7.4圆锥的侧面展开图 同步练习2024-2025学年青岛版数学九年级下册

7.4圆锥的侧面展开图 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．用半径为，圆心角是的扇形围成一个圆锥的侧面，则这个圆锥的底面半径为（    ） A．3 B．2 C．1.5 D．1 2．用半径为4，圆心角为的扇形纸片围成一个圆锥的侧面，则这个圆锥的底面圆半径为（    ） A． B．1 C． D．4 3．若要用一个底面直径为10，高为12的实心圆柱体，制作一个底面和高分别与圆柱底面半径和高相同的圆锥，则该圆锥的侧面积为（　　） A．60π B．65π C．78π D．120π 4．圆锥的底面半径为8，母线长为9，则该圆锥的侧面积为（　 　）． A． B． C． D． 5．已知是正六边形的外接圆，正六边形的边心距为，将图中阴影部分的扇形围成一个圆锥的侧面，则该圆锥的底面圆的半径为（    ） A．1 B． C． D． 6．一个圆锥的侧面展开图形是半径为8cm，圆心角为120°的扇形，则此圆锥的底面半径为（ ） A．cm B． cm C．3cm D． cm 7．已知圆锥侧面展开图的圆心角为90°，则该圆锥的底面半径与母线长的比为 A．1∶2 B．2∶1 C．1∶4 D．4∶1 8．已知圆锥的侧面积为6πcm2，侧面展开图的圆心角为60°，则该圆锥的母线长（  ） A．36cm B．18cm C．6cm D．3cm 9．如图，圆锥的底面圆半径r为5cm，高h为12cm，则圆锥的侧面积为（       ） A．cm2 B．cm2 C．cm2 D．cm2 10．如图，从一张腰长为，顶角为的等腰三角形铁皮中剪出一个最大的扇形，用此剪下的扇形铁皮围成一个圆锥的侧面（不计损耗），则该圆锥的底面半径为（　　） A． B． C． D． 11．如图，沿一条母线将圆锥侧面剪开并展平，得到一个扇形，若圆锥的底面圆的半径cm，扇形的圆心角为120°，则该圆锥的母线l长为（    ）． A．4cm B．5cm C．6cm D．8cm 12．如图，圆锥的高，底面圆的半径，则圆锥的全面积为（    ） A． B． C． D． 二、填空题 13．如图，用一个半径为，弧长为的扇形铁皮制作一个无底的圆锥，则圆锥的高 ． 14．若圆锥的母线长为8cm，其底面半径为2cm，则圆锥的侧面积为 cm2（结果保留π）． 15．如图，把矩形纸片分割成正方形纸片和矩形纸片后，分别裁出扇形和半径最大的圆，若恰好能作为一个圆锥的侧面和底面，则 ．    16．一个圆锥的高为4，底面半径为3，它的侧面展开图的面积是 ． 17．如图，正方形ABCD中，分别以B，D为圆心，以正方形的边长10为半径画弧，形成树叶型（阴影部分）图案． ①树叶图案的周长为； ②树叶图案的面积为； ③若用扇形BAC围成圆锥，则这个圆锥底面半径为2.5； ④若用扇形BAC围成圆锥，则这个圆锥的高为；上述结论正确的有 ． 三、解答题 18．如图，已知在⊙O中，AB=4，AC是⊙O的直径，AC⊥BD于F，∠A=30°． （1）求图中阴影部分的面积； （2）若用阴影扇形OBD围成一个圆锥侧面，请求出这个圆锥的底面圆的半径． 19．如图，某工厂要选一块矩形铁皮加工成一个底面半径为20 cm，高为cm的圆锥形漏斗，要求只能有一条接缝(接缝忽略不计)，请问：选长、宽分别为多少厘米的矩形铁皮，才能使所用材料最省？ 20．如图，若为等腰直角三角形，其中，，将等腰绕其斜边所在直线旋转一周，求所得几何体的全面积．    21．如图，从半径为9cm的圆形纸片剪去圆周的一个扇形，将留下的扇形围成一个圆锥（接缝处不重叠），那么这个圆锥的高为多少？ 22．如图，沿一条母线将圆锥侧面剪开并展平，得到一个扇形，若圆锥的底面圆的半径，扇形的圆心角，求该圆锥的母线长． 23．一块四边形余料如图所示，已知，米，米，以点为圆心，为半径的圆与相切于点，交于点，用扇形围成一个圆锥的侧面，求这个圆锥底面圆的半径． 24．已知扇形的圆心角为，面积为. (1)求扇形的弧长； (2)若把此扇形围成一个圆锥(接缝处忽略不计)，则这个圆锥的全面积是多少？ 第1页 共4页 ◎ 第2页 共4页 第1页 共4页 ◎ 第2页 共4页 学科网（北京）股份有限公司 《7.4圆锥的侧面展开图》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 D B B C C A C C A A 题号 11 12 答案 C C 1．D 【分析】把扇形的弧长和圆锥底面周长作为相等关系，列方程求解． 【详解】设此圆锥的底面半径为，根据圆锥的侧面展开的扇形的弧长等于圆锥底面周长可得， ，解得． 故选：D． 【点睛】本题考查了圆锥侧面展开扇形与底面圆之间的关系，圆锥的侧面展开图是一个扇形，此扇形的弧长等于圆锥底面周长，扇形的半径等于圆锥的母线长． 2．B 【分析】本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．设这个圆锥的底面圆半径为，利用弧长公式得到，然后解关于的方程即可． 【详解】解：设这个圆锥的底面圆半径为， 根据题意得， 解得， 所以这个圆锥的底面圆半径为1． 故选：B 3．B 【分析】直接得出圆锥的母线长，再利用圆锥侧面积求法得出答案． 【详解】解：由题意可得：圆锥的底面半径为5，母线长为：， 该圆锥的侧面积为：π×5×13=65π． 故选B． 【点睛】此题主要考查了圆锥的计算，正确记忆圆锥侧面积求法是解题关键． 4．C 【分析】利用圆锥的侧面积=π×底面半径×母线长，把相关数值代入即可求解． 【详解】解：∵圆锥的底面半径为8，母线AB为9， ∴圆锥的侧面积=π×8×9=72π． 故选：C． 【点睛】此题考查了圆锥的侧面积的计算公式，熟记关于底面半径和母线长的圆锥的侧面积公式是解决本题的关键． 5．C 【分析】根据边心距求得外接圆的半径为2，根据圆锥的底面圆周长等于扇形的弧长，计算圆锥的半径即可． 【详解】如图,过点O作OG⊥AF，垂足为G， ∵正六边形的边心距为， ∴∠AOG=30°，OG=， ∴OA=2AG， ∴， 解得GA=1， ∴OA=2， 设圆锥的半径为r，根据题意，得2πr=， 解得r=， 故选C． 【点睛】本题考查了扇形的弧长公式，圆锥的侧面积，熟练掌握弧长公式，圆锥的侧面积公式是解题的关键． 6．A 【详解】试题分析：设此圆锥的底面半径为r，根据圆锥的侧面展开图扇形的弧长等于圆锥底面周长可得： r=cm．故选A． 考点：弧长的计算． 7．C 【分析】设圆锥的母线长是R，则扇形的弧长是 设底面半径是r， 则 ∴ ∴圆锥的底面半径与母线长的比为1：4． 故选C． 【详解】 8．C 【详解】试题解析：设母线长为r，圆锥的侧面展开后是扇形，侧面积S==6π， ∴r=6cm， 故选C． 考点：圆锥的计算． 9．A 【分析】根据圆锥的侧面积公式：S=πrl，直接代入数据求出即可． 【详解】解：由圆锥底面半径r=5cm，高h=12cm， 根据勾股定理得到母线长l==13（cm）， 根据圆锥的侧面积公式：πrl=π×5×13=65π（cm2）， 故选：A． 【点睛】此题主要考查了圆锥侧面积公式，熟练地应用圆锥侧面积公式求出是解决问题的关键． 10．A 【分析】根据等腰三角形的性质得到的长，再利用弧长公式计算出弧的长，设圆锥的底面圆半径为，根据圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长可得到． 【详解】过作于， ， ， ， 弧的长， 设圆锥的底面圆的半径为，则，解得． 故选A． 【点睛】本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长． 11．C 【分析】利用圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长结合弧长公式列式求解即可． 【详解】解：根据题意得：， 解得：l＝6， 即该圆锥母线l的长为6． 故选：C． 【点睛】本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长． 12．C 【分析】先计算圆的底面周长、利用勾股定理解得圆锥母线的长，最后由全面积=底面圆的面积+圆锥侧面面积即可解题． 【详解】∵底面圆的半径为， ∴底面圆的周长， 又∵圆锥的高为， ∴圆锥的母线长为， ∴侧面面积， 底面积为， ∴全面积为：， 故选：C． 【点睛】本题考查圆锥的母线、侧面积、全面积、勾股定理等知识，是基础考点，掌握相关知识是解题关键． 13．8 【分析】本题考查的是圆锥的计算，正确理解圆锥的底面圆周长是扇形的弧长是解题的关键，根据圆的周长公式求出圆锥的底面半径，再根据勾股定理计算，得到答案． 【详解】解：∵弧长为， ∴圆锥的底面周长为， ∵圆锥的底面半径为， 则圆锥的高， 故答案为∶8． 14．16π． 【分析】圆锥的侧面积=底面周长×母线长，把相应数值代入即可求解． 【详解】圆锥的侧面积＝2π×8×2＝16π（cm2）． 故答案为：16π． 【点睛】本题考查了圆锥的计算，解题的关键是弄清圆锥的侧面积的计算方法，特别是圆锥的底面周长等于圆锥的侧面扇形的弧长． 15． 【分析】设AB＝x，AD＝y，则DE＝y﹣x，根据扇形的弧长等于圆锥底面圆的周长列出方程，求解即可． 【详解】解：设AB＝x，AD＝y，则DE＝y﹣x， 根据题意，得： ， 整理得：x＝2(y﹣x) 解得：， 即：． 故答案为：． 【点睛】本题考查了圆锥的计算，正确理解圆锥的侧面展开图与原来的扇形之间的关系是解决本题的关键，理解圆锥的母线长是扇形的半径，圆锥的底面圆周长是扇形的弧长． 16．15 【分析】利用勾股定理易得圆锥的母线长，圆锥的侧面积=π×底面半径×母线长． 【详解】∵圆锥的底面半径是3，高是4， ∴圆锥的母线长为=5， ∴这个圆锥的侧面展开图的面积是π×3×5=15π． 故答案为15π． 【点睛】本题考查了圆锥的计算；掌握圆锥的侧面积的计算公式是解决本题的关键． 17．①③/③① 【分析】根据正方形的性质，弧长公式，扇形面积公式，勾股定理计算即可． 【详解】∵四边形ABCD是正方形， ∴∠D=∠B=90°， ∴弧长为：， ∴树叶图案的周长为； ∴结论①是正确的； 阴影的面积为2， ∴结论②是错误的； 根据题意，得=2πr， 解得r=2.5， ∴结论③是正确的； 根据题意，得锥高=， ∴结论④是错误的； 故答案为：①③． 【点睛】本题考查了正方形的性质，扇形面积，弧长公式，圆锥的计算，熟练掌握扇形面积，弧长公式，圆锥的计算是解题的关键． 18．（1）；（2） 【详解】（1）过O作OE⊥AB于E，则AE=AB=2． 在RtAEO中，∠BAC=30°，cos30°=． ∴OA==4． 又∵OA=OB，∴∠ABO=30°．∴∠BOC=60°． ∵AC⊥BD，∴． ∴∠COD =∠BOC=60°．∴∠BOD=120°．   ∴S阴影=． （2）设圆锥的底面圆的半径为r，则周长为2πr， ∴． ∴． 