2025年中考数学复习《二次函数综合压轴题》常考热点专题突破训练

2025年春九年级数学中考复习《二次函数综合压轴题》常考热点专题突破训练（附答案） 1．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2+2x﹣3交y轴于点C，交x轴于点A（a，0）和点B（b，0），P是第三象限抛物线上一点，直线y＝kx+c经过P、B两点，交y轴于点D． (1)a＝ ，b＝ ． (2)若直线y＝kx+c上存在一点Q，以Q为圆心，QA为半径的圆恰好同时经过B、C两点，请直接写出点Q的坐标，并求k、c的值． (3)聪明的小颖发现，若设P点的横坐标为m，则可直接得到方程x2+2x﹣3＝kx+c的解为x1＝1，x2＝m，再根与系数关系可得：，从而可得到直线PB的解析式为y＝（m+3）（x﹣1）． ①利用小颖发现的结论，当点P在抛物线的对称轴上时，直线PB的函数表达式． ②若直线AP与y轴相交于点E，是否存在常数λ，使λ•OD+OE为定值？如果存在，请求出这个定值，如果不存在，说明理由． 2．已知抛物线交x轴于A，B两点，交y轴于点C，点A，C的坐标分别为（1，0），（0，）． (1)求抛物线的解析式； (2)①如图1，直线l为抛物线的对称轴，请在直线l上找一点M，使得AM+CM最小，求出点M的坐标； ②连接AC，求△ACM的面积． (3)如图2，P是x轴上方抛物线上的一动点，连接BC，BP，当∠PBA=∠PBC时，请直接写出点P的坐标． 3．如图，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，连接． (1)求抛物线的解析式． (2)点是第三象限抛物线上一点，直线与轴交于点，的面积为12，求点的坐标． (3)在（2）的条件下，若点是线段上点，连接，将沿直线翻折得到，当直线与直线相交所成锐角为时，求点的坐标． 4．如图，在平面直角坐标系中，抛物线分别交轴，轴于点A，和点，抛物线与抛物线关于直线对称，两条抛物线的交点为，（点在点的左侧）． (1)求抛物线的表达式； (2)将抛物线沿轴正方向平移，使点与点重合，求平移的距离； (3)在（2）的条件下：规定抛物线和抛物线在直线下方的图象所组成的图象为，点，和，在函数上（点在点的右侧），在（2）的条件下，若，且，求点坐标． 5．已知抛物线的顶点（0，1）． (1)求该抛物线的解析式； (2)如图1，直线交x轴于A，交抛物线于B、C，BE⊥x轴于E，CF⊥x轴于F，试比较AE•AF与4的大小关系． (3)如图2，D（0，2），M（1，3），抛物线上是否存在点N，使得取得最小值，若存在，求出N的坐标，若不存在，说明理由． 6．已知抛物线与轴交于点和点，直线交轴于点和轴于点． (1)当时，求抛物线和直线的解析式； (2)在（1）的条件下，点为抛物线上一动点，设为点到直线的距离，当有最小值时，求点的坐标和的值； (3)抛物线和直线，在范围内有两个交点，求满足条件的的取值范围． 7．如图，抛物线L：（常数）与x轴从左到右的交点为B，A，过线段的中点M作轴，交双曲线（，）于点P，且． (1)求k的值． (2)当t=1时，求的长，并求直线与L的对称轴之间的距离． (3)把L在直线左侧部分的图像（含与直线的交点）记为G，用t表示图像G最高点的坐标． (4)设L与y轴的交点为N，当时，在x轴上是否存在一点Q，使与相似，若存在，求出Q的坐标，若不存在，请说明理由． 8．如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线y＝ax2+bx﹣8与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，直线l经过坐标原点O，与抛物线的一个交点为D，与抛物线的对称轴交于点E，连接CE，已知点A，D的坐标分别为（﹣2，0），（6，﹣8）． (1)求抛物线的函数表达式，并分别求出点B和点E的坐标； (2)试探究抛物线上是否存在点F（不与点C重合），使|FC﹣FE|的值最大，若存在，请求出点F的坐标；若不存在，请说明理由； (3)若点P是y轴负半轴上的一个动点，设其坐标为（0，m），直线PB与直线l交于点Q．试探究：当m为何值时，△OPQ是等腰三角形． 9．如图，已知抛物线与直线y=0.5x＋3相交于A，B两点，交ⅹ轴于C，D两点，连接AC，BC，已知A（0，3），C（－3，0）. (1)求抛物线的表达式； (2)在抛物线对称轴l上找一点M，使|MB一MD|的值最大，并求出这个最大值； (3)点P为y轴右侧抛物线上的一动点，连接PA，过点P作PQ⊥PA交y轴于点Q，是否存在点P，使得以A，P，Q为顶点的三角形与△ABC相似？若存在，请求出符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由. 10．在平面直角坐标系xOy中，抛物线与x轴交于A（，0）、B（A在B的左边），与y轴交于C，且OB=4OA． (1)求抛物线的解析式； (2)如图1，直线交抛物线于D、E两点，点F在抛物线上，且在直线DE下方，若以F为圆心作⊙F，当⊙F与直线DE相切时，求⊙F最大半径r及此时F坐标； (3)如图2，M是抛物线上一点，连接AM交y轴于G，作AM关于x轴对称的直线交抛物线于N，连接AN、MN，点K是MN的中点，若G、K的纵坐标分别是t、n．直接写出t，n的数量关系． 11．已知抛物线：与轴交于点，过点与点的直线与交于点． (1)求直线的函数表达式； (2)如图，若点为直线下方的上一点，求点到直线的距离的最大值； (3)如图，将直线绕点顺时针旋转后恰好经过的顶点，沿射线的方向平移抛物线得到抛物线，的顶点为，两抛物线相交于点设交点的横坐标为若，求的值． 12．如图1，在平面直角坐标系中，，，以为边向右作等腰直角，，，二次函数的图象经过点C． (1)求二次函数的解析式； (2)平移该二次函数图象的对称轴所在的直线，若直线恰好将的面积分为1：2两部分，请求出直线平移的最远距离； (3)将以所在直线为对称轴翻折，得到，那么在二次函数图象上是否存在点P，使是以为直角边的直角三角形？若存在，请求出P点坐标；若不存在，请说明理由． 13．如图1，在平面直角坐标系中，直线与轴、轴分别交于、两点，抛物线经过、两点，与轴的另一交点为． (1)求抛物线解析式； (2)若点为抛物线上第一象限内一动点，若，求点的坐标； (3)如图2，点为内部一点，且，求长度的最小值． 14．如图，若是正数，直线与轴交于点；直线与轴交于点；抛物线的顶点为，且与轴右交点为． (1)若，求的值，并求此时的对称轴与直线的交点坐标． (2)当点在直线下方时，求点与直线距离的最大值． (3)在和直线所围成的封闭图形的边界上，把横、纵坐标都是整数的点称为“美点”，请分别求出b=2022和b=2022.5时“美点”的个数． 15．如图1，已知抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C（0，－1），且tan∠OAC=． (1)求抛物线的解析式； (2)点P是直线AC下方对称轴左侧抛物线上一点，过点P作PQx轴交抛物线于点Q，过点P作PR⊥x轴交AC于点R，若，求点P的坐标； (3)将抛物线向右平移一个单位，向下平移一个单位得到新抛物线，在新抛物线上有点 M，在原抛物线对称轴上有点N，直接写出所有使得以点A，C，M，N为顶点的四边形是平行四边形的点M的坐标，并把求其中一个点M的坐标的过程写出来． 