专题1.1 二次根式（12大知识点5大考点15类题型）（全章知识梳理与题型分类讲解）-2024-2025学年八年级数学下册全章复习与专题突破讲与练（浙教版）

专题1.1 二次根式（12大知识点5大考点15类题型）（全章知识梳理与题型分类讲解） 第一部分【知识点归纳与题型目录】 【知识点1】二次根式的概念 一般地，式子叫做二次根式. （1）若这个条件不成立，则 不是二次根式；（2）是一个重要的非负数，即； ≥0. 【知识点2】几个重要公式 （1）,（2） ；注意使用. 【知识点3】积的算术平方根 ，积的算术平方根等于积中各因式的算术平方根的积；注意：本章中的公式，对字母的取值范围一般都有要求. 【知识点4】二次根式的乘法法则 . 【知识点5】二次根式比较大小的方法 （1）利用近似值比大小； （2）把二次根式的系数移入二次根号内，然后比大小； （3）分别平方，然后比大小. 【知识点6】商的算术平方根 ，商的算术平方根等于被除式的算术平方根除以除式的算术平方根. 【知识点7】二次根式的除法法则： （1）； （2）； （3）分母有理化：化去分母中的根号叫做分母有理化；具体方法是：分式的分子与分母同乘分母的有理化因式，使分母变为整式. 【知识点8】常用分母有理化因式 ，， ，它们也叫互为有理化因式. 【知识点9】最简二次根式 （1）满足下列两个条件的二次根式，叫做最简二次根式，① 被开方数的因数是整数，因式是整式，② 被开方数中不含能开的尽的因数或因式； （2）最简二次根式中，被开方数不能含有小数、分数，字母因式次数低于2，且不含分母； （3）化简二次根式时，往往需要把被开方数先分解因数或分解因式； （4）二次根式计算的最后结果必须化为最简二次根式. 【知识点10】二次根式化简题的几种类型 （1）明显条件题；（2）隐含条件题；（3）讨论条件题. 【知识点11】同类二次根式 几个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同，这几个二次根式叫做同类二次根式. 【知识点12】二次根式的混合运算 （1）二次根式的混合运算包括加、减、乘、除、乘方、开方六种代数运算，以前学过的，在有理数范围内的一切公式和运算律在二次根式的混合运算中都适用； （2）二次根式的运算一般要先把二次根式进行适当化简，例如：化为同类二次根式才能合并；除法运算有时转化为分母有理化或约分更为简便；使用乘法公式等. 第一部分【题型目录】 知识点与题型目录 【考点1】概念与性质理解巩固 【题型1】二次根式的意义.................................................3 【题型2】利用二次根式的性质化简求值.....................................4 【题型3】最简二次根式与同类二次根式.....................................6 【题型4】分母有理化.....................................................7 【题型5】复合二次根式...................................................9 【考点2】二次根式的运算 【题型6】二次根式的乘除运算............................................11 【题型7】二次根式的加减运算............................................13 【题型8】二次根式的加减乘除混合运算....................................14 【考点3】二次根式的化简求值 【题型9】已知字母的值，化简求值........................................15 【题型10】已知条件式，化简求值.........................................18 【题型11】比较二次根式的大小...........................................19 【考点4】二次根式的应用 【题型12】二次根式的应用...............................................21 【考点5】中考链接与拓展延伸 【题型14】直通中考.....................................................24 【题型15】拓展延伸.....................................................25 第二部分【题型展示与方法点拨】 【题型1】二次根式的意义 【例1】（23-24八年级下·贵州黔西·期末）二次根式的双重非负性是指被开方数，其化简的结果，利用的双重非负性解决以下问题： （1）已知，则的值为______； （2）若x，y为实数，且，求的值． 【答案】（1）；（2）7或3 【分析】本题考查二次根式有意义的条件，绝对值的非负性，熟练掌握二次根式有意义的条件是解题的关键． （1）根据二次根式有意义的条件，绝对值的非负性求得a，b的值，然后代入中计算即可； （2）根据二次根式有意义的条件求得x，y的值后代入中计算即可． 解：（1）解：， ∴，， 解得：，， 那么， 故答案为：； （2）解：由题意可得，， 则， 那么， 则或， 那么或， 即的值是7或3． 【变式1】（24-25九年级上·黑龙江齐齐哈尔·期末）在函数中，自变量的取值范围是 ． 【答案】且 【分析】本题主要考查了自变量取值范围、二次根式有意义的条件、分式有意义的条件、零指数幂等知识，熟练掌握相关知识是解题关键．根据二次根式有意义的条件、分式有意义的条件以及零指数幂运算法则，建立关于的不等式组，然后求解即可获得答案． 解：根据题意，可得， 解得且， 即自变量的取值范围是且． 故答案为：且． 【变式2】（24-25八年级上·重庆巫山·期末）在函数中，自变量x的取值范围是（    ） A． B． C．且 D．且 【答案】B 【分析】本题考查函数自变量的取值范围，分式有意义的条件，二次根式有意义的条件，熟练掌握求复合函数自变量的取值范围的方法是解题的关键．根据分式及二次根式有意义的条件即可求得答案． 解：函数， ，即， 故选：B． 【题型2】利用二次根式的性质化简求值 【例2】（24-25七年级下·全国·随堂练习）已知实数在数轴上的对应点如图所示，试化简：． 【答案】 【分析】本题主要考查数轴上的点确定式子的符号，绝对值的化简，二次根式的性质化简，理解数轴上的点确定式子的符号，掌握绝对值的性质化简，二次根式的性质化简是解题的关键． 根据数轴的特点可得，，，，由此，，，结合绝对值的性质，二次根式的性质化简计算即可． 解：由题图可知，，，， 故，，， ∴ ． 【变式1】（24-25八年级上·辽宁辽阳·期末）下列等式一定成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了二次根式，绝对值．根据二次根式的性质和绝对值依次进行计算即可得． 解：A、，本选项不符合题意； B、，本选项不符合题意； C、，本选项不符合题意； D、，本选项符合题意； 故选：D． 【变式2】（24-25八年级上·福建福州·期末）若实数满足，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的性质．根据二次根式的性质即可求出m的取值范围． 解：由题意可知：， 解得：， 故答案为：． 【题型3】最简二次根式与同类二次根式 【例3】（24-25八年级上·陕西西安·阶段练习）若最简二次根式与最简二次根式可以合并，求a的值． 【答案】 【分析】本题考查同类二次根式，解一元一次方程．利用同类二次根式的概念即可求出． 解：∵两个最简二次根式只有同类二次根式才能合并， ∴与是同类二次根式， ∴， 解得． 【变式1】（24-25八年级上·上海杨浦·期末）下列二次根式中，最简二次根式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查最简二次根式的定义，最简二次根式必须满足两个条件：被开方数不含分母，被开方数不含能开得尽方的因数或因式，熟练掌握最简二次根式的定义是解答本题的关键．根据最简二次根式的定义解答即可． 解：A、是最简二次根式，故A选项符合题意； B、，被开方数含有能开得尽的因式，不是最简二次根式，故B选项不符合题意； C、，被开方数含有分母，不是最简二次根式，故C选项不符合题意； D、，被开方数含有分母，不是最简二次根式，故D选项不符合题意； 故选：A． 【变式2】（24-25八年级上·上海闵行·期中）如果最简二次根式与是同类二次根式，那么的值等于 ． 【答案】 【分析】本题考查同类二次根式，根据同类二次根式的定义得到，，然后求解即可，即可得出答案．解题的关键是掌握同类二次根式的定义：把几个二次根式化为最简二次根式以后，如果被开方数相同，那么这几个二次根式叫做同类二次根式．也考查了二元一次方程组的应用． 解：∵最简二次根式与是同类二次根式， ∴， 解得：， ∴的值等于． 故答案为：． 【题型4】分母有理化 【例4】（24-25八年级上·江西抚州·期末）小明在解决问题：已知，求的值．他是这样分析与解答的： ， ． ，即． ． ． 请你根据小明的分析过程，解决如下问题： （1）计算：______； （2）计算：； （3）若，求的值． 【答案】（1）；（2）；（3） 【分析】本题考查了分母有理化，二次根式的化简求值，二次根式的加减混合，熟练掌握分母有理化是解题的关键． （1）利用分母有理化计算； （2）先分母有理化，然后合并即可； （3）先化简a，求出，然后利用整体代入的方法计算． 解：（1）解：， 故答案为：； （2）解： （3）， ， ． 【变式1】（24-25八年级上·上海·期中）把式子分母有理化过程中，错误的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了分母有理化，涉及到了因式分解等知识，解题关键是掌握式子恒等变形的方法，注意分子分母同乘或除以一个不为零的数或式子，原式的值才不变，本题据此依次判断即可． 