专题1.4 直角三角形（全章常考知识点分类专题）-2024-2025学年八年级数学下册全章复习与专题突破讲与练（湘教版）

专题1.4 直角三角形（全章常考知识点分类专题） 第一部分 【知识点与考点目录】 【知识点一】直角三角形的性质 【考点1】直角三角形两锐角互余..................................................................................................................1 【考点2】斜边的中线等于斜边的一半..........................................................................................................2 【考点3】含30度角的直角三角形................................................................................................................3 【考点4】勾股定理解三角形.........................................................................................................................4 【知识点二】直角三角形的判定 【考点5】锐角互余的三角形是直角三角形..................................................................................................5 【考点6】勾股定理的逆定理.........................................................................................................................6 【知识点三】角平分线的性质与判定 【考点7】角平分线的性质.............................................................................................................................7 【考点8】角平分线的判定.............................................................................................................................8 【知识点四】直角三角形全等的判定 【考点9】用HL证全等（HL）.......................................................................................................................9 【考点10】全等的性质和HL综合（HL）......................................................................................................10 【知识点五】直角三角形与几何变换 【考点11】直角三角形折叠问题..................................................................................................................11 【考点12】直角三角形最值问题..................................................................................................................12 【考点13】直角三角形旋转问题..................................................................................................................13 【考点14】直角三角形平移问题..................................................................................................................13 第二部分 【题型展示与方法点拨】 【知识点一】直角三角形的性质 【考点1】直角三角形两锐角互余 1．（24-25八年级上·甘肃定西·期末）如图，在中，，，以点为圆心，的长为半径画弧，交于点，连接，则的度数为（   ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级上·辽宁丹东·期末）在中，为边上的高，，，则的度数是（    ） A． B．或 C．或 D． 3．（24-25九年级上·河北承德·期末）如图，在中，，，将绕点逆时针旋转得到，点落在边上，则的度数是 ． 4．（23-24八年级上·上海松江·期末）如图，在中，已知是的角平分线，点D是内一点，且，，，那么 °． 【考点2】斜边的中线等于斜边的一半 1．（24-25八年级上·浙江宁波·期中）如图，在中，，，点E为中点，连接，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级上·江苏南京·期末）如图，在中，，D是的中点，把沿着翻折得到，连接，若，则为（     ） A． B． C． D． 3．（24-25八年级上·江苏镇江·期中）若直角三角形斜边上的高是，面积是，则斜边的中线长是 ． 4．（24-25八年级上·浙江宁波·期中）如图，是与的斜边，，，位于的异侧，是的中点，连接，，，若，，则的大小是 ．    【考点3】含30度角的直角三角形 1．（24-25八年级上·辽宁大连·期末）如图，是等边三角形，是中线，于点，，则的长为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 2．（24-25八年级上·福建厦门·期末）如图，中，，，，D为上一动点，垂直平分分别交于E、交于F，则的最大值为（   ） A． B． C． D．2 3．（24-25八年级上·河南开封·期末）将的直角三角板与有刻度的直尺按如图所示的方式放置，点，表示的刻度分别为，，当时，线段的长为 ． 4．（24-25八年级上·湖南长沙·期末）如图，点在等边的边上，，射线，垂足为点，点是射线上一动点，点是线段上一动点，当取最小值时，若，则此时的长为 ．    【考点4】勾股定理解三角形 1．（24-25八年级上·吉林长春·期末）如图，数轴上点A表示的数为，的直角边落在数轴上，且长为3个单位长度，长为1个单位长度，若以点A为圆心，以斜边长为半径画弧交数轴于点D，则点D表示的数为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级上·山东东营·期末）如图，的斜边在y轴上，，，直角顶点C在第二象限，将绕原点顺时针旋转后得到，则点C的对应点的坐标是（　　） A． B． C． D． 3．（24-25八年级上·浙江·期末）如图，在中，，，，的垂直平分线分别交，于点，，则的长为 ． 4．（24-25九年级上·四川成都·期末）如图，在中，，，为的角平分线，按以下步骤作图：①分别以点C，D为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧交于M，N两点；②作直线分别交边，于点E，F，连接，．若，则线段的长为 ． 【知识点二】直角三角形的判定 【考点5】锐角互余的三角形是直角三角形 1.（23-24八年级上·重庆铜梁·期中）下列对的判断，错误的是（   ） A．若，，则是等边三角形 B．若，则是直角三角形 C．若，，则是等腰三角形 D．若，，则 2．（24-25八年级上·黑龙江哈尔滨·期中）如图中，在边上，在边上，，则的大小为 度． 3．（24-25八年级上·浙江杭州·阶段练习）已知：如图，在中，于点，为上一点，且，．猜想与的关系，并说明理由． 4．（24-25八年级上·辽宁葫芦岛·阶段练习）如图，在中，是上一点，延长至点，使得，连接． （1）求证：； （2）若，求的面积． 【考点6】勾股定理的逆定理 1．（24-25八年级上·江苏南京·期末）下列各组数中，是勾股数的是（） A．1，，2 B．5，12，13 C．6，7，8 D．8，24，25 2．（24-25八年级上·北京昌平·期末）已知：如图，在中，于点D，，下列结论中，正确的是（   ） ①当时，则． ②当时，则． ③当时，则． ④当时，则． A．①② B．①②④ C．①③④ D．①②③④ 3．（24-25八年级上·福建福州·期末）如图，在中，，，，点在边上，将沿着折叠得，连接，． （1）用尺规作出（不写作法，保留作图痕迹）； （2）若，，连接，求的度数． 4．（24-25八年级上·吉林长春·期末）如图，，，，，求的度数． 【知识点三】角平分线的性质与判定 【考点7】角平分线的性质 1．（24-25八年级上·河北沧州·期末）如图，在四边形中，，的平分线与的平分线交于点，且点恰好在边上．若四边形的面积为40，，则的长为（    ） A．9 B．10 C．12 D．26 2．（24-25八年级上·新疆伊犁·期末）如图，在中，和的平分线相交于点，过点作交于点，交于点，过点作于，下列四个结论．①；②；③点到各边的距离相等；④设，则，正确的结论有（   ）个． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 3．（24-25八年级上·内蒙古乌兰察布·期末）如图，在中，，以为圆心，任意长为半径画弧，分别交、于点、，再分别以、为圆心，大于长为半径画弧，两弧交于点，作射线，交于点．已知，，则点到的距离为 ． 4．（24-25八年级上·江苏南京·期末）如图，在中，，是角平分线，点E，F分别在，上，且．若，，则的长的最小值是 ． 【考点8】角平分线的判定 1．（24-25八年级上·湖南长沙·阶段练习）如图，，，垂足分别为D，E，，相交于点O，，连接，若，则（　　） A． B． C． D． 2．（23-24八年级上·上海·期末）如图，在四边形中，，，垂足为点E．如果，，那么 ． 3．（24-25八年级上·浙江杭州·期末）如图，在中，，于点，，点在上，． （1）求证：平分； （2）求证：． 【知识点四】直角三角形全等的判定 【考点9】用HL证全等（HL） 1．（24-25八年级上·云南昭通·期末）如图，，能保证成立条件有（   ） ； ； ； A．个 B．个 C．个 D．个 2．（24-25八年级上·江苏常州·期中）如图，长方形纸片中，，，M是上的点，且．将长方形纸片沿过点M的直线折叠，使点D落在边上的点P处，点C落在点Q处，折痕为，则线段的长是（   ） A．4 B．5 C．6 D．7 8．（24-25八年级上·北京海淀·期末）如图，在中，，过点作的垂线，过点作的垂线，两条垂线交于点，作直线． （1）求证：垂直平分； （2）若，，，直接写出的长． 【考点10】全等的性质和HL综合（HL） 1．（23-24八年级下·陕西咸阳·期末）如图，中，，将绕点逆时针旋转一定的角度，得到和分别是和的对应点，延长交于点． （1）求证：； （2）连接，若．求证：． 2．（24-25八年级上·湖南衡阳·期末）如图，在和中，，，，下列结论：①；②；③；④.其中结论正确的是 .（填序号） 3．（24-25八年级上·河北邯郸·期中）如图，在中，，，，一条线段，、两点分别在和过点且垂直于的射线上运动，要使和全等，则 ；若，则 ． 【知识点五】直角三角形与几何变换 【考点11】直角三角形折叠问题 1．（24-25七年级上·山东淄博·期末）如图，折叠长方形一边，使落在边上的点处，已知，，则的长为 ． 2．（22-23八年级下·广东深圳·期中）如图，在等腰中，，，为边上的高，，分别为，边上的点，将分别沿，折叠，使点落在的延长线上点处，点落在点处，连接，若，则的长是 ． 3．（23-24九年级上·山东青岛·阶段练习）如图，已知，，，，的平分线交于点，且．将沿折叠使点与点恰好重合．下列结论：①；②点到的距离为3；③；正确的有： ．（填写序号）    【考点12】直角三角形最值问题 1．（24-25八年级上·广东揭阳·期末）如图，在中，，，平分，若、分别是、上的动点，则的最小值是 ． 2．（24-25九年级上·四川眉山·期末）如图，已知，，，，D，E，F分别是三边，，上动点，且，G为中点，连结，则最小值为 ． 3．（24-25八年级上·浙江金华·阶段练习）如图，在中，，平分，交于点D，点M、N分别为、上的动点，若，的面积为，则的最小值为 ． 【考点13】直角三角形旋转问题 1．（24-25九年级上·山东·期末）如图，将绕点A逆时针方向旋转一定角度得到，使点落在上，与相交于点．若，，则的大小为 ． 2．（24-25九年级上·重庆巫山·期末）如图，在中，，，将绕点按逆时针方向旋转得到，此时点恰好落在边上，若点与点之间的距离为，则的长为     3．（21-22九年级上·广东广州·期中）已知正方形的边长为3，点E在边上，，如图，若把线段绕点A旋转，使点E落在直线上的点F处，则的长为 ． 【考点14】直角三角形平移问题 1．（24-25九年级上·上海·阶段练习）如图，在中，，，将沿直线平移，顶点A、C、B平移后分别记为、、，若与重合部分的面积2，则＝ ． 2．（23-24八年级下·全国·期中）如图，在中，，将沿着射线向上平移得到，边与边交于点G，若 则四边形的周长为 ．    3．（23-24八年级下·广东深圳·阶段练习）如图，在中，，，，将沿着射线方向平移得到，与为对应点，连接．在整个平移过程中，若，则平移的距离为 ．    1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题1.4 直角三角形（全章常考知识点分类专题） 第一部分 【知识点与考点目录】 【知识点一】直角三角形的性质 【考点1】直角三角形两锐角互余..................................................................................................................1 【考点2】斜边的中线等于斜边的一半..........................................................................................................4 【考点3】含30度角的直角三角形................................................................................................................7 【考点4】勾股定理解三角形........................................................................................................................11 【知识点二】直角三角形的判定 【考点5】锐角互余的三角形是直角三角形.................................................................................................14 【考点6】勾股定理的逆定理........................................................................................................................18 【知识点三】角平分线的性质与判定 【考点7】角平分线的性质.............................................................................................................................21 【考点8】角平分线的判定...........................................................................................................................26 【知识点四】直角三角形全等的判定 【考点9】用HL证全等（HL）.......................................................................................................................30 【考点10】全等的性质和HL综合（HL）......................................................................................................33 【知识点五】直角三角形与几何变换 【考点11】直角三角形折叠问题..................................................................................................................36 【考点12】直角三角形最值问题..................................................................................................................39 【考点13】直角三角形旋转问题..................................................................................................................43 【考点14】直角三角形平移问题..................................................................................................................47 第二部分 【题型展示与方法点拨】 【知识点一】直角三角形的性质 【考点1】直角三角形两锐角互余 1．（24-25八年级上·甘肃定西·期末）如图，在中，，，以点为圆心，的长为半径画弧，交于点，连接，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，直角三角形两锐角互余，邻补角的性质，由作图可得，由直角三角形的性质可得，进而根据等腰三角形的性质得到，最后根据邻补角的性质即可求解，掌握以上知识点是解题的关键． 解：由作图可得，， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：． 2．（24-25八年级上·辽宁丹东·期末）在中，为边上的高，，，则的度数是（    ） A． B．或 C．或 D． 【答案】C 【分析】本题考查了三角形的高，直角三角形两锐角互余，三角形内角和定理，分为锐角三角形和钝角三角形两种情况解答即可求解，运用分类讨论思想解答是解题的关键． 解：如图，当为锐角三角形时， ∵为边上的高， ∴， ∴， ∴； 如图，当为钝角三角形时， ∵为边上的高， ∴， ∴， ∴； 综上，的度数是或， 故选：． 3．（24-25九年级上·河北承德·期末）如图，在中，，，将绕点逆时针旋转得到，点落在边上，则的度数是 ． 【答案】 【分析】本题考查了旋转的性质，等边三角形的判定和性质，直角三角形两锐角互余，掌握旋转的性质是解题的关键．由，，可得，由旋转得，即得为等边三角形，得到，再根据角的和差即可求解． 解：∵，， ∴， 由旋转可得，， ∴为等边三角形， ∴， ∴． 故答案为：． 4．（23-24八年级上·上海松江·期末）如图，在中，已知是的角平分线，点D是内一点，且，，，那么 °． 【答案】58 【分析】本题考查三角形外角性质，等角的余角相等，解题的关键是掌握掌外角的性质． 解：延长交于点， 是的角平分线， ， ， ， 故答案为：． 【考点2】斜边的中线等于斜边的一半 1．（24-25八年级上·浙江宁波·期中）如图，在中，，，点E为中点，连接，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由直角三角形的两个锐角互余可得，由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得，由等边对等角可得，再利用三角形外角的性质即可得出答案． 解：∵，， ∴， ∵，点E为中点， ∴， ∴， ∴， 故选：D． 【点拨】本题主要考查了直角三角形的两个锐角互余，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，等边对等角，三角形外角的性质等知识点，熟练掌握相关知识点并能加以综合运用是解题的关键． 2．（24-25八年级上·江苏南京·期末）如图，在中，，D是的中点，把沿着翻折得到，连接，若，则为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先根据直角三角形斜边中线的性质得，得，由翻折的性质可得，推出，根据，由三角形外角性质得，得，得． 解：∵在中，，，D是的中点， ∴， ∴， ∴， 由折叠知，， ∴， ∴， ∵，且， ∴， ∴， ∴． 故选：B． 【点拨】本题考查了直角三角形翻折．熟练掌握翻折的性质，直角三角形斜边中线的性质，等腰三角形的判定和性质，三角形外角性质，平行线的判定和性质，是解题关键． 3．（24-25八年级上·江苏镇江·期中）若直角三角形斜边上的高是，面积是，则斜边的中线长是 ． 【答案】 【分析】本题考查了三角形的面积公式、直角三角形的性质，解决本题的关键是根据三角形的面积公式求出直角三角形的斜边的长度，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，可以求出直角三角形斜边的中线长． 解：设直角三角形斜边的长为， 直角三角形斜边上的高是，面积是， ， 解得：， 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半， 斜边上的中线长是． 故答案为： ． 4．（24-25八年级上·浙江宁波·期中）如图，是与的斜边，，，位于的异侧，是的中点，连接，，，若，，则的大小是 ．    【答案】 【分析】本题考查了直角三角形的性质和三角形外角的性质以及等腰三角形的性质，掌握以上知识点是解答本题的关键． 根据直角三角形的性质得到，所以，进而求出的度数，再根据等腰三角形的性质得到，即可求出的度数． 解：点是的斜边的中点， ， ， ， 点是的斜边的中点，， ， ， ， 故答案为：． 【考点3】含30度角的直角三角形 1．（24-25八年级上·辽宁大连·期末）如图，是等边三角形，是中线，于点，，则的长为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】A 【分析】本题主要考查了等边三角形的性质，直角三角形的性质，根据等边三角形及为中线，可得：，，再根据含直角三角形的性质可得出，即可得出答案． 解：∵在等边三角形中，为中线， ∴，，， ∵， ∴， ∴， ∴． 故选：A． 2．（24-25八年级上·福建厦门·期末）如图，中，，，，D为上一动点，垂直平分分别交于E、交于F，则的最大值为（   ） A． B． C． D．2 【答案】C 【分析】本题考查了直角三角形的特征，线段垂直平分线的性质，连接，过作交于，由直角三角形的特征得，由线段垂直平分线的性质得，，当取得最小值时，取得最大值，当时，取得最小值，即可求解；直角三角形的特征，线段垂直平分线的性质，能找出取得最大值的条件是解题的关键． 解：如图，连接，过作交于， ，，， ， 垂直平分， ， ， 当取得最小值时，取得最大值， ， 当时，取得最小值， 此时与重合，如图， ， ， 解得：， 故选：C． 3．（24-25八年级上·河南开封·期末）将的直角三角板与有刻度的直尺按如图所示的方式放置，点，表示的刻度分别为，，当时，线段的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了含角的直角三角形，先求出，由长求出即可． 解： 直角三角板 的刻度分别为 在直角三角形中，． 故答案为：． 4．（24-25八年级上·湖南长沙·期末）如图，点在等边的边上，，射线，垂足为点，点是射线上一动点，点是线段上一动点，当取最小值时，若，则此时的长为 ．    【答案】 【分析】作点关于的对称点，连接，则当，，三点共线，且时，此时的值最小，由题意可得，则，再由，，可得，解得，然后根据即可求出的长． 解：如图，作点关于的对称点，连接，   ， ， 当，，三点共线，且时，此时的值最小，即的值最小， 是等边三角形， ， ， ， ， ， ， ，， ， 解得：， ， 故答案为：． 【点拨】本题主要考查了轴对称中的光线反射问题（最短路线问题），根据成轴对称图形的特征进行求解，垂线段最短，等边三角形的性质，直角三角形的两个锐角互余，含度角的直角三角形的性质，线段的和与差，解一元一次方程等知识点，熟练掌握轴对称中的光线反射问题（最短路线问题）是解题的关键． 【考点4】勾股定理解三角形 1．（24-25八年级上·吉林长春·期末）如图，数轴上点A表示的数为，的直角边落在数轴上，且长为3个单位长度，长为1个单位长度，若以点A为圆心，以斜边长为半径画弧交数轴于点D，则点D表示的数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查实数与数轴，勾股定理，利用勾股定理求得的长度，即的长度即可得出结果． 解：由勾股定理知：， 所以． 所以点D表示的数为． 故选：B． 2．（24-25八年级上·山东东营·期末）如图，的斜边在y轴上，，，直角顶点C在第二象限，将绕原点顺时针旋转后得到，则点C的对应点的坐标是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查坐标与图形变化—旋转、勾股定理，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．先画出相应的图形，然后根据旋转的性质和勾股定理、即可求得点的坐标． 解：作轴于点D，如图所示， 由旋转的性质可得，，， ∴， ∴点的坐标是， 故选：C． 3．（24-25八年级上·浙江·期末）如图，在中，，，，的垂直平分线分别交，于点，，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查勾股定理和垂直平分线的性质，首先利用勾股定理求得的长度，再利用垂直平分线的性质得出，最后在中利用勾股定理解得的长度． 解：连接， 利用勾股定理可得， 是的垂直平分线， ； 设，则，； 在中，利用勾股定理可得：， 即，解得， 所以的长度为． 故答案为： 4．（24-25九年级上·四川成都·期末）如图，在中，，，为的角平分线，按以下步骤作图：①分别以点C，D为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧交于M，N两点；②作直线分别交边，于点E，F，连接，．若，则线段的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查作图—基本作图，线段垂直平分线的性质，含30度角的直角三角形，勾股定理，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．由作图过程可知，直线为线段的垂直平分线，可得，则，结合角平分线的定义可得，则，进而可得，，则 解：由作图过程可知，直线为线段的垂直平分线， ∴， ∴． ∵为的角平分线， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 【知识点二】直角三角形的判定 【考点5】锐角互余的三角形是直角三角形 1.（23-24八年级上·重庆铜梁·期中）下列对的判断，错误的是（   ） A．若，，则是等边三角形 B．若，则是直角三角形 C．若，，则是等腰三角形 D．若，，则 【答案】D 【分析】利用等边三角形的性质（有一个角是的等腰三角形是等边三角形）即可判断A；设三个角的度数之比为，利用三角形内角和为计算求解即可判断B；利用三角形内角和为求解未知角度数即可判断C；根据等腰三角形的性质（等边对等角）即可判断D． 解：选项A：，， 是等边三角形，故本选项正确，不符合题意． 选项B：，， 最大角的度数是． 是直角三角形，故本选项正确，不符合题意． 选项C：，， ． ． 是等腰三角形，故本选项正确，不符合题意． 选项D：， ． ， ． ，故本选项错误，符合题意． 故选：D． 【点拨】本题考查等腰三角形、等边三角形、直角三角形的性质与判定的理解能力以及三角形的内角和定理．涉及有一个角是的等腰三角形是等边三角形；在同一个三角形中，有两个底角相等的三角形是等腰三角形；等腰三角形的两个底角度数相等（等边对等角）；内部有一个角为的三角形为直角三角形；任意三角形内角和为．明确相关知识点进行分析是解本题的关键． 2．（24-25八年级上·黑龙江哈尔滨·期中）如图中，在边上，在边上，，则的大小为 度． 【答案】 【分析】本题考查了直角三角形两锐角互余，等腰三角形的定义，角度的和差计算，掌握等边对角，直角三角形两锐角互余是解题的关键． 根据题意，设，则，可得，根据等边对等角可得，再由，即可求解． 解：设， 在中，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为： ． 3．（24-25八年级上·浙江杭州·阶段练习）已知：如图，在中，于点，为上一点，且，．猜想与的关系，并说明理由． 【答案】,，理由见分析． 【分析】本题考查了三角形全等判定及性质，直角三角形的两锐角互余，垂直定义．通过证明，可得，进而得，进而得，从而即可得解． 解：，，理由如下： ∵ ∴ 又∵在和中， ∴（） ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴． 4．（24-25八年级上·辽宁葫芦岛·阶段练习）如图，在中，是上一点，延长至点，使得，连接． （1）求证：； （2）若，求的面积． 【答案】（1）见分析；（2）． 【分析】（1）延长交于点，证明，得，由，，得，进而，即可得证； （2）根据，，得，从而，，进而利用面积公式即可得解． 解：（1）解：如图，延长交于点， ∵， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴，， ∴． 【点拨】本题主要考查了邻补角的性质，全等三角形的判定及性质，垂线定义，直角三角形的两锐角互余，熟练掌握全等三角形的判定及性质是解题的关键． 【考点6】勾股定理的逆定理 1．（24-25八年级上·江苏南京·期末）下列各组数中，是勾股数的是（） A．1，，2 B．5，12，13 C．6，7，8 D．8，24，25 【答案】B 【分析】本题考查了勾股数，熟知勾股数是满足勾股定理的一组正整数是解题的关键．根据勾股数的定义解答即可． 解：A．不是正整数，不是勾股数，错误，不符合题意； В．，正确，是勾股数，符合题意； C．，错误，不是勾股数，不符合题意； D．，错误，不是勾股数，不符合题意． 故选：B． 2．（24-25八年级上·北京昌平·期末）已知：如图，在中，于点D，，下列结论中，正确的是（   ） ①当时，则． ②当时，则． ③当时，则． ④当时，则． A．①② B．①②④ C．①③④ D．①②③④ 【答案】C 【分析】本题考查了勾股定理以及逆定理，以及三角形的面积，掌握勾股定理是解题的关键． 利用勾股定理和勾股定理逆定理，以及等面积法得到进行求解． 解：①当时，则，正确，故①符合题意； ②当时，，则， ∵，， 不成立，故②不符合题意，④符合题意； ③∵于点D，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴，故④正确，符合题意， ∴正确的有①③④， 故选：C． 3．（24-25八年级上·福建福州·期末）如图，在中，，，，点在边上，将沿着折叠得，连接，． （1）用尺规作出（不写作法，保留作图痕迹）； （2）若，，连接，求的度数． 【答案】（1）见分析；（2） 【分析】（1）根据折叠的对称性，即可作折叠后的； （2）根据折叠的性质，求证是等边三角形，由勾股定理逆定理得是直角三角形，得到即可求； 解：（1）解：以点D为圆心，分别以为半径，画弧，二弧交于点E， 连接， 则即为所求． （2）解：根据折叠的性质，得， ∵， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴，， ∵，，且， ∴是直角三角形， ∴， ∴． 【点拨】本题主要考查轴对称的基本作图，等边三角形的判定和性质，勾股定理的逆定理，掌握折叠的尺规作图实质，等边三角形的判定和性质，勾股定理的逆定理的应用是解题关键． 4．（24-25八年级上·吉林长春·期末）如图，，，，，求的度数． 【答案】 【分析】本题考查的是勾股定理及其逆定理，连接，先根据勾股定理求出的值，再由勾股定理的逆定理判断出的形状即可． 解：如图，连接， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴是直角三角形， ∴． 【知识点三】角平分线的性质与判定 【考点7】角平分线的性质 1．（24-25八年级上·河北沧州·期末）如图，在四边形中，，的平分线与的平分线交于点，且点恰好在边上．若四边形的面积为40，，则的长为（    ） A．9 B．10 C．12 D．26 【答案】B 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，角平分线性质，过点E作于点F，根据角平分线的性质得出，，证明，得出，同理得出，根据，，求出结果即可． 解：过点E作于点F，如图所示： ∵， ∴，， ∵平分，平分， ∴，， ∵， ∴， ∴， 同理得：， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得：， 故选：B． 2．（24-25八年级上·新疆伊犁·期末）如图，在中，和的平分线相交于点，过点作交于点，交于点，过点作于，下列四个结论．①；②；③点到各边的距离相等；④设，则，正确的结论有（   ）个． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【分析】①先由角平分线的定义得，再由得，由此得，进而得，同理，据此可对结论①进行判断；②先根据角平分线的定义得，，进而得，然后根据即可对结论②进行判断；③过点作于，于，连接，根据角平分线的性质得，，由此可得，据此可对结论③进行判断；④由③得，则，，进而得，据此可对结论④进行判断． 解：①是的平分线， ， ， ， ， ， 同理：， ， 故结论①正确； ②和的平分线相交于点， ，， ， ， ， ， 故结论②正确； ③过点作于，于，连接，如图所示： 是的平分线， ， 是的平分线，， ， ， 点到各边的距离相等， 故结论③正确； ④，， 由③正确得：， ，， ． 故结论④正确． 故选：D． 【点拨】此题考查了角平分线的定义及性质，平行线的性质，等角对等边，三角形的面积等知识点，熟练掌握角平分线的性质，平行线的性质是解决问题的关键． 3．（24-25八年级上·内蒙古乌兰察布·期末）如图，在中，，以为圆心，任意长为半径画弧，分别交、于点、，再分别以、为圆心，大于长为半径画弧，两弧交于点，作射线，交于点．已知，，则点到的距离为 ． 【答案】3 【分析】此题考查了角平分线的性质和作图，过点E作于点H，根据角平分线的性质得到，即可得到答案． 解：过点E作于点H，如图， 由题中作图可知，平分， ∵，即， ∴， 即点到的距离为3， 故答案为：3 4．（24-25八年级上·江苏南京·期末）如图，在中，，是角平分线，点E，F分别在，上，且．若，，则的长的最小值是 ． 【答案】/ 【分析】过点D作于点G，于点H，根据角平分线性质得出，，证明，根据勾股定理得出，说明当最小时，最小，根据垂线段最短，得出当点E与点H重合时，最小，根据等积法求出，即可得出答案． 解：过点D作于点G，于点H，如图所示： ∵是角平分线，，， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴当最小时，最小， ∵垂线段最短， ∴当点E与点H重合时，最小， ∵， ∴， 解得：， ∴的最小值为． 故答案为：． 【点拨】本题主要考查了角平分线的性质，三角形全等的判定和性质，勾股定理，垂线段最短，三角形面积的计算，解题的关键是作出辅助线，熟练掌握三角形全等的判定方法． 【考点8】角平分线的判定 1．（24-25八年级上·湖南长沙·阶段练习）如图，，，垂足分别为D，E，，相交于点O，，连接，若，则（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了三角形全等的判定与性质、角平分线的判定定理，正确找出两个全等三角形是解题关键．先证出，根据全等三角形的性质可得，再根据角平分线的判定定理可得平分，从而可得，由此即可得． 解：∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 又∵，，点在的内部， ∴平分， ∴， ∵，， ∴， ∴， 故选：D． 2．（23-24八年级上·上海·期末）如图，在四边形中，，，垂足为点E．如果，，那么 ． 【答案】 【分析】本题考查等腰三角形性质，角平分线判定及性质，三角形内角和定理．根据题意过点作，再利用已知条件得到平分，再利用等腰三角形性质及三角形内角和定理即可得到本题答案． 解：过点作， ， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴平分， ∴， ∵， ∴为等腰三角形， ∴平分， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 3．（24-25八年级上·浙江杭州·期末）如图，在中，，于点，，点在上，． （1）求证：平分； （2）求证：． 【答案】（1）见分析；（2）见分析． 【分析】（）由，，则，证明，再由角平分线的判定定理即可求证； （）先证明，则，所以，又，然后代入求证即可； 本题考查了全等三角形的判定和性质，角平分线的性质和判定定理，同角的补角相等，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 解：（1）证明：∵， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴在和中， ， ∴， ∴， ∵，， ∴点在的平分线上， ∴平分； （2）证明：∵平分， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， 由（）得， ∴， ∴， ∴， ∴． 【知识点四】直角三角形全等的判定 【考点9】用HL证全等（HL） 1．（24-25八年级上·云南昭通·期末）如图，，能保证成立条件有（   ） ； ； ； A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】B 【分析】本题考查直角三角形全等的判定条件，掌握直角三角形全等的判定条件是解答本题的关键． 根据直角三角形全等的判定条件逐个判断即可解答． 解： 根据直角三角形全等的判定条件“”，即斜边和一条直角边对应相等， 和满足定理“”， 故选：B． 2．（24-25八年级上·江苏常州·期中）如图，长方形纸片中，，，M是上的点，且．将长方形纸片沿过点M的直线折叠，使点D落在边上的点P处，点C落在点Q处，折痕为，则线段的长是（   ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】B 【分析】本题考查长方形的折叠问题，解题的关键是看到隐藏条件，学会利用翻折不变性解决问题．连接，证明即可得到，即可求解． 解：连接， ∵长方形纸片中，，， ∴， ∵， ∴， 由折叠性质可知：，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故选：B． 3．（24-25八年级上·北京海淀·期末）如图，在中，，过点作的垂线，过点作的垂线，两条垂线交于点，作直线． （1）求证：垂直平分； （2）若，，，直接写出的长． 【答案】（1）见分析；（2） 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，线段垂直平分线的判定，勾股定理；利用全等三角形的判定与性质是解题的关键． （1）证明，利用线段垂直平分线的判定即可证明； （2）由勾股定理求出，利用面积关系：即可求解． 解：（1）证明：∵直线分别为的垂线， ∴. ∴ 在和中， ， ∴． ∴． 又∵， ∴点A，P都在线段的垂直平分线上. ∴垂直平分. （2）解：在中，， 由勾股定理得：； ∵， ∴； ∵， ∴， 即， ∴． 【考点10】全等的性质和HL综合（HL） 1．（23-24八年级下·陕西咸阳·期末）如图，中，，将绕点逆时针旋转一定的角度，得到和分别是和的对应点，延长交于点． （1）求证：； （2）连接，若．求证：． 【答案】（1）证明见分析；（2）证明见分析 【分析】本题考查了旋转的性质，全等三角形的性质，等腰三角形的性质等知识，灵活运用这些性质是解答本题的关键． （1）连接，由“”可证，可得； （2）由旋转的性质可得，，由等腰三角形的性质可求，即可求解． 解：（1）证明：如图，连接， 将绕点逆时针旋转一定的角度，得到， ，， 在和中， ， ， ； （2）证明：将绕点逆时针旋转一定的角度，得到， ，， ， ， ， ， ， ． 2．（24-25八年级上·湖南衡阳·期末）如图，在和中，，，，下列结论：①；②；③；④.其中结论正确的是 .（填序号） 【答案】①②③ 【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定；证明，即可判断①②③，证明可得，即可判断④，即可求解． 解：∵在和中，，，， ∴ ∴，，故①正确 ∴，即故②③正确 ∵ ∴ 又∵， ∴ ∴，而 ∴，故④不正确， 故答案为：①②③． 3．（24-25八年级上·河北邯郸·期中）如图，在中，，，，一条线段，、两点分别在和过点且垂直于的射线上运动，要使和全等，则 ；若，则 ． 【答案】 或 /60度 【分析】本题考查了直角三角形的判定“如果两个直角三角形的斜边和一条直角边分别对应相等，则这两个直角三角形全等”，理解并掌握这个知识点是解题的关键，本题容易忽略两种情况，要注意分类讨论． 本题要使和全等，已知和斜边，要想证明全等，还需要一个直角边相等条件，即或．当，根据内角和为，且，可求得． 解：当 时，点和点重合， 在和中， ， ∴． 当 时，在和中， ， ∴． 在中， ∵，，， ∴， ∵， ∴， 故答案为：或；． 【知识点五】直角三角形与几何变换 【考点11】直角三角形折叠问题 1．（24-25七年级上·山东淄博·期末）如图，折叠长方形一边，使落在边上的点处，已知，，则的长为 ． 【答案】/ 【分析】本题考查勾股定理与折叠问题，根据折叠的性质，勾股定理求出的长，设，在中，利用勾股定理进行求解即可． 解：∵折叠长方形， ∴， ∴， ∴， 设，则：， 在中，由勾股定理，得：， 解得：； ∴； 故答案为： 2．（22-23八年级下·广东深圳·期中）如图，在等腰中，，，为边上的高，，分别为，边上的点，将分别沿，折叠，使点落在的延长线上点处，点落在点处，连接，若，则的长是 ． 【答案】 【分析】本题考查了翻折变换，等边三角形的判定和性质，直角三角形的性质等知识，灵活运用这些性质解决问题是本题的关键．过点作于，由等腰三角形的性质和直角三角形的性质可求，，，，由折叠的性质可得，，，可证是等边三角形，可得，由折叠的性质可求，由直角三角形的性质可求解． 解：如图，过点作于， ，，为边上的高， ，，，， ， ， ， ， ，， 将分别沿，折叠， ，，， ， 是等边三角形， ， ， ， ， ， ， ， ． 故答案为：． 3．（23-24九年级上·山东青岛·阶段练习）如图，已知，，，，的平分线交于点，且．将沿折叠使点与点恰好重合．下列结论：①；②点到的距离为3；③；正确的有： ．（填写序号）    【答案】① 【分析】根据等腰三角形的性质即可判断①，根据角平分线的性质即可判断②，设，则，中，，．继而求得． 解：∵，，， ∴，故①正确； 如图，过点作于，于，   ，， 平分， ， 是的角平分线， ，， ， ，故②不正确， ．将沿折叠使点C与点E恰好重合， ，， 设，则， 中，，． ， 解得， 故③不正确， 故答案为：①． 【点拨】本题考查了等腰三角形的性质，角平分线的性质，勾股定理等知识，掌握以上知识是解题的关键． 【考点12】直角三角形最值问题 1．（24-25八年级上·广东揭阳·期末）如图，在中，，，平分，若、分别是、上的动点，则的最小值是 ． 【答案】 【分析】本题考查了轴对称的性质，等腰三角形的三线合一性质，勾股定理,熟练掌握轴对称的性质及等腰三角形的三线合一性质是解题的关键．作点N关于的对称点，连结，，过点B作于点H，则，所以，当与点H重合时，点M为与的交点，取最小值，再根据等腰三角形的三线合一性质，得到，，根据勾股定理求出，最后根据三角形的面积，即可求得答案． 解：作点N关于的对称点，连结，，过点B作于点H， 则， ， 当与点H重合时，点M为与的交点，取最小值， ，平分， ，， ， ， ， 解得． 故答案为：． 2．（24-25九年级上·四川眉山·期末）如图，已知，，，，D，E，F分别是三边，，上动点，且，G为中点，连结，则最小值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查勾股定理，直角三角形你斜边上的中线等于斜边的一半，由勾股定理求出，连接，得，过点作于点M，运用等积法求出，当点D与点M重合，且点G在上时，最小，为的长，故可得结论． 解：在中，，，， ∴， 连接，如图， ∵是的中点， ∴ ∴， 过点作于点M， ∵, ∴； 根据垂线段最短可得，当点D与点M重合，且点G在上时，最小，为的长，如图， ∴， ∴的最小值为． 故答案为：． 3．（24-25八年级上·浙江金华·阶段练习）如图，在中，，平分，交于点D，点M、N分别为、上的动点，若，的面积为，则的最小值为 ． 【答案】8 【分析】本题主要考查等腰三角形的性质及最短路径问题，熟练掌握等腰三角形的性质，理解“垂线段最短”是解答此题的关键． 首先连接，过点A作于点H，因为平分，交于点D，，根据等腰三角形的性质得是线段的垂直平分线，从而得，则，然后根据“垂线段最短”得，据此可得出当点M、N在线段上时，为最小，最小值为线段的长，最后根据三角形的面积求出即可． 解：连接AM，过点A作AH⊥BC于点H，如图∶ ，平分， 且平分． 即是线段的垂直平分线， ． 根据“垂线段最短”得∶， 即当点M、N在线段上时，为最小，最小值为线段的长， 的面积为，， ， ． ． 的最小值为8． 故答案为：8． 【考点13】直角三角形旋转问题 1．（24-25九年级上·山东·期末）如图，将绕点A逆时针方向旋转一定角度得到，使点落在上，与相交于点．若，，则的大小为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了旋转的性质、等腰三角形的性质、直角三角形的性质、三角形外角的性质等知识点，掌握三角形外角的性质成为解题的关键． 由旋转的性质可得、，再根据直角三角形两锐角互余可得，进而得到，然后根据等腰三角形的性质进而得，最后根据三角形外角的性质求解即可． 解：∵将绕点A逆时针方向旋转一定角度得到， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，解得：． 故答案为：． 2．（24-25九年级上·重庆巫山·期末）如图，在中，，，将绕点按逆时针方向旋转得到，此时点恰好落在边上，若点与点之间的距离为，则的长为     【答案】 【分析】本题考查了旋转的性质，等边三角形的判定及性质，勾股定理等知识点，利用旋转的性质判定等边三角形是解题的关键． 利用旋转的性质证出为等边三角形，从而推出为等边三角形，得到，即可通过勾股定理求解． 解：连接，如图所示： ∵绕点按逆时针方向旋转得到， ∴，， ∵，， ∴∠， ∴为等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴为等边三角形， ∴， 设，则， ∴在中，， ∴， 解得：， 故答案为：． 3．（21-22九年级上·广东广州·期中）已知正方形的边长为3，点E在边上，，如图，若把线段绕点A旋转，使点E落在直线上的点F处，则的长为 ． 【答案】1或5 【分析】分点F在线段上或点F在线段的延长线上，分别画图解决问题． 解：在正方形中，，， 由旋转的性质得， 在与中， ， （）， ∵正方形的边长为3， 如图，当点F在线段上时， 如图，当点F在线段的延长线上时， 综上所述，的长为1或5， 故答案为：1或5． 【点拨】本题主要考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，运用分类思想是解题的关键． 【考点14】直角三角形平移问题 1．（24-25九年级上·上海·阶段练习）如图，在中，，，将沿直线平移，顶点A、C、B平移后分别记为、、，若与重合部分的面积2，则＝ ． 【答案】或/或 【分析】本题考查平移的性质，等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理，分沿直线向右平移和当沿直线向左平移，两种情况进行讨论求解，当沿直线向右平移时，设交于点，根据平移的性质，易得：为等腰直角三角形，根据三角形的面积公式，求出的长，进而求出的长，再根据线段之间的和差关系进行求解，当沿直线向左平移时，同法进行求解即可． 解：①当沿直线向右平移时，设交于点， ∵，， ∴， ∵平移， ∴， ∴， ∵， ∴为等腰直角三角形， ∴， 由题意，得：， ∴， ∴， ∴； ②当沿直线向左平移时，如图， 同法可得：， 故答案为：或． 2．（23-24八年级下·全国·期中）如图，在中，，将沿着射线向上平移得到，边与边交于点G，若 则四边形的周长为 ．    【答案】/ 【分析】本题主要考查了平移的性质，勾股定理，含30度角的直角三角形的性质，先求出，再由平移的性质可得，，则由含30度角的直角三角形的性质得到，再由勾股定理得到，则，据此求出的长，进而求出的长即可得到答案． 解：∵在中，， ∴， 由平移的性质可得，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴四边形的周长为， 故答案为：． 3．（23-24八年级下·广东深圳·阶段练习）如图，在中，，，，将沿着射线方向平移得到，与为对应点，连接．在整个平移过程中，若，则平移的距离为 ．    【答案】/ 【分析】过点分别作，于、，利用平移的性质得，从而得，根据角平分线的性质得，再利用勾股定理及直角三角形的性质得，，从而即可得解． 解：过点分别作，于、，   由平移得到， ∴，，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴平移的距离为， 故答案为：． 【点拨】本题主要考查图形变换，勾股定理，直角三角形的性质，掌握平行线的判定和性质，平移的性质，角度的和差计算方法的综合是解题的关键． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$