7.4圆锥的侧面展开图（教学课件）数学青岛版九年级下册

主讲： 青岛版九年级下册 第7章 空间图形的初步认识 7.4 圆锥的侧面展开图 新课导入 思考：观察下列图片，它们的形状 有什么共同特点？ 新课讲授 圆的周长公式 圆的面积公式 弧长的计算公式 扇形面积计算公式 C=2πr S=πr2 l = S＝ 或 S＝ lR 回顾：圆和弧长的相关计算公式你还记得吗？ 新课讲授 在几何中，我们把下述这样的立体图形称为圆锥. 圆锥是由一个底面和一个侧面围成的图形，它的底面是一个圆，连接顶点与底面圆心的线段叫作圆锥的高. 如图，PO是圆锥的高. 圆锥顶点与底面圆上任意一点的连线段都叫作圆锥的母线，母线的长度均相等.PA是母线. 思考：圆锥的母线有几条？ 底面圆心到地面圆周上的任意一点的连线叫做底面圆的半径. 新课讲授 思考：圆锥的底面半径、高线、母线长三者之间有什么关系？ R h r R2 ＝h2＋r2 思考：把圆锥沿它的一条母线剪开，会得到什么图形呢？ 新课讲授 把圆锥沿它的一条母线剪开，它的侧面可以展开成平面图形，像这样的平面图形称为圆锥的侧面展开图，如图所示. 圆锥的侧面展开图是一个扇形. 这个扇形的半径是圆锥的母线长PA, ，弧长是圆锥底面圆的周长. P A 新课讲授 A B O C 1. 圆锥的侧面展开图是扇形. 2. 侧面展开图扇形的半径 = 母线的长. 3. 侧面展开图扇形的弧长 = 底面周长. 圆锥的侧面积和全（表）面积 圆锥的底面周长就是其侧面展开图扇形的弧长， 圆锥的母线就是其侧面展开图扇形的半径. R h r n l S侧＝S扇形＝ lR＝ ×2πrR＝πrR S侧＝ S全＝S侧＋S底 典例分析 例1 根据下列条件求值（其中r、h、R 分别是圆锥的底面半径、高线、母线长）. （1）R=2，r=1， 则 h= . （2）h=3， r=4， 则 R= . （3）R=10，h=8，则 r= . 5 6 R h r 典例分析 例2 如图,已知圆锥形工件的底面直径是80cm、母线长50cm. (1)求侧面展开图的圆心角,并画出侧面展开图; (2)求圆锥的侧面积(精确到1cm²). 解: (1)由题意可知,圆锥的侧面展开图的扇形半径为50cm,扇形弧长为80πcm. =288(度) 画出半径为50cm,圆心角为288°的扇形, 便得到该圆锥的侧面展开图. (2) 所以,这个圆锥的侧面积约为6283cm². 典例分析 例3 已知一个圆锥的轴截面△ABC是等边三角形，它的表面积为75cm2， 求这个圆锥的底面半径和母线的长. O B A 解：∵ 轴截面△ABC是等边三角形， 答：圆锥的底面半径为5cm，母线长为10cm. π × OC × AC＋π × OC2＝75π C ∴ 3π × OC2＝75π ∴ OC2＝25 ∴ OC＝5 AC＝2OC＝2×5＝10 ∴ AC=2OC. 由题意，得 典例分析 例4 如图，小刚用一张半径为24cm的扇形纸板做一个圆锥形帽子（接缝忽略不计），如果做成的圆锥形帽子的底面半径为10cm，那么这张扇形纸板的面积S是多少？ 解：扇形的弧长（即底面圆周长）为 所以扇形纸板的面积 典例分析 例5 如图,一顶帐篷的上半部是圆锥形,下半部是圆柱形.已知圆柱的底面半径为2.4m、母线长1.6m,圆锥的高为1m. (1)制作一顶这样的帐篷(接缝不计)大约需要用多少帆布(精确到0.1m²)? (2)帐篷的容积大约是多少(精确到0.1m³)? 解：(1)圆柱底面周长1=2π×2.4≈15.07, ∴S圆柱侧=lh≈15.07×1.6=24.11 在Rt△SOD中,SO=1,OD=2.4,由勾股定理,得 SD==2.6. ∴S圆锥侧=·l·SD≈19.59， ∴S圆柱侧+S圆锥侧≈24.11+19.59=43.7. 所以,制作一顶这样的帐篷大约需要用帆布43.7m². (2)V圆柱=πr²h≈3.14×2.4²×1.6≈28.95. V圆锥=×3.14×2.4²×1≈6.03. ∴V圆柱+V圆锥≈28.95+6.03≈35.0.所以,帐篷的容积大约35.0m³ 典例分析 例6 如图，圆锥的底面半径为1，母线长为3，一只蚂蚁要从 底面圆周上一点B出发，沿圆锥侧面爬到过母线AB的轴截面上另一母线AC上，问它爬行的最短路线是多少？ A B C 将圆锥沿AB展开成扇形ABB´ 则点C是弧BB’的中点， 过点B作BD⊥AC,垂足为点D， ∠BAB’= ∴∠BAD= 在Rt△ABC中，∠BAD=AB=3, ∴BD=, 答：它爬行的最短路线为 解： 课堂小结 概念 计算 应用 圆锥的 侧面展开图 半径，高，母线及其之间的关系 最短路径问题 S侧＝S扇形＝ lR＝ ×2πrR＝πrR S侧＝ S全＝S侧＋S底 学以致用 练1. 一个圆锥的底面圆的周长是4π cm，母线长是6 cm，则该圆锥的侧面展开图的圆心角的度数是( ). A. 40° B. 80° C. 120° D. 150° C 练2. 如图，圆锥的底面半径为5，母线长为20，一只蜘蛛从底面圆周上一点A出发沿圆锥的侧面爬行一周后回到点A的最短路程是 ( ) A. 8 B. C. D. D 学以致用 练3. 一个圆锥形的冰淇淋纸筒，其底面直径为6cm， 高为4cm，围成这样的冰淇淋纸筒所需纸片的面积为（ ） B. C. D. D 已知一个圆锥的底面半径为12cm，母线长为20cm，则这个圆锥的侧面积为_________，全面积为__________ 练4. 学以致用 练5. 现有一个圆心角为90°，半径为8 cm的扇形纸片，用它恰好围成一个圆锥的侧面（接缝忽略不计）. 该圆锥底面圆的半径为 cm． 2 练6. 如图，若圆锥的侧面展开图是半圆，那么这个展开图的圆心角是 度；圆锥底面半径 r 与母线 l 的比 r：l = . l r h S B A O 180 1:2 学以致用 练7. 如图，圆锥的顶点为P，AB是底面⊙O的一条直径∠APB=90°， 底面半径为r，求这个圆锥的侧面积和表面积. 解： 学以致用 练8. 哈萨克民族是一个游牧民族，喜爱居住毡房，毡房的顶部是圆锥形.如图所示，为了防雨需要在毡房顶部铺上防雨布已知圆锥的底部直径是5.7米，母线长是3.2米, 问：铺满毡房顶部至少需要防雨布多少平方米?（精确到1平方米） 解：底面直径为5.7米，则底面周长为 2π×5.7=11.4π m， 侧面面积= ×11.4π×3.2≈57.2米 $$