19．选长为90 cm，宽为60 cm的矩形铁皮，才能使所用材料最省． 【分析】由于底面半径，高线，母线正好组成直角三角形，可由勾股定理求得母线长，则扇形的圆心角=底面周长×180÷（母线长×π），可在一长方形内画出一半径为60，圆心角为120°的扇形，有两种方案，由矩形和直角三角形的性质求得矩形长和宽，进而求得矩形的面积，比较即可得出用材料最省的方案． 【详解】∵圆锥形漏斗的底面半径为20cm，高为cm，∴圆锥的母线长为R60(cm)． 设圆锥的侧面展开图的圆心角为n°，则有=2π×20，解得：n=120． 方案一：如图①，扇形的半径为60 cm，矩形的宽为60 cm，易求得矩形的长为 cm． 此时矩形的面积为= (cm2)． 方案二：如图②，扇形与矩形的两边相切，有一边重合，易求得矩形的宽为60 cm，长为30＋60=90(cm)，此时矩形的面积为90×60=5 400(cm2)． ∵>5400，∴方案二所用材料最省，即选长为90 cm，宽为60 cm的矩形铁皮，才能使所用材料最省． 【点睛】本题考查了圆锥的计算，解决本题，需利用所给数值得到扇形的半径及圆心角，进而利用构造的直角三角形求解． 20． 【分析】易得此几何体为圆锥，那么全面积底面周长母线长． 【详解】解：作， 由题意知，在中，，， ， ， 以为半径的圆的周长， 得到的几何体全面积为．    【点睛】此题主要考查了圆锥侧面积的计算，解题的关键是利用圆锥的侧面积底面周长母线长得出． 21．cm 【分析】设圆锥的底面圆的半径为r cm，利用圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长，根据扇形的面积公式得到2πr＝，解得r＝6，然后利用勾股定理计算这个圆锥的高． 【详解】解：设圆锥的底面圆的半径为r cm， 根据题意得2πr＝， 解得r＝6， 所以这个圆锥的高＝（cm）． 【点睛】本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长，解题关键是掌握圆锥相关知识． 22． 【分析】根据侧面展开图的弧长等于底面周长列方程即可． 【详解】解：圆锥的底面周长， 由题意可得，解得， 所以该圆锥的母线长为． 【点睛】本题考查了圆锥的有关计算，解题关键是熟知圆锥的侧面展开图的弧长等于圆锥底面周长和圆锥母线等于圆锥侧面展开图半径，根据题意建立方程． 23． 【分析】连接AE，利用勾股定理得AE=BE，由此即可求出∠ABE的度数，再先求出扇形的圆心角∠DAB的度数，再由弧长公式求出弧长，此弧长就是所得圆锥的底面圆的周长，由圆的周长公式即可求得所得圆锥的底面半径． 【详解】如图，连接， ∵AD为半径的圆与BC相切于点E， ∴AE⊥BC，AE=AD=2． 在Rt△AEB中，∵AB=，AE=2， ∴AE=BE=2， ∴∠ABE=45°． ∴是等腰直角三角形，， 设圆锥底面半径为， 由题意得， 解得． 【点睛】本题考查了切线的性质、平行线的性质、圆锥的计算，解题的关键是掌握所涉及的知识要点，并能够灵活运用． 24．(1) (2) 【分析】（1）利用扇形的面积公式求出R，再利用弧长公式计算即可． （2）求出圆锥底面圆的半径r，然后求出底面面积再加上侧面积即可． 【详解】(1)设扇形的半径为， 则，解得. ∴弧长． ∴扇形的弧长为 (2)设圆锥的底面半径为. ∵，∴， ∴圆锥的底面积是， ∴这个圆锥的全面积是． 【点睛】本题考查圆锥的计算，解题的关键是熟练掌握基本知识． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $$