； （3）原式. 18．对于正整数和非零实数，有，求的值． 【答案】 【分析】由得，从而，可求的值。 【详解】，且为非零实数，． 同理可得，即． 又为正整数，且由题意可知， ． ． . 1．本节课核心知识（结合课堂知识总结）：_________________________________________________ 2．今日错题 / 不懂的内容：_______________________________________________________________ 3．出错 / 听不懂的原因：□概念不会 □审题马虎 □思路没掌握 4．我的改进小计划： _________________________________________________________________________________________ 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $