专题1.7 直角三角形（全章常考综合压轴题分类专题）-2024-2025学年八年级数学下册全章复习与专题突破讲与练（湘教版）

专题1.7 直角三角形（全章常考综合压轴题分类专题） 第一部分 【知识点与考点目录】 【综合篇】 【考点1】直角三角形与尺规作图综合..................................................................................................1 【考点2】斜边的中线等于斜边的一半与含30度角的直角三角形综合................................................5 【考点3】用勾股定理解直角三角形综合...............................................................................................10 【考点4】勾股定理与折叠问题综合......................................................................................................13 【考点5】勾股定理与三角形全等综合..................................................................................................16 【考点6】勾股定理与逆定理综合..........................................................................................................21 【考点7】角平分线与线段垂直平分线综合...........................................................................................24 【考点8】角平分线与三角形全等综合..................................................................................................27 【压轴篇】 【考点9】勾股定理+全等三角形+等腰三角形......................................................................................30 【考点10】斜边的中线等于斜边的一半+含30度角的直角三角形综合+全等三角形..........................36 【考点11】直角三角形+平移+旋转.......................................................................................................42 【考点12】直角三角形+动点+最值.......................................................................................................48 第2部分 【题型展示与方法点拨】 【考点1】直角三角形与尺规作图综合 1.（24-25八年级上·安徽芜湖·期末）如图，在中，，，是高，以点A为圆心，长为半径画弧，交于点E，再分别以B，E为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在的内部交于点F，作射线． （1）根据图中尺规作图的痕迹推断出 （填“=”或“>”或“<”）； （2）求的度数； （3）若，点M是直线上一动点，求线段的最小值． 【答案】（1）；（2）；（3）4 【分析】本题主要考查角平分线的作法，直角三角形内角性质，含30°直角三角形性质．熟练掌握是解题的关键． （1）根据作图得，得； （2）根据已知条件得，根据角平分线定义得，，根据高线可得，即得； （3）当时，最小，根据，得线段的最小值为． 解：（1）解：连接， 由作图知，， ∵， ∴， ∴； 故答案为：=； （2）解：∵，， ∴， ∵平分， ∴， ∵为高， ∴， ∴， ∴， 故的度数为． （3）解：当时，最小，， ∵， ∴， 故线段的最小值为4． 2．（24-25八年级上·四川内江·期末）如图，在中，，以点为圆心，的长为半径画弧交于点、，再分别以点与点为圆心，大于长的一半为半径画弧，两弧交于点，连接交于点，若，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查三角形的内角和，等腰三角形的性质，角平分线的性质，解题的关键掌握三角形的内角和，等腰三角形的性质，角平分线的性质，根据题意，求出，由作图可得，平分，且，根据三线合一，可得，根据三角形的内角和，即可求出． 解：∵在中，，， ∴， ∵， ∴， 由作图可得：平分，且， ∴（三线合一）， ∴， ∴． 故选：B． 3．（24-25八年级上·广东深圳·期中）如图，正方形的边长为2，在数轴上，C点为原点，以中点M为圆心，线段的长为半径画弧，交数轴的正半轴于点F，则F点表示的实数为（   ） A． B． C． D．3 【答案】B 【分析】本题主要考查了勾股定理、实数与数轴等知识点，掌握勾股定理成为解题的关键． 先根据正方形的性质以及中点的定义可得，再根据勾股定理可得，进而得到即可解答． 解：∵的中点M，正方形的边长为2， ∴， ∴， ∴， ∴F点表示的实数为． 故选B． 4．（24-25八年级上·吉林长春·期末）如图，在中，，，以为圆心，任意长为半径画弧分别交，于点和，再分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，连接并延长交于点，则下列说法中正确的有 ． ①是的平分线；②；③点在的中垂线上；④ 【答案】①②③ 【分析】①根据题目中尺规作图的步骤即可判断出是的平分线；②利用直角三角形两锐角互余求出的度数，然后根据角平分线的定义求出的度数，再根据直角三角形两锐角互余即可得出结论；③通过角平分线的定义能够得出，则然后根据垂直平分线性质定理的逆定理即可得出结论；④根据含的直角三角形的性质得出，则，又因为和高相同，则和面积之间的关系可求． 解：由题干可知，是的平分线，故①正确； ， ， 是的平分线， ， ，故②正确； ， ， ∴点在的中垂线上，故③正确； ， ， ∵和高相同， ∴，故④错误； 故答案为：①②③． 