解：A、将式子的分子分母同乘以，式子的值不变，故该选项正确，不符合题意； B、将分子因式分解为，与分母约分后得到，故该选项正确，不符合题意； C、因为有可能为0，所以分子分母同时乘以错误，故该选项符合题意； D、将分子因式分解为，与分母约分后得到，故该选项正确，不符合题意； 故选：C ． 【变式2】（24-25九年级上·四川眉山·期末）已知则代数式的值为 ． 【答案】0 【分析】本题考查了分母有理化，代数式求值，二次根式的混合运算，先化简是解题的关键． 先化简，再将化简后的结果代入，利用二次根式的混合运算法则求解． 解：， ∴， 故答案为：0． 【题型5】复合二次根式 【例5】（24-25八年级上·上海·阶段练习）“分母有理化”是我们常用的一种化简方法，除此之外，我们也可以用平方之后再开方的方式来化简一些有特点的无理数，如：对于，设，易知，故． 由， 解得，即． 根据以上方法，求的值． 【答案】 【分析】本题主要考查了化简复合二次根式，仿照题意设，再把等式两边同时平方进行计算求解即可． 解：设， ∴ ， ∴， ∵， ∴， ∴． 【变式1】（24-25八年级上·浙江温州·期末）化简的结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查二次根式的运算，根据二次根式的性质简结合利用完全平方公式计算即可解题． 解：原式 ， 故选：D． 【变式2】（22-23八年级下·安徽芜湖·阶段练习）计算的结果是 ． 【答案】 【分析】注意到，故可将原式化为，然后探寻，进而得解． 解： ； 故答案为：． 【点拨】本题考查了二次根式的化简，数字比较大，正确找到是解题的关键. 【题型6】二次根式的乘除运算 【例6】（24-25八年级上·陕西商洛·期中）计算：． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次根式的乘除法混合计算，先计算二次根式乘法，再计算二次根式除法即可得到答案． 解： ． 【变式1】（2024八年级上·全国·专题练习）计算： （1）；（2），． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题主要考查了二次根式的乘除法计算： （1）先把带分数化为假分数，再根据二次根式乘除法计算法则求解即可； （2）根据二次根式乘除法计算法则求解即可． 解：（1）解：原式 ． （2）解：原式 ． 【变式2】（23-24八年级上·全国·单元测试）计算∶ （1）； （2）． 【答案】（1）；（2） 【分析】此题考查了二次根式的乘除混合运算，解题的关键是掌握以上运算法则． （1）根据二次根式的乘除混合运算法则求解即可； （2）根据二次根式的乘除混合运算法则求解即可． 解：（1） ； （2） ． 【题型7】二次根式的加减运算 【例7】（24-25八年级上·广东梅州·期中）计算： （1） （2） 【答案】（1）6；（2） 【分析】此题考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键． （1）根据乘方的法则，去绝对值的法则，立方根的定义，实数的运算法则计算即可． （2）根据算术平方根的定义，实数的运算法则计算即可； 解：（1）解： ； （2）解： ． 【变式1】（24-25八年级上·北京石景山·期末）计算：． 【答案】 【分析】本题考查了实数的混合运算，先根据二次根式的性质、立方根的定义进行化简，再合并即可，掌握二次根式的性质、立方根的定义是解题的关键． 解：原式 ． 【变式2】（24-25八年级上·江西南昌·期末）计算： （1） （2） 【答案】（1）；（2）． 【分析】本题主要考查二次根式的化简，加减乘除混合运算，掌握二次根式的化简，二次根式的混合运算法则是解题的关键． （1）化简二次根式，根据加减法即可求解． （2）化简二次根式及零次幂和绝对值，根据二次根式的加减法即可求解． 解：（1）解： ； （2）解： ． 【题型8】二次根式的加减乘除混合运算 【例8】（24-25八年级上·上海浦东新·期末）计算：． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，掌握二次根式的运算法则是解决本题的关键．先利用二次根式的乘除法法则计算，再加减． 解：原式， ， ， 【变式1】（24-25八年级上·重庆·期末）计算： （1） （2） 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查的是二次根式的混合运算，熟知二次根式混合运算的法则是解题的关键． （1）先算乘方和负整数指数幂，再算除法，最后算加减即可； （2）先算乘除，再算加减即可． 解：（1）解： ； （2）解： ． 【变式2】（23-24八年级上·广东梅州·阶段练习）计算： 【答案】8 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，根据完全平方公式，平方差公式，零指数幂，以及化简绝对值，进行计算即可求解． 解： ． 【题型9】已知字母的值，化简求值 【例9】（24-25九年级上·四川宜宾·期中）有这样一个问题：已知，求的值． 小明是这样解答的：∵， ∴， ∴，即， ∴， ∴． 根据小明的解答过程，解决以下问题： （1）计算：． （2）已知． ①求的值； ②求的值． 【答案】（1）；（2）①，② 【分析】本题考查了分母有理化，二次根式的化简求值； （1）原式各项分母有理化，计算即可求出值； （2）①先把a分母有理化可得到，从而得到，再把式子进行整理，将代入计算即可求出值；②将式子整理成，再代入，即可求解． 解：（1）解： ； （2）解：①∵， ∴， ∴， ∴， ∴； ②∵， ∴ ． 【变式1】（24-25八年级上·全国·课后作业）已知，则的值为（  ） A．1 B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查二次根式的混合运算，根据运算法则计算即可． 解：原式 ， 故选：B． 【变式2】（24-25八年级上·四川成都·期末）已知，则代数式的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了完全平方公式，二次根式的化简求值，掌握以上知识点是解答本题的关键． 先根据题意求出，再利用完全平方公式把代数式变形为，代入求值即可解答． 解：， ， ， ， ， 故答案为：． 【题型10】已知条件式，化简求值 【例10】（24-25八年级上·上海·阶段练习）已知：，，且，求的值． 【答案】 【分析】本题考查了完全平方式的变形运用，二次根式的化简求值，利用完全平方公式可得，再对二次根式进行化简，最后把式子的值代入计算即可求解，掌握以上知识点是解题的关键． 解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴ ， ， ， ， ． 【变式1】（23-24八年级下·山东滨州·阶段练习）已知，则值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查二次根式的化简求值，根据推出，再将化为，最后代入计算即可．掌握相应的运算法则、性质及公式是解题的关键． 解：∵， ∴且， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴值为． 故选：A． 【变式2】（21-22八年级上·四川成都·期中）若，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式化简求值，先将二次根式化简，再把代入即可求出答案． 解：由题意可知， 原式 ， 当时， 原式， 故答案为：． 【题型11】比较二次根式的大小 【例11】（23-24九年级上·河南周口·阶段练习）综合实践活动课上，老师给出定理：对于任意两个正数，，若，则．随后讲解了一道例题： 参考下面例题的解法，解答下列问题： 试比较和的大小． 解：，， ∵， ∴ （1）比较和的大小． （2）比较和的大小． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查无理数比较大小，读懂题意，掌握平方运算及例题解法是解决问题的关键． （1）参考例题解法，先求原数的平方，再由负数比较大小的法则即可得到答案； （2）参考例题解法，由完全平方公式对原数进行处理，进而即可得到答案． 解：（1）解：，， ∵， ∴， ∴； （2）解：∵，， 又∵，，， ∴， ∴， ∴． 【变式1】（21-22七年级下·江西抚州·阶段练习）已知，，，那么a，b，c的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先把化为再结合从而可得答案． 解：∵， ， ， 而 ∴ 故选A． 【点拨】本题考查的是二次根式的大小比较，二次根式的混合运算，掌握“二次根式的大小比较的方法”是解本题的关键． 【变式2】（2024八年级下·全国·专题练习）比较大小： ①                 ② 【答案】 【分析】①利用作差法比较大小即可； ②利用分子有理化即可比较大小． 此题考查的是实数的比较大小，掌握利用作差法和分子有理化比较大小是解决此题的关键． 解：①， ∵， ∴， ∴ ② ∵ ∴ ∴ 故答案为：；． 【题型12】二次根式的应用 【例12】（24-25八年级上·北京通州·期末）我们已经学习了二次根式和完全平方公式，请阅读下面材料： 当时： 又 当且仅当时，． 请利用上述结论解决以下问题： （1）当时，的最小值为______，此时______； （2）若，求y的最小值． 【答案】（1）4，；（2）y的最小值为 【分析】本题考查了二次根式和完全平方公式的应用，读懂题意，能熟练仿照示例是解题的关键． （1）根据示例，得到，即可求出x的值，得到最小值； （2）仿照示例，，得到最小值． 解：（1）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 即， 当且仅当时，， 解得， ∴当时，的最小值为4，此时， 故答案为：4，； （2）解：， ∵， ∴， ∴， 当且仅当，即时，的最小值为， ∴y的最小值为． 【变式1】（23-24八年级下·福建莆田·阶段练习）已知直角三角形的周长为，斜边为4，则该三角形的面积是（　　） A．2 B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查二次根式及完全平方公式的应用，在解题过程中，应了解直角三角形的一些特殊性质，在进行求解的时候使问题变得简单． 根据直角三角形的周长和勾股定理，可求得两直角边的长以及长的乘积，由此可求出这个三角形的面积． 解：设两直角边分别为a，b， 斜边为4， ， 直角三角形的周长为， ， ， ， ， ， 所以三角形的面积是， 故选：C． 【变式2】（24-25八年级上·内蒙古包头·阶段练习）一个长方形长与宽的比的，它的对角线长为，则它的面积是 ． 【答案】30 【分析】本题主要考查勾股定理、平方根的应用，二次根式的应用，利用勾股定理建立方程求解是解答的关键．根据题意，设长为，宽为，由勾股定理列出方程求解得出，，依据面积公式求解即可得． 解：设长为，宽为，根据题意： ，即， ， 或（舍去）， ，即长方形的长为，宽为， 它的面积是， 故答案为：30． 第二部分【中考链接与拓展延伸】 【题型13】直通中考 【例1】（2024·四川德阳·中考真题）将一组数，按以下方式进行排列： 则第八行左起第1个数是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了数字类规律探索，正确归纳类推出一般规律是解题关键．求出第七行共有28个数，从而可得第八行左起第1个数是第29个数，据此求解即可得． 解：由图可知，第一行共有1个数，第二行共有2个数，第三行共有3个数， 归纳类推得：第七行共有个数， 则第八行左起第1个数是， 故选：C． 【例2】（2022·四川达州·中考真题）人们把这个数叫做黄金比，著名数学家华罗庚优选法中的“0.618法”就应用了黄金比．设，，记，，…，，则 ． 【答案】5050 【分析】利用分式的加减法则分别可求S1=1，S2=2，S100=100，•••，利用规律求解即可． 解：，， ， ， ， …， 故答案为：5050 【点拨】本题考查了分式的加减法，二次根式的混合运算，求得，找出的规律是本题的关键． 【题型14】拓展延伸 【例1】（24-25八年级上·四川宜宾·期末）如图，为等边三角形，点P为边上一动点，以为边在的右侧作等边，连接，点是边的中点，连接．若，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了等边三角形的性质、三角形全等的判定与性质、勾股定理、含30度角的直角三角形的性质等知识，正确得出点的运动轨迹在射线上是解题关键．先求出，再证出，根据全等三角形的性质可得，从而可得在点运动过程中，点的运动轨迹在射线上，然后根据垂线段最短可得当时，取得最小值，最后利用含30度角的直角三角形的性质和勾股定理求解即可得． 解：∵点是边的中点，， ∴， ∵和都是等边三角形， ∴， ∴，即， 在和中， ， ∴， ∴， ∴在点运动过程中，始终有， ∴在点运动过程中，点的运动轨迹在射线上， 由垂线段最短可知，当时，取得最小值， 此时， ∴在 中，， ∴的最小值为， 故答案为：． 【例2】（23-24七年级下·重庆·期末）如图，在长方形中，将四边形沿折叠，的对应边为，与交于点G，延长经过点A，延长交于点H，，则为（    ） A．10 B．16 C． D． 【答案】C 【分析】先求解，，如图，过作于，证明，，，都为等腰直角三角形；再进一步结合轴对称的性质与勾股定理可得答案． 解：∵，， ∴， ∴，， 如图，过作于， ∵长方形， ∴，，，， 由对折可得：，，，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，，，都为等腰直角三角形； ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵为等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， ∴； 故选C 【点拨】本题考查的是长方形的性质，轴对称的性质，勾股定理的应用，二次根式的混合运算，作出合适的辅助线是解本题的关键． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题1.1 二次根式（12大知识点5大考点15类题型）（全章知识梳理与题型分类讲解） 第一部分【知识点归纳与题型目录】 【知识点1】二次根式的概念 一般地，式子叫做二次根式. （1）若这个条件不成立，则 不是二次根式；（2）是一个重要的非负数，即； ≥0. 【知识点2】几个重要公式 （1）,（2） ；注意使用. 【知识点3】积的算术平方根 ，积的算术平方根等于积中各因式的算术平方根的积；注意：本章中的公式，对字母的取值范围一般都有要求. 【知识点4】二次根式的乘法法则 . 【知识点5】二次根式比较大小的方法 （1）利用近似值比大小； （2）把二次根式的系数移入二次根号内，然后比大小； （3）分别平方，然后比大小. 【知识点6】商的算术平方根 ，商的算术平方根等于被除式的算术平方根除以除式的算术平方根. 【知识点7】二次根式的除法法则： （1）； （2）； （3）分母有理化：化去分母中的根号叫做分母有理化；具体方法是：分式的分子与分母同乘分母的有理化因式，使分母变为整式. 【知识点8】常用分母有理化因式 ，， ，它们也叫互为有理化因式. 【知识点9】最简二次根式 （1）满足下列两个条件的二次根式，叫做最简二次根式，① 被开方数的因数是整数，因式是整式，② 被开方数中不含能开的尽的因数或因式； （2）最简二次根式中，被开方数不能含有小数、分数，字母因式次数低于2，且不含分母； （3）化简二次根式时，往往需要把被开方数先分解因数或分解因式； （4）二次根式计算的最后结果必须化为最简二次根式. 【知识点10】二次根式化简题的几种类型 （1）明显条件题；（2）隐含条件题；（3）讨论条件题. 【知识点11】同类二次根式 几个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同，这几个二次根式叫做同类二次根式. 【知识点12】二次根式的混合运算 （1）二次根式的混合运算包括加、减、乘、除、乘方、开方六种代数运算，以前学过的，在有理数范围内的一切公式和运算律在二次根式的混合运算中都适用； （2）二次根式的运算一般要先把二次根式进行适当化简，例如：化为同类二次根式才能合并；除法运算有时转化为分母有理化或约分更为简便；使用乘法公式等. 第一部分【题型目录】 知识点与题型目录 【考点1】概念与性质理解巩固 【题型1】二次根式的意义.................................................3 【题型2】利用二次根式的性质化简求值.....................................3 【题型3】最简二次根式与同类二次根式.....................................4 【题型4】分母有理化.....................................................4 【题型5】复合二次根式...................................................5 【考点2】二次根式的运算 【题型6】二次根式的乘除运算.............................................5 【题型7】二次根式的加减运算.............................................6 【题型8】二次根式的加减乘除混合运算.....................................6 【考点3】二次根式的化简求值 【题型9】已知字母的值，化简求值.........................................6 【题型10】已知条件式，化简求值..........................................7 【题型11】比较二次根式的大小............................................7 【考点4】二次根式的应用 【题型12】二次根式的应用................................................8 【考点5】中考链接与拓展延伸 【题型14】直通中考......................................................8 【题型15】拓展延伸......................................................9 第二部分【题型展示与方法点拨】 【题型1】二次根式的意义 【例1】（23-24八年级下·贵州黔西·期末）二次根式的双重非负性是指被开方数，其化简的结果，利用的双重非负性解决以下问题： （1）已知，则的值为______； （2）若x，y为实数，且，求的值． 【变式1】（24-25九年级上·黑龙江齐齐哈尔·期末）在函数中，自变量的取值范围是 ． 【变式2】（24-25八年级上·重庆巫山·期末）在函数中，自变量x的取值范围是（    ） A． B． C．且 D．且 【题型2】利用二次根式的性质化简求值 【例2】（24-25七年级下·全国·随堂练习）已知实数在数轴上的对应点如图所示，试化简：． 【变式1】（24-25八年级上·辽宁辽阳·期末）下列等式一定成立的是（   ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25八年级上·福建福州·期末）若实数满足，则的取值范围是 ． 【题型3】最简二次根式与同类二次根式 【例3】（24-25八年级上·陕西西安·阶段练习）若最简二次根式与最简二次根式可以合并，求a的值． 