16．如图1，抛物线与x轴交于点，，顶点为D． (1)求抛物线的解析式； (2)如图2，以为直径在x轴上方画半圆交y轴于点E，圆心为G，连接，点Q为的中点． ①判断点C、D与的位置关系，并说明原因； ②当点P沿半圆从点B运动到点A时，求线段的最小值． 参考答案： 1．（1）解：令y=0，得x2+2x-3=0， ∴（x+3）（x-1）=0， 解得：x1=-3，x2=1， ∴A（-3，0），B（1，0）， ∴a=-3，b=1， 故答案为：-3，1． （2）已知Q为圆心的圆过A、B、C三点，A（-3，0），B（1，0），C（0，-3）， ∴抛物线对称轴为直线x=-1， ∵QA=QB=QC， ∴Q在线段AB的垂直平分线，即抛物线对称轴上， 设Q（-1，y），则QA2=QC2，即（-1+3）2+（y-0）2=（-1-0）2+（-3-y）2， 解得：y=-1， ∴Q（-1，-1）， 将Q（-1，-1）、B（1，0）代入y=kx+c中， 得：， 解得：； （3）①∵P在抛物线的对称轴上， ∴m=-1， 将m=-1代入y=（m+3）（x-1）有y=2x-2， ∴直线PB的函数表达式为：y=2x-2． ②∵A（-3，0），P（m，0）， 设直线AP的函数表达式为：y=px+q， ∴x2+2x-3=px+q的解为：x1=-3，x2=m， 由根与系数的关系有：x1+x2=p-2=-3+m，x1x2=-3-q=-3m， ∴p=m-1，q=3m-3， ∴直线AP的函数表达式为：y=（m-1）x+3m-3， 令x=0，则y=3m-3， ∴OE=|3m-3|， ∵点P在第三象限的抛物线上， ∴-3＜m＜0， ∴3m-3＜0，OE=3-3m， ∵直线PB的解析式为y=（m+3）（x-1）， ∴D（0，-m-3）， ∴OD=|-m-3|=|m+3|， ∵m+3＞0， ∴OD=m+3， ∴λOD+OE=λ（m+3）+3-3m=（λ-3）m+3λ+3， 令λ=3，得：λOD+OE=（λ-3）m+3λ+3=12， 故当λ=3时，λ•OD+OE为定值12． 2．解：（1）将（1，0），（0，-4）代入y=ax2+5x+c得： ， 解得， ∴抛物线的解析式为y=-x2+5x-4； （2）①连接BC交l于M，如图： ∵直线l为抛物线y=-x2+5x-4的对称轴， ∴AM=BM，直线l为x=， ∴AM+CM=BM+CM， 而此时B、M、C共线，故此时AM+CM最小， 在y=-x2+5x-4中，令y=0得x=1或x=4， ∴B（4，0）， 由B（4，0），C（0，-4）得直线BC为y=x-4， 在y=x-4中令x=得y=， ∴M（，）； ②∵A（1，0），B（4，0）， ∴AB=3， ∵C（0，-4）， ∴S△ABC=AB•|y|=×3×4=6， ∵M（，）， ∴S△ABM=AB•|y|=×3×=， ∴S△ACM=S△ABC-S△ABM=； （3）过P作PH⊥AB于H，如图： ∵∠PBA=∠PBC， ∴∠PBA=∠ABC， ∵B（4，0），C（0，-4）， ∴OB=OC， ∴∠PBA=∠ABC=45°， ∴PH=BH， 设PH=BH=t，则OH=4-t， ∴P（4-t，t）， 把P（4-t，t）代入y=-x2+5x-4得： t=-（4-t）2+5（4-t）-4， 解得t=0（此时与B重合，舍去）或t=2， ∴P（2，2） 3．