【点拨】本题主要考查等腰三角形的性质，含的直角三角形的性质，角平分线的定义，尺规作角平分线等知识点，掌握等腰三角形的性质，含的直角三角形的性质，角平分线的定义是解题的关键． 【考点2】斜边的中线等于斜边的一半与含30度角的直角三角形综合 1．（24-25八年级上·重庆·阶段练习）如图，中，，，是上一点（不与重合），于，求证：． 【答案】见详解 【分析】本题主要考查了直角三角形的性质、等边三角形的判定与性质、三角形外角的定义和性质等知识，正确做出辅助线构造等边三角形是解题关键．取中点，连接，根据“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”可证明，再证明，易得为等边三角形，即可证明结论． 解：证明：取中点，连接，如图， ∵，点为中点， ∴， ∴， ∴， ∵，点为中点， ∴， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴为等边三角形， ∴， ∴． 2．（24-25八年级上·江苏无锡·期中）如图，，，，延长至D，使，连接，则 ． 【答案】/105度 【分析】本题考查了直角三角形斜边中线，等边三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，证明出和的形状是解题关键．过点作交于点，连接，根据直角三角形斜边中线，得到，进而得到，证明出是等边三角形，再证明出是等腰直角三角形，即可求出的度数． 解：如图，过点作交于点，连接， ，， ， ，即点为中点， ， ， ， ， 是等边三角形， ，， ， ， ， ， 是等腰直角三角形， ， ， 故答案为： 3．（24-25八年级上·浙江台州·期末）如图，在中，，，平分． （1）若，求的长； （2）若为的中点，连接交于点，求证：垂直平分． 【答案】（1）；（2）见分析 【分析】本题考查了等边三角形的判定和性质，直角三角形的性质，斜边中线的性质． （1）利用角平分线的定义求得，推出，得到，在中，利用含30度的直角三角形的性质求解即可； （2）利用斜边中线的性质求得，推出是等边三角形，据此即可证明垂直平分． 解：（1）解：∵，， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， 在中，，， ∴； （2）证明：∵，为的中点， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∵平分， ∴，， ∴垂直平分． 4．（24-25八年级上·广东中山·期中）如图，在中，，，高与角平分线相交于点． （1）求证：是等边三角形； （2）若，求的长度． 【答案】（1）见分析；（2） 【分析】本题考查了直角三角形的性质，角平分线的定义，对顶角相等，等边三角形的判定和性质． （1）根据直角三角形两个锐角互余可得，根据一般地，从一个角的顶点出发，把这个角分成两个相等的角的射线，叫做这个角的平分线求出，根据直角三角形两个锐角互余可得，结合对顶角相等得出，即可证明； （2）根据直角三角形两个锐角互余可得，根据等角对等边可得，根据等边三角形的三条边相等可得，根据根据直角三角形中所对的边是斜边的一半求得，即可求解． 解：（1）证明：，， ， 平分， ， ， ， ， ， ， 是等边三角形 （2）解：，， ， ， ， 由（1）知是等边三角形， ， 在中，， ， 故 【考点3】用勾股定理解直角三角形综合 1.（24-25八年级上·甘肃兰州·期末）如图，在中，，点P在上运动，点D在上，始终保持与相等，的垂直平分线交于点E，交于点F，连接． （1）判断与的位置关系，并说明理由； （2）若，，，求线段的长． 【答案】（1），见分析；（2） 【分析】（1）由题意知，，则，由是的垂直平分线，可得，由，可得，则，然后作答即可； （2）如图，连接，设，则，由，可得，，由勾股定理得，，，则，计算求解即可． 解：（1）解：，理由如下； 由题意知，， ∴， ∵是的垂直平分线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）解：如图，连接， 设，则， ∵， ∴，， 由勾股定理得，，， ∴， 解得，， ∴线段的长为． 【点拨】本题考查了等边对等角，垂直平分线的性质，三角形内角和定理，勾股定理等知识．熟练掌握等边对等角，垂直平分线的性质，三角形内角和定理，勾股定理是解题的关键． 2．（24-25八年级上·辽宁丹东·期末）在中，，，高，则三角形的周长为 ． 【答案】84或64/64或84 【分析】此题考查了勾股定理的知识，在解本题时应分两种情况进行讨论，易错点在于漏解，同学们思考问题一定要全面，有一定难度． 分两种情况讨论：当高在的内部时，当高在的外部时，结合勾股定理，即可求解． 解：当高在的内部时，如图， 在中，， 在中，， ∴， 此时的周长是； 当高在的外部时，如图， 在中，， 在中，， ∴， 此时的周长是； 综上所述，的周长是或． 故答案为：或． 3．（23-24八年级上·福建漳州·期末）如图，在中，，平分，过点作交于点．若，，则点到边上的距离是（    ） A． B． C． D．3 【答案】C 【分析】本题考查了角平分线的定义，等腰三角形的判定，勾股定理，平行线的性质，三角形面积公式，熟练掌握相关知识点是解题的关键． 作于点，由平分得，由得到，，得到，，根据勾股定理求出，根据三角形面积公式得到，计算即可得到答案． 解：如图，作于点， 平分， ， ， ，， ， ， ，，， ， ， ，， ， ， ， 点到边上的距离是， 故选：C ． 【考点4】勾股定理与折叠问题综合 1.（江苏省徐州市2024-2025学年八年级上学期1月期末考试数学试题）如图，在长方形中，，，为上的点，将沿折叠，使点落在长方形纳的点处．连接，已知． （1）求证：为直角三角形； （2）求线段的长． 【答案】（1）见分析；（2）2． 【分析】本题考查了折叠的性质，勾股定理以及勾股逆定理，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先由折叠得，结合故，即可作答． （2）由折叠，可知．得证三点共线．再，则，结合勾股定理列式，再代入数值计算，即可作答． 解：（1）证明：由折叠，可知． ∵且， ∴． 根据勾股定理的逆定理，是直角三角形． （2）解：由折叠，可知． ∵， ∴， ∴三点共线． 设，则， ∵， ∴． 在中，由勾股定理，得， 即． 解得． 即线段的长为2． 2．（重庆市奉节县2024—2025学年八年级上学期期末数学试题）如图，在长方形纸片中，．将沿折叠，使点落在点处，交于点，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了折叠的性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理，根据折叠前后的图形全等得到相关条件是解答本题的关键．先证明，可得，设，则，在中，由勾股定理得，即可得出结论． 解：在长方形中，，， ∵由折叠的性质可知：，， ∴，， ∵在和中， ， ∴， ∴， 设，则， ∵在中，由勾股定理得：， ∴，解得， ∴， 故答案为：． 3．（24-25八年级上·浙江宁波·期末）如图，，，将沿翻折，使得点C与点B重合．若，，则折痕的长为（   ） A．4 B． C．5 D． 【答案】B 【分析】本题考查了勾股定理，翻折的性质，熟练掌握知识点是解题的关键． 先由勾股定理求出，由折叠得到，设，则，在中，由勾股定理得，求出，再由面积法得到，即可求解． 解：，，，， ∴由勾股定理得， ∵将沿翻折，使得点C与点B重合． ∴， 设，则， 在中，由勾股定理得，， ∴， 解得：， ∵， ∴， 故选：B． 【考点5】勾股定理与三角形全等综合 1.（24-25八年级上·江苏南京·期末）如图，在和中，，点在上，垂直平分，分别交，于点，． （1）连接，求证：； （2）若，，求的长． 【答案】（1）证明见分析；（2）的长为． 【分析】（）先画出图形，先证明，根据垂直平分得，进而判定，根据全等三角形的性质即可得； （）连接，设，则，根据垂直平分得，在中由勾股定理求出，进而可得的长； 此题主要考查了全等三角形的判定与性质，线段垂直平分线的性质，勾股定理，熟练掌握全等三角形的判定与性质，线段垂直平分线的性质，灵活利用勾股定理进行计算是解决问题的关键． 解：（1）解：如图，根据题意画出图形， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵垂直平分， ∴，， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； （2）解：连接，如图所示， 设， ∵， ∴， ∵垂直平分， ∴， 在中，，，， 由勾股定理得：， ∴ 解得：， ∴， 即的长为． 2．（24-25八年级上·福建漳州·期末）如图，在中，，于点，平分，交于点，于点，交于点．若，，则的长为 ．    【答案】2 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质、角平分线的定义、全等三角形的判定与性质、勾股定理、三角形的内角和定理等知识，熟练掌握等腰三角形的性质以及全等三角形的性质是解答的关键．先根据等腰三角形的三线合一得到，，利用勾股定理求出，再根据三角形的内角和定理和等角的余角相等得到，然后证明得到，进而得到答案． 解：∵，， ∴，，， ∴ ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴． 故答案为：2． 3．（24-25九年级上·江苏淮安·期中）如图，直线过等腰直角三角形顶点，、两点到直线l的距离分别是和，则的长是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】证明，根据全等三角形的对应边相等可得出，再利用勾股定理即可求出的长． 解：如图所示，设，， ∵为等腰直角三角形， ∴，， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 在中，，， ∴， 即的长是． 故选：D． 【点拨】本题考查全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理，直角三角形两锐角互余，利用了转化的数学思想．掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键． 【考点6】勾股定理与逆定理综合 1.（24-25七年级上·江西萍乡·期末）如图，在四边形中，，，，且．求： （1）的度数； （2）四边形的面积． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查的是勾股定理、勾股定理的逆定理及三角形的面积． （1）连接，由勾股定理求出的长，再根据勾股定理的逆定理判断出的形状，进而可求出的度数； （2）由（1）可知和是直角三角形，再根据即可得出结论． 解：（1）解：连接， ∵，， ∴，， 又∵，， ∴， 即， ∴， ∴； （2）解：由（1）可知和是直角三角形， ∴ ． 2．（24-25八年级上·上海·阶段练习）如图是一块四边形绿地的示意图，其中，，，，．则此绿地的面积为 ． 【答案】234 【分析】本题考查了勾股定理及其逆定理的相关知识，通过勾股定理的逆定理由边与边的关系可证明直角三角形，正确分割四边形的面积是解题关键． 连接，先根据勾股定理求出的长，再由勾股定理的逆定理判定为直角三角形，则四边形的面积直角的面积+直角的面积． 解：连接．如图所示： ， ， 在中，， ，即， ∴是直角三角形，． ， 即绿地的面积为234． 故答案为：234． 3．（23-24八年级下·陕西西安·阶段练习）如图，在中，的垂直平分线交于点D，交于点M，的垂直平分线交于点E，交于点N，若，，，则AC的长为（    ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】连接，根据垂直平分线的性质，得，，结合，确定，根据勾股定理计算即可．本题考查了垂直平分线的性质，勾股定理及其逆定理，熟练掌握逆定理是解题的关键. 解：连接， 根据垂直平分线的性质，得，， ∵， ∴， ∴, 解得，负的舍去， 故选C. 【考点7】角平分线与线段垂直平分线综合 1.（24-25八年级上·青海西宁·期末）如图，在中，垂直平分交于点D，交于点E，连接，，． （1）尺规作图：作的平分线交于点；（要求：保留作图痕迹，不写作法） （2）在（1）所作的图中，求的度数． 【答案】（1）见分析；（2） 【分析】（1）根据作角平分线的步骤，作出的平分线即可求解； （2）根据三角形内角和定理计算出，再根据线段垂直平分线的性质和等腰三角形的性质得到，所以，然后根据角平分线的定义求解即可． 解：（1）解：如图，为所作； （2）解：∵， ∵， ∵垂直平分， ∴， ∴， ∵， ∵平分， ∴． 【点拨】本题考查了尺规作图——角平分线，角平分线的定义，三角形内角和定理，垂直平分线的性质，等边对等角等．熟练掌握线段垂直平分线的性质是解题的关键． 2．（山西省大同市2024-2025学年八年级上学期1月期末数学试题）如图，在中，，边的垂直平分线与的延长线交于点，与外角的平分线交于点，过作，垂足为，若，，则为 ． 【答案】9 【分析】本题考查角平分线的性质，全等三角形的性质和判定，准确添加辅助线构建全等三角形是解题关键． 过点D作，垂足为M，连接，，通过证明RtRt，RtRt，结合全等三角形的性质分析求解． 