【变式1】（24-25八年级上·上海杨浦·期末）下列二次根式中，最简二次根式的是（   ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25八年级上·上海闵行·期中）如果最简二次根式与是同类二次根式，那么的值等于 ． 【题型4】分母有理化 【例4】（24-25八年级上·江西抚州·期末）小明在解决问题：已知，求的值．他是这样分析与解答的： ， ． ，即． ． ． 请你根据小明的分析过程，解决如下问题： （1）计算：______； （2）计算：； （3）若，求的值． 【变式1】（24-25八年级上·上海·期中）把式子分母有理化过程中，错误的是（   ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25九年级上·四川眉山·期末）已知则代数式的值为 ． 【题型5】复合二次根式 【例5】（24-25八年级上·上海·阶段练习）“分母有理化”是我们常用的一种化简方法，除此之外，我们也可以用平方之后再开方的方式来化简一些有特点的无理数，如：对于，设，易知，故． 由， 解得，即． 根据以上方法，求的值． 【变式1】（24-25八年级上·浙江温州·期末）化简的结果是（   ） A． B． C． D． 【变式2】（22-23八年级下·安徽芜湖·阶段练习）计算的结果是 ． 【题型6】二次根式的乘除运算 【例6】（24-25八年级上·陕西商洛·期中）计算：． 【变式1】（2024八年级上·全国·专题练习）计算： （1）；（2），． 【变式2】（23-24八年级上·全国·单元测试）计算∶ （1）； （2）． 【题型7】二次根式的加减运算 【例7】（24-25八年级上·广东梅州·期中）计算： （1） （2） 【变式1】（24-25八年级上·北京石景山·期末）计算：． 【变式2】（24-25八年级上·江西南昌·期末）计算： （1） （2） 【题型8】二次根式的加减乘除混合运算 【例8】（24-25八年级上·上海浦东新·期末）计算：． 【变式1】（24-25八年级上·重庆·期末）计算： （1） （2） 【变式2】（23-24八年级上·广东梅州·阶段练习）计算： 【题型9】已知字母的值，化简求值 【例9】（24-25九年级上·四川宜宾·期中）有这样一个问题：已知，求的值． 小明是这样解答的：∵， ∴， ∴，即， ∴， ∴． 根据小明的解答过程，解决以下问题： （1）计算：． （2）已知． ①求的值； ②求的值． 【变式1】（24-25八年级上·全国·课后作业）已知，则的值为（  ） A．1 B． C． D． 【变式2】（24-25八年级上·四川成都·期末）已知，则代数式的值为 ． 【题型10】已知条件式，化简求值 【例10】（24-25八年级上·上海·阶段练习）已知：，，且，求的值． 【变式1】（23-24八年级下·山东滨州·阶段练习）已知，则值为（   ） A． B． C． D． 【变式2】（21-22八年级上·四川成都·期中）若，则 ． 【题型11】比较二次根式的大小 【例11】（23-24九年级上·河南周口·阶段练习）综合实践活动课上，老师给出定理：对于任意两个正数，，若，则．随后讲解了一道例题： 参考下面例题的解法，解答下列问题： 试比较和的大小． 解：，， ∵， ∴ （1）比较和的大小． （2）比较和的大小． 【变式1】（21-22七年级下·江西抚州·阶段练习）已知，，，那么a，b，c的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【变式2】（2024八年级下·全国·专题练习）比较大小： ①                 ② 【题型12】二次根式的应用 【例12】（24-25八年级上·北京通州·期末）我们已经学习了二次根式和完全平方公式，请阅读下面材料： 当时： 又 当且仅当时，． 请利用上述结论解决以下问题： （1）当时，的最小值为______，此时______； （2）若，求y的最小值． 【变式1】（23-24八年级下·福建莆田·阶段练习）已知直角三角形的周长为，斜边为4，则该三角形的面积是（　　） A．2 B． C． D． 【变式2】（24-25八年级上·内蒙古包头·阶段练习）一个长方形长与宽的比的，它的对角线长为，则它的面积是 ． 第二部分【中考链接与拓展延伸】 【题型13】直通中考 【例1】（2024·四川德阳·中考真题）将一组数，按以下方式进行排列： 则第八行左起第1个数是（    ） A． B． C． D． 【例2】（2022·四川达州·中考真题）人们把这个数叫做黄金比，著名数学家华罗庚优选法中的“0.618法”就应用了黄金比．设，，记，，…，，则 ． 【题型14】拓展延伸 【例1】（24-25八年级上·四川宜宾·期末）如图，为等边三角形，点P为边上一动点，以为边在的右侧作等边，连接，点是边的中点，连接．若，则的最小值为 ． 【例2】（23-24七年级下·重庆·期末）如图，在长方形中，将四边形沿折叠，的对应边为，与交于点G，延长经过点A，延长交于点H，，则为（    ） A．10 B．16 C． D． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$