解：（1）将A（−1，0），C（0，2）代入， ∴， 解得， ∴； （2）令y＝0，则， 解得x＝−1或x＝4， ∴B（4，0）， ∴OB＝4， ∴， ∴OD＝4， ∴D（0，−4）， 设直线BD的解析式为y＝kx＋b， ∴， 解得， ∴y＝x−4， 联立方程组， 解得或， ∴P（−3，−7）； （3）如图1，当在第一象限时， 设直线BC的解析式为， ， 解得， ∴， 设E（t，），， ∴OE＝t，EH＝， ∵D（0，−4），B（4，0）， ∴OB＝OD， ∴∠ODB＝45°， ∵直线与直线BP相交所成锐角为45°， ∴， 由折叠可知，，， 在中，， ∴， ∴ 在Rt△BHE中，， 解得， ∵0≤t≤4， ∴t＝， ∴； 如图2，当在第二象限，时， ∵∠ABP＝45°， ∴轴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴， 由折叠可知， ∴平行四边形是菱形， ∴BE＝OB， ∴， 解得或， ∵0≤t≤4， ∴， ∴； 综上所述：的坐标为或． 4．（1）解：， 抛物线的顶点坐标为：， 点关于直线对称点为，抛物线与抛物线关于对称， 抛物线的顶点为，且抛物线与抛物线的形状、大小相同，开口方向相反， 抛物线的表达式为． （2）解：在中，令得， ， 设抛物线向右平移个单位后与重合，即过， ，解得或（舍去）， 平移的距离是1． （3）解：由（2）知，抛物线向右平移1个单位，可得， ， ， ，， 当在左侧图象上时，如图： 在抛物线上，在抛物线上， ，， ， ， 解得（舍去）或， ，； 当在、之间的图象上时，分两种情况： ①在抛物线上，如图： ，，且， ， 即得或（舍去）， ，； ②在、之间的图象上，如图： ，，且， ， 解得， ，， 综上所述，点坐标为：，或，或，． 5．（1）解：将点（0，1）代入，得c＝1， ∵点（0，1）是顶点， ∴， ∴b＝0， ∴该抛物线的解析式为：； （2） 当y＝kx＋k＝k（x＋1）＝0（k≠0）时， 解得：x＝－1， ∴A（−1，0）， 联立，得：， 整理得：， ∴，， ∵AE＝，AF＝， ∴AE·AF ＝ ＝ ＝ ＝， ∴AE·AF＞4； （3） 存在点N，使得NM＋ND取得最小值， 设抛物线上任意一点H（x，y）， ∴HD＝，H点到x轴的距离为y， ∵， ∴HD＝， ∴H点到D的距离与H点到x轴的距离相等， ∴N点到D的距离与N点到x轴的距离相等， ∴当MN⊥x轴时，MN＋ND的值最小， ∴点N的横坐标为1， 当x＝1时，， ∴N（1，）． 6．解：（1）把代入，得， ∴． ∴抛物线的解析式为，直线为． （2） 连接PO，PC，PD，过P作PE⊥x轴于E，PF⊥y轴于F，PG⊥CD于G，如下图： ∵点为抛物线上的动点， ∴设， ∵令，解得： ∴ ∵令，得： ∴ ∴OC=OD=6， ∴CD=， ∵ ∴ 即 ∴ ∵ ∴当时，d有最小值，最小值是，此时， 答：点P的坐标为 d的最小值是． （3） ∵和在范围内有两个交点， ∴，此方程组在内有两个解， 将代入得 ，， 令， 此时，函数开口向上，对称轴为， ∴，（当时，方程有两个不相等的实数根） 解得，即或， 综上所述，的取值范围为或． 7．（1）解：设，则， ∵M为的中点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （2） 解：当，时，，解得或. ∴、， ∴； ∴抛物线L的对称轴为直线， ∵， ∴为直线， ∴直线与L对称轴之间的距离为； （3） 解：二次函数的对称轴为： 点M的坐标为：（，0） ①当，即时：MP在对称轴的左侧，y随x的增大而增大， ∴G的坐标为： ②当，即时：MP在对称轴的右侧，G点为抛物线的顶点， ∴G：； （4） 解：存在，设Q：（m，0）， 当，， ∴ 时，，解得， ∴、， ∴、 ∴，，， ①时：：即， 时：，（舍）； 时：，； 时：，； ②时：时：即， 时：，解得：（舍）； 时：，无解； 时：，解得：； 综上：当Q的坐标为或或或 8．（1）解：∵抛物线y＝ax2+bx﹣8经过点A（﹣2，0），D（6，﹣8）， ∴， 解得， ∴抛物线解析式为：， ∵， ∴抛物线对称轴为直线x＝3， 又∵抛物线与x轴交于点A、B两点，点A坐标（﹣2，0）， ∴点B坐标（8，0）． 设直线l的解析式为y＝kx， ∵经过点D（6，﹣8）， ∴6k＝﹣8， ∴， ∴直线l的解析式为， ∵点E为直线l与抛物线对称轴的交点， ∴点E的横坐标为3，纵坐标为， ∴点E坐标（3，﹣4）； （2） 抛物线上存在点F，使有． 解：如图所示，连接FC，FE， 当点F为直线CE与抛物线交点时（不与点C重合），FC﹣FE＝CE，此时|FC﹣FE|值最大． 设直线CE解析式为y＝kx﹣8，点E的坐标为（3，﹣4）， ∴， ∴， ∴直线CE解析式为， ∵抛物线的表达式为：， 联立解得，（舍去），， ∴点F为直线CE与抛物线交点时（不与点C重合），值最大，此时F； （3） 解：①如图1，当OP＝OQ时，△OPQ是等腰三角形． ∵点E坐标（3，﹣4）， ∴，过点E作直线，交y轴于点M，交x轴于点H， ∴， ∴， ∴点M坐标（0，-5）， 设直线ME的解析式为， ∴， ∴， ∴直线ME解析式为， 令y＝0，得， 解得， ∴点H坐标（15，0）， ∵， ∴， 即， ∴， ②如图2，当QO＝QP时，△POQ是等腰三角形． ∵当x＝0时，， ∴点C坐标（0，﹣8）， ∴， ∴OE＝CE， ∴∠1＝∠2， ∵QO＝QP， ∴∠1＝∠3， ∴∠2＝∠3， ∴CE∥PB， 设直线CE交x轴于N，解析式为， ∴， ∴， ∴直线CE解析式为， 令y＝0，得， ∴， ∴点N坐标（6，0）， ∵， ∴， ∴， ∴; ③OP＝PQ时，显然不可能，理由， ∵D（6，﹣8）， ∴∠1＜∠BOD， ∵∠OQP＝∠BOQ+∠ABP， ∴∠PQO＞∠1， ∴OP≠PQ， 综上所述，当或时，△OPQ是等腰三角形． 9．（1）解：将A（0，3），C（﹣3，0）代入函数解析式，得 ，解得， 抛物线的解析式是． （2）解：如图：∵点D与点C关于对称轴对称， ∴对l上任意一点有MD=MC， 联立方程组 ， 解得（不符合题意，舍），， ∴B（﹣4，1）， ∴当点B，C，M共线时，|MB﹣MD|取最大值，即为BC的长， 如图：过点B作BE⊥x轴于点E， 在Rt△BEC中，由勾股定理，得BC=， ∴|MB﹣MD|取最大值为． （3）解：存在点P使得以A，P，Q为顶点的三角形与△ABC相似， ∵B（﹣4，1），C（－3，0） ∴点E（-4,0） ∴BE=CE=1 ∵在Rt△BEC中， ∴∠BCE=45°， 在Rt△ACO中， ∵AO=CO=3， ∴∠ACO=45°， ∴∠ACB=180°﹣45°﹣45°=90°， 如图：过点P作PG⊥y轴于G点，∠PGA=90°， 设P点坐标为（x，x2+x+3）（x＞0） ①当∠PAQ=∠BAC时，△PAQ∽△CAB， ∵∠PGA=∠ACB=90°，∠PAQ=∠CAB， ∴△PGA∽△BCA， ∴，即， ∴， 解得x1=1，x2=0（舍去）， ∴P点的纵坐标为×12+×1+3=6， ∴P（1，6）， ②当∠PAQ=∠ABC时，△PAQ∽△CBA， ∵∠PGA=∠ACB=90°，∠PAQ=∠ABC， ∴△PGA∽△ACB， ∴，即=3， ∴，解得x1=﹣（舍去），x2=0（舍去） ∴此时无符合条件的点P． 综上所述，存在点P（1，6）． 10．（1）解：∵， ∴， ∴， ∴， 法一：将A、B两点的坐标代入得 ， 解得， ∴抛物线的解析式为，          法二：将A、B两点的坐标代入，，得， 抛物线的解析式为， 即， （2）过点作轴交直线于点， 由直线可知， ∴， 设与直线相切于点，则， ∴是等腰直角三角形， ∴， 设，则， ， ∴当时，， ∴， 最大半径，此时坐标为， （3）设AN与y轴交于点P， 由题意可知，点G的坐标为（0，t）， 由对称的性质可知，点P的坐标为（0，-t）， 设直线AM的解析式为：, 将A、G的坐标代入，得， 解得， ∴直线AM的解析为：, 同理可求得，直线AN的解析式为：, 联立，解得或， ∴点M的坐标为， 同理可得点N的坐标为， ∴点K的纵坐标为 即． 11．（1）解：当x=0时，， ∴A（0，2）， 设直线AB的函数表达式为：y=kx+b， 把A（0，2）和（1，3）代入y=kx+b， ，解得：， ∴直线AB得函数表达式为：y=x+2． （2） 将抛物线的函数表达式整理为一般式为：， 如图，过点P作交直线AB于点Q，过点P作PM⊥AB，垂足为点M， 设点P的坐标为（a，）， ∵， ∴点Q的横坐标为a， ∵点Q在直线AB上， ∴点Q的坐标为（a，a+2）， ∴，整理得：， 当a=时，PQ有最大值，最大值为， ∵直线AB与竖直方向得夹角为45°， ∴∠MQP=45°， ∴△MPQ为等腰直角三角形， ∴PM=， 当PQ取最大值时，PM也取最大值， ∴PM的最大值为：， （3） ∵抛物线的函数表达式为：， ∴顶点C（1，1）， 设直线AC的函数表达式为：y=kx+b，将点C和点A的坐标代入得： ，解得：， ∴直线AC的函数表达式为：y=-x+2， 设点D的横坐标为b， ∵点D在直线AC上， ∴点D的纵坐标为-b+2，即D（b，-b+2）， ∴的函数表达式为：， E的横坐标为m， ∵点E在抛物线上， ∴点E的纵坐标为：， ∵点E也在抛物线上， ∴点E的纵坐标为：， ∴=， 整理得：解得：b=2m或b=1（舍）， ∴D（2m，-2m+2）， 过点E作，交x轴于点P，过点D作DQ⊥PQ，垂足为Q， ∵∠AED=90°，∠EPA=90°， ∴∠AEP+∠DEQ=90°，∠AEP+∠EAP=90°， ∴∠DEQ=∠EAP， 在△APE和△DEQ中， ∠DEQ=∠EAP，∠APE=∠DQE， ∴△APE～△DEQ， ∴， ∵A（0，2），E（m，），D（2m，-2m+2）， ∴PE=m，EQ=m， DQ=， AP=， ∴，整理得：， 解得：或（舍）． 12．（1）解：过点C作轴交于点轴交于点K， ∵， ∴，， ∴， 又，， ∴， ∴，，故点C的坐标为， 将点C的坐标代入二次函数表达式得：， 解得：，故二次函数表达式为：． （2）解：由（1）可知二次函数的对称轴为直线，并由图可知， 当对称轴将的面积分为左部分比右部分时，直线平移的距离最远 设此时直线分别交边、分别为点M、N， 把点B、C的坐标代入一次函数表达式：得：， 解得：，即直线的表达式为：， 同理可得直线的表达式为：， 设点M的坐标为，点N坐标为，， 直线恰好将的面积分为1∶2两部分，令， 即：， 解得或（舍去）， ∴直线平移的距离最远． （3）解：将以所在直线为对称轴翻折180°，点的坐标为， ①当时， ∵，故点P为直线与抛物线的另外一个交点， 直线的方程为：， 令 解得：或， 故点P的坐标为； ②当时，点P为经过点且与直线平行的直线与抛物线的交点， 令 解得：或， 故点P的坐标为或， 故：点P的坐标为：或或． 13．:解：（1）因为直线与轴、轴分别交于、两点， 所以A(1，0)，C（0，6）， 所以， 解得， 所以抛物线的解析式为． （2）如图，连接BC，设AM与BC交于点D， 因为C（0，6），点B（6，0），A（1，0）， 所以OB=OC=6，∠OBC=∠OCB=45°，OA=1，AC=，BC=，AB=OB-OA=6-1=5． 因为∠CBA=∠CAD=45°，∠BCA=∠ACD， 所以△CAD∽△CBA， 所以， 所以， 解得CD=， 所以BD=BC-CD=； 过点D作DF⊥x轴，垂足为F， 所以DF=FB==， 所以OF=OB-BF=6-=， 所以点D（，）， 设直线AD的解析式为y=kx+b， 则， 解得， 所以直线AD的解析式为， 所以， 整理，得 解得， 所以， 所以， 所以点M（，）． （3）延长CP到点N，则∠NPB=∠BCP+∠PBC，因为∠BCP=∠ABP， 所以 ∠NPB=∠ABP+∠PBC=∠ABC=45°， 所以∠BPC=135°． 过点C作QC⊥OC，过点B作QB⊥AB，二线交于点Q，则四边形QCOB是矩形， 因为OB=OC， 所以四边形QCOB是正方形， 所以QC=QB=OB=OC=6，∠BQC=90°． 以点Q为圆心，以QC为半径作⊙Q， 在优弧上取一点G，连接GB、GC， 则∠BGC=45°． 所以∠BPC+∠BGC=45°+135°=180°， 所以P、B、G、C四点共圆，都在⊙Q上， 连接QA，QP，设QA与圆的交点为E， 则AP+QP≥QA， 当P与E重合时，PA最小， 所以PA=QA-QP， 因为QA=， 所以PA的最小值为． 14．（1）解：根据题意得：直线l与y轴的交点坐标为A（0，b）， 把x=0代入得：y=-b，即：B（0，-b） ∵AB=8， ∴2b=8，解得b=4， ∴直线a的表达式为：y=x-4，抛物线L的表达式为：， ∴抛物线的对称轴为：x==2， 当x=2时，直线a：y=2-4=-2， ∴的对称轴与直线的交点坐标为：（2，-2）． （2） 将抛物线L的表达式化为顶点式为：， ∴C（）， ∵点在直线下方， ∴点与直线距离为b-=， ∵≥0， ∴≤1，即点与直线距离最大为1． （3） ①当b=2021时，抛物线解析式 直线解析式a∶y=x−2021， 联立上述两个解析式可得：x1=−1，x2=2021， ∴可知每一个整数x的值 都对应的一个整数y值，且−1和2021之间（包括−1和2021共有2023个整数)； ∵另外要知道所围成的封闭图形边界分两部分：线段和抛物线， ∴线段和抛物线上各有2023个整数点， ∴总计4046个点， ∵这两段图象交点有2个点重复， ∴ “美点”的个数：4046−2=4044（个）； ②当b=2021．5时， 抛物线解析式 直线解析式a∶y=x−2021.5， 联立上述两个解析式可得：x1=−1，x2=2021.5， ∴当x取整数时，在一次函数y=x−2021.5上，y取不到整数值，因此在该图象上“美点”为0， 在二次函数图象上，当x为偶数时，函数值y可取整数， 可知−1到2021.5之间有1011个偶数，因此“美点”共有1011个． 故b=2021时“美点”的个数为4044个，b=2021.5时“美点”的个数为1011个． 15．（1）解：∵， ∴， 在形中，， ∴， 即， 将，代入抛物线解析式， 得， 解得：， ∴抛物线解式为； （2）解：由（1）可如，抛物线对称轴为， 设，其中， ∵轴， ， 由（1）得， 轴， ∴ ∴， ∴， 解得或， 又， ∴， ∴； （3）解：原抛物线解析式为， 根据题意可得新抛物线解析式是， 设M，N，而A，C， ①若MN，AC是对角线，则MN的中点即为AC的中点， ∴ ， 可解得 ， ∴M； ②若MA，NC是对角线， ， 解得， ∴M； ③若MC，NA是对角线， ， 解得， ∴M， 综上所述，M的坐标为或或． 16．（1）解：将，代入， ∴，   解得：， ∴； （2）解：①令，则， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴，圆的半径为， ∵，， ∴，， ∴C点在圆G的内部，D点在圆上； ②连接并延长与圆交于点N，连接， ∴， ∵G是的中点，Q是的中点， ∴， ∴， ∴Q点在以为圆心，1为半径的圆上， ∵， ∴的最小值为， ∴线段的最小值为． 学科网（北京）股份有限公司 $$