解：过点D作，垂足为M，连接，， ∵平分，且，， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵边的垂直平分线与的延长线交于点， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：9． 3．（24-25八年级上·河北沧州·期末）图的尺规作图中，可以确定为等腰三角形的有（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】D 【分析】本题主要考查了基本作图，垂直平分线的性质，平行线的判定和性质，等腰三角形的判定，解题的关键是熟练掌握等腰三角形的判定方法．直接根据作图可以判断①符合题意；根据作图先确定平分，，根据平行线的判定和角平分线定义，证明，即可判断②符合题意；根据垂直平分线的性质可以判断③符合题意． 解：图①中以点A、C为圆心，相同的长度为半径画弧，两弧交于点B，则，因此为等腰三角形，故①符合题意； 图②中，根据作图可知：平分，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴为等腰三角形，故②符合题意； 图③中，根据作图可知：垂直平分， ∴， ∴为等腰三角形，故③符合题意； 综上分析可知：可以确定为等腰三角形的有3个， 故选：D． 【考点8】角平分线与三角形全等综合 1.（24-25七年级下·全国·期末）如图，为的角平分线，于点E，于点F，连接交于点G． （1）试说明：垂直平分； （2）若，请问满足什么条件时，？请说明理由． 【答案】（1）见分析；（2），见分析 【分析】本题主要考查了角平分线的性质，线段垂直平分线的判定，等腰三角形的判定等知识点 （1）由题意，证明再证明，得到，且，即可推出结论； （2）由已知推出，证明再由三角形内角和推出，即可推出结论． 解：（1）证明：∵为的角平分线，， ∴， ∴， ∴． 又∵， ∴， ∴，且， ∴垂直平分． （2）当时，． 理由：当时，． 又∵， ∴， ∴． 又∵， ∴． ∴当时，． 2．（24-25八年级上·上海松江·期末）如图，在中，，的角平分线交于点，于点，如果与的周长分别为13和3．那么的长为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了角平分线的性质，全等三角形的性质与判定，先由角平分线的定义和性质得到，，再由三角形周长计算公式得到；接着证明得到，据此根据线段的和差关系求解即可． 解：∵的角平分线交于点，，， ∴，， ∵与的周长分别为13和3， ∴， ∴，即， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为；． 3．（24-25八年级上·江苏盐城·期末）如图，在中，，以顶点为圆心，适当长为半径画弧，分别交，于点，，再分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，作射线交边于点，点在上．若，，当长度最小时，的面积是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由垂线段最短可知，当时，长度最小，由作图过程可知平分，结合角平分线性质得到，证明，利用全等三角形性质得到，根据勾股定理求出，设，则，在中，根据勾股定理列方程求出，最后利用三角形面积公式求解，即可解题． 解：由垂线段最短可知，当时，长度最小， 由作图过程可知平分， ， ， ， ， ， ， ，， 设，则， 在中，根据勾股定理得：，即， 解得：， ， ， 故选：C． 【点拨】本题考查了垂线段最短，角平分线的尺规作图及性质，全等三角形性质与判定，勾股定理，熟练掌握角平分线性质是解题的关键． 【压轴篇】 【考点9】勾股定理+全等三角形+等腰三角形 1．（24-25八年级上·上海长宁·期末）已知在中，，点D在线段上，点F在射线上，连接，作交射线于E，． （1）如图1，当时，时，求的大小； （2）当，时， ①如图2，连接，当，求的长； ②若，求的长． 【答案】（1）；（2）①；②或 【分析】（1）由平行线的性质求解，再利用三角形的外角的性质可得答案； （2）①证明，可得，再利用勾股定理求解即可；②如图，过作于，当在的右边时，利用勾股定理求出，可得，用等面积法可得，可得，根据，从而可得答案；当在的左边时，如图，同理可得，，，，证明，即可得到． 解：（1）解：∵，， ， ∵，， ； （2）解：①，， ， ∵，， ，，，， ， ， ， ∴， ， ， ∵， ， 解得：（负根舍去）； ②如图，过作于，当在的右边时， ∵，， ，， ∵， ， ， ， ， ， 当在的左边时，如图， 同理可得：，，， ∴， 由（1）得：， 而，， ∴， ∴； 综上：或． 【点拨】本题考查的是三角形的外角的性质，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理的应用，二次根式的混合运算，熟练掌握知识点是解本题的关键． 2．（24-25八年级上·浙江绍兴·期末）综合与实践：小嵊与小州两个同学在学习了“直角三角形全等的判定”后，对数学中重要的学习方法“构造法”，展开了课后探究． 【情景再现】 已知，如图1，在和中，，，． 下面是用“构造法”证明两个直角三角形全等的部分过程． 证明：如图1，延长至D，使，连接． 因为（已知），， 所以 所以（全等三角形的对应边相等）． … 所以 所以 【实践解决】 （1）请结合“情景再现”的证明过程，把“…”的部分补充完整； （2）小嵊进行了如下的思考：如图2，和都是等腰直角三角形，且．连接，若，，，求的长； （3）小州结合“构造法“进行进一步探究：如图3，是等腰直角三角形，，P是外一点，，，，求线段的长． 【答案】（1）见分析；（2）的长为3；（3）线段的长为． 【分析】（1）延长至D，使，连接．求得，利用勾股定理求得，利用边边边即可证明，从而得到； （2）先证，得出，再由等腰直角三角形的性质得，，则，然后由勾股定理求出，即可得出答案； （3）以为直角边在的下面作等腰直角三角形，使，，连接交于点，，先求出，，则，再证，得出，然后证，由等腰三角形的性质得出，最后由含角的直角三角形性质和勾股定理计算，即可得出答案． 解：（1）证明：如图，延长至D，使，连接． ∵（已知），， ∴ ∴（全等三角形的对应边相等）． ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 所以； （2）解：和都是等腰直角三角形，， ，，， 即， 在和中， ， ， ， 是等腰直角三角形，， ，， ， 在中，由勾股定理得：， ∴的长为3； （3）解：如图，以为直角边在的下面作等腰直角三角形，使，，连接交于点， ，， ，， ，， ， ， ， 即， 同理， ，， ， ， ， 又， ， ，， ， 在中，由勾股定理得：， ， 线段的长为． 【点拨】本题全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质、等腰三角形的性质、三角形内角和定理、含角的直角三角形的性质、勾股定理等知识，综合性强，熟练掌握全等三角形的判定与性质和勾股定理是解题的关键． 【考点10】斜边的中线等于斜边的一半+含30度角的直角三角形综合+全等三角形 1．（2024八年级上·全国·专题练习）如图1，在中，，，是的角平分线，于． （1）发现：如图1，连接，则的形状是 ___________，___________； （2）探索：如图2，点为线段上一个动点，当点在之间运动时，连接，作，交射线于，连接，即是等边三角形； 思路：在线段上截取点，使，得等边，由，，，易证，得，即是等边三角形．试判断线段、、之间的关系，并说明理由； （3）类比：如图3，当点在之间运动时连接，作，交射线于，连接． ①试判断的形状，并说明理由； ②若，设，，请直接写出与之间的函数关系式． 【答案】（1）等边三角形，60；（2），见分析；（3）①等边三角形，见分析，② 【分析】（1）利用“三边相等”的三角形是等边三角形证得是等边三角形，根据角平分线的定义以及直角三角形的两锐角互余可得； （2）在线段上截取点，使，得等边，由，，，易证，得，，即是等边三角形．由即可得出答案； （3）①在的延长线上取点，使，证，得即可得出答案； ②由①得，可得，由，，即可得出答案． 解：（1）解：在中，，， ，． 平分， ． ． 于点． ． ． ， 是等边三角形； ，， ． 故答案为：等边三角形，60． （2）结论：． 理由：在线段上截取点，使， ，， 是等边三角形， ，， ，， ， ． ，， 于点． ， ， ， ，， ， 是等边三角形． ，，，， ； （3）①是等边三角形． 理由如下：在的延长线上取点，使，连接， ，， ， 是等边三角形， ，， ， ， ． ，， 于点． ， ， ， ， ， 是等边三角形； ②，理由如下： 由①得， ， ，，， ， ，，， ， ． 【点拨】本题是三角形综合题，考查了全等三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、直角三角形斜边上的中线性质等知识；本题综合性强，有一定难度，根据已知做出正确辅助线是解题关键． 2．（23-24八年级下·湖北宜昌·期中）已知：P是对角线所在直线上的一个动点（点P不与点A，C重合），分别过点A，C向直线作垂线，垂足分别为E、F，O为的中点． （1）如图①，当点P与点O重合时，求证； （2）如图②，当点P与点O不重合时，求证； （3）直线绕点B逆时针方向旋转，当时，如图②、图③的位置，猜想线段，，之间有怎样的数量关系？请直接写出你对图②、图③的猜想，并对图③予以证明． 【答案】（1）见分析；（2）见分析；（3）图2中的结论为：，图3中的结论为：，证明见分析 【分析】此题考查了全等三角形的性质和判定，直角三角形斜边的中线，等边三角形的性质和判定等知识，解题的关键是熟练掌握全等三角形的性质和判定． （1）由即可得出结论． （2）延长交于点G，证明得，结合直角三角形斜边中线的性质即可解决问题． （3）图2中的结论为：，延长交于点G，只要证明，是等边三角形，即可解决问题． 图3中的结论为：CF=OE﹣AE，延长EO交FC的延长线于点G，证明方法类似． 解：（1）∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． （2）延长交于点G，    ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 在中， ∵， ∴， ∴， （3）图2结论为． 证明如下： 延长交于点G，    ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 在中， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． 选图3的结论为： 证明如下： 延长交的延长线于点G， ∵， ∴， ∴∠AEO=∠G， 在和中， ， ∴， ∴， 在中， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． 【考点11】直角三角形+平移+旋转 1．（24-25八年级上·山西大同·期中）【问题情境】将一副直角三角尺和按图所示的方式摆放，其中，，是的中点，点与点重合，于点，于点，试判断线段与的数量关系，并说明理由．     【探究展示】小丽同学展示出如下正确的解法： 解：，理由如下： 连接，则是边上的中线， ，是的平分线．（依据） ，，．（依据） （1）上述理由的“依据”和“依据”分别是指： 依据： ； 依据： ． （2）【操作发现】如图2，将三角尺绕点旋转，在旋转过程中，三角尺的两条直角边分别与中边，交于点，（点不与点，重合），与的数量关系是 ，三角尺与三角尺重叠部分的面积是 ． （3）将图中的沿着射线的方向平移至如图的位置，使点落在的延长线上，的延长线与的延长线相交于点，且，的延长线与相交于点，连接，，如果，试判断线段，的数量关系和位置关系，并说明理由． 【答案】（1）依据：等腰三角形三线合一，依据：角平分线上的点到角两边的距离相等；（2）相等，；（3）且，理由见分析． 【分析】由推理的过程和三角形的形状可知依据是等腰三角形三线合一，依据是角平分线上的点到角两边的距离相等； 过点作，，构造，根据全等三角形对应边相等可证，利用全等三角形的面积也相等可知，运用正方形的面积公式可求结果； 连接，则为边上的中线，可证，根据全等三角形对应边相等、对应角相等可得且． 解：（1）解：，理由如下： 如下图所示，连接，则是边上的中线， ， 是的平分线．（等腰三角形三线合一） ，， ．（角平分线上的点到角两边的距离相等） 故答案为：等腰三角形三线合一，角平分线上的点到角两边的距离相等； （2）解：如下图所示，过点作，， 由知，， 又， ， ， 在和中， ， ， ， ， ， 由知四边形是正方形，且边长为， ， 故答案为：相等，； （3）解：且．理由如下： 如下图所示，连接，则为边上的中线， ，，， ， ， ， ， ，， ， ， 又， 在和中， ， ， ，， ， ， 且． 【点拨】本题考查了全等三角形的判定与性质，角平分线的性质，等腰三角形的性质，矩形的判定与性质．解决本题的关键是作辅助线构造全等三角形，利用全等三角形对应边相等、对应角相等判定结论成立． 2．（23-24八年级下·辽宁沈阳·期中）我们已经学习了轴对称、平移、旋转这三类基本的图形运动，这三类变化有一个基本性质，即图形的位置发生了改变，但图形的形状与大小都不改变．李老师在“图形的变化”主题下设计了这样一个问题背景：如图1，已知和均为等边三角形，，点D，E分别为边的中点．在此情境下，同学们提出了如下问题，请你解答． （1）【观察发现】如图2，将沿射线方向平移得到，当点与点B重合时，平移的距离为_________； （2）【尝试探究】如图3，将绕点A按逆时针方向旋转，得到，连接，当点B，，在同一条直线上时，求证：平分； （3）【拓展应用】如图4，先将绕点A按逆时针方向旋转，再沿射线方向平移得到，在平移的过程中，当以B，，为顶点的三角形为直角三角形时，请直接写出平移的距离，并选择其中一种情况写出解决过程． 【答案】（1）；（2）见分析；（3）或，过程见分析 【分析】（1）根据中点的性质和平移的性质，求解即可； （2）证明，得到，利用等边三角形的性质和角的和差关系，即可得出结论； （3）根据旋转和平移的性质，得到为等边三角形，当以B，，为顶点的三角形为直角三角形时，分分别为直角顶点，两种情况讨论求解即可． 解：（1）解：∵，点D为边的中点． ∴， ∴将沿射线方向平移得到，当点与点B重合时，平移的距离为； 故答案为：； （2）∵将绕点A按逆时针方向旋转，得到， ∴为等边三角形， ∴， ∵点B，，在同一条直线上， ∴， ∵为等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴平分； （3）由旋转和平移的性质可知：为等边三角形， ∴，， 当以B，，为顶点的三角形为直角三角形时，分两种情况讨论： ①当点为直角顶点时，如图，则：， ∵为等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴，即平移距离为； ②当点为直角顶点时，设交于点，如图，则：， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴； 即平移距离为； 综上：平移的距离为或． 【点拨】本题考查平移的性质，旋转的性质，等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，含30度角的直角三角形的性质，熟练掌握平移的性质，旋转的性质，利用数形结合和分类讨论的思想进行求解，是解题的关键． 【考点12】直角三角形+动点+最值 1．（24-25八年级上·重庆·期末）在等腰中，，点D在的延长线上， （1）如图1，线段上有一点G，连接并延长至点E，使得，连接和，若，，，求的长； （2）如图2，线段上有一点G，连接并延长至点E，连接和，点F在的延长线上，连接，若，，，求证：； （3）如图3，点P是线段上一动点，已知，，连接，当取最小值时，直接写出与的面积之比． 【答案】（1）；（2）见详解；（3） 【分析】（1）由题意易得，则可证，然后可得，，进而根据勾股定理可进行求解； （2）在上截取，由题意易得，，然后可知，则有，进而可根据得到，则可证，最后问题可求证； （3）作，分别过点P、C作，垂足分别为Q、M，要使的值最小，则需满足的值最小，根据点到直线，垂线段最短，可知：当点H、P、Q三点共线时，的值即为最小，最小值为的长；然后根据含30度直角三角形的性质可知，，进而问题可求解． 解：（1）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴； （2）证明：如图，在上截取， ， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （3）解：∵， ∴， 作，分别过点P、C作，垂足分别为Q、M，如图所示： ∴， ∴， 要使的值最小，则需满足的值最小，根据点到直线，垂线段最短，可知：当点H、P、Q三点共线时，的值即为最小，最小值为的长； ∵，，， ∴，， ∴，， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴，即， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点拨】本题主要考查全等三角形的性质与判定、等腰三角形的性质与判定、勾股定理及含30度直角三角形的性质，熟练掌握全等三角形的性质与判定、等腰三角形的性质与判定、勾股定理及含30度直角三角形的性质是解题的关键． 2．（24-25八年级上·江苏镇江·期中）如图，等边三角形的边长为，是边上一动点（与不重合），是延长线上一点，且，交于．  （1）当时，__________； （2）当时，___________； （3）求证：； （4）如图，过点作于点，_________； （5）如图，将线段绕点顺时针旋转得线段，连接，则的最小值为_________． 【答案】（1）；（2）；（3）证明见分析；（4）；（5） 【分析】（）由三线合一即可求解； （）由等边三角形的性质及可得，即得，，再根据角之间的关系可得，即得，得到，进而得到，据此即可求解； （）作交于点，证明即可求证； （）如图，作交于点，由三线合一可得，再根据得，即得，据此即可求解； （）由旋转的性质得，，进而可证明，得到，当时，的值最小，此时的值 最小，则的值最小，利用勾股定理解答即可求解． 解：（1）解：∵是边长为的等边三角形， ∴， ∵， ∴， 故答案为：； （2）解：∵为等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴ ∴， ∴， 故答案为：； （3）证明：如图，作交于点，则，，    ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； （4）解：如图，作交于点，    ∵，， ∴， 由（）得， ∴， ∴， 故答案为：； （5）解：∵将线段绕点顺时针旋转 得线段， ∴，， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 当时，的值最小，此时的值最小，则的值最小， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴的最小值为， 故答案为：． 【点拨】本题考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，直角三角形的性质，等腰三角形的判定和性质，平行线的性质，旋转的性质，垂线段最短，勾股定理，正确作出辅助线是解题的关键． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题1.7 直角三角形（全章常考综合压轴题分类专题） 第一部分 【知识点与考点目录】 【综合篇】 【考点1】直角三角形与尺规作图综合...................................................................................................1 【考点2】斜边的中线等于斜边的一半与含30度角的直角三角形综合.................................................3 【考点3】用勾股定理解直角三角形综合................................................................................................4 【考点4】勾股定理与折叠问题综合.......................................................................................................4 【考点5】勾股定理与三角形全等综合...................................................................................................5 【考点6】勾股定理与逆定理综合...........................................................................................................6 【考点7】角平分线与线段垂直平分线综合............................................................................................7 【考点8】角平分线与三角形全等综合...................................................................................................8 【压轴篇】 【考点9】勾股定理+全等三角形+等腰三角形.......................................................................................8 【考点10】斜边的中线等于斜边的一半+含30度角的直角三角形综合+全等三角形..........................10 【考点11】直角三角形+平移+旋转.......................................................................................................11 【考点12】直角三角形+动点+最值.......................................................................................................12 第2部分 【题型展示与方法点拨】 【考点1】直角三角形与尺规作图综合 1.（24-25八年级上·安徽芜湖·期末）如图，在中，，，是高，以点A为圆心，长为半径画弧，交于点E，再分别以B，E为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在的内部交于点F，作射线． （1）根据图中尺规作图的痕迹推断出 （填“=”或“>”或“<”）； （2）求的度数； （3）若，点M是直线上一动点，求线段的最小值． 2．（24-25八年级上·四川内江·期末）如图，在中，，以点为圆心，的长为半径画弧交于点、，再分别以点与点为圆心，大于长的一半为半径画弧，两弧交于点，连接交于点，若，则的度数是（    ） A． B． C． D． 3．（24-25八年级上·广东深圳·期中）如图，正方形的边长为2，在数轴上，C点为原点，以中点M为圆心，线段的长为半径画弧，交数轴的正半轴于点F，则F点表示的实数为（   ） A． B． C． D．3 4．（24-25八年级上·吉林长春·期末）如图，在中，，，以为圆心，任意长为半径画弧分别交，于点和，再分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，连接并延长交于点，则下列说法中正确的有 ． ①是的平分线；②；③点在的中垂线上；④ 【考点2】斜边的中线等于斜边的一半与含30度角的直角三角形综合 1．（24-25八年级上·重庆·阶段练习）如图，中，，，是上一点（不与重合），于，求证：． 2．（24-25八年级上·江苏无锡·期中）如图，，，，延长至D，使，连接，则 ． 3．（24-25八年级上·浙江台州·期末）如图，在中，，，平分． （1）若，求的长； （2）若为的中点，连接交于点，求证：垂直平分． 4．（24-25八年级上·广东中山·期中）如图，在中，，，高与角平分线相交于点． （1）求证：是等边三角形； （2）若，求的长度． 【考点3】用勾股定理解直角三角形综合 1.（24-25八年级上·甘肃兰州·期末）如图，在中，，点P在上运动，点D在上，始终保持与相等，的垂直平分线交于点E，交于点F，连接． （1）判断与的位置关系，并说明理由； （2）若，，，求线段的长． 2．（24-25八年级上·辽宁丹东·期末）在中，，，高，则三角形的周长为 ． 3．（23-24八年级上·福建漳州·期末）如图，在中，，平分，过点作交于点．若，，则点到边上的距离是（    ） A． B． C． D．3 【考点4】勾股定理与折叠问题综合 1.（江苏省徐州市2024-2025学年八年级上学期1月期末考试数学试题）如图，在长方形中，，，为上的点，将沿折叠，使点落在长方形纳的点处．连接，已知． （1）求证：为直角三角形； （2）求线段的长． 2．（重庆市奉节县2024—2025学年八年级上学期期末数学试题）如图，在长方形纸片中，．将沿折叠，使点落在点处，交于点，则的长为 ． 3．（24-25八年级上·浙江宁波·期末）如图，，，将沿翻折，使得点C与点B重合．若，，则折痕的长为（   ） A．4 B． C．5 D． 【考点5】勾股定理与三角形全等综合 1.（24-25八年级上·江苏南京·期末）如图，在和中，，点在上，垂直平分，分别交，于点，． （1）连接，求证：； （2）若，，求的长． 2．（24-25八年级上·福建漳州·期末）如图，在中，，于点，平分，交于点，于点，交于点．若，，则的长为 ．    3．（24-25九年级上·江苏淮安·期中）如图，直线过等腰直角三角形顶点，、两点到直线l的距离分别是和，则的长是（    ） A． B． C． D． 【考点6】勾股定理与逆定理综合 1.（24-25七年级上·江西萍乡·期末）如图，在四边形中，，，，且．求： （1）的度数； （2）四边形的面积． 2．（24-25八年级上·上海·阶段练习）如图是一块四边形绿地的示意图，其中，，，，．则此绿地的面积为 ． 3．（23-24八年级下·陕西西安·阶段练习）如图，在中，的垂直平分线交于点D，交于点M，的垂直平分线交于点E，交于点N，若，，，则AC的长为（    ）． A． B． C． D． 【考点7】角平分线与线段垂直平分线综合 1.（24-25八年级上·青海西宁·期末）如图，在中，垂直平分交于点D，交于点E，连接，，． （1）尺规作图：作的平分线交于点；（要求：保留作图痕迹，不写作法） （2）在（1）所作的图中，求的度数． 2．（山西省大同市2024-2025学年八年级上学期1月期末数学试题）如图，在中，，边的垂直平分线与的延长线交于点，与外角的平分线交于点，过作，垂足为，若，，则为 ． 3．（24-25八年级上·河北沧州·期末）图的尺规作图中，可以确定为等腰三角形的有（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【考点8】角平分线与三角形全等综合 1.（24-25七年级下·全国·期末）如图，为的角平分线，于点E，于点F，连接交于点G． （1）试说明：垂直平分； （2）若，请问满足什么条件时，？请说明理由． 2．（24-25八年级上·上海松江·期末）如图，在中，，的角平分线交于点，于点，如果与的周长分别为13和3．那么的长为 ． 3．（24-25八年级上·江苏盐城·期末）如图，在中，，以顶点为圆心，适当长为半径画弧，分别交，于点，，再分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，作射线交边于点，点在上．若，，当长度最小时，的面积是（　　） A． B． C． D． 【压轴篇】 【考点9】勾股定理+全等三角形+等腰三角形 1．（24-25八年级上·上海长宁·期末）已知在中，，点D在线段上，点F在射线上，连接，作交射线于E，． （1）如图1，当时，时，求的大小； （2）当，时， ①如图2，连接，当，求的长； ②若，求的长． 2．（24-25八年级上·浙江绍兴·期末）综合与实践：小嵊与小州两个同学在学习了“直角三角形全等的判定”后，对数学中重要的学习方法“构造法”，展开了课后探究． 【情景再现】 已知，如图1，在和中，，，． 下面是用“构造法”证明两个直角三角形全等的部分过程． 证明：如图1，延长至D，使，连接． 因为（已知），， 所以 所以（全等三角形的对应边相等）． … 所以 所以 【实践解决】 （1）请结合“情景再现”的证明过程，把“…”的部分补充完整； （2）小嵊进行了如下的思考：如图2，和都是等腰直角三角形，且．连接，若，，，求的长； （3）小州结合“构造法“进行进一步探究：如图3，是等腰直角三角形，，P是外一点，，，，求线段的长． 【考点10】斜边的中线等于斜边的一半+含30度角的直角三角形综合+全等三角形 1．（2024八年级上·全国·专题练习）如图1，在中，，，是的角平分线，于． （1）发现：如图1，连接，则的形状是 ___________，___________； （2）探索：如图2，点为线段上一个动点，当点在之间运动时，连接，作，交射线于，连接，即是等边三角形； 思路：在线段上截取点，使，得等边，由，，，易证，得，即是等边三角形．试判断线段、、之间的关系，并说明理由； （3）类比：如图3，当点在之间运动时连接，作，交射线于，连接． ①试判断的形状，并说明理由； ②若，设，，请直接写出与之间的函数关系式． 2．（23-24八年级下·湖北宜昌·期中）已知：P是对角线所在直线上的一个动点（点P不与点A，C重合），分别过点A，C向直线作垂线，垂足分别为E、F，O为的中点． （1）如图①，当点P与点O重合时，求证； （2）如图②，当点P与点O不重合时，求证； （3）直线绕点B逆时针方向旋转，当时，如图②、图③的位置，猜想线段，，之间有怎样的数量关系？请直接写出你对图②、图③的猜想，并对图③予以证明． 【考点11】直角三角形+平移+旋转 1．（24-25八年级上·山西大同·期中）【问题情境】将一副直角三角尺和按图所示的方式摆放，其中，，是的中点，点与点重合，于点，于点，试判断线段与的数量关系，并说明理由．     【探究展示】小丽同学展示出如下正确的解法： 解：，理由如下： 连接，则是边上的中线， ，是的平分线．（依据） ，，．（依据） （1）上述理由的“依据”和“依据”分别是指： 依据： ； 依据： ． （2）【操作发现】如图2，将三角尺绕点旋转，在旋转过程中，三角尺的两条直角边分别与中边，交于点，（点不与点，重合），与的数量关系是 ，三角尺与三角尺重叠部分的面积是 ． （3）将图中的沿着射线的方向平移至如图的位置，使点落在的延长线上，的延长线与的延长线相交于点，且，的延长线与相交于点，连接，，如果，试判断线段，的数量关系和位置关系，并说明理由． 2．（23-24八年级下·辽宁沈阳·期中）我们已经学习了轴对称、平移、旋转这三类基本的图形运动，这三类变化有一个基本性质，即图形的位置发生了改变，但图形的形状与大小都不改变．李老师在“图形的变化”主题下设计了这样一个问题背景：如图1，已知和均为等边三角形，，点D，E分别为边的中点．在此情境下，同学们提出了如下问题，请你解答． （1）【观察发现】如图2，将沿射线方向平移得到，当点与点B重合时，平移的距离为_________； （2）【尝试探究】如图3，将绕点A按逆时针方向旋转，得到，连接，当点B，，在同一条直线上时，求证：平分； （3）【拓展应用】如图4，先将绕点A按逆时针方向旋转，再沿射线方向平移得到，在平移的过程中，当以B，，为顶点的三角形为直角三角形时，请直接写出平移的距离，并选择其中一种情况写出解决过程． 【考点12】直角三角形+动点+最值 1．（24-25八年级上·重庆·期末）在等腰中，，点D在的延长线上， （1）如图1，线段上有一点G，连接并延长至点E，使得，连接和，若，，，求的长； （2）如图2，线段上有一点G，连接并延长至点E，连接和，点F在的延长线上，连接，若，，，求证：； （3）如图3，点P是线段上一动点，已知，，连接，当取最小值时，直接写出与的面积之比． 2．（24-25八年级上·江苏镇江·期中）如图，等边三角形的边长为，是边上一动点（与不重合），是延长线上一点，且，交于．  （1）当时，__________； （2）当时，___________； （3）求证：； （4）如图，过点作于点，_________； （5）如图，将线段绕点顺时针旋转得线段，连接，则的最小值为_________． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$