培优课 导数的综合应用(Word学生用书)-【学霸笔记·同步精讲】2026-2027学年高中数学选择性必修第一册（苏教版)

该高中数学导学案聚焦导数的综合应用，涵盖利用导数研究函数零点或方程根、证明不等式、解决恒成立问题三大核心知识点。通过典型例题如苏州质检极值问题导入，衔接导数基础应用，搭建从单一知识到综合问题的学习支架，引导学生逐步深化理解。 资料特色在于“破题思维”表格助力信息提取，规律方法总结解题步骤，结合高考模拟题与跟踪训练。培养学生逻辑推理与数学运算能力，提升应用意识，帮助学生形成解决复杂问题的思维模式，便于教师教学实施与学生自主学习。

培优课　导数的综合应用 1.利用导数研究函数的零点或方程的根（逻辑推理、数学运算）． 2.会利用导数证明不等式（逻辑推理、数学运算）． 3.利用导数研究恒成立问题（逻辑推理、数学运算）． 题型一　利用导数研究函数的零点或方程的根 （2026•苏州质检）若函数f（x）=ax3－bx＋4，当x=2时，函数f（x）取得极值－． （1）求函数f（x）的解析式； （2）若方程f（x）=k有3个不同的实数根，求实数k的取值范围． 【破题思维】 题目信息 信息读取 当x=2时，函数f（x）取得极值－ 极值点处导数为 0 方程f（x）=k有3个不同的实数根 方程根的个数等价于函数y= f（x） 与y=k的交点个数 尝试解答　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　 规律方法 　　根据函数零点个数确定参数范围的核心思想是“数形结合”，即通过函数图象与x轴的交点个数，或者两个相关函数图象的交点个数确定参数满足的条件，进而求得参数的取值范围，解决问题的步骤是“先形后数”． 已知函数f（x）=3ln x－x2＋2x－3ln 3－，则方程f（x）=0的解的个数是　　　　． 题型二　利用导数证明不等式 当x＞0时，证明：不等式ln（x＋1）＞x－x2. 【破题思维】 题目信息 信息读取 证明：不等式ln（x＋1）＞x－x2 不等式证明可转化为 “构造函数，分析函数单调性与最值”，转化为函数的最值解决 尝试解答　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　 规律方法 证明不等式f（x）＞g（x），x∈（a，b）的方法 （1）将要证明的不等式f（x）＞g（x）移项可以转化为证明f（x）－g（x）＞0； （2）构造函数F（x）=f（x）－g（x），研究F（x）的单调性； （3）若［f（x）－g（x）］′＞0，说明函数F（x）=f（x）－g（x）在（a，b）上是增函数．只需保证F（a）≥0； （4）若［f（x）－g（x）］′＜0，说明函数F（x）=f（x）－g（x）在（a，b）上是减函数．只需保证F（b）≥0. 已知x＞0，证明：1＋2x＜e2x． 题型三　利用导数研究不等式恒成立问题 设函数h（t）=－t3＋t－1.若h（t）＜－2t＋m对t∈（0，2）恒成立，求实数m的取值范围． 尝试解答　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　 规律方法 　　解决不等式恒成立问题常常是将原问题分离参数，转化为函数的最值或值域问题，我们在解决问题时常用到以下结论： （1）a＞f（x）恒成立⇔a＞f（x）max，即大于函数f（x）值域的上界； （2）a＜f（x）恒成立⇔a＜f（x）min，即小于函数f（x）值域的下界． 已知函数f（x）=＋2ln x，若当a＞0时，f（x）≥2恒成立，求实数a的取值范围． 1.（2026•南通月考）若不等式ax2≥ln x恒成立，则实数a的取值范围是（　　） A．［，＋∞）　 　B．（，＋∞） C．（－∞，］　 　D．（－∞，） 2.（2026•镇江月考）若直线y=a与函数y=x3－3x的图象有三个相异的交点，则a的取值范围是　　　　． 3.已知x＞1，证明：ln x＋＞1. 完成课后作业　第五章　培优课 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $